精品解析：江苏省南京市中华中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

南京市中华中学2024-2025学年第二学期期末考试 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，若，则等于（ ） A. 2 B. 1或2 C. 1或2或 D. 2. 某地市高三理科学生有30000名，在一次调研测试中，数学成绩，已知，若按分层抽样的方式取200份试卷进行成绩分析，则应从120分以上的试卷中抽取（ ） A. 5份 B. 10份 C. 15份 D. 20份 3. 下列命题正确的是（ ） A. ， B. ， C. “”是“”的充分且不必要条件 D. 若，则 4. 已知函数图像上任一点处的切线方程为，那么函数的单调递增区间是（ ） A. B. ， C. D. ， 5. 某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论正确的是（ ） 男生 女生 篮球迷 30 15 非篮球迷 45 10 附:， 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 A. 没有把握认为是否是篮球迷与性别有关 B. 有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 C. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 D. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 6. 已知实数，，且，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在长方体中，分别是棱，的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数的导函数为，且满足， ，若，，则（   ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 的展开式中，的系数是60 B. 若展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列，则 C. 用数字0，1，2，3，4组成的无重复数字的四位数中，偶数的个数为60 D. 某篮球运动员投球的命中率是，他投球4次，相互独立，则恰好投进3个球的概率为. 10. 有3台车床加工同一型号的零件. 第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的，，. 则下列结论正确的是（ ） A. 任取一个零件，它是第1台车床加工的次品的概率为 B. 任取一个零件，它是次品的概率为 C. 如果取到零件是次品，它是第2台车床加工的概率为 D. 如果取到的零件不是第3台车床加工的，它是次品的概率为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若恒成立，则的取值范围是 B. 当时，的零点只有1个 C. 若函数有两个不同的零点，则 D. 当时，若不等式恒成立，则正数m的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和为150件的概率为__________． 13. 已知函数f(x)＝设a>b≥0，若f(a)＝f(b)，则b·f(a)的取值范围是________. 14. 已知函数的导函数为，且函数的图象经过点.若对任意一个负数，不等式恒成立，则整数的最小值为___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知定义在上的函数满足函数为奇函数，且. （1）求,的值； （2）用单调性定义证明：函数在区间上单调递增． 16. 已知某险种首次参保的保费为2000元，保险期为1年.在总体中抽取1000单，统计其在一个保险期内的赔偿次数，得到表 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 900 60 20 10 10 表1 用频率估计概率，解答下列问题. 已知下一个保险期的保费由上一个保险期的赔偿次数决定，记上一个保险期的保费为a元，下一个保险期的保费与上一个保险期的赔偿次数的关系如表2所示. 上一个保险期的赔偿次数 0 1 2 3 4 下一个保险期的保费 表2 已知甲2025年首次参保，此后计划每年都参保. （1）估计甲2026年参保第二个保险期保费为X元，求X的数学期望； （2）求在甲2026年参保的保费大于2000元的前提下，甲2027年参保第三个保险期的保费少于2400元的概率. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点，分别是棱，上的动点. （1）若是棱的中点，求二面角的大小； （2）请判断下列条件：①直线与平面所成角的正切值为；②中哪一个条件可以推断出平面（无需说明理由），并用你的选择证明该结论. 18. “爱国、敬业、诚信、友善”是社会主义核心价值观个人层面的价值准则.某学校为加强对学生的教育，倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量 （单位：箱） 7 6 6 5 6 收益 （单位：元） 165 142 148 125 150 （1）求收益y关于售出水量x的回归直线方程，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ （2）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级从第201名到500名的同学，获二等奖学金300元；考入年级501名及以后的特困生不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.如果已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望 附： 19. 已知函数， （1）若恒成立，求实数t值； （2）当时，方程有两个不同的根，分别为， ①求实数m的取值范围； ②求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市中华中学2024-2025学年第二学期期末考试 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，若，则等于（ ） A. 2 B. 1或2 C. 1或2或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可以得到中的元素都在集合中，从而求出实数a的值． 【详解】解：，由，可得且， 集合， 当时，， 当时，则或2， 经检验均符合要求， 故或2或， 故选：C 2. 某地市高三理科学生有30000名，在一次调研测试中，数学成绩，已知，若按分层抽样的方式取200份试卷进行成绩分析，则应从120分以上的试卷中抽取（ ） A. 5份 B. 10份 C. 15份 D. 20份 【答案】B 【解析】 【分析】 利用正态分布的对称性求出，再根据分层抽样原理按比例抽取即可． 详解】由题得， ， ， 应从120分以上的试卷中抽取份数为． 故选：． 【点睛】本题主要考查了正态分布的特点，考查分层抽样原理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 3. 下列命题正确的是（ ） A. ， B. ， C. “”是“”的充分且不必要条件 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】对A，举反例即可判断；对B，根据判别式即可判断；对C，解出一元二次不等式，再根据充分不必要条件的判定即可判断；对D，举反例即可判断. 【详解】对A，当时，，故A错误； 对B，方程的根的判别式，此方程没有实数解，故B错误： 对C，或， 成立，但不成立，是的充分不必要条件，故C正确； 对D，举例，但，故D错误. 故选：C. 4. 已知函数图像上任一点处的切线方程为，那么函数的单调递增区间是（ ） A. B. ， C. D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由切线方程，可知任一点的导数为，然后由，可求单调递增区间. 【详解】因为函数的图像上任一点的切线方程为， 即函数图像在点的切线斜率，所以， 由，解得或， 即函数的单调递增区间是，. 故选：D. 5. 某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论正确的是（ ） 男生 女生 篮球迷 30 15 非篮球迷 45 10 附:， 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 A. 没有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 B. 有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 C. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 D. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 【答案】A 【解析】 【分析】根据所给数据完善列联表，计算出卡方，即可判断. 【详解】依题意可得列联表如下： 男生 女生 合计 篮球迷 30 15 45 非篮球迷 45 10 55 合计 75 25 100 所以， 所以在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关， 又，所以没有的把握认为是否是篮球迷与性别有关. 故选：A 6. 已知实数，，且，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求得的最小值，把问题转化为恒成立的类型，求解的最大值即可. 【详解】，，且a，b为正数， 当且仅当，即时， 若不等式对任意实数x恒成立， 则对任意实数x恒成立， 即对任意实数x恒成立， ， ， 故选：D 7. 在长方体中，分别是棱，的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得正确答案. 【详解】如图，分别以、、方向为、、轴建立空间直角坐标系可得： ，，，，，， ，，， 设平面的一个法向量， 则由得， 可令，得，，即. 由于直线与平面平行，则， 得：，即：， 又，. 所以， 将代入上式整理得： ， 所以当时，取得最小值，最小值为. 故选：C. 8. 已知定义在上的函数的导函数为，且满足， ，若，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称性可得函数的图像关于直线成轴对称，结合已知可确定函数的单调性，从而可判断和的大小，从而得结论. 【详解】由题设可知函数的图像关于直线成轴对称， 且当时，函数是增函数，当时，函数是减函数， 则，故D不正确； 因为，且，所以， 该不等式说明 到对称轴 的距离比到对称轴的距离远，即 ， 又函数的函数值随自变量与对称轴距离的增大而减小， 所以，故C正确． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 的展开式中，的系数是60 B. 若的展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列，则 C. 用数字0，1，2，3，4组成的无重复数字的四位数中，偶数的个数为60 D. 某篮球运动员投球的命中率是，他投球4次，相互独立，则恰好投进3个球的概率为. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项式定理和二项式系数及其性质判断选项A、B，用排列数知识判断选项C，用二项分布知识判断选项D. 【详解】的展开式的通项为：.令，可得的展开式中的系数为:，故选项A正确； 选项B：由题意得的展开式至少有四项，所以. 在的展开式中，第二、三、四项的二项式系数分别为，，. 由题意，得所以,所以，故选项B错误； 选项C：由题意，若四位数为偶数，则其个位数字为或 当个位数字为0时，四位数有个； 当个位数字为2或4时，四位数分别有个． 由分类加法计数原理，得偶数的个数为，故选项C正确； 选项D：因为每次投球相互独立，所以投球4次，恰好投进3个球的概率为，故选项D正确. 故选：ACD. 10. 有3台车床加工同一型号的零件. 第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的，，. 则下列结论正确的是（ ） A. 任取一个零件，它是第1台车床加工的次品的概率为 B. 任取一个零件，它是次品的概率为 C. 如果取到的零件是次品，它是第2台车床加工的概率为 D. 如果取到的零件不是第3台车床加工的，它是次品的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工为事件、、，该零件为次品为事件，根据概率乘法公式判断A，根据全概率公式判断B，根据条件概率公式判断C，D． 【详解】根据题意，设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工为事件、、，该零件为次品为事件， 则，，，，， 对于A，任取一个零件，它是第1台车床加工的次品的概率，故A错误； 对于B，任取一个零件是次品的概率 ，故B正确； 对于C，如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率 ，故C正确； 对于D，记取到的零件不是第3台车床加工的为事件，则， 则， 所以， 即如果取到的零件不是第3台车床加工的，它是次品的概率为，故D正确． 故选：BCD． 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若恒成立，则的取值范围是 B. 当时，的零点只有1个 C. 若函数有两个不同的零点，则 D. 当时，若不等式恒成立，则正数m的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题考查了利用导数研究不等式恒成立与零点问题.根据条件，通过构造函数并利用导数研究其单调性、最值等问题解决问题 【详解】对于选项 因为函数定义域为，所以恒成立等价于：对恒成立. 设，则. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 因此函数在处取得最大值，最大值为. 因为对恒成立，所以.故选项错误. 对于选项. 当时，在定义域上恒成立.故在上递增. 且，，故在存在唯一的零点，故正确. 对于选项. 因函数的定义域为，所以两个零点. 因为，，所以，. 因此，即. 要证，只要证，即证. 令，要证，即要证. 令，. 因为， 所以函数是增函数，因此对，有. 则，即，即. 所以，故正确. 对于选项. 当时，不等式恒成立，即不等式恒成立. 即不等式恒成立，即恒成立. 设函数，则，故函数在定义域上单调递增. 因，即，所以. 设函数，. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以在时取最大值，. 故若要使在上恒成立， 即正数m的取值范围是，故正确. 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和为150件的概率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】依题意可知日生产件数之和的所有可能取值为190，150，110，根据超几何分布的概率公式求出对应的概率； 【详解】由题意可得日生产件数之和的所有可能取值为190，150，110， 则可知. 故答案为： 13. 已知函数f(x)＝设a>b≥0，若f(a)＝f(b)，则b·f(a)的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】画出的图象，数形结合求得的范围，将转化为关于的函数，再求函数的值域即可. 【详解】画出函数图象如图所示， 由图象可知要使a>b≥0， f(a)＝f(b)同时成立， 则≤b<1. b·f(a)＝b·f(b)＝b(b＋1) ＝b2＋b＝， 所以≤b·f(a)<2. 故答案为：. 【点睛】本题考查指数函数图象的应用，本题中借助函数图象求得参数范围是重点，属基础题. 14. 已知函数的导函数为，且函数的图象经过点.若对任意一个负数，不等式恒成立，则整数的最小值为___________ 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意，设函数，代入点即可求出，进而求出函数的解析式.将问题转化为，，构造函数，，利用导数求出函数的最值，从而得出答案. 【详解】由函数的导函数为，所以设函数， 又函数的图象经过点，代入，得，解得， 所以， 因为对任意一个负数，不等式恒成立，即， 得，， 构造函数，，则， 令，则，令，解得， 所以当时，恒成立，即在上单调递减， 当时，恒成立，即在上单调递增， 且，，，， 所以存在使，且， 所以当时，恒成立， 在上单调递增， 当时，恒成立， 在上单调递减， 所以在时取得最大值，为， 由，得到， 代入得到，， 从而得函数， 由于且取整数，所以的最小值为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知定义在上的函数满足函数为奇函数，且. （1）求,的值； （2）用单调性定义证明：函数在区间上单调递增． 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得，结合可求得，； （2）根据函数单调性的定义,任取，且，计算推得,即得函数在区间上单调递增. 【小问1详解】 由题意可知，得，所以， 又得：，得， 此时函数满足,是奇函数， 故，. 【小问2详解】 由，得， ，，且，有 ， 由于，所以，， 所以，即， 所以函数在区间上单调递增. 16. 已知某险种首次参保的保费为2000元，保险期为1年.在总体中抽取1000单，统计其在一个保险期内的赔偿次数，得到表 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 900 60 20 10 10 表1 用频率估计概率，解答下列问题. 已知下一个保险期的保费由上一个保险期的赔偿次数决定，记上一个保险期的保费为a元，下一个保险期的保费与上一个保险期的赔偿次数的关系如表2所示. 上一个保险期的赔偿次数 0 1 2 3 4 下一个保险期的保费 表2 已知甲2025年首次参保，此后计划每年都参保. （1）估计甲2026年参保第二个保险期的保费为X元，求X的数学期望； （2）求在甲2026年参保的保费大于2000元的前提下，甲2027年参保第三个保险期的保费少于2400元的概率. 【答案】（1）1944 （2） 【解析】 【分析】(1)由题意知X的可能取值，分别计算对应的概率值，求出数学期望． (2)计算甲2026年参保的保费大于2000元的概率和甲2026年参保的保费大于2000元，且2027年参保的保费少于2400元的，求比值即可． 小问1详解】 X的可能取值为1900，2200，2400，2600，2800； ，， ， 即X的分布列为 X 1900 2200 2400 2800 P 数学期望为： 元 【小问2详解】 甲2026年参保的保费大于2000元的概率为 甲2026年参保的保费大于2000元，且2027年参保的保费少于2400元的情况包括： 2026年参保的保费为2200元，且2026年的赔偿次数为0； 2026年参保的保费为2400元，且2026年的赔偿次数为 其概率， 故所求的概率为 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点，分别是棱，上的动点. （1）若是棱的中点，求二面角的大小； （2）请判断下列条件：①直线与平面所成角的正切值为；②中哪一个条件可以推断出平面（无需说明理由），并用你的选择证明该结论. 【答案】（1）； （2）条件②，证明见解析 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量解决二面角的大小； （2）若选择①，过作的垂线，垂足为，易得是直线与平面所成角，得到是的中点，利用空间向量证明与平面不平行；若选择②，通过线面平行的判定定理即可证明 【小问1详解】 以原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图所示坐标系， 则，，，，，， 则，，，， 设平面的法向量，平面的法向量， 由，得，当时，， 则， 由，得，当时，， 则， 因为， 故二面角的大小为； 【小问2详解】 条件②可以推断平面； 以下证明条件①不可以，条件②可以， 若选择条件①， 因为在线段上，所以，所以， 过作的垂线，垂足为，易得是直线与平面所成角， 所以，解得， 所以 由（1）可得，， 设平面的法向量， 由，得，当时，， 则， 所以，则与不垂直，即与平面不平行; 若选择条件②， 如图，连接，相交于点，连结， 在梯形中，有，， 根据三角形的相似得， 又因为，故， 又平面，平面， 所以平面 18. “爱国、敬业、诚信、友善”是社会主义核心价值观个人层面的价值准则.某学校为加强对学生的教育，倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量 （单位：箱） 7 6 6 5 6 收益 （单位：元） 165 142 148 125 150 （1）求收益y关于售出水量x的回归直线方程，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ （2）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级从第201名到500名的同学，获二等奖学金300元；考入年级501名及以后的特困生不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.如果已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望 附： 【答案】（1），186 （2）分布列见解析，600 【解析】 【分析】（1）求出、，从而求出回归方程，将代入求出即可； （2）计算对应的概率的值，求出其分布列和期望值即可． 【小问1详解】 ， ， ， 当时，（元）， 即某天售出8箱水的预计收益是186元. 【小问2详解】 X的取值可能为0，300，500，600，800，1000， ，， ，， ，， 即X的分布列为 X 0 300 500 600 800 1000 P X的数学期望 （元）. 19. 已知函数， （1）若恒成立，求实数t的值； （2）当时，方程有两个不同的根，分别为， ①求实数m的取值范围； ②求证：. 【答案】（1）； （2）①；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由可判断，解得值并验证； （2）①令，利用，结合的单调性和零点存在性定理，判断取值范围；②构造函数，证得，再将问题转化为证明，由不等式性质可得. 【小问1详解】 ，因为，若，即. 由于不是定义域区间的端点，且在定义域上连续， 故不仅是函数的最小值，同时也是极小值， 所以，解得. 检验：当时，，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增； 所以的最小值为，即成立， 综上，. 【小问2详解】 ①当时，令， ， 令，解得，，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，则最小值为； 当时，无解，当时，一解，都不符合题意； 当时，，， 因为，在上单调递减，所以在上唯一解； 令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以当时，取得最小值，即，所以， 所以 ，又， 因为，在上单调递增； 所以在上有唯一解； 综上所述，方程有两个不同的根时，； ②由题可知：，即且， 构造函数：， 则， 所以在上单调递减，故，所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 因为在上单调递增，，， 所以，得 要证， 即证， 即，即， 即证， 因为，故只须证明：， 因为成立. 所以原不等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $