山东济南市历城第二中学2026届高三下学期考前自测数学试题

金榜题名卷-------数学试题参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D A D A B B C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 AC BC ACD 部分解析 1.【解析】若，则,.故选C. 3.【解析】因为|a+b|2=(a+b)2=a2+b2+2a·b=8，|a-b|2=(a-b)2=a2+b2-2a·b=6， 两式相减得a·b=[(a+b)2-(a-b)2]=. 4.【解析】 6.【解析】由题得 ，，所以，， ，，因为，，所以，根据比例参数大于分为品级1；因为，根据比例参数在到之间的为品级2；，根据比例参数在到之间的为品级3；，根据比例参数小于分为品级4，因为该产品参数为，则他的品级是2.故选：B. 7.【解析】（充分性）反例：时，首项，则数列为······ 此时前项和为：为奇数时，；为偶数时，； 显然取，则对所有，都有，所以充分性不成立. （必要性）当时，前项和为，由于恒成立 则恒成立，取，则对所有，都有，必要性得证. 所以“存在正数，使得对任意正整数，都有”是“公比”的必要不充分条件. 10. 【解析】选项A：，所以是偶函数；，因此最小正周期是，不是A错误 选项B：由二倍角公式：,令，则. 当时， 当时，为.求导：可知在上不单调，B正确, 选项C： 令，即，解得（另一根，舍去）.在内，的两个根满足（余弦函数的对称性），C正确，选项D由方程，可知和是方程的根，但只有符合，所以，D错误最终正确选项：. 11. 【解析】以 为坐标原点,、、 所在直线分别为 、、 轴,建立空间直角坐标系.由已知 ,,可得各点坐标：,,,,, 由中点坐标公式： 为 中点,则 . 为 中点,则. 对于选项 ： 平面 的一个法向量为 , . 又 平面 ,因此 ∥ 平面 , 正确. 对于选项 ： 平面 的一个法向量为 , . 设直线 与平面 所成的角为 ,则 .而选项 给出的正弦值为 ,两者不相等,错误. 对于选项 ： 点 ,,，由 在线段 上,设 ,其中 ,,则 , . 直线 与直线 所成角的余弦值为： 令 ,求导得 ，令.解得 . 当 时，；当 时， .故当 时 , 取得最大值,由余弦函数单调性知此时异面直线所成角最小. 此时 ，正确. 对于选项 ：由选项可知，当时，的坐标为.为等腰三角形，其外接圆圆心为中点,外接圆半径.设三棱锥的外接球球心为,半径为，则.由列方程： =. , , ,. 因此，外接球半径：,正确. 综上所述,正确答案为 ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案】 【解析】在第一次摸到红球的条件下，箱中剩余9个球，其中红球5个，白球4个， 所以在第一次抽到红球的条件下，第二次取到白球的概率是. 13.【答案】 【解析】设，则，，根据椭圆定义，，，又因为，所以在中， 即，解得，则，，则在中，即，所以故. 14.【答案】1013 【解析】由题意，，，所以， 即数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，，.由题意，，，即数列是以为首项，为公差的等差数列，所以， .所以，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.【解析】 （1）证明：如图 底面ABCD，平面ABCD， 又底面ABCD为正方形，，而，PA,AB⊂平面PAB 平面PAB ................................................................................... 2分 平面PAB，.，E为PB的中点， .而,PB,BC⊂平面PBC 平面PBC. ................................................................................. 4分 平面AEP，∴平面平面PBC. ................................................................... 6分 （2）因为CF:CB=BE:BP 设BF=x，则 ....................................................................... 8分 ∴ ............................................. 10分 =(2-x)=[x(x-2)+8].............................................................. 12分 当x=1时，多面体AEFCPD体积取最小值. .......................................................... 13分 16．【解析】 17.【解析】(1)函数，.......................................1分 ①当时，因为，故恒成立，此时单调递增，所以成立； ..................................3分 ②当时，令，得， 当时，此时单调递减，故，不满足题意； .....................5分 综上可知：，即的取值范围为．. .............................6分 (2) 由， 故， 因为函数有两个不同的极值点，（其中），故，，........8分 要证：，只要证：， 因为，于是只要证明即可， 因为，，故， 因此只要证，等价于证，.................................. .......10分 即证，令，等价于证明，.........................11分 令，， 因为，所以，... ..............................................................................13分 故在上单调递增，所以，即. ...........................................................................................................................................15分 18.【解析】（1）共有种情况，的可能取值为2，3，4，...................................1分 ，，，分布列如表所示 2 3 4 ......................................................................4分 （2）的可能取值为或，5分 ，，................................................7分 所以，8分 因此．.............10分 （3）选取个不同的元素，有种方法， 要满足，则需取出元素，其余个元素是从小于的个元素中选出的，所以，......................................................................12分 ．...........................................................13分 因为，...................................15分 所以 ．............................................................................................17分 19.【解析】设,AB的方程为:(mR),联立抛物线和直线的方程得:,则,......................................................................................................3分 因为O在以AB为直径的圆上.所以,代入得p=2,所以抛物线的标准方程为:............................................................................................................................................5分 (2)直线BO的方程为:,与直线联立得,又,所以,........................................................................................................................................7分 设E(t,0),由题可得:,又,所以 ,则,则直线EA的斜率为,直线EA的方程为: ..........................................................................................................9分 与抛物线C的联立得:,,则直线AE与抛物线相切 ..........................................................................................................10分 (3)不存在,理由如下 :.............................................................................................................11分 如果存在满足条件的三角形,设为直角顶点,由题,不妨设,则,又M,N在抛物线上,所以 ,化简得: ........................................................................................................13分 消得,因为, 所以,即(当且仅当时取等 所以,故不存在面积为15的等腰直角三角形. ........................................................................................................17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $金榜题名卷一-一高三数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1若z=1+i,则31 22-1 A.i B.-i C.3i D.-3i 2.已知集合A={x∈N-1<x≤3}，则集合A的子集个数为 A.4 B.7 C.8 D.16 3.设向量a,b满足a+b=2V2,la-b1=V6,则ab等于 A B.2 C.3 D.5 4.己知tana=-3, 则sin2a+cos2a+1的值为 A.2 C.-2 D、 5 5,在平行四边形ABCD中，设AC⊥BC,AB=√2，BC=1,沿AC将平行四边形ABCD折成一个直二 面角B-AC-D,则AC与BD所成的角的余弦值是 A.5 B.6 c. 2 3 3 2 D V3 2 6.把分别写有1,2,3,4,5的五张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡 片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为 ( A.40 B.36 C.30 D.12 7.记无穷等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1>0,则“存在正数M,使得对任意正整数n,都有 Sn<M”是“公比0<q<1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.已知函数f)=eln+x+,若实数a,b0<a<b)满足f@=fb,则b-e的最小值为( 数学试题第 A.2e 5e B C.3e D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知曲线C:x2+y2cosa=1,其中a∈[0，π]，则下列结论正确的是 A.若a=0,则C是圆 B.若a三乃，则c是一条直线 c若a=号则c是椭圆，其离心率为马 D.若a= 2π，则C是双曲线，其渐近线方程为y=士V2 3 2 10.已知函数f(x)=Cos2x+2cosx,其在(0,2π)上的零点从小到大依次为x1,x2下列说法正确的 是 A.f(x)是最小正周期为口偶函数 B70)的值城为[到 C.x1+x2=2π D.cos +cosx2=-1 11.在直三棱柱ABC-AB,C中，AB⊥AC,AB=AC=2,AA=25,E,F分别是BC,AC的中点， D在线段BC上，则 () A.EF∥平面AAB,B B.直线EF与平面ABC所成角的正弦值为 2 C.直线BD与直线EF所成角最小时，线段BD长为√22 D,直线BD与直线EF所成角最小时，三棱锥D-ABC的外接球半径为1山5 10 1页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.现有一箱中装有6个红球和4个白球，从中依次不放回随机摸出2个球，则在第一次摸到红 球的条件下，第二次摸到白球的概率等于一 3设，5分别是椭圆6芳+5 b2 =1(a>b>0)的左、右焦点，过F,的直线交椭圆E于P、Q两点， 且PR⊥P2,IPE=3引EI,则椭圆E的离心率为 14.在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的差（前项减后项)，形成新的数列，我们把这 样的操作称为该数列的一次“差扩充”.如数列2024,2026第1次“差扩充”后得到数列2024，-2,2026， 第2次“差扩充”后得到的数列2024,2026，-2，-2028,2026.设数列2024,2026经过第n次“差扩充” 后所得数列的项数为Pn,所有项的和为Sn,则og4(B026+S2o25-)的值为 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,E和F 分别为线段PB和BC上的动点， (1)当E为线段PB的中点时，证明：平面AEF⊥平面PBC: (2)当CF:CB=BE:BP时，求多面体AEFCPD体积的最小值. 16.(本小题满分15分) 已知函数()=加xsnx+爱 (1)讨论f(x)在区间[0，π]上的单调性； （2)在锐角△1C中，角4B,C的对边分别为a,bc,若fA0= ,a=√3， 求△ABC周长的最大值， 数学试题第 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=xlnx-元(x-1) (1)当x≥1时，f(x)≥0，求的取值范围； (2)函数g(x)=f(x)-九x2+(2-1)x有两个不同的极值点X,x2(其中x<x2),证明： Inx +3lnx,>4. 18.(本小题满分17分) 袋子里有编号1~n(n22)的n个小球，除编号外完全一样，现随机从中取出m个，记取出m 个小球的最大编号为Xm· (1)当n=4,m=2时，求X,的分布列； (2)当m=n-1时，求D(X): (3)求E(Xm): 19.(本小题满分17分) 设抛物线C:y2=2px(p>0),过点Q(4,O)的直线与抛物线交于A,B两点，原点O在以AB为直径的 圆上 (1)求抛物线的标准方程； (2)直线BO与直线x=4相交于D,过D作AB的平行线交x轴与E,判断直线AE与抛物线的位置 关系并证明； (3)抛物线C上是否存在三点M,N,P构成面积为15的等腰直角三角形？若存在求出直角顶点的坐 标，若不存在，说明理由。 页（共4页） 2026年普通高等学校招生全国统一考试 15.(13分) 数学答题卡 ”””””。。。”。””。” 姓名 班级 贴条形码区 考生号 由考生本人负责粘贴. 1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、考生号、座号， 考生禁填 意 并将条形码粘贴在指定位置上。 2. 选择题答案必须使用2B铅笔按（填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写， 缺考标记一 事 字体工整、笔迹清晰。 项 3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 缺考考生由监考员粘贴条形码 保持卡面清洁、不折叠、不破损。 并用2B铅笔填涂该缺考标记。 选择题答题区域（须用2B铅笔填涂） 填涂样例错误填涂s☒口 S☑ 正确填涂 选择题（每题5分，共40分） 1tA1[B1rC1【D] 5tA1【B]tC1fDI 2EA1[B1tC1tD】 6 LA1 EB1 (CI ID3 3 IA)tB]IC3 ID] 7 [A3 IB]IC]ID] 4 tA]EB]IC]ID 8[A】IB3 LC)tD 选择题（每题6分，共18分） 9【A】tB】tC1tD 10tA]cB】[C1[D】 11 CA][B]ECI [D] 非选择题答题区域 (须用0.5毫米的黑色签字笔书写) 填空题（每题5分，共15分） 12 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ■ 数学第1页共8页 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ■ 数学 第2页共8页 ■ ■ ■ ■ 228楚名 座号 座号用05毫米黑色签字笔认真填写在书写推内，座号的每个书写框只能填写 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 17.（15分)） 请在各题目 的 答题区域内作答， 超出答题区域的答案无效 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 a 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ■ ■ ■ ■ ■ ■ 数学第3历共8页 数学第4页共8页 ◆ ■ ■ ■ ■ ◆ ■ ■ ■ 3 2026年普通高等学校招生全国统一考试 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 数学答题卡 请接上一页继续作答 姓名 班级 □口座号☐□ 贴条形码区 考生号□☐ 由考生本人负责粘贴 非选择题 (须用0.5毫米的黑色宇迹中性笔书写 18.(17分)》 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 51 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ■ ■ ■ ◆ 数学第5页共8页 数学第6页共8页 ■ ■ ■ ■ ■ ■ 43线 姓名 座号 座号用0.5毫米黑色签字笔认真填写在书写框内，座号的每个书写框只能填写 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请接上一页继续作答 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 a 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ■ ■ ◆ ■ ◆ ◆ ■ 数学第7页共8页 数学 第8页共8页