精品解析：甘肃兰州市第五十一中学2027届高三上学期10月阶段性测试数学试卷

兰州市第五十一中学2027届高三10月阶段性测试试卷 数学 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式求集合A，再根据指数函数性质求集合B，进而求交集. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：D. 2. 已知复数，则z的虚部为（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘除法的运算性质计算出结果，找到的虚部即可. 【详解】因为，所以的虚部为. 故选：A. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用“齐次式”，即可求解. 【详解】因为，则， 故选：D. 4. 已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，以下判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间线线，线面，面面的位置关系逐项判断即可结论. 【详解】若，则或或或，故A错误； 若，则或，故B错误； 若，在内作，所以，又，所以， 又，所以，所以，故C正确； 若，则或或为异面直线，故D错误. 故选：C. 5. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据是定义在上的奇函数，由求解． 【详解】由题知，，因为是定义在上的奇函数， 所以． 故选：D． 6. 若甲､乙､丙､丁､戊随机站成一排，则甲､乙不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出所有排列情况，再求出甲乙相邻的排列情况，用总排列情况减去甲乙相邻的排列情况得到甲乙不相邻的情况，最后根据古典概型概率公式计算概率. 【详解】5个人随机排成一排的总排列数为：种. 将甲乙看成一个整体（捆绑法），此时相当于有4个人随机排列，排列数为， 而甲乙两人之间又有种排列顺序. 根据分步乘法计数原理，甲乙相邻的排列数为：种. 所以，甲乙不相邻的排列数为种. 根据古典概型概率公式可得，甲乙不相邻的概率为：. 故选：A. 7. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在中，，由正弦定理得，则， 由余弦定理得， 则有，所以. 8. 已知直线为圆在处的切线，若直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过直线与圆相切，求得切线方程，进而求得，即可求解. 【详解】设切线斜率为，由圆的性质可知：， 解得：， 可得切线方程：， 由可得：，令，可得， 由题意可知：， 所以， 所以， 故选：A 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，正方形的是边长为2，E，F分别是边，的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立直角坐标系，求出各点的坐标，利用向量逐项判断 【详解】如图建立直角坐标系， 则, 所以，故A错， ，故B对； ，故C对； ，故D对； 故选：BCD 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且双曲线C的两条渐近线的夹角为θ，若（e为双曲线C的离心率），则（ ） A. B. 双曲线C的一条渐近线的斜率为 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】求得双曲线的焦点，渐近线方程，结合离心率公式，对选项判断可得结论． 【详解】由题知，，所以双曲线的焦点，，， 由，可得，故A正确，C错误； 由双曲线的渐近线方程，则两条渐近线的倾斜角为，， 故两渐近线的夹角为，可得，故BD正确． 故选：ABD． 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 在区间上的值域为 D. 若的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式为，利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；利用正弦型函数的值域可判断C选项；利用三角函数图象变换及正弦型函数的对称性可判断D选项. 【详解】因为 ， 对于A选项，函数的最小正周期为，A错； 对于B选项，因为，故的图象关于点对称，B对； 对于C选项，当时，，则， 所以，， 故在区间上的值域为，C对； 对于D选项，若的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称， 即函数为偶函数， 故，解得， 因为，故当时，取最小值，D对. 故选：BCD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若的展开式中的系数为，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式的通项，令，求出，再代入计算即可得解. 【详解】因为展开式的通项为（且）， 令，解得，所以，解得. 故答案为： 13. 已知一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为________. 【答案】## 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，根据题意，求得，进而求得圆锥的母线与底面所成角，得到答案. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 因为圆锥的侧面积是底面面积的2倍，可得，所以， 设该圆锥的母线与底面所成角为，则， 因为，所以. 故答案为：. 14. 已知函数在时取极小值，则其导函数的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导函数在极值点处导数为零，即，求出的值，利用基本不等式求最值. 【详解】，， ， 因为在处取极小值，所以， 则 ，解得，解得， 当时，，， ，解得，解得或， ，解得，解得， 则在上是单调递增函数，在上是单调递减函数， 则在时取极小值，故， 将代入得到， 因为，所以，则， 当且仅当，即时取等号， 因此. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在四棱锥中，平面为AD的中点． （1）证明：平面平面PAC； （2）求PB与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】（1） 因为平面平面ABCD，所以， 连接EC，由， 故四边形ABCE是正方形，故， 因为，PA，平面PAC，所以平面PAC， 因为平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAC； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，结合可得平面PAC，从而可得平面平面PAC； （2）以A为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，求出求PB的方向向量以及平面PCD的法向量，根据空间向量夹角公式即可求出PB与平面PCD所成角的正弦值 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以A为原点，以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面PCD的法向量为， 则有，即， 可取，设PB与平面PCD所成角为， 则， 所以PB与平面PCD所成角的正弦值为． 16. 已知数列中，，且对任意的，，都有． （1）设，求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 依题意，对任意的，，都有，又， 则对任意的，，，所以数列是公差为2的等差数列， 又，，所以，解得，故，所以； 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以当时，， 故． 17. 已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若函数有极小值，且极小值不大于0，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意计算，结合导数的几何意义求切线方程即可； （2）先求导得，分和讨论单调性，求出极小值为，再根据题意得，构造新函数，利用函数单调性确定的范围即可. 【小问1详解】 求曲线在处的切线方程： 当时，． 对求导，可得． 把代入和． 切线方程的点斜式为（其中为切点坐标，为切线斜率）， 所以切线方程为，即． 【小问2详解】 对求导得． 当时，，则在上单调递增，无极值，不符合题意． 当时，令，即，解得． 当时，单调递减； 当时，，单调递增． 所以在处取得极小值，． 因为的极小值不大于0，即． 令，对求导得． 令，解得． 当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以在处取得最大值． 且当或时，， 因此对于，均有 所以实数的取值范围是． 18. 为庆祝“十一”国庆节，某校举办“十一”文艺汇演活动，本次汇演共有40个参赛节目，经现场评委评分，分成六组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组，得到如下频率分布直方图： （1）估计评分在区间的节目频数； （2）若评分结束后只对所有评分在区间的节目进行评奖（每个节目都能获奖，只有一等奖和二等奖），其中每个节目获评为一等奖的概率为p（），获评为二等奖的概率为，每个节目的评奖结果相互独立． （ⅰ）设参评节目中恰有2个一等奖的概率为，求的极大值点； （ⅱ）以（ⅰ）中作为p的值，若对这部分评奖节目进行奖励，已知一等奖节目奖金为500元，若要使得总奖金期望不超过1400元，请估计二等奖奖金的最大值． 【答案】（1）6 （2）（ⅰ）；（ⅱ）二等奖奖金的最大值为100元 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求出评分在区间的节目频率，再用总数乘以频率得到频数. （2）（ⅰ）表示出，通过导数求的极大值点； （ⅱ）设获得一等奖的节目数为随机变量X，总奖金为Y，则，求出后根据数学期望的性质求， 再根据解不等式即可得到二等奖奖金的最大值. 【小问1详解】 因为评分为的节目的频率为， 所以评分在的节目频数为； 【小问2详解】 （ⅰ）因为评分在的节目的频数为6，所以， 所以，， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当时，取得极大值，所以的极大值点为； （ⅱ）设获得一等奖的节目数为随机变量X，总奖金为Y， 易知，所以， 设二等奖奖金为a元，则， 所以，解得， 所以二等奖奖金的最大值为100元． 19. 已知为抛物线的焦点，点满足，其中为坐标原点，过的直线交于A.B两点，点在第一象限，过点作直线AB的垂线，交轴正半轴于点，直线BC交直线AM于点．记的面积分别为． （1）求的准线方程； （2）证明：； （3）求的最小值及此时点的坐标． 【答案】（1） （2）证明：如下图所示： 设直线，否则直线轴，不合题意)， 联立消元得， 设，则， 由抛物线定义有， 则，问题得证． （3）最小值， 【解析】 【分析】（1）根据列出关于的方程，即可求解； （2）设直线，与抛物线方程联立得出韦达定理，再根据抛物线焦半径公式即可证明； （3）令，则，即，求出，进而得出，根据导数即可求解最小值及点的坐标． 【小问1详解】 点满足，则，解得． 故，准线方程：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 易知直线的斜率一定存在，如下图： 不妨令，则，代入抛物线方程可得，即， 由于，且直线AB的斜率， 故直线，即， 令，则得点的横坐标为， 由可得直线， 联立，解得点纵坐标， 因此， ， 记， 则 . 因为当时，， 所以时，时，， 故在区间上单调递减，在上单调递增， 因此当时，取到最小值，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市第五十一中学2027届高三10月阶段性测试试卷 数学 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则z的虚部为（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，以下判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若甲､乙､丙､丁､戊随机站成一排，则甲､乙不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线为圆在处的切线，若直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，正方形的是边长为2，E，F分别是边，的中点，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且双曲线C的两条渐近线的夹角为θ，若（e为双曲线C的离心率），则（ ） A. B. 双曲线C的一条渐近线的斜率为 C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 在区间上的值域为 D. 若的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若的展开式中的系数为，则_________ 13. 已知一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为________. 14. 已知函数在时取极小值，则其导函数的最小值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在四棱锥中，平面为AD的中点． （1）证明：平面平面PAC； （2）求PB与平面PCD所成角的正弦值． 16. 已知数列中，，且对任意的，，都有． （1）设，求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 17. 已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若函数有极小值，且极小值不大于0，求实数的取值范围． 18. 为庆祝“十一”国庆节，某校举办“十一”文艺汇演活动，本次汇演共有40个参赛节目，经现场评委评分，分成六组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组，得到如下频率分布直方图： （1）估计评分在区间的节目频数； （2）若评分结束后只对所有评分在区间的节目进行评奖（每个节目都能获奖，只有一等奖和二等奖），其中每个节目获评为一等奖的概率为p（），获评为二等奖的概率为，每个节目的评奖结果相互独立． （ⅰ）设参评节目中恰有2个一等奖的概率为，求的极大值点； （ⅱ）以（ⅰ）中作为p的值，若对这部分评奖节目进行奖励，已知一等奖节目奖金为500元，若要使得总奖金期望不超过1400元，请估计二等奖奖金的最大值． 19. 已知为抛物线的焦点，点满足，其中为坐标原点，过的直线交于A.B两点，点在第一象限，过点作直线AB的垂线，交轴正半轴于点，直线BC交直线AM于点．记的面积分别为． （1）求的准线方程； （2）证明：； （3）求的最小值及此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $