精品解析：天津市第二中学2025-2026学年第二学期高二年级5月月考数学试卷

2025-2026（二）天津二中高二年级第二次月考 数学学科试卷 一、选择题：本大题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 如图，已知圆M和圆N的半径均为1，且两圆相切．Q为圆M上一点，满足，则两阴影扇形弧长之和为（ ） A. B. C. D. 3. 平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则（ ） A. B. C. 0 D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在处取得极小值 D. 在处取得极大值 6. 某科技公司研发了一款新型智能芯片，其生产过程中的良品率稳定在．为评估该芯片的性能，质检部门从一批芯片中随机抽取了个芯片进行测试，记测试结果为良品的芯片数量为随机变量．已知的数学期望，方差．若从这批芯片中再随机抽取2个芯片，则这2个芯片中恰好有1个是良品的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，若，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 8. 下列说法正确的有（    ） A. 成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数r的值越接近于1 B. 随机变量X服从正态分布，，若，则 C. 由两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断X，Y独立 D. 已知关于x的经验回归方程为，则样本点的残差为 9. 集合中所有元素之和记作，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．答案填在题中横线上． 10. 的展开式中的常数项为__________． 11. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数________． 12. 芡实俗称“鸡头米”，是一种不可多得的养生良品，其通过开发可以产出芡实酒．已知A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的，不合格率分别为，现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为_____；若该瓶芡实酒是不合格品，则该瓶酒是B厂生产的概率为_____． 13. 记的面积为，的外接圆半径为，且，则为____． 14. 学校图书阅览室订阅了不同的语文和数学杂志共7本，其中数学杂志不少于3本.一学生从中任意借阅2本杂志.若至多有1本语文杂志的概率为，则数学杂志有______本；若借阅的语文杂志数量的期望为，则数学杂志有______本． 15. 设函数 ①若，则的零点个数为__________； ②若有且仅有两个零点，则实数的范围是__________. 三、解答题：本大题共3小题，共45分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，． （1）求角的大小； （2）求的面积； （3）求的值． 17. 已知直三棱柱中，，点M、N分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求与平面BCN夹角的正弦值； （3）求三棱锥的体积． 18. 已知函数（，是自然对数的底数，）． （1）当时，求函数的极值； （2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； （3）若函数有两个极值点，且，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026（二）天津二中高二年级第二次月考 数学学科试卷 一、选择题：本大题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】在区间内，正弦值为的角有两个：， 余弦值为的角只有一个：， 若，则可能为或，当时，，因此充分性不成立. 若，则，此时，因此必要性成立. 2. 如图，已知圆M和圆N的半径均为1，且两圆相切．Q为圆M上一点，满足，则两阴影扇形弧长之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定两圆圆心距，结合垂直条件推导两个扇形的圆心角的大小，再代入公式计算弧长. 【详解】∵ 圆和圆的半径均为，且两圆相切， ∴ 圆心距. ∵ 为圆上一点， ∴ . ∵ ， ∴ ，即为直角三角形. 在中，，， ∴ ， ∴ ， ∴ . ∵ 扇形弧长公式（为圆心角弧度数，为扇形半径），两阴影扇形半径均为1， ∴ 两阴影扇形弧长之和为. 3. 平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题设，同理， 所以 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以， ． 5. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 处取得极小值 D. 在处取得极大值 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象判断的单调性和正负，再根据的单调性与的正负的关系判断的单调性及极值可得答案. 【详解】由图可知， 当时，，所以在区间上单调递减，故AC错误； 根据图象，在区间上单调递增，B错误； 在区间上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，D正确； 故选：D. 6. 某科技公司研发了一款新型智能芯片，其生产过程中的良品率稳定在．为评估该芯片的性能，质检部门从一批芯片中随机抽取了个芯片进行测试，记测试结果为良品的芯片数量为随机变量．已知的数学期望，方差．若从这批芯片中再随机抽取2个芯片，则这2个芯片中恰好有1个是良品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用二项分布的数学期望及方差得出，再应用二项分布概率计算求解. 【详解】由题意得，因为，解得． 从这批芯片中再随机抽取2个，恰有1个良品的概率为． 7. 在中，若，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角恒等变换，判断三角形的形状. 【详解】由, 所以：. 因为为三角形内角，所以. 所以为等腰三角形. 故选：A 8. 下列说法正确的有（    ） A. 成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数r的值越接近于1 B. 随机变量X服从正态分布，，若，则 C. 由两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断X，Y独立 D. 已知关于x的经验回归方程为，则样本点的残差为 【答案】D 【解析】 【分析】对于A,根据样本相关系数的意义可判断；对于B,根据正态分布对称性即可判断；对于C, 利用独立性检验的意义可判断；对于D，由残差公式即可判断. 【详解】对于A, 当两个变量是正相关时，相关系数越接近于1，当两个变量是负相关时，相关系数越接近于，故A错误; 对于B，随机变量X服从正态分布，， 若，则，根据正态分布对称性可知，，故B错误； 对于C, 两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到， 由，说明在的显著水平下，拒绝与相互独立的假设，故C错误; 对于D, 当时，，由残差等于实际值减去预测值，即，故正确. 9. 集合中所有元素之和记作，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，求得，得到的单调性，结合和，得到在和上各有一个零点，得到零点的范围，结合对数的运算，即可求解. 