辽宁沈阳市第十中学2025-2026学年高一下学期第三次质量监测数学试卷

**基本信息** 涵盖复数、立体几何、解三角形等高一核心知识，通过唐朝银杯、渔船航行等情境设计，考查数学眼光观察现实世界、逻辑推理与模型构建能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/40分|复数运算、平面性质、圆锥体积|基础概念与空间观念结合| |多选题|3题/15分|复数向量、圆锥性质、解三角形|多维度推理与几何直观考查| |填空题|3题/15分|三角形面积、几何体周长最值|空间想象与动态问题分析| |解答题|5题/80分|长方体体积最值、解三角形综合、三角函数性质|唐朝银杯体积优化（文化传承）、渔船航行定位（应用意识）等情境，体现模型构建与运算能力|

2025-2026学年度（下）沈阳市第十中学高一第三次质量检测 数学 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题 1．已知为虚数单位，且复数满足，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由，得，所以. 2．下列命题中真命题的为（    ） A．经过三点确定一个平面 B．两条直线确定一个平面 C．经过两点可以作无数个平面 D．经过一条定直线和一个定点的平面有且只有一个 【答案】C 【分析】由平面的确定定理判断即可. 【详解】对于A，三点共线时不能确定一个平面，故A错误; 对于B，当两直线是异面直线时，不能确定一个平面，故B错误； 对于C，过两点平面可以转动，所以可以作无数个，故C正确； 对于D，当点在直线上时，此时平面有无数个，故D错误； 故选：C. 3．已知分别为三个内角的对边，若，则的形状为 （    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】借助正弦定理、三角形内角和、诱导公式及两角和的正弦公式计算即可得. 【详解】由正弦定理将边化为角可得， 又， 故，故， 由，故，则，故， 即的形状为直角三角形. 4．已知圆锥的轴截面为等边三角形，高为，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由圆锥的轴截面是高为的等边三角形，则等边三角形的边长为， 则该圆锥底面半径为，母线长为，高为， 故该圆锥的体积为. 5．已知分别为 三个内角的对边，且满足，则角 的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理得 ， ， ，即 ， ，， ，， ． 6．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理得到边与角的关系，再结合三角形有两解的条件来确定b的取值范围. 【详解】在中，，， 由正弦定理可得： ， 因为，且时，时， 要使有两解， 则的取值有两个，一个锐角，一个钝角， 由于，且为三角形内角， 所以的取值范围是， 同时有两解时的取值要满足， 由，可得， 又因为，可得， 综上，的取值范围为. 7．一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【答案】D 【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【详解】如图，    由题意，在中，，，， 由正弦定理得， 所以， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以， 由正弦定理得， 所以， 因为，故为锐角， 故，此时灯塔C位于渔船的北偏西方向. 故选：D. 8．唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图2），当这种酒杯内壁的表面积（假设内壁表面光滑，表面积为S平方厘米，半球的半径为R厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆柱的高为，根据圆柱和球的表面积公式求得，再根据圆柱和球的体积公式求出酒杯和半球的体积，结合题意求得的范围，即可得解. 【详解】解：设圆柱的高为， 则，所以, 酒杯的体积， 半球的体积， 因为酒杯的容积不大于半球体积的2倍， 所以，解得， 又因，所以， 所以. 故选：D. 二、多选题 9．设复数，（x，），在复平面内，，对应的向量分别为，，O为坐标原点，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】利用共轭复数及复数模的意义求解判断A；利用复数乘法及模的意义求解判断B；利用向量共线的坐标表示判断C；确定点的轨迹并求出最大值判断D. 【详解】对于A，，则，A正确； 对于B，，， 而，因此，B正确； 对于C，，由，得，C错误； 对于D，由，即， 得点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 表示点与点的距离，该距离最大值为，D正确. 10．如图，已知圆锥的底面直径，母线，则下列说法正确的有（    ） A．圆锥的体积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆锥展开图中圆心角为 D．若，一只蚂蚁沿着表面从A爬到C，则最短距离为 【答案】ACD 【分析】根据题意，求出圆锥的底面半径r、母线长l和高h，利用圆锥体积公式及侧面积公式可判断A、B；利用弧长公式求出侧面展开图中圆心角判断C；把侧面沿展开，利用余弦定理计算即可判断D． 【详解】选项A：由题意可知，圆锥底面半径，母线长， 则圆锥的高，所以圆锥的体积，故A正确； 选项B：圆锥的侧面积，故B错误； 选项C：圆锥底面周长为， 设侧面展开图的圆心角为α， 则，即，解得，故C正确； 选项D：将圆锥侧面沿母线展开，如图所示， 最短距离为， 因为为底面直径，所以点为弧的中点， 则， 在中，，，， 由余弦定理得， 解得， 即最短距离为，故D正确． 11．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.下列说法正确的有（    ） A． B．的取值范围为 C．取值范围为 D．若的平分线交于，，，则 【答案】ABD 【分析】先通过正弦定理将边化为角，利用和差角公式对已知条件进行三角恒等变形，推导出核心关系 ；再结合锐角三角形的条件，列出三个角的不等式组，求出角 的取值范围，选项A直接验证关系；选项B通过正弦定理将边的比值转化为关于的函数，结合函数单调性求值域；选项C根据的范围判断的取值范围；选项D利用角平分线的面积关系建立等式，结合半角公式进行计算即可判断. 【详解】选项A：由正弦定理 ，得 ， 代入得： ， 所以， 所以， 由，得 ，故 ， 于是 ，在三角形中，解得 ，即 ，故选项A正确； 选项C：因为△ABC为锐角三角形，所以 ， 解得：，故 ，故选项C错误； 选项B： ， 因为，令 ，则 ， 函数 在该区间单调递增， ，， 所以，故选项B正确； 选项D：因为，且为锐角，得： 由 ，得：， 所以， 因为 AD是的平分线， 由面积关系，得： 所以， 因为，代入得：， 两边同除以：， 由三角恒等式，得： 又因为 ，所以 ，故选项D正确. 三、填空题 12．已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，且，则的面积为___________． 【答案】6 【分析】利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合三角形面积公式求解. 【详解】设外接圆半径为，由正弦定理可得： ，又因为，， 所以，化简得：， 所以. 13．如图，在正三棱柱，（底面为正三角形的直三棱柱称为正三楼柱）中，，，，分别是棱，的中点，为棱上的动点，则的周长的最小值为______. 【答案】 【分析】先计算DF的长度，将底面ABC展开与侧面在同一个平面，当三点D，E，F在同一条直线时DE+EF取得最小值，利用余弦定理求解即可 【详解】由正三棱柱ABC，可得AA1⊥底面ABC，∴⊥AB，⊥AC． 在Rt△ADF中，DF=． 把底面ABC展开与侧面在同一个平面，如图所示， 只有当三点D，E，F在同一条直线时，DE+EF取得最小值． 在△ADF中，∠DAF=60°+90°=150°，由余弦定理可得： DF=． ∴△DEF周长的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查棱柱的折叠与展开问题，考查余弦定理解三角形， 空间问题平面化是解此类问题的关键 14．在中，，D为BC边上一点，且．若AD为的平分线，且为锐角三角形，则边AC的取值范围______． 【答案】 【分析】设，由已知确定范围，在与中分别用正弦定理，得到与的关系求解即可. 【详解】因为为的平分线， 所以可设，则，， 因为为锐角三角形，所以，即,所以. 在中，由正弦定理得，③ 在中，由正弦定理得，④ ④÷③得， 又，所以， 设，又， 所以，所以在上为增函数， 所以． 四、解答题 15．已知复数． (1)求和； (2)若复数是关于的方程的一个根，求的值． 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）利用复数的除法运算求出复数，再求其共轭复数和模长即可； （2）根据实系数方程的根的定义代入方程，利用复数相等得出的方程组，求解即可. 【详解】（1）因复数，…………2 则，………………4 .……………………6 （2）因为是关于的方程的一个根， 所以是方程的另一个根………………8 由韦达定理得即………………11 解得：，．………………12 16．记的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）辅助角公式结合角的范围即可求解； （2）由三角形的面积公式结合余弦定理即可求解. 【详解】（1）由， 有，即，……………………2 ，，………………4 ，；……………………6 （2）由（1）的结论有， 又，， 由三角形面积公式有 ，……………………8 ，………………10 在中，由余弦定理有 ，………………12 ，……………………14 的周长.……………………15 17．已知函数. (1)求的最小正周期; (2)若，求出的单调递减区间. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用二倍角和辅助角公式化简函数为的形式, 再利用周期公式求函数的最小正周期, (2)根据 ,令 ，则可求出的范围,从而得出的单调递减区间. 【详解】 （1） .………………6 的最小正周期为 .………………8 （2）令 ，则 ，………………10 又函数 在 上单调递减，即 时，的单调递减，………………13 当 时，的单调减区间为.…………………………15 18．如图，长方体的长、宽、高分别为x，y，2且，. (1)当底面ABCD为正方形时， （i）求长方体的表面积； （ii）求三棱锥体积和外接球体积； (2)取、的中点分别为M、N，求三棱锥的体积的最大值. 