精品解析：河南平顶山市鲁山县第六教研区2025-2026学年八年级下学期5月阶段检测数学试题

2025～2026学年下学期初中生学情分析与测评（三） 八年级数学（BS） （考试范围：第一章～第五章第2节） 注意事项： 1．本试卷共2页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 3．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，即是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则x取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式中成立是（ ） A. B. C. D. 4. 将线段平移得到线段，点的对应点为，则点的对应点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，在等腰中，，为边上的高线，，且交的延长线于点E．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列式子中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知不等式2x-a≤0的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围是（ ） A. 6＜a＜8 B. 6≤a＜8 C. 6＜a≤8 D. 6≤a≤8 8. 如图，直线与直线与 (为常数，)相交于点，则关于的不等式的解集为（　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知中，，，，在所在平面内一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________． 12. 若分式的值为0，则实数x的值为______． 13. 如图，直线与正五边形两边交于O、Q两点，则的度数为______． 14. 将含的直角三角板直角顶点放置在直尺的一边上，，与直尺的交点分别为点，，，如图．若点，对应的刻度分别为，，，则的长是______cm． 15. 如图，在中，，，．将沿x轴依次以点A，B，O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②，图③，则旋转得到的图99的直角顶点的坐标为________． 三、解答题（本大题共8个小题，75分） 16. 解不等式组，请按下列步骤完成解答． （1）解不等式①，得________； （2）解不等式②，得________； （3）把不等式①和②的解集在如图所示的数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集为________． 17. 先化简，再从，1，2，3中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 18. 在边长为1个单位长度的正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）作出向左平移4个单位长度后得到的； （2）作出关于原点O对称的； （3）可看作是以点 为旋转中心，旋转得到的． 19. 如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2. (1)Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由； (2)△CDE是不是直角三角形？并说明理由． 20. 如图，在中，，，． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①作的平分线，交于点； ②作线段的垂直平分线，交于点，交于点． （2）连接，求线段的长． 21. 学校计划在科技节举办模型展示活动，准备采购两种科技模型：“智能小车”模型和“简易飞机”模型．“智能小车”模型每套99元，“简易飞机”模型每套29元，这两种模型均需购买，用于学生分组实践与展示． （1）若学校计划购买这两种模型共200套，采购总费用恰好9300元．请问“智能小车”模型和“简易飞机”模型各购买了多少套？ （2）若学校采购这两种模型的总预算资金只有8000元，且仍需购买200套模型．那么，在预算范围内，最多可以购买“智能小车”模型多少套？ 22. 八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将分解因式． 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式 【类比】 （1）请用以上方法将分解因式； 【挑战】 （2）请用以上方法将分解因式； 【应用】 （3）已知的三边长a、b、c满足条件：，判断的形状，并说明理由 23. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如：，，则和都“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________+________； （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________+________； （3）化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年下学期初中生学情分析与测评（三） 八年级数学（BS） （考试范围：第一章～第五章第2节） 注意事项： 1．本试卷共2页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 3．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，即是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．寻找对称中心、对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌中心对称图形则是指一个图形可以绕着一个点（‌对称中心）‌旋转，‌使得旋转前后的图形互相重合．‌根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； B．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C． 可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，也可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项不符合题意； D．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，可找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：C． 2. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零的条件是解题的关键． 根据分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， ， 解得 故选：C． 3. 若，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质． 根据不等式的基本性质，对选项进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴选项、、不符合题意， ∵， ∴， ∴， ∴选项符合题意， 故选：． 4. 将线段平移得到线段，点的对应点为，则点的对应点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】线段平移时所有点的平移规律一致，先根据点A及其对应点C得到平移规律，再计算点B的对应点D的坐标即可． 【详解】解：∵线段平移得到线段，点的对应点为． ∴平移规律为横坐标增加，纵坐标增加． ∵点的坐标为． ∴点的对应点的横坐标为，纵坐标为． 即的坐标为． 5. 如图所示，在等腰中，，为边上的高线，，且交的延长线于点E．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求解，，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：在等腰中，，， ∴， ∵为边上的高线， ∴， ∵， ∴． 6. 下列式子中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，根据分式的运算法则以及分式的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 7. 已知不等式2x-a≤0的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围是（ ） A. 6＜a＜8 B. 6≤a＜8 C. 6＜a≤8 D. 6≤a≤8 【答案】B 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，再根据其正整数解列出不等式，解此不等式即可． 【详解】解：解不等式2x-a≤0得到：x≤， ∵正整数解为1，2，3， ∴3≤＜4， 解得6≤a＜8． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，根据x的取值范围正确确定的范围是解题的关键．再解不等式时要根据不等式的基本性质． 8. 如图，直线与直线与 (为常数，)相交于点，则关于的不等式的解集为（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，先利用直线的解析式确定点的坐标，然后结合函数特征写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：把代入得， 解得， 当时，， 故选：A． 9. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，能由作图过程判断出是的垂直平分线是解决问题的关键．由作图过程可得是的垂直平分线，得到，则，，进而推出，由三角形内角和定理得，即可求解． 【详解】解：由作图过程可知：是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴． 故选：C． 10. 如图，已知中，，，，在所在平面内一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，正确利用图形分类讨论，得出等腰三角形是解答本题的关键． 根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论：当以为等腰三角形的腰时，当以为等腰三角形的底时，找出满足题意的直线，得到答案． 【详解】解：根据题意， 当以为等腰三角形的腰时： 如图， 如图， 如图， 当以为等腰三角形的底时： 如图，， 综上，有，，，四条直线满足题意， 故选：． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：． 12. 若分式的值为0，则实数x的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式值为的条件，即分子等于，分母不为，计算即可． 【详解】解：由题意得 且 ， 由 解得 ， 由 ，因式分解得， 解得 或 ，不符合分母不为的条件，舍去， 所以实数的值为． 13. 如图，直线与正五边形两边交于O、Q两点，则的度数为______． 【答案】##144度 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边的定义，多边形的内角和及正多边的定义得，由四边形的内角和为，即可求解；理解正多边的定义，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：五边形是正五边形， ， ， 故答案为：． 14. 将含的直角三角板直角顶点放置在直尺的一边上，，与直尺的交点分别为点，，，如图．若点，对应的刻度分别为，，，则的长是______cm． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意得出，，进而得出，根据三角形内角和定理得到，证明是等边三角形，即可得到答案． 【详解】解：由题意得：，， ， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，．将沿x轴依次以点A，B，O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②，图③，则旋转得到的图99的直角顶点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出长，再根据旋转过程得出规律：每3次旋转（对应3个图）为一个循环，一个循环后，直角顶点落在x轴上，且整体向右平移的距离为，此时纵坐标为0，则图99正好经过33次循环，据此求解即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 观察旋转过程可知：每3次旋转（对应3个图）为一个循环，一个循环后，直角顶点落在x轴上，且整体向右平移的距离为，此时纵坐标为0， ， 图99刚好完成33次循环， 此时直角顶点的横坐标为，纵坐标为， 图99的直角顶点坐标为． 三、解答题（本大题共8个小题，75分） 16. 解不等式组，请按下列步骤完成解答． （1）解不等式①，得________； （2）解不等式②，得________； （3）把不等式①和②的解集在如图所示的数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集为________． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得， 【小问2详解】 解： 去括号得， 移项得，， 合并同类项得，， 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：原不等式组的解集为． 17. 先化简，再从，1，2，3中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】；当时，原式；当时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，分式有意义的条件，先根据分式混合运算法则进行化简，然后根据分析有意义的条件，选择合数的数，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， 当时，原式； 当时，原式． 18. 在边长为1个单位长度的正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）作出向左平移4个单位长度后得到的； （2）作出关于原点O对称的； （3）可看作是以点 为旋转中心，旋转得到的． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换、旋转变换、中心对称，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）连接，，，相交于点M，则可看作以点M为旋转中心，旋转得到的，通过图形和坐标系确定点的坐标； 【小问1详解】 解：如图即为所求， 【小问2详解】 解：如图，即为所求， 【小问3详解】 解：连接，，，相交于点M， 则可看作以点M为旋转中心，旋转得到的， 由图可知，点M的坐标为． 故答案为：． 19. 如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2. (1)Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由； (2)△CDE是不是直角三角形？并说明理由． 【答案】（1）全等（2）是直角三角形 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据∠1=∠2，得DE=CE，利用“HL”可证明Rt△ADE≌Rt△BEC； （2）是直角三角形，由Rt△ADE≌Rt△BEC得，∠3=∠4，从而得出∠4+∠5=90°，则△CDE是直角三角形． 解：（1）全等，理由是： ∵∠1=∠2， ∴DE=CE， ∵∠A=∠B=90°，AE=BC， ∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）； （2）是直角三角形，理由是： ∵Rt△ADE≌Rt△BEC， ∴∠3=∠4， ∵∠3+∠5=90°， ∴∠4+∠5=90°， ∴∠DEC=90°， ∴△CDE是直角三角形． 点评：考查了直角三角形的判定，全等三角形的性质，做题时要结合图形，在图形上找条件． 20. 如图，在中，，，． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①作的平分线，交于点； ②作线段的垂直平分线，交于点，交于点． （2）连接，求线段的长． 【答案】（1）①见详解；②见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据角平分线的尺规作图过程进行解答即可； ②根据垂直平分线的尺规作图过程进行解答即可； （2）结合角平分线以及垂直平分线的性质，证明，运用30度角的直角三角形的性质得，再列式化简得，最后代入数值计算，即可作答． 【小问1详解】 解：①作的平分线，交于点，如图所示： ②作线段的垂直平分线，交于点，交于点，如图所示． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 即， ∴． 21. 学校计划在科技节举办模型展示活动，准备采购两种科技模型：“智能小车”模型和“简易飞机”模型．“智能小车”模型每套99元，“简易飞机”模型每套29元，这两种模型均需购买，用于学生分组实践与展示． （1）若学校计划购买这两种模型共200套，采购总费用恰好为9300元．请问“智能小车”模型和“简易飞机”模型各购买了多少套？ （2）若学校采购这两种模型的总预算资金只有8000元，且仍需购买200套模型．那么，在预算范围内，最多可以购买“智能小车”模型多少套？ 【答案】（1）“智能小车”模型50套，“简易飞机”模型150套 （2）31套 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和不等式的实际应用，审清题意找到等量关系是解题的关键． （1）根据等量关系“两种模型共200套，总费用恰好为9300元”，列出方程组求解即可； （2）根据不等量关系“总预算资金只有8000元”，列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设购买“智能小车”模型x套，“简易飞机”模型y套， 由题意可得，，解得， 答：购买“智能小车”模型50套，“简易飞机”模型150套； 【小问2详解】 解：设在预算范围内，可以购买“智能小车”模型m套，则购买“简易飞机”模型套， 由题意可得，，解得， 又∵m为正整数， ∴m的最大值为31， 答：在预算范围内，最多可以购买“智能小车”模型31套． 22. 八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将分解因式． 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式 【类比】 （1）请用以上方法将分解因式； 【挑战】 （2）请用以上方法将分解因式； 【应用】 （3）已知的三边长a、b、c满足条件：，判断的形状，并说明理由 【答案】（1）；（2）；（3）是等腰三角形或者直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题关键是熟练掌握利用分组法、提取公因式法与公式法分解因式． （1）先利用加法的结合律把前两项结合，后两项结合，然后把前两项利用平方差公式分解因式，再提取公因式即可； （2）先利用加法的结合律把分成一组，利用完全平方公式将其分解因式，再利用平方差公式计算即可． （3）先分组进行因式分解，再根据或者两种情况进行讨论即可． 【详解】解：（1） （2） （3）是等腰三角形或者直角三角形，理由如下： 或 当时， 即不符合题意，舍去) 此时是等腰三角形 当时, 此时是直角三角形 综上，是等腰三角形或者直角三角形 23. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如：，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________+________； （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________+________； （3）化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】（1）2， （2）， （3）化简结果为；x取时，该式的值为整数 【解析】 【分析】（1）根据“和谐分式”的定义，通过凑项法将分式变形即可； （2）根据“和谐分式”的定义，通过凑项法将分式变形即可； （3）先将原式化简为，讨论要使该式的值为整数时需满足的条件，并结合原分式有意义的条件，求出满足条件的整数的值即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：原式 ； ∵该式的值为整数， ∴或， 解得， ∵要使分式有意义， ∴， ∴，即当x取时，该式的值为整数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $