天津市第二中学2025-2026学年第二学期高二年级5月月考数学试卷

2025-2026(二)天津二中高二年级第二次月考 数学学科试卷 一、选择题：本大题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的、 1.设ae(0,),则“na=5”是“cosa=”的（） 2 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.如图，已知圆M和圆N的半径均为1，且两圆相切.Q为圆M上一点，满足QM⊥QN,则 两阴影扇形弧长之和为() A. 3 B C. 2元 D.π 3.平面直角坐标系中，若角a的终边经过点(4，-3)，角B的终边经过点(6,8)，则cos(α-)=() A.-1 B.-24 4 25 D25 4.已知tana=3,则 sin吗+a -=（) s如a-+sm受。 a） A.-2 B.1 2 c D.2 高.二（数学）第1页共4页 5.已知函数f(x)的导函数y=∫(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是（) A.f(x)在区间(-1,1)上单调递增 B.f'(x)在区间(-1,1)上单调递减 C.f'(x)在x=1处取得极大值 D.∫(x)在x=1处取得极小值 6.某科技公司研发了一款新型智能芯片，其生产过程中的良品率稳定在P.为评估该芯片的性能， 质检部门从一批芯片中随机抽取了个芯片进行测试，记测试结果为良品的芯片数量为随机变量 X,己知X的数学期望E(X)=12,方差D(X)=3.若从这批芯片中再随机抽取2个芯片，则这 2个芯片中恰好有1个是良品的概率为() A B C. 3 4 D. 7.在AMBC中，若sisinC=cos,则△ABC一定是() A.等腰三角形B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 8.下列说法正确的有() A.成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数r的值越接近于1 B.随机变量X服从正态分布N(1,o2),P(X>1.5)=0.34,若P(X<a)=0.34,则a=-0.5 C.由两个分类变量X,Y的成对样本数据计算得到x2=8.612,依据a=0.005的独立性检验 (x.o5=7.879),可判断X,Y独立 D.已知y关于x的经验回归方程为y=0.3-0.7x,则样本点(3,4)的残差为-22 高一（数学)第2页共4页 9.案合M=x-+1-0 中所有元素之和记作M,则() A.M=2 B.MK2 C.M=2e D.M>2e 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.答案填在题中横线上. 0.-是 '的展开式中的常数项为 11.若曲线y= -nx+“在点仙，a)处的切线与直线1：2x-y+5=0垂直，则实数a= 12.芡实俗称“鸡头米”，是一种不可多得的养生良品，其通过开发可以产出芡实酒.已知A,B, Q三家酒厂同时生产一获实酒，虹量分别占总星的宁号。不合格率分别为名。分 现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为 ；若该瓶芡实酒是不合 格品，则该瓶酒是B厂生产的概率为 13.记△ABC的面积为S,△ABC的外接圆半径为1，且2S=sin2A+cos2B-cos2C,则tanB为 14.学校图书阅览室订阅了不同的语文和数学杂志共7本，其中数学杂志不少于3本.一学生从中 20 任意借阅2本杂志若至多有1本语文杂志的概率为 则数学杂志有本：若借阅的语文 6 杂志数量的期望为二，则数学杂志有 本 15.设函数f(x)= xe'+a,x<l ①若a=1,则f(x)的零点个数为 a-xx≥1， ②若f(x)有且 仅有两个零点，则实数a的范围是 高二（数学）第3页共4页 三、解答题：本大题共3小题，共45分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.一 16.（本小题满分14分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C. 已知c+b=5sinC-sin4,b=万，a=2N5e. a sin C-sin B (1)求角B的大小： (2)求△ABC的面积： (3)求sin(B-2A)的值. 17.（本小题满分15分)已知直三棱柱ABC-AB'C'中，∠BAC=90°，AB=1,AC=2,AA=√5， 点M,N分别为A'B,B'C的中点. B (I)求证：MN∥平面AACC; (2)求A'N与平面BCN夹角的正弦值： (3)求三棱锥C-MNB的体积. 18.(本小题满分16分)已知函数f(x)=[x2+(a-5)x-4a+5]e(aeR,e是自然对数的底数， e≈2.718…). (1)当a=1时，·求函数f(x)的极值； (2)若函数y=f'(x)在区间[1,2]上单调递减，求实数a的取值范围； (③)若函数g(x)=-+b6∈Z有两个极值点，0<x<西)，且g(:)<0,求6的最 x x2+ax 大值. 2025-2026(二)天津二中高二年级第二次月考数学学科试卷答案 一、选择题：本大题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， ,设a∈0，，则sina=3是"cosa号 =的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】已知ae0列，若i如a=5,则可得a=或a2红 2 3 3 1 当a时，cosa2当a时，osa三2 3 因此由sina= 无法推出cosa=2' 1 2 所以“sina= 是“cosa=2 ”的不充分条件： 2 已知aE0,,若cosa三，则a=,此时smaV3 3 2 因此由cosa=。可以推出sina= 2 所以“sina= 5是“cosa=)的必要条件， 2 综上，“sina= 5是“cosa=}的必要不充分条件. 2.如图，已知圆M和圆N的半径均为1，且两圆相切.Q为圆M上一点，满足QM⊥QW,则两阴影扇 形弧长之和为() A c号 D.元 【答案】B 【详解】，圆M和圆N的半径均为1，且两圆相切， ∴.圆心距MW=1+1=2 Q为圆M上一点， ∴.QM=1 .QM⊥QN, 试卷第1页，共12页 ∴.∠MQN=90°，即aMQN为直角三角形. 在RtAMON中，MN=2,OM=1, ·sin∠Mwg=M=1 MN 2' ·∠Mwg=E 61 、∠QMN=T-T=π 2631 ,扇形弧长公式为l=or(a为圆心角弧度数，r为扇形半径)，两阴影扇形半径均为1， ·两阴影扇形驱长之和为1+骨×1-号 6 3 3.平面直角坐标系中，若角a的终边经过点(4，-3)，角B的终边经过点(6,8)，则cos(a-)=() B. 24 C.0 D. 24 A.-1 25 25 【答案】C -3 3 4 【详解】由题设sina V4+(-3 4+3)5,同理sinB=4cos日=3 所以eosa-)=+inas血B=手号(}0. 2 4.已知tana=3,则 =() A.-2 B.- C. D.2 【答案】C 【详解】因为tana=3,所以cosa≠0， sin+a 2 cosa 1 11 sin(π-a)+sin 30 sina-cosa tana-1 3-1 2' 2 5.已知函数f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是() A.f(x)在区间(-1,1)上单调递增 B.'(x)在区间(-1,1)上单调递减 试卷第2页，共12页 C.f'(x)在x=1处取得极大值 D.f(x)在x=1处取得极小值 【答案】C 【详解】由题意，x≥-2时，f(x)≤0，f(x)单调递减，AD均错：由'(x)的图象知f'(x)在(-1，)上单调 递增，在(1，+o)上单调递减，x=1是其极大值点，C正确，D错误 6.某科技公司研发了一款新型智能芯片，其生产过程中的良品率稳定在P.为评估该芯片的性能，质检 部门从一批芯片中随机抽取了n个芯片进行测试，记测试结果为良品的芯片数量为随机变量X.已知X的 数学期望E(X)=12,方差D(X)=3.若从这批芯片中再随机抽取2个芯片，则这2个芯片中恰好有1个 是良品的概率为() A.4 B.3 C.3 4 D. 【答案】B 【详解】由题意得X~P叭.因为p=2m-p)-3,解得p-子n=16。 313 从这批芯片中再随机抽取2个，恰有1个良品的概率为P=C2p(1-p)=2××二 448 7.在△1BC中，若sin BsinC=cos号，则aABC一定是() A.等腰三角形B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 【答案】A 【详解】由sin Bsin C=cos24→sin Bsin C=+cosA→2 sin Bsin C=l-cos(B+C), 2 所以：cos BcosC+sin BsinC=l→cos(B-C)=l. 因为B,C为三角形内角，所以B=C. 所以△ABC为等腰三角形 故选：A 8.下列说法正确的有() A.成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数r的值越接近于1 B.随机变量X服从正态分布N(1,o2),P(X>1.5)=0.34,若P(X<a)=0.34,则a=o.5 C.由两个分类变量X,Y的成对样本数据计算得到x2=8.612,依据=0.005的独立性检验 （x.o5=7.879),可判断X,Y独立 D.已知y关于x的经验回归方程为y=0.3-0.7x,则样本点(3，-4)的残差为-2.2 试卷第3页，共12页 【答案】D 【详解】对于A,当两个变量是正相关时，相关系数越接近于1，当两个变量是负相关时，相关系数越接 近于-1，故A错误； 对于B,随机变量X服从正态分布N(1,o2),P(X>1.5)=0.34, 若P(X<)=0,34,则PX>1,5=PX<a),根据正态分布对称性可知5+a-,a=05,故B错误： 2 对于C,两个分类变量X,Y的成对样本数据计算得到x2=8.612, 由X2=8.612>7.879=x5,说明在a=0.005的显著水平下，拒绝X与Y相互独立的假设，故C错误； 对于D,当x=3时，y=0.3-0.7×3=-1.8,由残差等于实际值减去预测值，即-4-(-1.8)=-2.2，故正确. 9.集合M -+1=0中所有元素之和记作M,则(） e A.|M=2 B.MK<2 C.M=2e D.M>2e 【答案】D 【详解】令函数f()=l血x-+1,其定义域为0，+o),可得f()=-ex】 e x e ex 当0<x<e时，f'(x)>0,f(x)在区间(0，e)上单调递增： 当x>e时，f'(x)<0,f(x)在区间(e,+o)上在单调递减， 所以当x=e时，函数f(x)取得极大值，也是最大值f(e)=lne-°+1=1>0， 根据零点存在性定理得，函数f(x)在(，e和(e2,+)上各有一个零点， 即集合M中有两个元素x,x2,且二<x<C,x2>e2, e 因为f(x)=f(x)=0,即1nx-+1=0,1n5-点+1=0， 两式相加，可得n(x)+龙+2=0，即x+x=en(,)+2), 因为。<<c>e,可得h1<ln(x),所以h,)>0, 所以x+x2>e(0+2)=2e,所以M>2e. 试卷第4页，共12页 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.答案填在题中横线上. 0.的展开式中的常数项) 【答案】-80 【详解】(Wx- 展开式的通项工=CNx'(广=(-2C,r 由5，=0，得，=3，所以所求常数项为I=(-2C:=-80. 26 11,若曲线y=1nx十a在点(，a处的切线与直线：2x-y十5=0垂直，则实数a= 解析：因为y1一nx一0，所以尚线y-血+“在点，处的切线的斜奉为=1=1-a,直线 x2 3 1的斜率k2=2,由切线与直线1垂直知kk2=-1,即2(1-@)=-1，解得a= 12.芡实俗称“鸡头米”，是一种不可多得的养生良品，其通过开发可以产出芡实酒.已知A,B,C三家酒 厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的 6，不合格幸分别为石0写，现以这产品中任取 111 瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为：若该瓶芡实酒是不合格品，则该瓶酒是B厂生产的概率为 【答案】 1 1 10 3 【详解】设事件D表示“任取一瓶是不合格品”，事件A表示“产品A厂生产的”，事件B表示“产品B厂生 产的”，事件C表示“产品C厂生产的”， 因为A,B,C三家酒厂同时生产一批茨实酒，加工量分别占总量的236， .111 所以P(4)5P()-PC)名 因为A,B,C三家酒厂同时生产一批芡实酒，不合格率分别为15105” 111 所以不合格率分别为P(D4利=店P(D)=OPDC)-写 现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为： P(D)=P(A)P(D A)+P(B)P(D B)+P(C)P(D C), =x+x+x是1 2153106510 11 由贝叶斯公式得：P(B1D)=P(B)P(DB_3×10-1, P(D) 0.13 故答案为：人，} 10’3 13.记△ABC的面积为S,△ABC的外接圆半径为1，且2S=sin2A+cos2B-cos2C,则tanB为. 试卷第5页，共12页 【答案】05 【详解】2S=sin2A+cos2B-cos2C=sin2A+1-sin2B-1-sin2C)=sin2A+sin2C-sinm2B, 由正弦定理a=b。c =2R=2, sinA sinB sinC b sim4-号sm8-名mC=分代入上式得： 2S-￠+g公，所以8s=a2+c2-6, 444 又a+e2-公-2acos日，S=aesinB,所以8 acsin B=2 eco,所以amB=2 1 2.学校图书阅览室订阅了不同的语文和数学杂志共7本，其中数学杂志不少于3本.一学生从中任意借阅 2本杂志若至多有1本语文杂志的概率为0 则数学杂志有 1 本：若借阅的语文杂志数量的期望为， 则数学杂志有本。 【答案】 5 4 【详解】设数学杂志有n本，则借阅2本衣杂志，至多有1本语文杂志的概率为P=1之-，解得刀 设数学杂志有n本，取得语文杂志的数量为X,则X取0,1,2， ax--号x=-答，x-会 C? 所以Ex)=0xa,少+1x7-n2×-n6-m）5,解得n=4. 42 21 427 故答案为：5：4. xe*+a,x<1 15.设函数f(x)= a-x,x≥1 ①若a=1,则f(x)的零点个数为 ②若f(x)有且仅有两个零点，则实数a的范围是 【答案】 xe*+1,x<1 【详解】①当a=1时，f(x)= 1-x,x≥1’ 当x之1时，f(x)=1-x=0,解得x=1, 所以f(x)在[1，+∞)上有1个零点， 试卷第6页，共12页 当x<1时，f(x)=xe*+1,f'(x)=e(1+x), 令'(x)=0,即(x+1)e=0,因为e>0恒成立， 所以当x<-1时，f'(x)<0,f(x)单调递减， 当-1<x<1时，'(x)>0,f(x)单调递增， 则f(x)在x=-1处取得极小值，也是最小值， 得到m=-1xe+1=1-1>0, e 所以y=xe+1>0在(-0,1)上恒成立，所以总零点个数为1， ②当x≥1时，令f(x)=a-x=0,解得x=a, 要使f(x)在1，+o)上有零点，则a≥1， 当x<1时，令f(x)=xe+a=0,即-a=xe(x<1), 设h(x)=xe(x<I),求导得h(x)=e(1+x), 令h(x)=e(1+x)=0,因为e>0恒成立， 所以x+1=0,解得：x=-1, 当x<-1时，h(x)<0,h(x)单调递减， 当-1<x<1时，h'(x)>0,h(x)单调递增， 则(x)在x=-1处取得极小值，也是最小值， 则()-(e=。当→时，0， 当x=1时，h(1=1×e=e, 要使f(四在(-，1)上有一个零点，则-e<a< e 结合a≥l,a的范偶是0) 三、解答题：本大题共3小题，共45分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16.(本小题满分14分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知c+b=5sinC-sin4, a sinC-sin B b=V7,a=25c (I)求角B的大小： 试卷第7页，共12页 (2)求△ABC的面积： (3)求sin(B-2A)的值 【详解】（①）因为+b-V5sinC-si血4，由正弦定理得+b-Bc-a, a sinC-sin B a c-b 所以c2-b2=V5ac-a2,即c2+a2-b2=V3ac. 又由余弦定理得cosB=c+a-=V3ae_V5 2ac 2ac 2 又B为三角形内角，所以B= 6 4分 (2)因为b=V7,a=2√5c, 由余弦定理得7=(25c}+c2-4V5c'c0s刀，解得c=l,a=25 6 x13 所以5mc-号aesinB=x2W5x 2 22 8分 (3)由余弦定理得c0sA=7+1-12._2万 2W7 ，所以血42 7 所以sin2A=2 sin Acos A= 4 2，cos2A=2cos2A-1= 7 所以sin(B-2A)=sin B cos2A-cos Bsin2A 4W313 272 714 14分 17.(本小题满分15分)已知直三棱柱ABC-AB'C'中，∠BAC=90°，AB=1,AC=2,AA'=√5，点M、N 分别为A'B,B'C的中点. A C B B (I)求证：MN/1平面AACC': (2)求A'N与平面BCN夹角的正弦值： (3)求三棱锥C-MNB的体积. 【详解】(1) 试卷第8页，共12页 N B 连接AB',AC', :四边形ABBA'为矩形，M为AB的中点， .AB与AB交于点M,M为AB的中点， 又N为B'C'的中点，MN/IAC', 又MNE平面AACC',且AC'c平面AACC, .MN//平面A'ACC」 .4分 (2) ZA A B' N B 由已知，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则A0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),A(0,0,V5)，B'1,0,V5)，C'(0,2,V5), 1 0 5 2 5, 设平面BCN的一个法向量为n=(x,y,z), 因为平面BCN即平面BCCB',CC'=(0,0,V5),BC=(-1,2,0), BC,n=0,-x+2y=0 cCi=015z=0 取x=2,则y=1,z=0,从而n=(2,1,0), 设所求线面角为0，不-}10： 试卷第9页，共12页 sin =cos A'N,n A'N.i4 所以AN与平面BCN夹角的正弦值为。，9分 (3) B 设点M到平面BCw的距离为d,BM;0.5 BM·i5 d= 5 已知∠BAC=90°，AB=1,AC=2,AA'=√5，则BC=√5， 所以5方5x5=月 2 VM-BCN= xSsncwxd-1x5x5_V5 3256 .15分 18.(本小题满分16分)已知函数f(x)=「x2+(a-5)x-4a+5e(aeR,e是自然对数的底数， e≈2.718…). (1)当a=1时，求函数f(x)的极值： (2)若函数y=f'(x)在区间[1,2]上单调递减，求实数a的取值范围： ③)若函数g)=日-四+b6∈Z有两个极值点，k(0<5<5),且g5)<0,求b的最大值。 x x-+ax 【解析】(1)解：当a=1时f(x)=（x2-4x+1)e,f'(x)=(x2-2x-3e=(x-3)(x+1)e 令f'(x)=0,解得x=-1,x=3, 所以x,f(x)与'(x)的关系如下： (-0,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+0) f'(x) + 0 0 + 试卷第10页，共12页 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以当x=-1时，函数/(e)取得极大值，即f()=-)-名 当x=3时，函数f(x)取得极小值，即f(x)本值=f(3)=-2e: .4分 (2)解：因为f(x)=[x2+(a-5)x-4a+5]e, 所以f'(x)=[x2+(a-3)x-3a]e 令p(x)=f'(x)=[x2+(a-3)x-3a]e, 则o'(x)=[x2+(a-)x-2a-3]e 依题意o'(x)=[x2+(a-)x-2a-3]e≤0在l,2]上恒成立， ◆0-fa--如-3.则9ei5008 8分 ⊙解，因为g)=g以b,即g-=g[F+a-3r-3刘]eh=a--3eh, x x2+ax x2+ax 则g(y)= a+(x2-3x+3e x2 因为g(x)在(0，+o)上有两个极值点， 即g(x)=0在(0，+∞)上有两个不等实根， 即m(x)=a+(x2-3x+3)e=0在(0，+o)上有两个不等实根x、x2, 因为m'(x)=(x2-x)e=x(x-1)e, 所以当0<x<1时m(x)<0,m(x)单调递减， 当x>1时m(x)>0,m(x)单调递增， m(0)=a+3>0 则0<x<1,所以 m()=e+a<0,解得-3<a<-e, 所以m)e+a>0. 33 4 所以m()=0在(0,1)和L 上各有一个实根， 试卷第11页，共12页 所以函数g(创在Q)上有两个极值点时-3a<e,并且x=》 因为a=-(x,2-3x3+3)e, 所以g5)-a-s-3引e+-3+到e(5-到心+b=千52c+ X2 令h(x)=-（x-2)e+b,则(x)=-(x-1)e, 当xe(1,+o)时，(x)<0,h(x)单调递减， 因为引所以}8小g0.即+h<8)e+a 13 则2+b<。e2+b<e+b<3+b 因为g()<0且b∈Z,所以满足题意的整数b的最大值为-3；16分 试卷第12页，共12页