四川眉山冠城实验学校2025-2026学年高一下学期数学综合质量评估卷(二)

**基本信息** 涵盖复数、向量、立体几何等核心知识，结合社会热点（如世界读书日调查）与创新定义（如向量“外积”），梯度设计考查数学眼光、空间观念与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数虚部、向量运算、立体几何位置关系|第8题创新“外积”定义，融合解三角形与面积最值| |多选|3/18|复数性质、向量平行垂直、正方体线面关系|第11题结合正方体顶点，考查异面直线与概率| |填空|3/15|方差计算、解三角形、正方体截面|第14题通过线面垂直求截面周长，体现空间想象| |解答|5/77|向量分解、统计应用、立体几何证明探究|第16题分层抽样分析课外阅读时间，第19题探究线面角存在性，综合考查数学思维与表达|

综合质量评估卷(二) (时间：120分钟　 分值：150分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.(2025·全国Ⅰ卷)(1+5i)i的虚部为 A.-1 B.0 C.1 D.6 2.如图，点P，A，B均在边长为1的小正方形组成的网格上，则·(-2)等于 A.-8 B.-4 C.0 D.4 3.已知三个不同的平面α，β，γ和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中正确的是 A.若m∥α，α∩β=n，则m∥n B.若α∩β=m，m⊥γ，则α⊥γ C.若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ D.若α∩β=n，m⊂α，m⊥n，则α⊥β 4.甲、乙两校各有三名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若从甲校和乙校报名的教师中各任选一名，则选出的两名教师性别相同的概率是 A. B. C. D. 5.直线l与平面α所成的角为，直线m在平面α内且与直线l异面，则直线l与m所成角的取值范围为 A. B. C. D. 6.某研究性学习小组为了解某校2 000名学生参加2025年暑期社会实践的情况，通过按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个容量为N的样本，对学生某一天社会实践的时间(单位：min)进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示.已知样本中[60，70)的人数为20，则下列说法不正确的是 A.a=0.020 B.N=100 C.估计该样本数据的平均数为74 D.估计全校社会实践时间在60 min及以上的学生有180人 7.图1是高为h的直三棱柱容器ABC-A1B1C1，现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为A1B1C(如图2)，则容器的高h为 A.2 B.3 C.4 D.6 8.我们定义：“a×b”为向量a与向量b的“外积”，若向量a与向量b的夹角为θ，规定|a×b|=|a||b|sin θ，现已知：在△ABC中，若|+|=1，|+|=2，则|×|的最大值为 A. B. C. D. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知复数z=，则 A.z5是纯虚数 B.若z1=(1+z)(1+2i)，则z1的模为3 C.z的共轭复数为-i D.复数+z·i在复平面内对应的点在第二象限 10.已知点A(1，1)，B(-1，2)，则下列结论正确的是 A.与向量垂直的向量坐标可以是 B.与向量平行的向量坐标可以是 C.向量a=(2，1)在方向上的投影向量坐标为 D.∀k∈R，向量a=与向量的夹角均为锐角 11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1D1的中点.取点B1，C，E，F，若一条直线过其中两点，另一条直线过另外两点，则 A.两条直线为异面直线是必然事件 B.两条直线互相垂直的概率为 C.两条直线互相平行与互相垂直是对立事件 D.两条直线都与直线AC1垂直是不可能事件 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.若一组数据x1，x2，…，xn的方差为2，则数据3x1-2，3x2-2，…，3xn-2的方差为　　　　.  13.如图，在四边形ABCD中，AD⊥AC，AB⊥BC，AC平分∠BCD，BD=CD，则cos∠ACD=　　　　　　.  14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点P为棱AA1的中点，若平面α满足D1∈α，且CP⊥α，则α截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面周长为　　　　.  四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)已知平面内三个向量a=(3，9)，b=(2，1)，c=(-1，7). (1)求满足a=mb+nc的实数m，n的值；(6分) (2)求向量a在向量b上的投影向量的坐标.(7分) 16.(15分)4月23日是世界读书日，树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用比例分配分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名.经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间(单位：h)的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间(单位：h)的频率分布直方图(以各组的区间中点值代表该组的各个值). 男生一周课外阅读时间频数分布表 小时 频数 [0，2) 9 [2，4) 25 [4，6) 3 [6，8] 3 女生一周课外阅读时间频率分布直方图 (1)分别估计男生和女生一周课外阅读时间的平均数，；(7分) (2)估计总样本的平均数和方差s2.(8分) 参考数据和公式：男生和女生一周课外阅读时间方差的估计值分别为=2.4和=3. s2=+++]，xi(1≤i≤40)和yi(1≤i≤60)分别表示男生和女生一周阅读时间的样本，其中i∈Z. 17.(15分)(2025·天津)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin B=bcos A，c-2b=1，a=. (1)求A；(5分) (2)求c；(4分) (3)求sin(A+2B)的值.(6分) 18.(17分)如图所示，用4个电子元件组成一个电路系统，有两种连接方案可供选择，当且仅当从A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性.这4个电子元件中，每个元件正常工作的概率均为p(0<p<1)，且能否正常工作相互独立，当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路. (1)求方案①中从A到C的电路为通路的概率P(用p表示)；(7分) (2)分别求出按方案①和方案②建立的电路系统正常工作的概率P1，P2(用p表示)；比较P1与P2的大小，并说明哪种连接方案更稳定可靠.(10分) 19.(17分)如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形.AD=DE=2AB，F为CD的中点. (1)证明：AF∥平面BCE；(5分) (2)证明：平面BCE⊥平面CDE；(5分) (3)在DE上是否存在一点P，使直线BP和平面BCE所成的角为30°？(7分) 参考答案 1.答案　C 解析　因为(1+5i)i=i+5i2=-5+i，所以其虚部为1. 2.答案　A 解析　如图，以点P为坐标原点，建立平面直角坐标系，则=(1，-3)，=(6，-2)， ∴-2=(6，-2)-(2，-6)=(4，4)， ∴·(-2)=1×4-3×4=-8. 3.答案　B 解析　β不一定是经过直线m的平面，故A错误； 因为α∩β=m，m⊥γ，由面面垂直的判定定理得α⊥γ，故B正确； 长方体中，同一顶点出发的三个平面，两两垂直，故C错误； 如图所示，由题设条件无法推出一个平面经过另一个平面的垂线，故无法判定是否α与β一定垂直，故D错误. 4.答案　B 解析　设甲校2男1女的编号分别为1，2，A；乙校1男2女编号分别为3，B，C， 若从甲校和乙校报名的教师中各任选一名， 9个可能的结果为(1，3)，(1，B)，(1，C)，(2，3)，(2，B)，(2，C)，(A，3)，(A，B)，(A，C)， 选出的两名教师性别相同的结果有(1，3)，(2，3)，(A，B)，(A，C)，共4个， 故选出的两名教师性别相同的概率为. 5.答案　A 解析　直线l与平面α所成的角为， 根据直线与平面所成角的定义，可得直线l与平面α内的直线m所成的最小角为， 又由两直线的最大夹角为，所以直线l与m所成角的取值范围为. 6.答案　D 解析　由(0.010+2a+0.045+0.005)×10=1，得a=0.020，故A正确； 因为样本中[60，70)的人数为20，所以=0.2，解得N=100，故B正确； 平均数为0.1×55+0.2×65+0.45×75+0.2×85+0.05×95=74，故C正确； 因为样本中社会实践时间在60 min及以上的频率为0.9，以样本估计总体，所以全校社会实践时间在60 min及以上的学生约有0.9×2 000=1 800(人)，故D错误. 7.答案　B 解析　在图1中的几何体中，水的体积V1=S△ABC×2=2S△ABC， 在图2的几何体中，水的体积 V2=- =S△ABC×h-××h =S△ABCh， 因为V1=V2，所以S△ABCh=2S△ABC， 解得h=3. 8.答案　D 解析　设E，F分别为BC，AB的中点，连接AE，CF，EF，如图， 则EF∥AC，则△FBE∽△ABC，故S△FBE=S△ABC，则S四边形ACEF=S△ABC，故S△ABC=S四边形ACEF， 又因为|+|=2||=1，|+|=2||=2，即||=，||=1， 当AE⊥CF时，四边形ACEF的面积最大，最大值为××1=，故△ABC的面积的最大值为×=， 且|×|=||||sin∠BAC=2S△ABC，所以|×|的最大值为2×=. 9.答案　AC 解析　∵z===i， ∴z5=i5=i4·i=i，是纯虚数，故A正确； 若z1=(1+z)(1+2i)=-1+3i， ∴|z1|=，故B错误； z的共轭复数为-i，故C正确； +z·i=-i+i·i=-1-i，在复平面内对应点的坐标为(-1，-1)，在第三象限，故D错误. 10.答案　AC 解析　由点A(1，1)，B(-1，2)，可得=(-2，1).对于A，由(-2，1)·=-2×+1×=0，所以与向量垂直的向量坐标可以是，所以A正确；对于B，由-2×≠1×，所以向量与向量不平行，所以B不正确；对于C，由a=(2，1)在方向上的投影向量·=×(-2，1)=，所以C正确；对于D，由a·=·(-2，1)=k2-k+2=+>0，设a=λ(λ>0)，可得=λ(-2，1)，则解得k=-或k=1，所以当向量a与的夹角为锐角时，k∈R且k≠-且k≠1，所以D不正确. 11.答案　ABD 解析　因为点B1，C，E，F不共面，所以两条直线为异面直线，故A正确； 过四点的两条直线共有3种情况，其中仅当一条直线过B1，F，另一条直线过C，E时，这两条直线相互垂直， 所以两条直线相互垂直的概率为，故B正确； 两条直线互相平行的概率为0，而仅当一条直线过B1，F，另一条直线过C，E时，这两条直线相互垂直，所以两条直线互相垂直的概率小于1， 故两条直线互相平行与互相垂直不是对立事件，故C错误； 在B1C，B1E，B1F中，只有B1C与AC1垂直，且当B1C⊥AC1时，EF与AC1不垂直，故D正确. 12.答案　18 解析　数据3x1-2，3x2-2，…，3xn-2的方差为32×2=18. 13.答案　 解析　设∠ACD=θ，则∠BCD=2θ，设CD=BD=a，则AC=acos θ，BC=acos2θ.故在△BCD中，由余弦定理可得cos 2θ==cos2θ，而cos 2θ=2cos2θ-1，故2cos2θ-1=cos2θ，解得cos2θ=，在Rt△ACD中，θ为锐角，故cos θ>0，故cos θ=. 14.答案　3+2 解析　如图，分别取AD，AB的中点E，F，连接DP，D1E，EF，FB1，BD，AC，B1D1，DP，D1E相交于点K， 由条件易知， △PAD≌△EDD1， 所以∠APD=∠D1ED，∠ADP=∠ED1D， 又∠APD+∠ADP=， 所以∠D1ED+∠ADP=，得到∠EKD=， 故D1E⊥DP， 又CD⊥平面ADD1A1，D1E⊂平面ADD1A1，所以CD⊥D1E， 又DP∩CD=D，CD，DP⊂平面CDP， 所以D1E⊥平面CDP，又CP⊂平面CDP， 所以D1E⊥CP，因为AA1⊥平面ABCD， BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD， 又BD⊥AC，AC∩AA1=A，AA1，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC， 又CP⊂平面PAC，所以BD⊥CP，又EF∥BD，则CP⊥EF，又D1E∩EF=E，D1E，EF⊂平面D1EF， 故CP⊥平面D1EF，又BD∥B1D1， 所以EF∥B1D1， 所以平面α截正方体所得的截面即为梯形D1EFB1. 由题意得，AB=2， 则EF=，B1F=D1E=，B1D1=2， 故截面周长为3+2. 15.解　(1) 因为a=mb+nc， 即(3，9)=m(2，1)+n(-1，7)=(2m，m)+(-n，7n)=(2m-n，m+7n)， 所以解得 (2)由=(2，1)=， 且|a|cos〈a，b〉===3， 得向量a在向量b上的投影向量的坐标为 3=(6，3). 16.解　(1)估计男生一周课外阅读时间平均数 ==3， 估计女生一周课外阅读时间的平均数 =×2×1+×2×3+×2×5+×2×7=4. (2)估计总样本的平均数==3.6， ∵==2.4， ==3， ∴=·40=2.4×40=96， =·60=3×60=180， =40×(3-3.6)2=14.4， =60×(4-3.6)2=9.6， ∴s2=(96+14.4+180+9.6)=3， ∴估计总样本的平均数=3.6，方差s2=3. 17.解　(1)已知asin B=bcos A， 由正弦定理得sin Asin B=sin Bcos A， 显然cos A≠0，sin B≠0， 则tan A=， 由0<A<π， 可知A=. (2)由(1)知，cos A=，且c=2b+1，a=， 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A， 得7=b2+(2b+1)2-2b(2b+1)×=3b2+3b+1，即b2+b-2=0， 解得b=1(b=-2舍去)， 故c=3. (3)由正弦定理=，且b=1，a=，sin A=， 得sin B==，且a>b，则角B为锐角， 故cos B=， 又sin 2B=2sin Bcos B=， 且cos 2B=1-2sin2B=1-2×=， 故sin(A+2B)=sin Acos 2B+cos Asin 2B=×+×=. 18.解　(1)方案①中，从A到C的电路为通路即是两个电子元件至少一个正常工作， 两个电子元件都不正常，即从A到C的电路不通的概率为(1-p)2， 所以从A到C的电路为通路的概率 P=1-(1-p)2=p(2-p). (2)方案①中，由(1)知从C到B的电路为通路的概率为p(2-p)， 从A到B的电路系统正常工作必须是从A到C的电路和从C到B的电路都为通路， 于是得P1=[p(2-p)]2=p2(2-p)2； 方案②中，每一个支路中的两个电子元件都正常工作，该支路即为通路，其概率为p2， 则从A到B的电路为通路的概率P2=1-=p2(2-p2)， 而0<p<1，则P1-P2=p2(2-p)2-p2(2-p2)=2p2(p2-2p+1)=2p2(p-1)2>0，即P1>P2，所以方案①更稳定可靠. 19.(1)证明　如图，取CE的中点M，连接MF，BM， ∴MF是△CDE的中位线， ∴MF∥DE，MF=DE， ∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD， ∴DE∥AB，又DE=2AB， ∴AB∥MF，AB=MF， ∴四边形ABMF是平行四边形， ∴AF∥BM， ∵AF⊄平面BCE，BM⊂平面BCE， ∴AF∥平面BCE. (2)证明　∵AB⊥平面ACD，AF⊂平面ACD， ∴AB⊥AF，∴四边形ABMF是矩形， ∴BM⊥MF. ∵△ACD是正三角形，F是CD中点， ∴CD⊥AF.∵BM∥AF，∴CD⊥BM， ∵MF∩CD=F，MF⊂平面CDE，CD⊂平面CDE，∴BM⊥平面CDE，∵BM⊂平面BCE， ∴平面BCE⊥平面CDE. (3)解　假设DE上存在一点P，使直线BP和平面BCE所成角的为30°. 连接DM，过点P作PN⊥CE，垂足为点N，连接BN. 由(2)知平面BCE⊥平面CDE，又平面BCE∩平面CDE=CE， ∴PN⊥平面BCE， ∴∠PBN为BP和平面BCE所成的角， ∴∠PBN=30°. 设AB=1，则DE=AC=CD=AD=2， ∴BE=BC=，CE=2，DM=CM=， cos∠BED==. 设PN=x，由题知∠CED=45°， 则在Rt△ENP中，PE=x， 在Rt△PNB中，PB=2x， ∴在△BPE中，由余弦定理得 PB2=BE2+PE2-2BE·PE·cos∠BED， ∴4x2=5+2x2-2x，解得x=-<， 若点P在DE上，则PN最长为MD=， ∵-<，∴满足题意， ∴在DE上存在一点P，使直线BP和平面BCE所成的角为30°. 学科网（北京）股份有限公司 $