第1章 因式分解（习题课件） 2026-2027学年数学湘教版八年级上册

该初中数学课件聚焦多项式的因式分解，通过定义辨析题导入，从基础判断（如“6x²-3x=3x(2x-1)”是否为因式分解）过渡到提公因式、公式法等具体方法，再延伸至综合应用，搭建从概念理解到技能运用的学习支架。 其亮点在于融合几何直观（如拼图验证x²+6x+8=(x+2)(x+4)）、推理意识（试根法分解x³+2x²-3）和应用意识（激光雷达点云密度公式），通过分层例题培养学生抽象能力与逻辑推理。学生能深化对因式分解本质的理解，教师可借助丰富情境素材提升教学实效。

第1章　因式分解 1．2 提公因式法 1 1. 把多项式 分解因式，应 提的公因式是( ) B A. B. C. D. 返回 基础提优题 2 A 2. 将多项式3ab2(x－y)n－9ab(x－y)5因式分解时，提取的公因式是3ab(x－y)5，则n的值可能为(　　) A．6 B．4 C．3 D．2 返回 创新拓展题 C 3．下列各式的变形中，用提取公因式法分解因式正确的是(　　) A．12abc－9a2b2c3＝3abc(4－3ab) B．3x2y－3xy＋6y＝3y(x2－x＋2y) C．－a2＋ab－ac＝－a(a－b＋c) D．x2y＋5xy－y＝y(x2＋5x) 返回 创新拓展题 3x2(答案不唯一) 4. 在□处填入一个整式，使关于x的多项式4x3＋□＋x可以因式分解，则□处可以填：____________________(写出一个即可)． 返回 基础提优题 5 【解】原式＝9xy(x－y)[3x－4(x－y)] ＝9xy(x－y)(3x－4x＋4y)＝9xy(x－y)(－x＋4y)． (2)27x2y(x－y)－36xy(x－y)2； 基础提优题 6 返回 基础提优题 7 返回 D 6. [娄底市期中]将多项式x2y(a－b)－xy(b－a)＋y(a－b)提公因式后，另一个因式为(　　) A．x2－x＋1 B．x2＋x＋y C．x2－x－1 D．x2＋x＋1 基础提优题 8 (a－2)(b＋1) 7. 分解因式：ab＋a－2b－2＝________________． 返回 创新拓展题 8. 因式分解： (1)x(x－2)－x＋2；　　 (2)(a－b)(a－4b)－4b2；     【解】原式＝x(x－2)－(x－2)＝(x－2)(x－1)． 【解】原式＝a2－4ab－ab＋4b2－4b2＝a2－5ab＝a(a－5b)． 基础提优题 10 返回 (3)2(x－2y)2(x＋2y)＋3(2y－x)(x＋2y)2. 【解】原式＝2(2y－x)2(x＋2y)＋3(2y－x)(x＋2y)2＝(2y－x)(x＋2y)[2(2y－x)＋3(x＋2y)]＝(2y－x)(x＋2y)(4y－2x＋3x＋6y)＝(2y－x)(x＋2y)(10y＋x)． 基础提优题 11 返回 B 9．利用因式分解简便计算57×99＋44×99－99，下列各式计算正确的是(　　) A．99×(57＋44)＝99×101＝9 999 B．99×(57＋44－1)＝99×100＝9 900 C．99×(57＋44＋1)＝99×102＝10 098 D．99×(57＋44－99)＝99×2＝198 基础提优题 12 返回 A 10．已知m为有理数，则整式m2(m2－1)－m2＋1的值(　　) A．不为负数 B．恒为负数 C．恒为正数 D．不等于0 基础提优题 13 返回 2 028 11．计算：2 029×2 028－2 0282＝________． 基础提优题 14 返回 30 12．[怀化市模拟]如图，长方形的长、宽分别为a，b，且a比b大3，面积为10，则a2b－ab2的值为______． 基础提优题 15 B 13．三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，则三角形ABC是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 返回 综合应用题 16 A 返回 综合应用题 17 15.对于任意的有理数,,,,我们规定 ,如 ，则 _________ __. 返回 综合应用题 18 2 025 16. 若实数x满足x2－x－1＝0，则x3－2x2＋2 026＝________． 【点拨】方法1：因为x2－x－1＝0，所以x2－x＝1，所以x3－2x2＋2 026＝x3－x2－x2＋2 026＝x(x2－x)－x2＋2 026＝x－x2＋2 026＝－(x2－x)＋2 026＝－1＋2 026＝2 025.方法2：因为x2－x－1＝0，所以x2＝x＋1，x2－x＝1，所以x3－2x2＋2 026＝x·x2－2x2＋2 026＝x(x＋1)－2x2＋2 026＝x2＋x－2x2＋2 026＝－x2＋x＋2 026＝－1＋2 026＝2 025. 返回 综合应用题 19 17.已知 可因式分解为 ，其中，均为整数，则 的值为_______. 6或 【点拨】 ，根据题意，得 ，所以， 或 ,.所以 或 . 返回 综合应用题 20 72 18. [西安交大少年班自主招生]已知整数x，y满足xy＝22－3x＋y，则xy的最大值为________． 返回 综合应用题 【解】因为817－279－913＝328－327－326＝326×(32－3－1)＝326×5＝324×45，所以817－279－913能被45整除． 19. 试说明817－279－913能被45整除． 返回 综合应用题 返回 20.不解方程组 求整式 的值. 【解】.因为 所以所以原式 . 综合应用题 21. 先阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题： . （1）上述分解因式的方法是____________，共应用了___次； 提公因式法 2 创新拓展题 （2）若分解因式 ，则需应用 上述方法_______次，结果是____________； 2 026 （3）分解因式： （ 为正整数）. 【解】原式 . 创新拓展题 (4)利用(3)中结论计算：5＋52＋53＋…＋52 026. 返回 创新拓展题 5.把下列各式分解因式： (1)a2b4＋a2b2； 【解】原式＝a2b2. (3)－3x3myn－1－2x2myn＋6xmyn＋1(m，n均为大于1的正整数)． 【解】原式＝－xmyn－1(3x2m＋2xmy－6y2)． 14.设681×2 026－681×2 025＝a，2 025×2 026－2 023×2 028＝b，＝c，则a，b，c的大小关系是(　　) A．b<c<a B．a<c<b C．b<a<c D．c<b<a 【解】5＋52＋53＋…＋52 026 ＝×4×(5＋52＋53＋…＋52 026) ＝×(4×5＋4×52＋4×53＋…＋4×52 026) ＝×[(1＋4)＋4×(1＋4)＋4×(1＋4)2＋4×(1＋4)3＋…＋4×(1＋4)2 026－5]＝×52 027－＝. $第1章 因式分解 1.3 公式法 第1课时 用平方差公式进行因式分解 1 1. 下列多项式：； ； ；； ； .能用平方差公式因式分解的有 ( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 基础提优题 2 返回 4 2．将(2x)n－81因式分解后得(4x2＋9)(2x＋3)·(2x－3)，则n＝________． 3.因式分解： ___________________ ____. 基础提优题 4. 下面是明明同学把多项式 分解因式的具体步骤： 第一步 第二步 第三步 第四步 基础提优题 4 （1）事实上，明明的解法是错误的，造成错误的原因是 __________________； 公因式没有提取完 （2）请给出这个问题的正确解法. 【解】原式 . 返回 基础提优题 5 【解】原式＝(x－y)a2－(x－y)＝(x－y)(a2－1) ＝(x－y)(a＋1)(a－1)． 5. 把下列多项式因式分解： (1)(x－y)a2－x＋y; 　　　 (2)18(a－b)2－50(a＋b)2. 【解】原式＝2[9(a－b)2－25(a＋b)2]＝2[3(a－b)＋5(a＋b)][3(a－b)－5(a＋b)]＝2(3a－3b＋5a＋5b)(3a－3b－5a－5b)＝2(8a＋2b)(－2a－8b)＝－8(4a＋b)(a＋4b)． 返回 基础提优题 6 返回 6. ［长沙市北雅中学期末］若, ,则 的值为( ) A A. 12 B. 4 C. 6 D. 基础提优题 7 7. 可以被10和20之间某两个整数整除，则这两个数 是( ) A A. 17，15 B. 17，16 C. 15，16 D. 13，14 返回 基础提优题 8 返回 b>c>a 8．[宜宾市模拟]设a＝73×1 412，b＝9322－4802，c＝5152－1912，则数a，b，c的大小关系是__________． 【点拨】b＝9322－4802＝(932＋480)×(932－480)＝1 412×452，c＝5152－1912＝(515＋191)(515－191)＝706×324＝1 412×162.因为73<162<452，所以b>c>a. 基础提优题 9 返回 9. 利用因式分解计算： (1)3.14×5.52－3.14×4.52；     (2)123 456 7892－123 456 788×123 456 790.   【解】原式＝3.14×(5.52－4.52)＝3.14×(5.5＋4.5)×(5.5－4.5)＝3.14×10×1＝31.4. 【解】原式＝123 456 7892－(123 456 789－1)×(123 456 789＋1)＝123 456 7892－(123 456 7892－1)＝1. 基础提优题 10 返回 【解】因为R＝10.25 cm，r＝8.25 cm，所以阴影部分的面积为πR2－πr2＝π(R2－r2)＝π(R＋r)(R－r)＝π(10.25＋8.25)×(10.25－8.25)＝18.5×2π＝37π(cm2)． 答：阴影部分的面积为37π cm2. 10．如图①是一个圆形盘子，图②是其示意图，外圆半径是R，内圆半径是r，现在要给盘子环形部分(即图②阴影部分)上釉，如果R＝10.25 cm，r＝8.25 cm，请求出阴影部分的面积．(结果保留π) 基础提优题 11 返回 11. 小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了 的指数，他 只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式因 式分解，他抄在作业本上的式子是（“ ”表示漏抄 的指数），则这个指数可能的结果共有( ) C A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 综合应用题 12 A 12. 已知a，b，c为一个三角形的三边长，则4b2c2－(b2＋c2－a2)2的值(　　) A．恒为正 B．恒为负 C．可正可负 D．非负 【点拨】原式＝(2bc＋b2＋c2－a2)(2bc－b2－c2＋a2)＝[(b＋c)2－a2][a2－(b－c)2]＝(b＋c＋a)(b＋c－a)(a＋b－c)(a－b＋c)．因为a，b，c是三角形的三边长，所以b＋c＋a＞0，b＋c＞a，a＋b＞c，a＋c＞b，所以4b2c2－(b2＋c2－a2)2＞0. 返回 综合应用题 13 13.已知实数，满足,，且 ， 则 ____. 13 【点拨】由得.由 得 ,所以.所以 .所 以.因为,所以 .所以.所以 . 返回 综合应用题 14 14. 定义：若一个正整数 能表示成两个相邻 偶数，的平方差，即，且 的算 术平方根是一个正整数，则称正整数 是“双方数”.例如： ， ，36就是一个“双方数”.若将“双方数” 从小到大排列，前3个“双方数”的和为_____；第100个“双方 数”为_________. 140 158 404 综合应用题 15 【点拨】根据题意设，（ 为大于0的自然 数），则 ，要使 是“双方数”，则 必须是一个正整数的平方.设 .因为为大于0的自然数，所以 是 一个奇数.所以为奇数.所以 .所以当 时， （第1个“双方数”）；当 综合应用题 16 时， （第2个“双方数”）；当 时， （第3个“双方数”）.所 以从小到大排列，前3个“双方数”的和为 . 根据以上规律，当是第100个“双方数”时， ，此时 . 返回 综合应用题 15.某中学举行秋季运动会，由若干名同学组成一个9列的长 方形队列.若原队列增加126人，就能组成一个正方形队列； 若原队列减少126人，也能组成一个正方形队列.则原长方形 队列有_____名同学. 450 综合应用题 18 【点拨】设原长方形队列有（ 为正整数）名同学，增加 126人可组成的正方形队列，减少126人可组成 的 正方形队列，根据题意得 得 ，即.因为和 同 奇或同偶，且 ，所以 综合应用题 19 或或所以 或 或当 时， ， ，不符合题意，舍去； 当时，， ，符合题意； 当时，， ，不符合题意， 舍去.所以原长方形队列有450名同学. 返回 综合应用题 B 16. 如图①，边长为a的大正方形里有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形(如图②所示)． (1)上述操作能验证的等式是(　　) A．a2＋ab＝a(a＋b) B．a2－b2＝(a－b)(a＋b) C．a2－2ab＋b2＝(a－b)2 综合应用题 21 4 (2)请应用上面的等式完成下列各题： ①若4a2－b2＝24，2a＋b＝6，则2a－b＝______； 【点拨】因为4a2－b2＝24，4a2－b2＝(2a＋b)(2a－b)，所以(2a＋b)(2a－b)＝24.又因为2a＋b＝6，所以2a－b＝4. 创新拓展题 22 ②计算：1002－992＋982－972＋…＋42－32＋22－12；     【解】因为1002－992＝(100＋99)(100－99)＝100＋99，982－972＝(98＋97)(98－97)＝98＋97，…，42－32＝(4＋3)(4－3)＝4＋3，22－12＝(2＋1)(2－1)＝2＋1，所以1002－992＋982－972＋…＋42－32＋22－12＝100＋99＋98＋97＋…＋4＋3＋2＋1＝5 050. 创新拓展题 23 ③计算：(2n)2－(2n－1)2＋(2n－2)2－(2n－3)2＋…＋42－32＋22－12(n≥1)． 返回 创新拓展题 24 17. 【问题背景】数学学习是在公式化体系不断完善中进行的．前面我们学习了平方差公式，在平方差公式的基础上，我们对式子a3－b3可以进行如下推导： a3－b3＝a3－a2b＋a2b－b3 ＝a2(a－b)＋b(a2－b2) ＝a2(a－b)＋b(a＋b)(a－b) ＝(a－b)[a2＋b(a＋b)] ＝(a－b)(a2＋ab＋b2) 综合应用题 25 【解】x3－8＝x3－23＝(x－2)(x2＋2x＋4)． 我们称上述公式为立方差公式． 请同学们结合上述结论解答下列问题： 【结论应用】(1)因式分解：x3－8. 创新拓展题 26 返回 【解】a3＋b3有立方和公式．推导如下：a3＋b3＝a3＋a2b－a2b＋b3＝a2(a＋b)－b(a2－b2)＝a2(a＋b)－b(a＋b)(a－b)＝(a＋b)[a2－b(a－b)]＝(a＋b)(a2－ab＋b2)． 【拓展探究】(2)对于a3＋b3有立方和公式吗？若有，请进行推导；若没有，请说明理由． 创新拓展题 27 【解】(2n)2－(2n－1)2＋(2n－2)2－(2n－3)2＋…＋42－32＋22－12＝(2n＋2n－1)(2n－2n＋1)＋(2n－2＋2n－3)(2n－2－2n＋3)＋…＋(4＋3)(4－3)＋(2＋1)·(2－1)＝2n＋(2n－1)＋(2n－2)＋(2n－3)＋…＋4＋3＋2＋1＝＝2n2＋n. $第1章 因式分解 1.3 公式法 第2课时 用完全平方公式进行因式分解 1 1. ［2025东营月考］若 能用完全平方公式 进行因式分解，则常数 的值是( ) D A. 或5 B. 5 C. 8 D. 8或 返回 基础提优题 2 2. ［2025日照月考］下列多项式： ； ；； ； ， 其中能用公式法分解因式的是( ) B A. ①③④⑤ B. ②④⑤ C. ②③④ D. ②③④⑤ 返回 基础提优题 3 返回 3．因式分解： (1)(x＋2)(x＋4)＋1＝____________． (2)(a－3b)2－4(a－3b)c＋4c2＝_______________________. 4．[成都市中考]多项式4x2＋1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是____________________(填一个即可)． (x＋3)2 (a－3b－2c)2 4x(答案不唯一) 基础提优题 4 返回 5．因式分解： (1)－16＋8a－a2；　　　　 (2)x4－8x2y2＋16y4. 【解】原式＝－(16－8a＋a2)＝－(4－a)2. 【解】原式＝(x2－4y2)2＝(x＋2y)2(x－2y)2. 基础提优题 5 返回 B 基础提优题 6 【解】原式＝－3a(x2－2xy＋y2)＝－3a(x－y)2. 基础提优题 7 返回 (3)2a2＋4ab＋2b2－8c2. 【解】原式＝2(a2＋2ab＋b2)－8c2＝2(a＋b)2－8c2＝2[(a＋b)2－(2c)2]＝2(a＋b＋2c)(a＋b－2c)． 基础提优题 8 返回 8. 如果a＋b＝3，ab＝1，那么a3b＋2a2b2＋ab3的值为(　　) A．0 B．1 C．4 D．9 D 基础提优题 9 返回 9. 若P＝2m2＋m，Q＝m2－3m－4，则P与Q的大小关系为(　　) A．P≥Q B．P>Q C．P＝Q D．P<Q A 基础提优题 10 返回 10．利用因式分解计算：1.222＋2.44×2.78＋2.782＝________. 16 基础提优题 11 11．已知两块边长都为a的大正方形，两块边长都为b的小正方形和五块长、宽分别是a，b的小长方形(a>b)，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知图中阴影部分四个正方形的面积之和为240，每个小长方形的面积为12，则拼成的大长方形的周长为________． 72 基础提优题 返回 【点拨】依题意得大长方形的长为(2a＋b)，宽为(a＋2b)，所以大长方形的周长为2(2a＋b)＋2(a＋2b)＝6(a＋b)．根据题意得2(a2＋b2)＝240，ab＝12，所以a2＋b2＝120，2ab＝24，所以a2＋b2＋2ab＝144，所以(a＋b)2＝144，所以a＋b＝12(负值已舍去)，所以6(a＋b)＝72，所以拼成的大长方形的周长为72. 基础提优题 返回 12. 无论，为任何值时， 的值是 ( ) A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 非负数 【点拨】.因为 ， ，所以 ，即 .所以 的 值是正数. A 综合应用题 14 返回 13. 已知，，分别是三角形 的三边长，若 ,，则 的长是( ) C A. 20 B. 16 C. 8 D. 4 综合应用题 15 返回 14.同号两实数,满足,若 为整数，则 的值为______. 或1 【点拨】因为,所以 .所以 .所以 .因为 ,所以.所以.因为 为整 数，所以为平方数.所以或0,解得 或1. 综合应用题 16 15. [天津市河西区期末]已知a＝2 029m＋2 028n＋2 026，b＝2 029m＋2 028n＋2 028，c＝2 029m＋2 028n＋2 029，那么a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值为________． 7 返回 【点拨】设x＝a2＋b2＋c2－ab－bc－ca，所以2x＝2a2＋2b2＋ 2c2－2ab－2bc－2ca＝(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2.因为(a－b)2 ＝(2 029m＋2 028n＋2 026－2 029m－2 028n－2 028)2＝(－2)2 ＝4，(b－c)2＝(2 029m＋2 028n＋2 028－2 029m－2 028n －2 029)2＝(－1)2＝1，(a－c)2＝(2 029m＋2 028n＋2 026－ 2 029m－2 028n－2 029)2＝(－3)2＝9，所以2x＝4＋1＋9＝14， 所以x＝7.所以a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝7. 综合应用题 17 16. 已知三次四项式2x3－5x2－6x＋k分解因式后有一个因式是x－3，试求k的值及另一个因式． 【解】依题意，得当x＝3时，2x3－5x2－6x＋k＝0，所以2×33－5×32－6×3＋k＝0，所以k＝9. 所以2x3－5x2－6x＋k＝2x3－5x2－6x＋9＝2x2(x－3)＋x2－6x＋9＝2x2(x－3)＋(x－3)2＝(x－3)(2x2＋x－3)，所以另一个因式为2x2＋x－3. 返回 综合应用题 18 17. [临汾市期中]对一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法．下面是小影同学用换元法对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式分解的过程． 解：设x2－4x＝y， 则原式＝(y＋2)(y＋6)＋4(第一步) ＝y2＋8y＋16(第二步)＝(y＋4)2(第三步) ＝(x2－4x＋4)2.(第四步) 综合应用题 (1)小影同学因式分解的结果是否彻底？________(填“彻底”或“不彻底”)；若不彻底，请你帮她直接写出因式分解的最后结果：________． 不彻底 (x－2)4 综合应用题 (2)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2＋2x)(x2＋2x＋2)＋1进行因式分解． 【解】设x2＋2x＝t，则原式＝t(t＋2)＋1＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2＝(x2＋2x＋1)2＝(x＋1)4. 综合应用题 (3)试说明：若n为正整数，则代数式(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某个整数的平方． 【解】原式＝(n2＋3n＋2)(n2＋3n)＋1. 设n2＋3n＝C，则原式＝(C＋2)C＋1＝C2＋2C＋1＝(C＋1)2＝(n2＋3n＋1)2.因为n为正整数，所以n2＋3n＋1为正整数．所以代数式(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某个整数的平方． 返回 综合应用题 18.阅读理解： 条件①：无论代数式中的字母取什么值，都不小于常数 ； 条件②：代数式中的字母存在某个取值，使得等于常数 . 我们把同时满足上述两个条件的常数叫作代数式 的下确界. 例如： .因为 ，所以.（满足条件 ） 创新拓展题 23 当时，,满足条件 所以4是 的下确界. 又例如： ， 由于，所以（不满足条件 ）， 故4不是 的下确界. 请根据上述材料，解答下列问题： 创新拓展题 （1）求 的下确界; 【解】 . 因为，所以（满足条件 ）， 当时， （满足条件），所以是 的下确界. 创新拓展题 25 （2）若代数式的下确界是1，求 的值; 因为代数式 的下确界是1， 所以可设 . 因为 ， 所以 ， 所以解得 创新拓展题 26 （3）求代数式 的下确界. . 创新拓展题 27 因为， ， 所以（满足条件 ）， 当，，即， 时， （满足条件 ），所以6是 的下确界. 返回 创新拓展题 6．因式分解－2x3－12x2－18x的结果是(　　) A．－2x(x2＋6x＋9) B．－2x(x＋3)2 C．－2x(x＋3)(x－3) D．－2x(x－3)2 7.因式分解： (1)－3ax2＋6axy－3ay2； (2)x5－x3y2＋xy4； 【解】原式＝x＝x＝x2. $第1章 因式分解 1.1 多项式的因式分解 1 1. 下列各式由左边到右边的变形中，是因 式分解的是( ) C A. B. C. D. 返回 基础提优题 2 2. 下列各式的变形中，是不是因式分解， 为什么? （1） ; 【解】不是因式分解.因为 是和的形式. （2） ; 不是因式分解.因为 是和的形式. （3） ; 不是因式分解.因为 是单项式. 基础提优题 3 （4） ; 是因式分解.因为多项式 分解成三个整式 ,与 的积的形式，符合因式分解的定义. 返回 基础提优题 4 3. 是下列哪一个多项式因式分解的结果 ( ) B A. B. C. D. 返回 基础提优题 5 返回 4．[衡阳市模拟]若多项式 有一个因式是 ，则这个多项式中 的值是( ) A A. 3 B. C. 5 D. 基础提优题 6 返回 5. 科技赋能出行，无人驾驶重构美好．搭载第二代VLA大模型的Robotaxi测试车已能够自主完成接送乘客等任务．某测试车的激光雷达点云密度ρ与探测距离x(单位：m)的关系可近似表示为ρ＝x2＋Ax＋B，如果x2＋Ax＋B＝(x－3)(x＋5)，则3A－B的值为________． 21 基础提优题 7 返回 6. 根据如图所示的拼图过程，写出一个多 项式的因式分解：___________________________. 综合应用题 返回 7.将分解因式的结果为,则 的值为___. 4 综合应用题 9 8.二次三项式 在整数范围内可以分解成两个一 次因式，则k的值有______个. 无数 【点拨】因为 在整数范围内可以分解成两个一 次因式，所以设（， 都是整 数），所以 .所以 , ,在整数范围内，满足两个整数的和为 的,有无数对，所以满足条件的 有无数个. 返回 综合应用题 10 返回 2x2－12x＋18 9. 两名同学将一个二次三项式分解因式，一名同学因看错了一次项系数而分解成2(x－1)(x－9)，另一名同学因看错了常数项而分解成2(x－2)(x－4)，则原多项式为____________． 综合应用题 11 【解】设原多项式为.（其中,, 均为常数，且 ） 因为 ,所 以由题意得, . 又因为 , 所以由题意得 . 所以原多项式为 . 返回 综合应用题 12 根据以上阅读材料，解答下列各题： （1）请完成下列因式分解： ________________ ____； 10. 对于多项式x2＋x－2，如果我们把x＝1代入x2＋x－2，发现此多项式的值为0，这时可以断定多项式x2＋x－2中有因式x－1，可设x2＋x－2＝(x－1)(x＋p)(p为常数)，通过展开多项式或代入合适的x的值即可求出p的值．我们把这种因式分解的方法叫“试根法”． 综合应用题 13 （2）若多项式（， 为常数）因式分解后，有 一个因式是，求 的值； 【解】方法1：设x2＋mx－n＝(x－2)(x＋q)＝x2＋(q－2)x－2q， 则m＝q－2，n＝2q， 所以2m－n＝2(q－2)－2q＝2q－4－2q＝－4. 方法2：由题意得当x＝2时，x2＋mx－n＝0. 所以22＋2m－n＝0.所以2m－n＝－4. 综合应用题 14 （3）多项式 用“试根法”因式分解得 （，，为常数），请直接写出， ， 的值. ,, . 返回 【点拨】当x＝1时，x3＋2x2－3＝13＋2×12－3＝0，所以x3＋2x2－3＝(x－1)(x2＋bx＋c)．所以a＝－1.因为x3＋2x2－3＝(x－1)(x2＋bx＋c)＝x3＋(b－1)x2＋(c－b)x－c.所以b－1＝2，c－b＝0，c＝3.所以b＝3，c＝3. 综合应用题 15 (5)1＋＋＝. 不是因式分解．因为1＋＋＝中含有不是整式的式子． $