【详解】令函数，其定义域为，可得， 当时，，在区间上单调递增； 当时，，在区间上在单调递减， 所以当时，函数取得极大值，也是最大值， 又因为， 根据零点存在性定理得，函数在和上各有一个零点， 即集合中有两个元素，且， 因为，即， 两式相加，可得，即， 因为，可得，所以， 所以，所以. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．答案填在题中横线上． 10. 的展开式中的常数项为__________． 【答案】 【解析】 【详解】展开式的通项， 由，得，所以所求常数项为. 11. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数________． 【答案】## 【解析】 【分析】对函数求导数，然后根据切线与已知直线垂直建立方程求解即可. 【详解】因为直线的斜率为：， 又曲线在点处的切线与直线垂直， 所以曲线在点处的切线的斜率为：， 由，则， 所以，解得：. 12. 芡实俗称“鸡头米”，是一种不可多得的养生良品，其通过开发可以产出芡实酒．已知A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的，不合格率分别为，现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为_____；若该瓶芡实酒是不合格品，则该瓶酒是B厂生产的概率为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设事件D表示“任取一瓶是不合格品”，事件A表示“产品A厂生产的”，事件B表示“产品B厂生产的”，事件C表示“产品C厂生产的”，根据题意，第一个空，利用全概率公式，由求解，第二个空，利用贝叶斯公式求解； 【详解】设事件D表示“任取一瓶是不合格品”，事件A表示“产品A厂生产的”，事件B表示“产品B厂生产的”，事件C表示“产品C厂生产的”， 因为A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的， 所以， 因为A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，不合格率分别为， 所以不合格率分别为， 现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为： ， ； 由贝叶斯公式得：， 故答案为：， 13. 记的面积为，的外接圆半径为，且，则为____． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由正弦定理把已知等式中的角用边表示，再结合余弦定理和三角形面积公式求解. 【详解】， 由正弦定理， ，代入上式得： ，所以， 又，，所以，所以. 14. 学校图书阅览室订阅了不同的语文和数学杂志共7本，其中数学杂志不少于3本.一学生从中任意借阅2本杂志.若至多有1本语文杂志的概率为，则数学杂志有______本；若借阅的语文杂志数量的期望为，则数学杂志有______本． 【答案】 ①. 5 ②. 4 【解析】 【分析】（1）表示出事件“借阅2本杂志，至多有1本语文杂志的”的概率，利用该事件的概率为，可求数学杂志的数量. （2）设借阅2本杂志中，语文杂志的数量为，列出的分布列，求出期望，根据期望等于，可求数学杂志的数量. 【详解】设数学杂志有本，则借阅2本杂志，至多有1本语文杂志的概率为，解得； 设数学杂志有本，取得语文杂志的数量为，则取， 且，，， 所以，解得． 故答案为：5；4. 15. 设函数 ①若，则的零点个数为__________； ②若有且仅有两个零点，则实数的范围是__________. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】分析每一段函数的零点情况，再结合函数的性质进行求解. 【详解】① 当时，， 当时，，解得， 所以在上有1个零点， 当时，，， 令，即，因为恒成立， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则在处取得极小值，也是最小值， 得到， 所以在上恒成立，所以总零点个数为， ② 当时，令，解得， 要使在上有零点，则， 当时，令，即， 设，求导得， 令，因为恒成立， 所以，解得：， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则在处取得极小值，也最小值， 则，当时，， 当时，， 要使在上有一个零点，则， 结合，的范围是. 三、解答题：本大题共3小题，共45分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，． （1）求角的大小； （2）求的面积； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理把比角化边，再由余弦定理求解角B的余弦值，从而得到角B的大小；（2）由三角形的面积公式求解；（3）先利用二倍角公式求解，再由两角差的正弦公式求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 所以，即． 又由余弦定理得， 又，所以． 【小问2详解】 因为，， 由余弦定理得，解得， 所以． 【小问3详解】 由余弦定理得，所以． 所以，． 所以 ． 17. 已知直三棱柱中，，点M、N分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求与平面BCN夹角的正弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理求解； （2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，由求解； （3）先求点到平面BCN的距离为，再由三棱锥体积公式求解. 【小问1详解】 连接，， 四边形为矩形，为的中点， 与交于点，为的中点， 又N为的中点，， 又平面，且平面， 平面. 【小问2详解】 由已知，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 因为平面即平面，，， ， 取，则，从而， 设所求线面角为，， ， 所以与平面夹角的正弦值为. 【小问3详解】 设点到平面的距离为，， ， 已知，则， 所以 . 18. 已知函数（，是自然对数的底数，）． （1）当时，求函数的极值； （2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； （3）若函数有两个极值点，且，求的最大值． 【答案】（1）， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到，与的关系表，从而得到函数的极值点，计算可得； （2）令，求出函数的导函数，依题意在上恒成立，即可得到不等式组，解得即可； （3）求出的导函数，依题意在上有两个不等实根，令，则在上有两个不等实根、，求出函数的导函数，结合零点存在性定理得到且，即可得到，再由导数说明函数的单调性，即可求出的最大值； 【小问1详解】 解：当时， 令，解得，， 所以，与的关系如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以当时，函数取得极大值，即， 当时，函数取得极小值，即； 【小问2详解】 解：因为， 所以 令， 则 依题意在上恒成立， 令，则，解得 【小问3详解】 解：因为，即， 则， 因为在上有两个极值点， 即在上有两个不等实根， 即在上有两个不等实根、， 因为， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 则，所以，解得， 所以， 所以和上各有一个实根， 所以函数在上有两个极值点时，并且， 因为， 所以， 令，则， 当时，，单调递减， 因为，所以，即 则 因为且，所以满足题意的整数的最大值为； 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $