精品解析：山东省泰安肥城市2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

试卷类型：A 高 一 数 学 试 题 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（ ） A. B. C. D. 2. 下列向量的运算结果不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知水平放置的的斜二测直观图为，如图所示． 若是等腰直角三角形（点与点重合），，则的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 的内角的对边分别为．已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，点是的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某人在河南岸的点A处，想要测量河北岸的点与点A的距离，现取南岸一点，得，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 长方体中，直线与平面的交点为，与交于点，则下列结论正确的是（ ） A. ，，三点共线 B. ，，三点确定一个平面 C. ，，，四点共面 D ，，，四点共面 8. 的内角的对边分别是，若，则当有两解时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 复数，，的共轭复数为，则（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若在复平面内对应的点位于第四象限，则 10. 用一个平面去截棱长为1正方体，则下列结论中正确的是（ ） A. 若该平面过点，则截面周长为6 B. 若该平面过点，则截得的两个几何体的外接球体积相等 C. 若该平面过点，则截得的两个几何体的表面积均为 D. 若该平面过点，则其截正方体的外接球所得的截面面积不是定值 11. 已知向量是两个单位向量，则（ ） A. 若不共线，则 B. 若，且，则 C. 若夹角，则向量在向量上的投影向量是 D. 若，向量的夹角为，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复平面上点M对应的复数是 ，点N对应的复数是 ，则向量对应的复数是______． 13. 一个长方体的顶点都在球面上，它的长、宽、高分别为 ，则球的表面积是______． 14. 如图，矩形中，边，分别是上的点，若， 则的取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）求； （2）若复数是关于的方程的一个根，求出实数的值，并把代数式分解成一次因式的积． 16. 已知是两个不共线向量，且夹角为． （1）若，，，当三点共线时，求实数的值； （2）若，，那么当实数为何值时，的值最小． 17. 已知分别是的三个内角的对边，且满足． （1）求； （2）若，的面积为，求． 18. 如图1，设半圆的直径为 ，点、三等分半圆，点、分别是、的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥（如图2）．在图2中完成下列各题： （1）求圆锥中线段的长； （2）求四面体的体积； （3）求三棱锥与三棱锥公共部分的体积． 19. 如图，是以点为圆心，为半径的上的点，点、关于直线对称，，．如果以线段所在直线为实轴，以线段所在直线为虚轴，建立复平面． 则两点在复平面内对应的复数分别为． （1）求的值； （2）求的正弦值； （3）点在何位置时，五边形的面积取到最大值，并求出该最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试卷类型：A 高 一 数 学 试 题 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算化简即可. 【详解】. 故选：D 2. 下列向量的运算结果不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的加法和减法运算即可求解. 【详解】由，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：C. 3. 已知水平放置的的斜二测直观图为，如图所示． 若是等腰直角三角形（点与点重合），，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法求面积即可. 【详解】因为是等腰直角三角形，所以， 则，，, 则的面积为. 故选：B. 4. 的内角的对边分别为．已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦定理计算即可. 【详解】由余弦定理可得， 所以（负值舍去）. 故选：A 5. 如图，中，，点是的中点，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据比例关系分解向量即可. 【详解】中，，点是的中点， 则. 故选：D. 6. 如图，某人在河南岸的点A处，想要测量河北岸的点与点A的距离，现取南岸一点，得，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的内角和关系结合正弦定理运算求解. 【详解】由题意可知：， 则， 由正弦定理可得. 故选：A. 7. 长方体中，直线与平面的交点为，与交于点，则下列结论正确的是（ ） A. ，，三点共线 B. ，，三点确定一个平面 C. ，，，四点共面 D. ，，，四点共面 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面的基本性质，异面直线的定义，逐一验证各个选项. 【详解】如下图所示：    根据题意，连接，则， 所以四点共面，所以平面， 又，所以平面， 又平面，所以点在平面与平面的交线上面， 同理可得点在平面与平面的交线上面， 所以，，三点共线， 故A选项错误，B选项正确； 由异面直线定义可知C选项中为异面直线，故C选项错误； 由异面直线定义可知D选项中为异面直线，故D选项错误. 故选：A 8. 的内角的对边分别是，若，则当有两解时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】理由正弦定理，将问题转换为三角方程根的个数求参数问题即可. 【详解】由正弦定理有，即，即有两解， 因为，所以，从而，解得. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 复数，，的共轭复数为，则（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若在复平面内对应的点位于第四象限，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A若为纯虚数，则即可判断，对于B若，则，即，计算即可判断，对于C若，则，即，利用复数的除法即可判断，对于D若在复平面内对应的点位于第四象限，则解出即可判断. 【详解】对于A：若为纯虚数，则，故A错误； 对于B：若，则，所以，所以，故B正确； 对于C：若，则，所以，故C错误； 对于D：若在复平面内对应的点位于第四象限，则，故D正确； 故选：BD. 10. 用一个平面去截棱长为1的正方体，则下列结论中正确的是（ ） A. 若该平面过点，则截面的周长为6 B. 若该平面过点，则截得的两个几何体的外接球体积相等 C. 若该平面过点，则截得的两个几何体的表面积均为 D. 若该平面过点，则其截正方体的外接球所得的截面面积不是定值 【答案】BC 【解析】 【分析】作出过点的截面直接计算可判断A；分析两个几何体的外接球和正方体的外接球的关系可判断B；直接计算两个几何体的表面积可判断C；由过的截面过正方体外接球的球心可判断D. 【详解】若该平面过点，则截面为正三角形，其边长为，则截面的周长为错误； 若该平面过点，则截得的两个几何体的外接球均为正方体的外接球， 故外接球体积相等，B正确； 当该平面过点时，截面为，则截得的两个几何体为相同的三棱柱， 且三棱柱的表面积均为正确； 若该平面过点，则其过正方体的外接球球心， 所以截面面积是定值，D错误. 故选：BC. 11. 已知向量是两个单位向量，则（ ） A. 若不共线，则 B. 若，且，则 C. 若的夹角，则向量在向量上的投影向量是 D. 若，向量的夹角为，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A证明即可；B先利用求出的值，再利用向量共线的坐标运算即可求出；C先计算，再利用公式计算即可；D根据得出，再结合的范围即可. 【详解】由题意可得，且，， 则，则，故A正确； 由题意可得，，得， 因，则，则，故B错误； 因的夹角为，则， 则向量在向量上的投影向量是，故C正确； 因，则，得， 因，则，则的最小值为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复平面上点M对应的复数是 ，点N对应的复数是 ，则向量对应的复数是______． 【答案】 【解析】 【分析】由复数的几何意义即可求解. 【详解】由题意，故所求为. 故答案为：. 13. 一个长方体的顶点都在球面上，它的长、宽、高分别为 ，则球的表面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用外接球的直径为长方体的体对角线可求球的半径，从而可求表面积. 【详解】因为长方体的各顶点均在球面上，故球即为长方体的外接球， 故长方体的体对角线即为球的直径，而长方体的体对角线的长为， 所以，所以球的表面积为， 故答案为：. 14. 如图，矩形中，边，分别是上的点，若， 则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】建立适当的平面直角坐标系，用表示即可求解. 【详解】由题意以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 边，， 所以， 所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）求； （2）若复数是关于的方程的一个根，求出实数的值，并把代数式分解成一次因式的积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由复数四则运算即可求解； （2）先求出，然后由平方差公式即可求解. 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 解法一：因为复数是方程的一个根， 则复数是方程的另一个根， 由韦达定理得，解得. 则， ； 解法二：因为复数是方程的一个根， 所以有，整理得， 所以，解得. 则 . 16. 已知是两个不共线向量，且的夹角为． （1）若，，，当三点共线时，求实数的值； （2）若，，那么当实数为何值时，的值最小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三点共线，利用共线向量基本定理即可求解； （2）先求，利用得，利用二次函数即可求解. 【小问1详解】 由题意可得： ， 因为三点共线，所以存在唯一实数，满足， 即有，因为不共线， 所以，解得. 【小问2详解】 因为 ， 所以可求得， 所以， 因为，当时，取得最小值， 此时的最小值也为. 17. 已知分别是的三个内角的对边，且满足． （1）求； （2）若，面积为，求． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角运算求解； （2）由（1）结合三角形面积公式得，利用余弦定理及运算得解. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理可得，， 又，解得， 因为，所以或. 【小问2详解】 由（1）得：，所以. 又，所以. 由余弦定理及得：. 当时，，所以. 当时，，所以. 所以或. 18. 如图1，设半圆的直径为 ，点、三等分半圆，点、分别是、的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥（如图2）．在图2中完成下列各题： （1）求圆锥中线段的长； （2）求四面体的体积； （3）求三棱锥与三棱锥公共部分的体积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出圆锥底面圆半径，再利用正弦定理求出，进而可得出答案； （2）根据求解即可； （3）连接交于点，连接并延长交于点，由此得到三棱锥与三棱锥公共部分即为三棱锥，由题得，则，得解. 【小问1详解】 在图中，设圆锥的底面圆半径为，则，解得. 因为在图1中，点、三等分半圆， 所以在图2中，点、为圆锥的底面圆周的三等分点，则为等边三角形， 所以，所以. 又因为点、分别是、的中点， 所以. 【小问2详解】 因为，圆锥的高， 所以， 所以， 即四面体体积为. 【小问3详解】 连接交于点，连接并延长交于点， 则三棱锥与三棱锥公共部分即为三棱锥. 因为点、分别是、的中点， 所以为的中点，且， 所以， 所以三棱锥与三棱锥公共部分的体积为. 19. 如图，是以点为圆心，为半径的上的点，点、关于直线对称，，．如果以线段所在直线为实轴，以线段所在直线为虚轴，建立复平面． 则两点在复平面内对应的复数分别为． （1）求的值； （2）求正弦值； （3）点在何位置时，五边形的面积取到最大值，并求出该最大值． 【答案】（1）60 （2） （3）点是圆弧的中点， 【解析】 【分析】（1）根据复数的几何意义得点的坐标，法1，求出向量的坐标，利用数量积的坐标运算求解；法2，求出及的夹角，利用数量积的定义求解； （2）法1，由题求出向量的坐标，利用向量夹角公式求出，进而求得答案；法2，由余弦定理求得，再由正弦定理求得答案； （3）因为的面积是定值，所以只需求的面积的最大值，即点是圆弧的中点时，由运算得解. 【小问1详解】 解法一： 因为两点在复平面内对应的复数分别为， 所以, 从而， 因此. 解法二： 因为两点对应的复数分别为， 所以, 从而， 因此. 【小问2详解】 解法一： 由（1）知，，从而可得： . 所以， 可得. 解法二：由（1）知，, 由余弦定理得： ，所以. 由正弦定理得：, 所以得：. 【小问3详解】 由题意可知，的面积是定值，因为点与点关于直线对称， 所以只需求的面积的最大值即可. 在中，的长度是定值，故只需求点到直线的距离的最大值， 因为曲线为圆弧，所以当点是圆弧的中点时，点到直线的距离最大， 从而的面积达到最大. 连接,因为， 可知, 又因为, 五边形的面积为，则有 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$