四川眉山冠城实验学校2025-2026学年高一下学期数学综合质量评估卷(一)

**基本信息** 高中数学期末综合质量评估卷，通过端午节粽子抽样、农业亩产量分析等真实情境，考查复数、统计、向量、立体几何等知识，体现用数学眼光观察现实世界、用数学思维解决实际问题的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数运算、分层抽样、向量数量积|结合文化情境（如粽子抽样）| |多选|3/18|统计图表分析、向量命题判断|设置多维度选项，考查推理能力| |填空|3/15|三点共线、概率应用、圆内接四边形面积|融入生活问题（如投篮得分）| |解答|5/77|向量运算、解三角形、立体几何证明、统计概率|从基础运算到综合应用，梯度分明|

综合质量评估卷(一) (时间：120分钟　分值：150分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.已知i为虚数单位，复数(a+bi)·i3=4-5i，其中a，b∈R，则 A.a=4，b=5 B.a=5，b=4 C.a=-5，b=4 D.a=4，b=-5 2. “五月榴花妖艳烘，绿杨带雨垂垂重，五色新丝缠角粽”，这是欧阳修在《渔家傲·五月榴花妖艳烘》中描写端午节的诗句.某商家为迎接端午节，计划将粽子以“粽情粽意”礼盒形式进行销售，现利用按比例分配分层随机抽样从72个蛋黄肉粽、18个碱水粽、36个豆沙粽、54个莲子粽中随机抽取10个粽子放入一个礼盒中进行试销售，则该礼盒中莲子粽的个数为 A.2 B.1 C.4 D.3 3.“a·b=0”是“|3a+2b|=|3a-2b|”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(2024·新课标全国Ⅱ)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表： 亩产量 [900， 950) [950， 1 000) [1 000， 1 050) [1 050， 1 100) [1 100， 1 150) [1 150， 1 200) 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是 A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80% C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间 5.已知圆锥SO的母线长为2，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥外接球的表面积为 A.12π B.24 C.36π D.48 6.某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有编号分别为1，2，3，4，5的五个小球.小球除编号不同外，其余均相同.活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽到的小球编号为3，则获得奖金100元；若抽到的小球编号为偶数，则获得奖金50元；若抽到其余编号的小球，则不中奖.现某顾客依次有放回地抽奖两次，则该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率为 A. B. C. D. 7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S=(a+b)2-c2，则tan(A+B)等于 A.- B. C.- D. 8.如图，在圆柱OP中，底面圆的半径为2，高为4，AB为底面圆O的直径，C为上靠近A的三等分点，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为 A. B. C. D. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.某市举办“口语易”英语口语竞赛，已知12位评委对某选手的评分(满分10分)具体如下：7.0，7.5，7.8，7.8，8.2，8.3，8.5，8.7，9.1，9.2，9.9，10.0，则下列说法正确的是 A.第75百分位数为9.1 B.中位数为8.3 C.极差为3 D.去掉最高分和最低分，不会影响到这位同学的平均得分 10.给出下列四个命题，其中正确的是 A.在△ABC中，=(t-2，2t+3)，=(4，1)，若角A为钝角，则实数t的取值范围为 B.在△ABC中，若|-|=|+-2|，则△ABC为等腰三角形 C.在△ABC中，设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，b=3，c=4，则在方向上的投影向量的模为 D.在△ABC中，若++=0，则O为△ABC的重心 11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论正确的是 A.AC⊥BE B.EF∥平面ABCD C.三棱锥A-BEF的体积为定值 D.△AEF的面积与△BEF的面积相等 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知向量=(12，k)，=(5，4)，=(10，-k)，若A，B，C三点共线，则k=　　　　.  13.课外活动期间，几名篮球爱好者在体育老师指导下进行定点投篮训练，约定每人最多投篮10次，若某同学第n次投篮进球为首次连续进球，则该同学得12-n分且停止投篮.例如：某同学前两次均投篮进球，则得10分，且停止投篮.已知同学甲每次投篮进球的概率均为，则甲在第2次投篮恰好进球，且得5分时停止投篮的概率为　　　　.  14.将四个顶点在圆上的四边形称为圆内接四边形，圆内接四边形具有对角互补的性质.圆内接四边形的面积公式为S=，其中a，b，c，d分别为圆内接四边形的4条边，p=.已知在圆内接四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，cos∠ADC=，则四边形ABCD的面积为　　　　　.  四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)已知向量a=(6，k)，b=(3，2). (1)若a⊥b，求2a+3b的坐标；(3分) (2)若a∥b，求a·b的值；(4分) (3)当k=-2时，若t∈R，求的最小值.(6分) 16.(15分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2sin2=1+cos 2B. (1)求B；(7分) (2)若a=2，b=2，D为边AC的中点，求BD的长.(8分) 17.(15分)在如图所示的几何体中，四边形BCED为直角梯形，DE∥CB，BC⊥EC，∠AED=90°. (1)证明：平面ABC⊥平面ACE；(7分) (2)若P，Q分别是AE，CD的中点，证明：PQ∥平面ABC.(8分) 18.(17分)某集团公司为了加强企业管理，树立企业形象，考虑在公司内部对迟到现象进行处罚.现在员工中随机抽取200人进行调查，当不处罚时，有80人会迟到，当处罚时，得到如下数据： 处罚金额x/元 50 100 150 200 迟到的人数y 50 40 20 0 若用表中数据所得频率代替概率. (1)当处罚金定为100元时，员工迟到的概率会比不进行处罚时降低多少？(7分) (2)将选取的200人中会迟到的员工分为A，B两类：A类员工在罚金不超过100元时就会改正行为；B类是其他员工.现对A类与B类员工采用比例分配分层随机抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B类员工的概率是多少？(10分) 19.(17分)某乡镇农业综合服务中心决定对20户养殖户进行技术帮扶，每户配发同样重量的龙虾苗，经过一段时间的养殖后，根据这20户未存活的龙虾苗重量(单位：kg)绘制如图所示频率分布直方图，其中未存活重量超过30 kg的养殖户被列为“重点帮扶养殖户”. (1)根据频率分布直方图估计这20户的未存活龙虾苗重量的平均数和中位数；(8分) (2)现从“重点帮扶养殖户”中随机抽取两户调查其养殖情况，求抽出来的养殖户中恰有一户未存活龙虾苗重量在[40，50]的概率.(9分) 参考答案 1.答案　B 解析　∵i3=-i，(a+bi)·i3=(-i)(a+bi)=b-ai=4-5i，∴a=5，b=4. 2.答案　D 解析　依题意得该礼盒中莲子粽的个数为10×=3. 3.答案　C 解析　因为(3a+2b)2=9a2+12a·b+4b2，(3a-2b)2=9a2-12a·b+4b2. 所以|3a+2b|=|3a-2b|⇔9a2+12a·b+4b2=9a2-12a·b+4b2⇔a·b=0. 综上所述，“a·b=0”是“|3a+2b|=|3a-2b|”的充要条件. 4.答案　C 解析　对于A， 根据频数分布表可知， 6+12+18=36<50， 所以亩产量的中位数不小于1 050 kg， 故A错误； 对于B，亩产量不低于1 100 kg的频数为24+10=34， 所以低于1 100 kg的稻田占比为×100%=66%，故B错误； 对于C，稻田亩产量的极差最大为1 200-900=300， 最小为1 150-950=200，故C正确； 对于D，由频数分布表可得， 平均值为×(6×925+12×975+18×1 025+30×1 075+24×1 125+10×1 175)=1 067，故D错误. 5.答案　C 解析　设圆锥SO的底面半径为r，由题意得=，解得r=2. 如图，SA是圆锥的一条母线，由圆锥的性质知其外接球的球心B在SO上，连接OA，AB， 设圆锥的外接球的半径为R，则AB=SB=R， 则OS====4， AB2=OA2+(OS-SB)2，即R2=+(4-R)2，解得R=3， ∴圆锥外接球的表面积为4π×32=36π. 6.答案　D 解析　由题意得，该顾客有放回地抽奖两次的样本空间Ω={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，…，(5，3)，(5，4)，(5，5)}，共25个样本点. 两次抽奖奖金之和为100元包括三种情况： ①第一次奖金为100元，第二次没有中奖，其包含的样本点为(3，1)，(3，5)，共2个，概率为P1=； ②第一次没有中奖，第二次奖金为100元，其包含的样本点为(1，3)，(5，3)，共2个，概率为P2=； ③两次各获得奖金50元，包含的样本点有(2，2)，(2，4)，(4，2)，(4，4)，共4个，概率为P3=. 故该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率P=P1+P2+P3=. 7.答案　B 解析　在△ABC中，S△ABC=absin C， 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C， ∵ 2S=(a+b)2-c2， ∴absin C=(a+b)2-(a2+b2-2abcos C)， 整理得sin C-2cos C=2， ∴(sin C-2cos C)2=4. ∴=4， 化简可得 3tan2C+4tan C=0. ∵C∈(0，π)，∴tan C=-， ∴tan(A+B)=tan(π-C)=. 8.答案　A 解析　如图，取OA的中点D，连接CO，PO，CD，PD， 由题意得∠AOC=，所以△AOC为正三角形，则CD⊥AO， 因为PO⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以PO⊥CD，同理PO⊥CO， 而PO∩AO=O，PO，AO⊂平面PAB，所以CD⊥平面PAB，而PD⊂平面PAB，则CD⊥PD， 由CD⊥平面PAB，可得直线PC与平面PAB所成的角为∠CPD. 在正△AOC中，CD=. 又PC==2，得sin∠CPD==. 9.答案　CD 解析　∵12×75%=9， ∴第75百分位数为第9个数和第10个数的平均数，为=9.15，∴A错误； ∵中位数为=8.4，∴B错误； ∵极差为10-7=3，∴C正确； 没去最高分和最低分，平均分= ×(7.0+7.5+7.8+7.8+8.2+8.3+8.5+8.7+9.1+9.2+9.9+10.0)=8.5， 去掉最高分和最低分，平均数= ×(7.5+7.8+7.8+8.2+8.3+8.5+8.7+9.1+9.2+9.9) =8.5，∴D正确. 10.答案　CD 解析　对于A，若角A为钝角，则·<0且与不平行，则4(t-2)+2t+3<0且t-2≠4(2t+3)，解得t<且t≠-2，故A错误；对于B，设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若|-|=|+-2|，则||=|+|，两边平方得c2=a2+b2+2abcos C，由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C，所以2abcos C=-2abcos C，所以cos C=0，又0°<C<180°，则C=90°，所以△ABC为直角三角形，故B错误；对于C，cos A===，所以在方向上的投影向量的模为|||cos A|=3×=，故C正确；对于D，如图，点D是BC的中点，+=2，若++=0，则+2=0，即=-2，则A，O，D三点共线，且OA=2OD，所以点O是△ABC的重心，故D正确. 11.答案　ABC 解析　对于A选项，因为四边形ABCD为正方形，则AC⊥BD， 因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥BB1， 因为BD∩BB1=B，BD，BB1⊂平面BB1D1D，所以AC⊥平面BB1D1D， 因为BE⊂平面BB1D1D，因此AC⊥BE，A选项正确； 对于B选项，平面A1B1C1D1∥平面ABCD，EF⊂平面A1B1C1D1，所以EF∥平面ABCD，B选项正确； 对于C选项，因为S△BEF=EF·BB1=， 点A到平面BEF的距离为AC=，故三棱锥A-BEF的体积为定值，C选项正确； 对于D选项，如图，设AC∩BD=O，取B1D1的中点M，连接OM，AM， 由A选项可知，AC⊥平面BB1D1D，即AO⊥平面BB1D1D， 因为B1D1⊂平面BB1D1D，则AO⊥B1D1， 因为BB1∥DD1且BB1=DD1，故四边形BB1D1D为平行四边形， 则BD∥B1D1且BD=B1D1， 因为M，O分别为B1D1，BD的中点，故DO∥D1M且DO=D1M， 所以四边形DD1MO为平行四边形， 因为DD1⊥平面ABCD，DO⊂平面ABCD，所以DD1⊥DO， 故四边形DD1MO为矩形，所以OM⊥B1D1， 因为AO∩OM=O，AO，OM⊂平面AOM，所以B1D1⊥平面AOM， 因为AM⊂平面AOM，所以AM⊥B1D1，因为AM=>DD1=BB1， 所以S△AEF=EF·AM>EF·BB1=S△BEF，D选项错误. 12.答案　- 解析　已知向量=(12，k)，=(5，4)，=(10，-k)， 则=-=(5，4)-(12，k)=(-7，4-k)， =-=(10，-k)-(12，k)=(-2，-2k)， 因为A，B，C三点共线，则∥，所以-7×(-2k)=-2×(4-k)，解得k=-. 13.答案　 解析　甲在第2次投篮恰好进球，且得5分时停止投篮， 则第6次与第7次为首次连续进球，且第1次未进球，第3次未进球，第5次未进球，第4次可以进球也可以不进球， 所以所求概率为 ×××1×××=. 14.答案　6 解析　如图，连接AC. 因为在圆内接四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，cos∠ADC=，所以cos∠ABC=-，在△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=，所以在△ADC中，由余弦定理可得AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cos∠ADC=，化简可得7AD2-30AD-72=0，解得AD=6或AD=-(舍去)，所以p==9，则四边形ABCD的面积为S====6. 15.解　(1)因为a⊥b，则a·b=18+2k=0，解得k=-9，即a=(6，-9)， 所以2a+3b=2(6，-9)+3(3，2)=(21，-12). (2)因为向量a=(6，k)，b=(3，2)，且a∥b， 所以6×2-3k=0，解得k=4，即a=(6，4)， 所以a·b=18+8=26. (3)当k=-2时，a=(6，-2)，又2tb=(6t，4t)， 所以a+2tb=(6+6t，4t-2)， 所以|a+2tb|= =2=2， 所以当t=-时，|a+2tb|取得最小值. 16.解　(1)因为2sin2=2sin2=2cos2=cos B+1=1+cos 2B， 又1+cos 2B=1+2cos2B-1=2cos2B， 所以cos B+1=2cos2B，解得cos B=1或cos B=-， 因为B∈(0，π)，所以B=. (2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B得28=4+c2-2×2c×， 解得c=-6(舍去)或c=4， 由=+)得||2= ==×=3， 所以BD=. 17.证明　(1)在直角梯形BCED中，BC⊥EC，DE∥CB，则DE⊥EC. 因为∠AED=90°，所以AE⊥DE. 因为AE∩EC=E，AE，EC⊂平面ACE，所以DE⊥平面ACE，所以BC⊥平面ACE. 因为BC⊂平面ABC， 所以平面ABC⊥平面ACE. (2)取CE的中点O，连接OP，OQ. 因为O，P分别为CE，AE的中点，所以OP∥AC， 又OP⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，所以OP∥平面ABC，同理OQ∥平面ABC， 因为OP∩OQ=O，所以平面OPQ∥平面ABC，又PQ⊂平面OPQ，所以PQ∥平面ABC. 18.解　(1)设“当处罚金定为100元时，员工迟到”为事件A，则P(A)==， 当不处罚时，员工迟到的概率为=. 所以当处罚金定为100元时，员工迟到的概率会比不进行处罚时降低. (2)由题意知，A类员工和B类员工各有40人，分别从A类员工和B类员工中各抽出两人， 从A类员工抽出的两人分别记为A1，A2，从B类员工抽出的两人分别记为B1，B2， 设“对A类与B类员工采用比例分配分层随机抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M， 则事件M中首先抽出A1的情况有(A1，A2，B1，B2)，(A1，A2，B2，B1)，(A1，B1，A2，B2)，(A1，B1，B2，A2)，(A1，B2，A2，B1)，(A1，B2，B1，A2)，共6种， 同理首先抽出A2，B1，B2的情况也各有6种，故事件M共有4×6=24(种)情况， 设“抽取4人中前两位均为B类员工”为事件N，则事件N有(B1，B2，A1，A2)，(B1，B2，A2，A1)，(B2，B1，A1，A2)，(B2，B1，A2，A1)，共4种情况，所以P(N)==. 19.解　(1)根据频率分布直方图可得每组的频率依次为0.2，0.2，0.3，0.2，0.1， 估计平均数 =5×0.2+15×0.2+25×0.3+35×0.2+45×0.1=23， 因为0.2+0.2=0.4<0.5， 0.2+0.2+0.3=0.7>0.5， 可知中位数位于[20，30)内，设为m， 则0.4+0.03(m-20)=0.5，解得m=， 所以可估计中位数为. (2)由(1)可知未存活龙虾苗重量在[30，40)的养殖户有20×0.2=4(户)，记为A，B，C，D，未存活龙虾苗重量在[40，50]的养殖户有 20×0.1=2(户)，记为a，b， 从“重点帮扶养殖户”中随机抽取两户，则有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，共15个样本点，其中恰有一户未存活龙虾苗重量在[40，50]的样本点有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，共8个， 所以恰有一户未存活龙虾苗重量在[40，50]的概率P=. 学科网（北京）股份有限公司 $