【答案】(1)（i）10（ii）； (2) 【详解】（1）（i）因为底面ABCD为正方形，所以，…………2 则长方体的表面积为；………………4 （ii）由图和已知， ， 故三棱锥体积为，…………………………6 由题可知，三棱锥的外接球即长方体的外接球， 设该外接球的半径为R，则，……………………8 因此三棱锥外接球体积；………………10 （2）因为M、N分别为、的中点， 所以，………………11 则………………13 ，………………15 当且仅当时，等号成立，即三棱锥的体积的最大值为.………………17 19．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，的中点为． (1)求； (2)若，求内切圆面积的最大值； (3)若为锐角三角形，，求线段的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【详解】（1）由题意可知，化简得， 可得，……………………2 因为，所以， 可得或，解得或.……………………4 （2）由题意可得，化简得， 所以，所以由（1）可知，可得，…………5 可知，化简得， 即，可得.…………6 由基本不等式可知，即，当且仅当时取等号， 所以，由，解得.………………7 设内切圆半径为，则， 可得， 因为， 所以，……………………9 因为，所以， 当时，内切圆半径为取得最大值，此时内切圆面积的最大值为.…………10 （3）可知，所以， 因为为锐角三角形，所以，………………11 所以， 可知，可得，所以，…………12 因为，所以，………………13 则， 化简得，………………14 因为，由，可得，解得，…………15 所以，可得，所以，即 所以线段的取值范围为.………………17 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（下）沈阳市第十中学高一第三次质量检测 数学 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题 1．已知为虚数单位，且复数满足，则（   ） A．1 B． C．2 D． 2．下列命题中真命题的为（    ） A．经过三点确定一个平面 B．两条直线确定一个平面 C．经过两点可以作无数个平面 D．经过一条定直线和一个定点的平面有且只有一个 3．已知分别为三个内角的对边，若，则的形状为 （    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 4．已知圆锥的轴截面为等边三角形，高为，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 5．已知分别为 三个内角的对边，且满足，则角 的大小为（    ） A． B． C． D． 6．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 8．唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图2），当这种酒杯内壁的表面积（假设内壁表面光滑，表面积为S平方厘米，半球的半径为R厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R的取值可能为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设复数，（x，），在复平面内，，对应的向量分别为，，O为坐标原点，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则的最大值为 10．如图，已知圆锥的底面直径，母线，则下列说法正确的有（    ） A．圆锥的体积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆锥展开图中圆心角为 D．若，一只蚂蚁沿着表面从A爬到C，则最短距离为 11．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.下列说法正确的有（    ） A． B．的取值范围为 C．取值范围为 D．若的平分线交于，，，则 三、填空题 12．已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，且，则的面积为___________． 13．如图，在正三棱柱，（底面为正三角形的直三棱柱称为正三楼柱）中，，，，分别是棱，的中点，为棱上的动点，则的周长的最小值为______. 14．在中，，D为BC边上一点，且．若AD为的平分线，且为锐角三角形，则边AC的取值范围______． 四、解答题 15．已知复数． (1)求和； (2)若复数是关于的方程的一个根，求的值． 16．记的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长. 17．已知函数. (1)求的最小正周期; (2)若，求出的单调递减区间. 18．如图，长方体的长、宽、高分别为x，y，2且，. (1)当底面ABCD为正方形时， （i）求长方体的表面积； （ii）求三棱锥体积和外接球体积； (2)取、的中点分别为M、N，求三棱锥的体积的最大值. 19．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，的中点为． (1)求； (2)若，求内切圆面积的最大值； (3)若为锐角三角形，，求线段的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $