精品解析：河南省平顶山市鲁山县部分中学2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试题

2024~2025学年八年级下学期5月月考 八年级数学 （时间∶100分钟 满分∶120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 国家提倡推行生活垃圾分类，下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、可回收物和其他垃圾，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误； B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B正确； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C错误； D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误． 故选：B． 2. 下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解定义解答． 【详解】解：中不是整式，故A选项不符合题意； 是整式乘法计算，故B选项不符合题意； 是因式分解，故C选项符合题意； 不是分解为整式的乘积形式，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查因式分解的定义：将一个多项式写成几个整式的积的形式叫做将多项式分解因式，熟记定义是解题的关键． 3. 下面数轴上所表示的不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，根据数轴上表示的解集确定出不等式即可． 【详解】解：如图，数轴上所表示的不等式是． 故选：D． 4. 用反证法证明“在中，，则是锐角”，应先假设（ ） A. 在中，一定是直角 B. 在中，是直角或钝角 C. 在中，是钝角 D. 在中，可能是锐角 【答案】B 【解析】 【分析】假设命题的结论不成立或假设命题的结论的反面成立，然后推出矛盾，说明假设错误，结论成立． 【详解】解：用反证法证明命题“在中，，则是锐角”时，应先假设在中，是直角或钝角． 故选B． 【点睛】本题考查反证法，记住反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 5. 如图，把绕点按顺时针旋转，得到．点落在边上，若于点，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解答本题的关键． 由旋转的性质可得，，由于点，得，由三角形内角和定理可求解． 【详解】解：把绕点顺时针旋转，得到， ，， 于点， ， ，， ． 故选：A． 6. 小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，2，，a，分别对应下列六个字：数，爱，我，化，物，学．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱化 B. 爱物化 C. 我爱数学 D. 物化数学 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，根据因式对应信息，合理搭配信息即可，分解因式是关键． 题意给出了因式对应的含义，需要对多项式进行因式分解，然后一一对应查找替代即可呈现密码信息． 【详解】解：∵ ， 分别对应4个汉字：我，爱，数，学． 则呈现的密码信息可能是：我爱数学． 故选：C． 7. 如图，若，则表示的值的点落在( ) A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 【答案】B 【解析】 【分析】把变形得，代入即可求出分式的值，再看值的点落在的位置． 【详解】解：∵， ， ∴==， ∴表示的值的点落在段②， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式值，能正确把变形为是解此题的关键． 8. 近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程25千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程21千米，走路线b比路线a平均速度提高，时间节省20分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/时，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式的运用，理解数量关系，正确列式是关键，设走路线a的平均速度为x千米/时，则走路线b的平均速度为千米/时，由此列式求解即可． 【详解】解：设走路线a的平均速度为x千米/时，则走路线b的平均速度为千米/时， ∵走路线b比路线a时间节省20分钟， ∴， 故选：B． 9. 若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由得，由得，再结合“有解”这个条件得，解得．本题主要考查了由不等式组解集的情况求参数，以及解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴由得， ∴由得， 关于的不等式组有解， ∴， 解得：， 故选：B． 10. 如图，在中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①和都是等腰三角形；②；③的周长等于边与的和；④；⑤．其中一定正确的是（ ） A. ①②⑤ B. ①②③④ C. ①②④ D. ①②③⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】①根据平行线性质和角平分线定义可以得到，从而得到和都是等腰三角形；②同①有，所以；③由②得：的周长为：；④因为不一定等于，所以不一定等于，所以与不一定相等；⑤由角平分线定义和三角形内角和定理可以得解． 【详解】解：， ， 中，与的平分线交于点， ， ， ， 即和都是等腰三角形； 故①正确； ，故②正确； 的周长为：； 故③正确； 不一定等于， 不一定等于， 与不一定相等， 故④错误； 由题意知，， ∴ 故⑤正确， 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质及三角形的内角和定理；题目利用了两直线平行，内错角相等及等角对等边来判定等腰三角形；等量代换的利用是解答本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________. 【答案】n（m+2）（m﹣2） 【解析】 分析】先提取公因式 n，再利用平方差公式分解即可． 【详解】m2n﹣4n=n（m2﹣4）=n（m+2）（m﹣2）．. 故答案为n（m+2）（m﹣2）． 【点睛】本题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键 12. 时，分式无意义，时，此分式的值为0，则___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件和分式值为0的条件，分式无意义的条件是分母为0，分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，且分母不为0，据此求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵时，分式无意义， ∴是方程的解，即， ∴； ∵时，此分式的值为0，且此时满足， ∴是方程的解，， ∴， ∴， 故答案为：6． 13. 某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，娜娜得分要超过90分，设她答对了n道题，则根据题意可列不等式___． 【答案】10n﹣5（20﹣n）＞90 【解析】 【分析】根据答对题的得分：10n；答错题的得分：﹣5（20﹣n），得出不等关系：得分要超过90分． 【详解】解：根据题意，得10n﹣5（20﹣n）＞90． 故答案为10n﹣5（20﹣n）＞90． 【点睛】本题考查了列不等关系，认真审题，找到题目中隐藏的不等关系并正确建立不等关系式是解题关键. 14. 若关于的分式方程无解，则_________． 【答案】或1 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解问题，分两种情况分别计算，①当时，该整式方程无解，②当时，由分式方程无解得到增根或，代入整式方程即可求解． 【详解】解： 两边同乘以得，， 整理得， ①当时，该整式方程无解， 此时； ②当时，要使原方程无解， 则，即或， 把代入整式方程，a的值不存在， 把代入整式方程，得，解得． 综合①②得或． 故答案为：或1． 15. 如图，等腰中，，，垂直平分，交于点．若点为的中点，点为上一动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合“将军饮马”问题的求解方法步骤，利用对称性求解即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 垂直平分，交于点， ， ， 根据点到直线的距离最短是垂线段长，可知当三点共线，时，有最小值， 等腰中，，，点为的中点， 由等腰三角形“三线合一”可知，，，则， 当三点共线，时，有最小值，为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题-将军饮马问题，涉及中垂线性质、等腰三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握将军饮马问题求动点最值的方法步骤是解决问题的关键． 三、解答题（本题8个小题，共75分） 16. 计算∶ （1）解方程∶ ； （2）解不等式组 【答案】（1）无解 （2） 【解析】 【分析】本题考查解分式方程与解不等式组，熟练掌握解分式方程方法和确定不待式组解集原则是解题的关键．注意解分式方程要验根． （1）先去分母将分式方程化成整式方程求解，再检验即可求解； （2）先分别求出每一个不等式和解集，再根据“大大取大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找”的原则确定出不等式组解集即可． 【小问1详解】 解： 方程两边同时乘以，得 ， ∴， 检验：把代入，得， ∴原方程无解． 【小问2详解】 解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为． 17. 先化简代数式，再从，，，四个数中选择一个你喜欢的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的混合运算化简，然后根据分式有意义的条件取舍的值，代入化简结果进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ， ， 只能取， 当时，原式． 18. 如图，在中． （1）尺规作图：在边上找一点D，使；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，垂直平分，交于点E，若，的周长为13，求的周长． 【答案】（1）见详解；（2）19 【解析】 【分析】（1）作AC的垂直平分交BC于点D，即可； （2）根据垂直平分线的性质，可得AD=CD，AC=6，结合AB+BD+CD=13，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示： （2）∵垂直平分，， ∴AC=2×3=6，AD=CD， ∵的周长为13， ∴AB+BD+AD=13， ∴AB+BD+CD=13，即：AB+BC=13， ∴周长= AB+BC+AC=13+6=19． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质和尺规作图，掌握垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 19. 阅读理解题： 阅读：解不等式（x+1）（x﹣3）＞0． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为：或． 解不等式组 ，得：x＞3； 解不等式组 ，得：x＜﹣1； 所以原不等式的解集为：x＞3或x＜﹣1． 问题解决：根据以上阅读材料，解不等式（x﹣2）（x+3）＜0． 【答案】﹣3＜x＜2 【解析】 【分析】根据阅读材料可得：当x﹣2和x+3异号时不等式成立，据此即可转化为不等式问题求解． 【详解】解：根据两数相乘，异号得负，原不等式可以转化：或． 解不等式组，不等式组无解； 解不等式 ，解得﹣3＜x＜2． 所以原不等式的解集为：﹣3＜x＜2． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解题规律是：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 20. 某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现，购买1个甲礼品比购买1个乙礼品多花40元，并且花费600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数量相等． （1）求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？ （2）学校准备购买甲、乙两种礼品共30个送给福利院的老人，要求购买礼品的总费用不超过2000元，那么最多可购买多少个甲礼品？ 【答案】（1）甲礼品100元，乙礼品60元；（2）5． 【解析】 【详解】试题分析：（1）设购买一个乙礼品需要x元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设总费用不超过2000元，可购买m个甲礼品，则购买乙礼品（30﹣m）个，根据题意列不等式求解即可． 试题解析：（1）设购买一个乙礼品需要x元，根据题意得：，解得：x=60，经检验x=60是原方程的根，∴x+40=100． 答：甲礼品100元，乙礼品60元； （2）设总费用不超过2000元，可购买m个甲礼品，则购买乙礼品（30﹣m）个，根据题意得：100m+60（30﹣m）≤2000，解得：m≤5． 答：最多可购买5个甲礼品． 考点：1．分式方程的应用；2．一元一次不等式的应用；3．最值问题． 21. 阅读材料，拓展知识． 第一步：要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：，这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）______． 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解： ①______． ②______． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）这个三角形为等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的分组分解方法，等边三角形的判定，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）仿照例题，先分组，再利用提取公因式法分解即可； （2）①先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可； ②先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可； （3）移项后分解因式，可得出，则可得出答案． 【详解】解：（1） 故答案为：； （2）① ； ② ； （3）这个三角形为等边三角形． 理由如下： ∵， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴这个三角形是等边三角形． 22. 如图，在中，，，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，交于点F． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件证出，即可得证． （2）根据条件求出的度数，然后根据四边形内角和求出的度数，最后用的度数即可． 【小问1详解】 解：证明：∵绕点B按逆时针方向旋转， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴． 【小问2详解】 解：由旋转可得：， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了图形的旋转、全等三角形的判定、等腰三角形的性质等知识点，充分利用旋转性质是解题关键． 23. 【例题回顾】本学期我们学习了角平分线定理及其逆定理，下面的例题1同时运用了角平分线定理及其逆定理完成了该几何问题的证明． 例题1已知∶如图，，分别是，的平分线，，，垂足分别为点D，E． 求证：点O在的平分线上． 证明∶过点O作，垂足为点F， ∵，分别是，的平分线（已知）， ，（已知）， （所作）． ∴，（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）， ∴（等量代换）， ∴点O在的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． 【研究老图形】 在例题1的图中，分别连接，，． （1）点O为三条的 交点，点O为三条 的交点（填写序号）； ①边的垂直平分线②角平分线③高④中线 （2）小普发现和的内角之间存在一定的数量关系，如果，那么 ；（用含m的代数式表示） 【解决新问题】 为了方便研究，小普同学把满足例1条件的叫做的“内三角形”，点O叫做“共心”． （3）已知是的“内三角形”，点O是“共心”，点D，E，F分别在边，，上，且．先画出符合条件的示意图，再过点E作于点G，求证∶点G在直线上． 【答案】解∶（1）②，①；（2）；（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，中垂线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键： （1）对于：根据角平分线的定义和已知条件，、是角平分线，利用角平分线性质及逆定理，判断点是三条角平分线交点．对于：通过证明等，得出点、在线段垂直平分线上，同理证、是、垂直平分线，从而确定点是三条边垂直平分线交点． （2）先利用、，结合等腰三角形性质表示出、，进而得出与的关系．再依据、，结合四边形内角和及，求出，进而得到，最终算出 ． （3）先根据、推出，结合（2）的结论得 ．由推出，得，即点在垂直平分线上 ．证明，得出、，即是垂直平分线，从而证得点在直线$AO$上 ． 【详解】解：（1）已知，分别是，的平分线，，， 过点作． 根据角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 ． 因为是的平分线，，， 所以； 又因为是的平分线，，， 所以． 由且， 通过等量代换可得 ． 因为，，， 所以点在的平分线上． 由于、、分别是三个角的平分线， 所以点为三条角平分线的交点． 如图所示， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴点B在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， 同理：是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线， 因此，点O为三条边的垂直平分线的交点． 故答案为：②，①； （2）如图1所示， ，， ，， ， ，， ， 在和中， ，， ， 即， ， ， ，． 故答案为：； （3）示意图如图2所示． ，， ， 由（2）可知． ， ，， ， ， 点在的垂直平分线上． 在和中， ，，， ， ，， 是的垂直平分线， 点在直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年八年级下学期5月月考 八年级数学 （时间∶100分钟 满分∶120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 国家提倡推行生活垃圾分类，下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、可回收物和其他垃圾，其中既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 下面数轴上所表示的不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用反证法证明“在中，，则是锐角”，应先假设（ ） A. 在中，一定是直角 B. 在中，是直角或钝角 C. 在中，是钝角 D. 在中，可能是锐角 5. 如图，把绕点按顺时针旋转，得到．点落在边上，若于点，则的度数为（    ） A. B. C. D. 6. 小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，2，，a，分别对应下列六个字：数，爱，我，化，物，学．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱化 B. 爱物化 C. 我爱数学 D. 物化数学 7. 如图，若，则表示的值的点落在( ) A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 8. 近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程25千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程21千米，走路线b比路线a平均速度提高，时间节省20分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/时，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C D. 9. 若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①和都是等腰三角形；②；③的周长等于边与的和；④；⑤．其中一定正确的是（ ） A. ①②⑤ B. ①②③④ C. ①②④ D. ①②③⑤ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________. 12. 时，分式无意义，时，此分式的值为0，则___________． 13. 某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，娜娜得分要超过90分，设她答对了n道题，则根据题意可列不等式___． 14. 若关于的分式方程无解，则_________． 15. 如图，等腰中，，，垂直平分，交于点．若点为的中点，点为上一动点，则的最小值为________． 三、解答题（本题8个小题，共75分） 16. 计算∶ （1）解方程∶ ； （2）解不等式组 17. 先化简代数式，再从，，，四个数中选择一个你喜欢的数代入求值． 18. 如图，在中． （1）尺规作图：在边上找一点D，使；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，垂直平分，交于点E，若，的周长为13，求的周长． 19. 阅读理解题： 阅读：解不等式（x+1）（x﹣3）＞0． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为：或． 解不等式组 ，得：x＞3； 解不等式组 ，得：x＜﹣1； 所以原不等式的解集为：x＞3或x＜﹣1． 问题解决：根据以上阅读材料，解不等式（x﹣2）（x+3）＜0． 20. 某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现，购买1个甲礼品比购买1个乙礼品多花40元，并且花费600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数量相等． （1）求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？ （2）学校准备购买甲、乙两种礼品共30个送给福利院老人，要求购买礼品的总费用不超过2000元，那么最多可购买多少个甲礼品？ 21. 阅读材料，拓展知识． 第一步：要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：，这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）______． 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解： ①______． ②______． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 22. 如图，在中，，，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，交于点F． （1）求证：； （2）求的度数． 23. 【例题回顾】本学期我们学习了角平分线定理及其逆定理，下面的例题1同时运用了角平分线定理及其逆定理完成了该几何问题的证明． 例题1已知∶如图，，分别是，的平分线，，，垂足分别为点D，E． 求证：点O在平分线上． 证明∶过点O作，垂足为点F， ∵，分别是，的平分线（已知）， ，（已知）， （所作）． ∴，（角平分线上点到这个角的两边的距离相等）， ∴（等量代换）， ∴点O在的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． 【研究老图形】 在例题1的图中，分别连接，，． （1）点O为三条的 交点，点O为三条 的交点（填写序号）； ①边的垂直平分线②角平分线③高④中线 （2）小普发现和的内角之间存在一定的数量关系，如果，那么 ；（用含m的代数式表示） 【解决新问题】 为了方便研究，小普同学把满足例1条件的叫做的“内三角形”，点O叫做“共心”． （3）已知是的“内三角形”，点O是“共心”，点D，E，F分别在边，，上，且．先画出符合条件的示意图，再过点E作于点G，求证∶点G在直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$