1.3.2利用完全平方公式进行因式分解（培优课件）-2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦完全平方公式因式分解，核心知识点为两个公式及适用条件。课堂通过“说一说”引导学生回忆整式乘法完全平方公式，从右到左转化引出因式分解，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于典例分层呈现，涵盖提公因式、整体代换等类型，结合“首平方尾平方”口诀与四步法小结。通过例5配方求值得出非负式模型，培养数学思维（推理、运算）和数学语言（符号、模型），助力学生掌握分解方法，教师可高效开展教学。

湘教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月11日 1.3.2利用完全平方公式进行因式分解 第1章 因式分解 湘教版数学八年级上册1.3.2利用完全平方公式进行因式分解同步练习题 知识点核心：完全平方公式因式分解是整式乘法完全平方公式的逆运算，两个核心公式：$$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$、$$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$。适用条件：多项式为二次三项式，首尾两项是同号完全平方项，中间项是首尾两项平方根乘积的2倍。解题原则：先提公因式，再套公式，最终分解彻底。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列多项式属于完全平方式的是（） A. $$x^2+2x-1$$ B. $$x^2-4x+4$$ C. $$x^2+2xy-y^2$$ D. $$x^2+4x+2$$ 2. 分解因式$$a^2-10a+25$$的结果正确的是（） A. $$(a-5)^2$$ B. $$(a+5)^2$$ C. $$(a-5)(a+5)$$ D. $$a(a-10)+25$$ 3. 若多项式$$x^2+kx+9$$是完全平方式，则$$k$$的值为（） A. 6 B. -6 C. $$\pm6$$ D. 9 二、填空题（每题4分，共20分） 4. 因式分解：$$x^2+8x+16=$$________。 5. 因式分解：$$4m^2-12mn+9n^2=$$________。 6. 补齐完全平方式：$$x^2-\_\_\_\_+36=(x-6)^2$$。 三、解答题（共60分） 7. 用完全平方公式分解下列因式（每题10分） （1）$$x^2-2x+1$$ （2）$$9a^2+12a+4$$ （3）$$(x-y)^2+4(x-y)+4$$ 8. 综合分解题（15分）：先提公因式再用公式分解 $$2x^2-8x+8$$。 9. 求值应用题（15分）：已知$$x+y=4$$，利用因式分解求$$x^2+2xy+y^2$$的值。 参考答案及解析 选择题：1.B（首尾平方同号，中间项为2倍乘积，符合完全平方式特征）；2.A（匹配$$a^2-2ab+b^2$$公式）；3.C（中间项可正可负，$$k=\pm2\times1\times3=\pm6$$）。 填空题：4.$$(x+4)^2$$；5.$$(2m-3n)^2$$；6.$$12x$$。 解答题：7.（1）原式=$$(x-1)^2$$；（2）原式=$$(3a+2)^2$$；（3）设$$t=x-y$$，原式=$$t^2+4t+4=(t+2)^2=(x-y+2)^2$$。 8. 原式=$$2(x^2-4x+4)=2(x-2)^2$$，先提取公因式，再套用完全平方公式，分解彻底。 9. 原式因式分解得$$(x+y)^2$$，代入$$x+y=4$$，得原式=$$4^2=16$$。 练习小结：完全平方公式因式分解四步法：1. 看项数：必须是二次三项式；2. 判首尾：首尾项为同号完全平方数；3. 验中间：中间项为首尾平方根乘积的2倍；4. 先提后套：有公因式先提取，最终保证分解彻底，无剩余因式。 学习目标 1.理解并掌握用完全平方公式分解因式；（重点） 2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解 进行计算． 3. 学习目标 用完全平方公式分解因式 1 请说出完全平方公式. 说一说 完全平方公式1： ， 完全平方公式2： . (x＋y)² = x²＋2xy＋y² (x－y)² = x²－2xy＋y² 例如：在完全平方公式 1 中，将 y 用 2 代入得到等式 把这个等式从右到左使用，就可以把多项式 x²＋4x＋4 因式分解： x²＋4x＋4 = . (x＋2)² = . (x＋2)² x²＋4x＋4 简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方的形式，便实现了因式分解. 2 x y + y2 ± = (x ± y)² x2 首2 + 尾2 ±2×首×尾 (首±尾)2 两个数的平方和加上 (或减去) 这两个数积的 2 倍，等于这两个数的和 (或差) 的平方. 例1 把多项式 9x2－6x＋1 因式分解： 分析：9x2 = (3x)2， 1 = 1²，2·3x·1 = 6x， 因此 9x2－6x＋1 符合完全平方式 2 右边的形式，于是从右到左使用完全平方公式 2，就可把 9x2－6x＋1 因式分解. 解： 9x2－6x＋1 = (3x－1)2. = (3x)2－2 · 3x · 1 + 12 典例精析 例2 把下列多项式因式分解： (1) －4x2＋12xy－9y2； 解：(1) －4x2＋12xy－9y2 ＝－(4x²－12xy＋9y²) ＝－[(2x)²－2·2x·3y＋(3y)²] ＝－(2x－3y)². 分析：(1)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为 -(4x2－12xy＋9y2)，然后再利用公式因式分解. (2) x5＋2x3y＋xy2. (2) x5＋2x3y＋xy2 ＝x(x4＋2x²y＋y²) ＝x[(x²)²＋2·x²·y＋y²] ＝x(x²＋y)². 分析：(2) 中有公因式 x，应先提出公因式，再进一步因式分解； 例3 把多项式 x4－2x2＋1 因式分解. 解： x4－2x2＋1 ＝(x²)²－2·x²·1＋1² ＝(x²－1)² ＝[(x＋1)(x－1)]² ＝(x＋1)²(x－1)². 做一做 可以利用完全平方公式把多项式 (x＋y)²－4(x＋y)＋4 因式分解吗？试一试. 分析：将 x＋y 看成一个整体，如 x＋y = m，则原式化为 m2 - 4m + 4. 解：(x＋y)²－4(x＋y)＋4 ＝(x＋y)²－2·(x＋y)·2＋2² ＝(x＋y－2)². 例4 利用完全平方公式简便计算： (1) 1002 - 2×100×99 + 99²； (2) 342 + 34×32 + 162. 解：(1) 原式 = (100 - 99)² (2) 原式 = (34 + 16)2 本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算， = 1. = 2500. 例5 已知 x2 - 4x + y2 - 10y + 29＝0，求 x2y2 + 2xy + 1 的值. ＝ 112 ＝ 121. 解：由题可知 x2 - 4x + y2 - 10y + 29 因为 (x - 2)2 ≥ 0，(y - 5)2 ≥ 0， 所以 x - 2＝0，y - 5＝0， 所以 x＝2，y＝5. 所以 x2y2 + 2xy + 1 ＝ ( xy + 1 )2 几个非负式的和为 0，则这几个非负式都为 0 ＝ x2 - 4x +4+ y2 - 10y + 25 ＝ (x - 2)2 + (y - 5)2 ＝0， 方法总结：此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负式的和的形式，然后利用非负式的性质解决问题． 1. ［2025东营月考］若 能用完全平方公式 进行因式分解，则常数 的值是( ) D A. 或5 B. 5 C. 8 D. 8或 返回 考试考法 13 2. ［2025日照月考］下列多项式： ； ；； ； ， 其中能用公式法分解因式的是( ) B A. ①③④⑤ B. ②④⑤ C. ②③④ D. ②③④⑤ 返回 考试考法 14 返回 3．因式分解： (1)(x＋2)(x＋4)＋1＝____________． (2)(a－3b)2－4(a－3b)c＋4c2＝_______________________. 4．[成都市中考]多项式4x2＋1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是____________________(填一个即可)． (x＋3)2 (a－3b－2c)2 4x(答案不唯一) 考试考法 15 返回 5．因式分解： (1)－16＋8a－a2；　　　　 (2)x4－8x2y2＋16y4. 【解】原式＝－(16－8a＋a2)＝－(4－a)2. 【解】原式＝(x2－4y2)2＝(x＋2y)2(x－2y)2. 考试考法 16 返回 B 考试考法 17 【解】原式＝－3a(x2－2xy＋y2)＝－3a(x－y)2. 考试考法 18 返回 (3)2a2＋4ab＋2b2－8c2. 【解】原式＝2(a2＋2ab＋b2)－8c2＝2(a＋b)2－8c2＝2[(a＋b)2－(2c)2]＝2(a＋b＋2c)(a＋b－2c)． 考试考法 19 返回 8. 如果a＋b＝3，ab＝1，那么a3b＋2a2b2＋ab3的值为(　　) A．0 B．1 C．4 D．9 D 考试考法 20 返回 9. 若P＝2m2＋m，Q＝m2－3m－4，则P与Q的大小关系为(　　) A．P≥Q B．P>Q C．P＝Q D．P<Q A 考试考法 21 返回 10．利用因式分解计算：1.222＋2.44×2.78＋2.782＝________. 16 考试考法 22 11．已知两块边长都为a的大正方形，两块边长都为b的小正方形和五块长、宽分别是a，b的小长方形(a>b)，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知图中阴影部分四个正方形的面积之和为240，每个小长方形的面积为12，则拼成的大长方形的周长为________． 72 考试考法 利用完全平方公式因式分解 公式 a2±2ab＋b2 = (a±b)2 特点 （1）要求多项式有三项； （2）其中两项是某数或式的平方和，另一项则是这两数或式的乘积的 2 倍，符号可正可负. 课堂小结 6．因式分解－2x3－12x2－18x的结果是(　　) A．－2x(x2＋6x＋9) B．－2x(x＋3)2 C．－2x(x＋3)(x－3) D．－2x(x－3)2 7.因式分解： (1)－3ax2＋6axy－3ay2； (2)x5－x3y2＋xy4； 【解】原式＝x＝x＝x2. $