1.3.1用平方差公式进行因式分解（培优课件）-2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“用平方差公式进行因式分解”，通过“想一想”引导学生观察多项式特点，联系整式乘法平方差公式的逆运算，搭建从旧知到新知的学习支架，明确适用条件及“先提公因式再套公式”的分解原则。 其亮点是“四步法”小结和分层训练，通过典例精析、辨一辨等培养推理能力，结合简便计算、整除证明实例强化模型意识。学生能形成有序思维，教师可高效落实教学目标，提升课堂效率。

湘教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月11日 1.3.1用平方差公式进行因式分解 第1章 因式分解 湘教版数学八年级上册1.3.1用平方差公式进行因式分解同步练习题 知识点核心：平方差公式因式分解是整式乘法平方差公式的逆运算，公式为$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$。适用条件：多项式为二项式、两项符号相反、两项均为完全平方式。其中$$a$$、$$b$$可以是单项式、多项式，解题需遵循“先提公因式，再套公式，分解要彻底”的原则。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列多项式可以用平方差公式分解因式的是（） A. $$x^2+y^2$$ B. $$x^2-y^2$$ C. $$-x^2-y^2$$ D. $$x^2-2y$$ 2. 分解因式$$4x^2-25$$的结果正确的是（） A. $$(4x+5)(4x-5)$$ B. $$(2x+5)(2x-5)$$ C. $$(2x-5)^2$$ D. $$4(x+5)(x-5)$$ 3. 多项式$$-9+m^2$$因式分解的结果是（） A. $$(m+3)(m-3)$$ B. $$(3+m)(3-m)$$ C. $$(m-9)(m+9)$$ D. $$-(m+3)(m-3)$$ 二、填空题（每题4分，共20分） 4. 因式分解：$$x^2-16=$$________。 5. 因式分解：$$9a^2-4b^2=$$________。 6. 若$$x^2-k^2=(x+6)(x-6)$$，则$$k=$$________。 三、解答题（共60分） 7. 用平方差公式分解下列因式（每题10分） （1）$$1-x^2$$ （2）$$25m^2-36n^2$$ （3）$$(x+2)^2-(x-1)^2$$ 8. 综合分解题（15分）：先提公因式再用公式分解 $$2x^2-32$$。 9. 求值应用题（15分）：利用因式分解简便计算 $$101^2-99^2$$。 参考答案及解析 选择题：1.B（满足二项式、异号、平方形式三大条件）；2.B（$$4x^2=(2x)^2，25=5^2$$，套用平方差公式）；3.A（整理为$$m^2-9=m^2-3^2$$，再分解）。 填空题：4.$$(x+4)(x-4)$$；5.$$(3a+2b)(3a-2b)$$；6.$$\pm6$$。 解答题：7.（1）原式=$$(1+x)(1-x)$$；（2）原式=$$(5m+6n)(5m-6n)$$；（3）原式=$$[(x+2)+(x-1)][(x+2)-(x-1)]=(2x+1)\times3=3(2x+1)$$。 8. 原式=$$2(x^2-16)=2(x+4)(x-4)$$，注意优先提取公因式，再套用公式分解彻底。 9. 原式=$$(101+99)(101-99)=200\times2=400$$，利用平方差公式实现整数简便运算。 练习小结：平方差公式因式分解四步法：1. 判形式：是否为异号二项平方差；2. 提公因式：有公因式先优先提取；3. 套公式：找准整体$$a$$和$$b$$；4. 查彻底：分解后无平方差形式、无公因式残留。 学习目标 1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化 思想．（重点） 2.会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进 行因式分解． 3. 学习目标 用平方差公式进行因式分解 想一想：多项式 x2 - y2 有什么特点？你能将它因式分解吗？ 是 x，y 两数的平方差的形式 ) )( ( y x y x - + = 2 2 y x - ) )( ( 2 2 y x y x y x - + = - 整式乘法 因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 平方差公式： 1 像上面那样，把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法. x²－25＝ ＝ . 在平方差公式中，将 y 用 5 代入得到等式： (x＋5)(x－5)＝ ＝ . x²－5² x²－25 把这个等式从右到左使用，就可以把多项式 x²－25因式分解： x²－5² (x＋5)(x－5) 知识要点 (5x)2 - (2y)2 典例精析 例1 把多项式 25x²－4y² 因式分解. = (5x+2y)(5x-2y). x x y y + ( ) ( - ) x2 - y2 = 解：原式 = 5x 2y 5x 5x 2y 2y 2y 分析 由 25x²＝(5x)² 和 4y²＝(2y)² 可知， √ × × 辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来因式分解？为什么？ √ √ ★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成： ( )2 - ( )2的形式. （1）a2 + b2 （2） - a2 - b2 - ( a2 + b2 ) y2 - x2 （3） - x2 + y2 （4）x2 - 25y2 ( x + 5y )( x - 5y ) （5）m2 - 1 ( m + 1 )( m - 1 ) 方法总结：公式中的 x、y 无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. x x y y + ( ) ( - ) x2 - y2 = 把多项式 (x＋y)²－(x－y)² 因式分解. 解：原式＝ [(x＋y)＋(x－y)][(x＋y)－(x－y)] ＝2x·2y＝4xy. 做一做 例2 把多项式 x4－y4 因式分解. 解： x4－y4＝( x2 )2－( y2 )2 ＝( x2＋y2 )(x2－y2 ) ＝( x2＋y2 )( x＋y )(x－y ). 因式分解后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解. 分解因式： (1) (a＋b)2－4a2； (2) 9(m＋n)2－(m－n)2. 针对训练 ＝(2m＋4n)(4m＋2n) 解：(1) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a) ＝(b－a)(3a＋b). (2) 原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n ) ＝4(m＋2n)(2m＋n)． 若用平方差公式分解后的结果中还有公因式，一定要继续提公因式分解 例3 把多项式 x5－x3y² 因式分解. 分析：多项式 x5－x3y² 的各项有公因式 x3，故应先提公因式，然后运用公式法进行因式分解. 解：x5－x3y²＝x3(x2－y²) ＝x3( x＋y )(x－y). 方法总结：因式分解前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意因式分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止. 例4 把多项式 x4 － 9 因式分解. 解： x4－9＝( x2 )2－32 ＝( x2＋3 )( x2－3 ) ＝( x2＋3 )[ x2－( )2 ] ＝( x2＋3 )( x＋ )( x－ ). 方法总结：在进行因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止. 做一做：用简便方法计算： (1) 6.12－3.92； (2) 0.122－0.882. 解：(1) 原式＝( 6.1＋3.9 )( 6.1－3.9 ) ＝10×2.2＝22. (2) 原式＝( 0.12＋0.88 )( 0.12－0.88 ) ＝1×(－0.76 )＝－0.76. 方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化. 例6 试说明：当 n 为整数时，多项式 (2n + 1)2 - (2n - 1)2 一定能被 8 整除． 即多项式 (2n + 1)2 - (2n - 1)2 一定能被 8 整除． 解：原式 = (2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1) = 4n • 2 = 8n. 因为 n 为整数， 所以8n 一定能被 8 整除， 方法总结：说明整除问题的基本思路，就是将代数式化为整式的乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除． 例7 已知 x2 - y2 ＝ - 2，x ＋ y ＝ 1，求 x - y，x，y 的值． 所以 x - y＝ - 2 ②. 解：因为 x2 - y2＝( x ＋ y )( x - y )＝ - 2， x ＋ y ＝ 1 ①， 联立 ①② 组成二元一次方程组， 解得 方法总结：在与 x2 - y2，x±y 有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立组成方程组求值. 1. 下列多项式：； ； ；； ； .能用平方差公式因式分解的有 ( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 考试考法 15 返回 4 2．将(2x)n－81因式分解后得(4x2＋9)(2x＋3)·(2x－3)，则n＝________． 3.因式分解： ___________________ ____. 考试考法 4. 下面是明明同学把多项式 分解因式的具体步骤： 第一步 第二步 第三步 第四步 考试考法 17 （1）事实上，明明的解法是错误的，造成错误的原因是 __________________； 公因式没有提取完 （2）请给出这个问题的正确解法. 【解】原式 . 返回 考试考法 18 【解】原式＝(x－y)a2－(x－y)＝(x－y)(a2－1) ＝(x－y)(a＋1)(a－1)． 5. 把下列多项式因式分解： (1)(x－y)a2－x＋y; 　　　 (2)18(a－b)2－50(a＋b)2. 【解】原式＝2[9(a－b)2－25(a＋b)2]＝2[3(a－b)＋5(a＋b)][3(a－b)－5(a＋b)]＝2(3a－3b＋5a＋5b)(3a－3b－5a－5b)＝2(8a＋2b)(－2a－8b)＝－8(4a＋b)(a＋4b)． 返回 考试考法 19 返回 6. ［长沙市北雅中学期末］若, ,则 的值为( ) A A. 12 B. 4 C. 6 D. 考试考法 20 7. 可以被10和20之间某两个整数整除，则这两个数 是( ) A A. 17，15 B. 17，16 C. 15，16 D. 13，14 返回 考试考法 21 返回 b>c>a 8．[宜宾市模拟]设a＝73×1 412，b＝9322－4802，c＝5152－1912，则数a，b，c的大小关系是__________． 【点拨】b＝9322－4802＝(932＋480)×(932－480)＝1 412×452，c＝5152－1912＝(515＋191)(515－191)＝706×324＝1 412×162.因为73<162<452，所以b>c>a. 考试考法 22 返回 9. 利用因式分解计算： (1)3.14×5.52－3.14×4.52；     (2)123 456 7892－123 456 788×123 456 790.   【解】原式＝3.14×(5.52－4.52)＝3.14×(5.5＋4.5)×(5.5－4.5)＝3.14×10×1＝31.4. 【解】原式＝123 456 7892－(123 456 789－1)×(123 456 789＋1)＝123 456 7892－(123 456 7892－1)＝1. 考试考法 23 平方差公式分解因式 公式 a2 - b2 = ( a + b )( a - b ) 步骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解 课堂小结 $