山东泰安肥城市2026届高考适应性测试（一）数学试题

**基本信息** 2026年高考数学适应性训练卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，覆盖集合、复数、立体几何等核心知识，通过科技情境（如智慧借还系统）和综合问题（如椭圆内接菱形）考查数学眼光、思维与语言，适配高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|集合、复数、排列组合、三角函数|基础概念辨析，注重数学抽象| |选择题（多选）|3/18|统计（决定系数）、正态分布、抛物线|多维度考查，体现推理意识| |填空题|3/15|向量夹角、数列公共项、双曲线离心率|知识交汇，考查空间观念| |解答题|5/77|数列求和、立体几何证明与夹角、概率统计（独立性检验）、椭圆方程与菱形性质、导数零点与证明|科技情境（智慧借还系统）、综合应用（椭圆内接菱形），培养创新意识与应用能力|

2026年高考适应性训练 数学（一）参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B D A C A D 解析： 1. ，所以，故选B 2. 因为，所以复数对应点的坐标为，故选C. 3. 将甲、乙视为一个整体，与其他人共同组成个“单位”，这个单位的排列数为.由于甲、乙两人内部可以互换位置，需额外乘以，因此总排列数为：.故选B. 4. 解：点代入，解得 法一： 法二：故选D. 5. 由，解得，则有 即， 所以 ，当且仅当，解得故选A. 6. 由 得 由余弦定理 得 故选C. 7. 的图象关于点对称， 关于点对称 恒成立， 点既是的对称中心又是的对称中心，，即，故选A 8. 取的中点，连接,因为底面是菱形，且, 所以. 又因为,所以. 由于,所以. 因为与平面所成角为，所以与平面所成角也为. 由于为直线在平面上的射影，所以. 在中，，所以, 所以点的轨迹在正方形面内，以点为圆心，以为半径的半圆弧. 当点在面对角线上时，记作，可知点恰好为正方形的中心. 取的中点，连接,则直线两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线分别为，建立如图空间直角坐标系. 则 ， 所以到直线的距离, 故选D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 AB BD ABD 解析： 9. A选项，结合决定系数的公式（其中为样本平均数），故A正确；B选项，，故B正确； C选项，的展开式的通项为，由，解得，的系数为，故C错误； D选项，甲组数据为，方差为，标准差为，则乙组数据的方差为，标准差为，故 D 错误. 故选AB 10. A选项，由已知得,，所以抛物线标准方程为，A错误； B选项，当三点共线时，即，则,代入抛物线标准方程，得,此时切线长＝,B正确； C选项，设，则,又,由， 得=，解得, 所以或,又，所以或，故错误； D选项，根据抛物线的定义，,于是时，点的存在性问题转化成时点的存在性问题. 中点为,中垂线的斜率为, 于是的中垂线方程为：, 与抛物线联立，可得,, 即的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个点，使得, D选项正确 故选BD. 11. A选项，由，， 可得，即， 故,为常数，由，可得， 故，故A正确； B选项，设切点为，设切线斜率为,则， 所以切线方程为, 即， 因为切线过原点，所以 解得，所以， 切线方程为.故B正确； C选项，， 故当时，，当时，,所以在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为， 又，时，, 时，，且时，，时，；当时，，当时，，的解集是，故C错误； D选项，因为， 所以要使恰有2个整数解，则整数解为和，所以，即，化简得，故实数k的取值范围是,故D正确. 故选ABD. 三、填空题：本题共 3小题，每小题5分，共15 分。 12. 13． 14． 解析： 12. 由得， ，其中，，所以，解得 13. 是以为首项， 为公差得等差数列， 令 根据在上单调递减，上单调递减， 又时，，时，，. 14. 由题知，设两对称点为，则直线方程：， 由得：，则，所以且， ① ， 所以， 所以中点，则，所以， 代入①得，即， 解得，所以，所以的范围是. 四、解答题：本题共5小题，共 77分。 15．解：（1）由得，，…………………1分 又是以为首项，为公差的等差数列， …………………2分 ， ………………………………………3分 …………………………………………………4分 ， 综上， ……………………………………………6分 求法一： 设公比为，由………………………………………………8分 求法二: 若,则 ………………………………………………8分 （2） 由（1）知，，……………………………………………………………………10分 （拆项方法二）： ……………………………………………………………………10分 ………………………………………………………………………………13分 16.解：（1）证明：设中点为，连接,则. 又，, 所以, 同理.………………………………………………………………………3分 因为, 所以. 又因为. ……………………………………………………………………5分 （2）取中点为，的中点为,连接,因为为等边三角形， 所以. ( H )因为,.……………6分 因为底面为等腰梯形，分别 是的中点, 所以. 因为两两垂直，以为坐 标原点，分别以所在直线 为建立空间直角坐标系. 则，,……………………………………………………………………8分 因为，所以 所以解得. ………………………………………………………………………………9分 设平面的法向量为，可得, 则，不妨令， 解得，所以得. 同理可得，平面的法向量. …………………………………13分 平面与平面的夹角为， 则. …………………………………………………15分 17. 解：（1）零假设为：元件工作状态与测试环境无关联. 根据列联表中数据，得………………3分 所以依据小概率值的独立性检验，我们推断成立，可以认为元件工作状态与测试环境无关联. ………………………………………………………………………………4分 （2） ①由题意可知，………………………………………………………5分 （法一）的分布列为，………………8分 …………………………………………………………………………10分 （法二） ………………………………………………………8分 则的分布列如下： ……………………………10分 ②当时记系统中正常工作的模块数为随机变量，则…………11分 记时系统的可靠性为，记时系统的可靠性为， 故 …………………………………………………13分 故…………………………………………………14分 故时增加一个模块即，能提高系统的可靠性；…………………………15分 18. 解：（1）由椭圆的离心率为，，可得, …………1分 由题意得,解得或， 则,解得, ………………………………………3分 所以椭圆的标准方程为 ……………………………………………………4分 （2）因为四边形是菱形，所以线段与互相垂直且平分，………………5分 （i）当直线的斜率一个不存在、一个为时, 显然是椭圆的四个顶点， 所以周长，面积，此时；…………………7分 （ii）当直线的斜率均存在且不为时, 下面证明菱形的对角线都过原点： 设，则，， 两式相减整理后得： ① 同理可得 ② …………………9分 显然,当都不为0时， ， 则，与矛盾， 所以必有， 即菱形的对角线都过原点，………………………………………………11分 设直线的方程为 则直线的方程为 由 可得 所以 用 可得,…………………………………………………14分 所以, ， 所以, ………………………………………………………………………………16分 综上所述, 是定值. …………………………………………………………………17分 19.解: （1）当时， ………………………………1分 所以有，…………………………………………………………2分 所以函数在处的切线方程为， 即……………………………………………………………………3分 （2）由题意，令得 ， 因为； 即等价于方程， ，即等价于方程， 整理得，即. 设，则……………………………………………………5分 设，则………………………………………………………6分 当时，，则， 结合图像可得存在唯一的 使得 当，恒成立，则在上单调递减， 当，恒成立，则在上单调递增， 又， …………………………………………8分 综上：当时，的零点个数为， 当时，的零点个数为. …………………………………………9分 （3）当时，， 则 令，得，即， 又，则存在唯一的，使得 且 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 又， 要使且，必有， 则必有…………………………………………………………………………11分 ①先证：. ，且在上单调递减， 要证 只需证即可，又， 故只需证对恒成立即可， 只需证 而， 只需证，即只需证对恒成立即可，这显然成立， 故有； …………………………………………………………………………14分 ②再证：. 必有， 又当时，在上单调递减，则有. 而当时，， 令， 则 令，等价于，方程有唯一解，记为，且， 则在上单调递减，在上单调递增， 又， 即当时，必有，与题意不符， 所以要使，且，必有， 综合①②可得： ……………………………………………17分 2026年高考适应性训练数学（一）参考答案 第1页（共18页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷类型:A 2026年高考适应性训练 数 学 试 题 （一） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1. 已知集合，则 A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应点的坐标为 A. B. C. D. 3. 名同学站成一排拍照，其中甲、乙两人必须相邻，则不同排法种数为 A.   B. C.   D. 4. 已知角的终边与圆交于点，则 A. B. C. D. 5. 已知函数的图象经过定点，若 当满足时，代数式的最小值是 A. B. C. D. 6. 已知中，角所对的边分别为， 若，，则 A. B. C. D. 7. 已知与的图像依次交于三点，且恒有，则 A. B. C. D. 8. 如图直四棱柱的各棱长均为，且. 动点在侧面 内（不含边界）， 满足与平面所成角为，当点在面对角线 上时，记作，则到直线的距离为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 以下说法正确的是 A. 决定系数越大，残差平方和占比越小，模型拟合效果越好 B. 已知随机变量 X 服从正态分布 ，且 ，则 C. 的展开式中的系数为 D. 甲组数据为，标准差为，则乙组数据 标准差为 10. 已知抛物线的准线方程为，点在抛物线上, 过点作圆的一条切线，为切点．过作的垂线，垂足为. 则以下说法正确的是 A. 抛物线的标准方程为 B. 当三点共线时， C. 当时，直线的斜率为或 D. 满足的点有且仅有个 11. 已知函数的定义域为，为的导函数，满足 且，则以下结论正确的是 A. B. 过原点且与相切的直线方程为 C. 不等式的解集是 D. 若恰有两个整数解，则的取值范围是 三、填空题：本题共 3小题，每小题5分，共15 分。 12. 已知向量与的夹角为，且满足，，若，则实数的值为 ． 13. 与的公共项从小到大构成新数列，则的最小项 为______. 14. 若双曲线上存在两点关于直线对称，则双曲线离心率的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 已知数列前项和分别为， ，为等比数列且 （1）求、； （2）求数列的前项和. 16.（15分） 如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，且， , 与之间的距离为. 侧面为等边三角形，点分别是 的中点，平面平面. （1）求证：平面； （2）若,求平面与平面夹角余弦值. 17.（15分） 为响应“书香校园”建设，某校图书馆引入了一套智慧自助借还系统，该系统内置个智能识别模块. 每个模块在日常使用环境下正常工作的概率为，各模块工作状态相互独立. （1）该图书馆从某批次智能识别模块中随机抽取了个，在“日常校园环境”和“高温潮湿仓库环境”下测试其工作状态，得到如下列联表： 正常工作 故障 合计 日常校园环境 高温潮湿仓库环境 合计 请根据小概率值独立性检验，能否认为元件工作状态与测试环境有关联？ 附：，. （2）当时，系统中正常工作的模块个数为随机变量，回答以下问题： （i） 求的分布列及数学期望； （ii） 若有超过一半的模块正常工作，则系统正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性. 为改善时系统的可靠性，能否通过增加一个智能识别模块（即）提高系统的可靠性？请给出你的结论并证明. 18.（17分） 已知椭圆的离心率为，斜率为的直线过原点且与椭圆相交所得弦长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆的内接四边形为菱形， 且该四边形的周长为, 面积为, 判断是否为定值，若是求出该定值，否则说明理由. 19.（17分） 已知函数. 其中 （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）当时，讨论的零点个数； （3）当时，设，若，满足，证明：. 2026年高考适应性训练数学（一）试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $