专题05因式分解 期末复习讲义(16大核心题型精讲+重点知识全归纳)-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期.

专题05因式分解 期末复习讲义 期末复习◆重点 概念本质：因式分解属于代数式恒等变形，与整式乘法互为逆运算； 核心方法：提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）； 解题流程：严格遵循“一提、二套、三检查”标准步骤； 必考应用：有理数简便运算、代数式整体代入求值； 核心注意事项：区分两类乘法公式、公因式提取完整、规范变换符号、因式分解务必彻底。 核心题型◆归纳 题型1.判断是否是因式分解 题型2.找公因式 题型3.判断能否用公式法分解因式 题型4.提公因式法分解因式 题型5.平方差公式分解因式 题型6.完全平方公式分解因式 题型7.综合运用公式法分解因式 题型8.综合提公因式和公式法分解因式 题型9.因式分解与有理数简算 题型10.已知因式分解的结果求参数 题型11.十字相乘法 题型12.分组分解法 题型13.实数范围内分解因式 题型14.因式分解的应用 题型15.因式分解与新定义运算 题型16.因式分解中最值问题 重点知识◆梳理 【知识点一、因式分解定义】 ✅定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式。 ✅关键词：（1）变形对象：多项式；（2）结果要求：整式、乘积形式；（3）本质属性：代数式恒等变形。 ✅因式分解最终结果必须为整式乘积形式，式子中含有加减运算、分式结构，均不属于因式分解。 【知识点二、因式分解与整式乘法的关系】 因式分解与整式乘法互为逆恒等变形，二者核心区别与关联如下表所示： 对比项目 因式分解 整式乘法 核心定义 把一个多项式化成几个整式积的形式 把几个整式的积化成一个多项式的形式 运算方向 多项式→整式积（和化积） 整式积→多项式（积化和） 结果形式 结果为多个整式乘积，不含加减运算 结果为单一多项式，不含整式乘积运算 核心应用 有理数简算、代数式求值、解方程、分式化简 整式化简、公式推导、代数式展开运算 核心关联 二者互为逆运算，运算过程完全相反，可互相校验运算结果正误 【知识点三、公因式与提公因式法】 1.公因式确定方法： （1）取多项式各项系数的最大公因数；系数正负不影响公因式选取，仅取数值最大公因数。 （2）选取各项共有的相同字母，且统一选取相同字母的最低次幂。 （3）若多项式中包含多项式结构因式，取各项相同多项式、最低次数整体作为公因式。 ★总结公式：公因式=各项系数最大公因数+相同字母最低次幂+公共多项式因式 2.提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 3.提公因式法标准解题步骤： （1）确定公因式,依据系数、字母、多项式三重规则，精准提取全部公共因式，避免漏提、错提； （2）拆分提取因式,将多项式每一项分别除以公因式，剩余多项式整体纳入括号内； （3）化简整理,合并括号内同类项，化简括号内代数式； （4）核验检查,核查因式提取完整性、符号正误，保证括号内无剩余公因式。 【知识点四、公式法】 平方差公式：a2－b2＝ （a＋b）（a－b） 结构特征：原式为二项式、两项均为平方形式、两项符号一正一负。 完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 结构特征：原式为三项式、首尾两项为平方形式、中间项为首尾底数乘积的2倍 【知识点五、因式分解通用解题步骤】 一提：优先提取多项式全部公共因式； 二套：结合多项式结构，套用对应乘法公式完成分解； 三查：核验因式分解彻底性，保证每一个因式均无法继续分解。 【知识点六、十字相乘法】 适用于+px+q的二次三项式。 核心：若两个数a、b满足a+b=p,ab=q. 则+px+q=（x+a）(x+b) 【知识点七、分组分解法】 适用形式：多项式项数≥4，无法直接提公因式、套公式. 两两分组：am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n)。 三一分组：三项组用完全平方公式，剩余一项再用平方差公式。 【知识点八、因式分解的原则】 分解必须彻底，直到不能再分解为止； 结果中每一个因式都必须是整式； 相同因式写成幂的形式； 首项系数为负，提取符号； 结果不含中括号，只保留小括号。 题型解析◆精准备考 题型1.判断是否是因式分解 1．下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．下列变形①；②；③；④；⑤中，是因式分解的是______（填序号） 3．下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型2.找公因式 1．因式分解代数式，应提取的公因式是（     ） A． B． C． D． 2．多项式的公因式是_______． 3．写出下列多项式各项的公因式： (1)； (2)． 题型3.判断能否用公式法分解因式 1．下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是（     ） A．B． C． D． 2．在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有______个． 3．探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 题型4.提公因式法分解因式 1．若，，则的值为（   ） A．8 B．15 C．25 D．45 2．已知，，则的值为______． 3．先因式分解，再计算求值：，其中，． 题型5.平方差公式分解因式 1．已知（_______），则横线上应填的代数式是（    ） A． B． C． D． 2．因式分解：________． 3．把下列各式分解因式： (1) (2)． 题型6.完全平方公式分解因式 1．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为______． 3．先阅读材料，再解答问题： 已知，求的值． 解：将“”看成一个整体，设， 则原式可变形为． 将代入，得， 则，所以． 以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． (1)因式分解：； (2)应用：已知一个长方形的长为，宽为，且满足，求该长方形的周长． 题型7.综合运用公式法分解因式 1．把因式分解得（    ） A． B． C． D． 2．因式分解：__________． 3．因式分解． (1)； (2)． 题型8.综合提公因式和公式法分解因式 1．下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 分解因式：． 解： ● ☆ 其中运用到的方法是 △ 和 □ ． 下列回答错误的是（    ） A．●代表 B．☆代表 C．△可能代表提公因式法 D．□可能代表完全平方公式法 2．分解因式：________． 3．因式分解： (1)； (2)． 题型9.因式分解与有理数简算 1．与相等的是（   ） A． B． C． D． 2．利用因式分解计算：_____． 3．因式分解、用因式分解进行简便计算： (1)因式分解：； (2)用因式分解进行简便计算：． 题型10.已知因式分解的结果求参数 1．已知，则a的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 2．若，则常数________． 3．若关于x的二次三项式分解因式的结果为，求的值． 题型11.十字相乘法 1．分解因式，结果正确的是（    ） A．B． C． D． 2．教材有这样一段话：分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数(如图) 这样，我们也可以得到 利用上述方法，分解因式：_________． 3．利用“十字相乘法”因式分解： 同学们，我们已经学习了因式分解的两种常用方法：提公因式法与公式法．另外，因式分解还有一种很重要的方法叫作“十字相乘法”，常用于二次三项式的因式分解，实质上是逆用整式乘法的过程：，这个方法的关键是把二次项系数与常数项分别都拆成两个因数的积，并使这两组因数交叉相乘后的和等于一次项系数． 请你仿照以上方法把下列各式因式分解： (1)； (2)． 题型12.分组分解法 1．把分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 2．因式分解：____________． 3．阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如：已知，求代数式的值．我们把看作一个整体代入求值，原式． 又如：因式分解． 我们把看作一个整体，令，则原式，再把a还原成得，原式． 请根据上面的提示和范例解决下面问题： (1)因式分解：______； (2)已知，求的值； (3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 题型13.实数范围内分解因式 1．下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．在实数范围内分解因式：______． 3．在实数范围内把下列各式分解因式： (1) (2) 题型14.因式分解的应用 1．已知长方形的长为，宽为，若该长方形的周长为14，面积为12，则的值为（     ） A．70 B．84 C．96 D．168 2．已知等腰三角形的两边长，满足，这个等腰三角形的周长为_____． 3．按要求解答下列问题： (1)若关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围； (2)已知a，b，c是的三条边，且满足，请判断的形状并说明理由． 题型15.因式分解与新定义运算 1．定义：若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，，所以13是“和谐数”，下列说法不正确的是（    ） A．17是和谐数 B．（，是整数）不一定是和谐数 C．如果，都是和谐数（），则也是“和谐数” D．当时，（，是整数）是“和谐数” 2．定义新运算：对于任意实数，规定（，为常数），若，，将因式分解的结果为____________． 3．对于任意有理数，我们规定 (1)已知，则 ； (2)对于有理数若是一个完全平方式，则 ； (3)对于有理数，若． （i）求的值； （ii）将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点在边上，连接，．若，，图中阴影部分的面积为174，求的值． (4) 题型16.因式分解中最值问题 1．已知m，n均为正整数且满足，则的最大值是（    ） A．16 B．22 C．34 D．36 2．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：．若a，b为实数且满足，整式，求整式M的最小值为______． 3．读下列材料： “我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：求代数式的最小值． 解： ， 当，即时，的最小值是5． 【问题解决】 (1)代数式的最小值_________． (2)已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的边的最大值． (3)若，，求的值 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05因式分解 期末复习讲义 期末复习◆重点 概念本质：因式分解属于代数式恒等变形，与整式乘法互为逆运算； 核心方法：提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）； 解题流程：严格遵循“一提、二套、三检查”标准步骤； 必考应用：有理数简便运算、代数式整体代入求值； 核心注意事项：区分两类乘法公式、公因式提取完整、规范变换符号、因式分解务必彻底。 核心题型◆归纳 题型1.判断是否是因式分解 题型2.找公因式 题型3.判断能否用公式法分解因式 题型4.提公因式法分解因式 题型5.平方差公式分解因式 题型6.完全平方公式分解因式 题型7.综合运用公式法分解因式 题型8.综合提公因式和公式法分解因式 题型9.因式分解与有理数简算 题型10.已知因式分解的结果求参数 题型11.十字相乘法 题型12.分组分解法 题型13.实数范围内分解因式 题型14.因式分解的应用 题型15.因式分解与新定义运算 题型16.因式分解中最值问题 重点知识◆梳理 【知识点一、因式分解定义】 ✅定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式。 ✅关键词：（1）变形对象：多项式；（2）结果要求：整式、乘积形式；（3）本质属性：代数式恒等变形。 ✅因式分解最终结果必须为整式乘积形式，式子中含有加减运算、分式结构，均不属于因式分解。 【知识点二、因式分解与整式乘法的关系】 因式分解与整式乘法互为逆恒等变形，二者核心区别与关联如下表所示： 对比项目 因式分解 整式乘法 核心定义 把一个多项式化成几个整式积的形式 把几个整式的积化成一个多项式的形式 运算方向 多项式→整式积（和化积） 整式积→多项式（积化和） 结果形式 结果为多个整式乘积，不含加减运算 结果为单一多项式，不含整式乘积运算 核心应用 有理数简算、代数式求值、解方程、分式化简 整式化简、公式推导、代数式展开运算 核心关联 二者互为逆运算，运算过程完全相反，可互相校验运算结果正误 【知识点三、公因式与提公因式法】 1.公因式确定方法： （1）取多项式各项系数的最大公因数；系数正负不影响公因式选取，仅取数值最大公因数。 （2）选取各项共有的相同字母，且统一选取相同字母的最低次幂。 （3）若多项式中包含多项式结构因式，取各项相同多项式、最低次数整体作为公因式。 ★总结公式：公因式=各项系数最大公因数+相同字母最低次幂+公共多项式因式 2.提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 3.提公因式法标准解题步骤： （1）确定公因式,依据系数、字母、多项式三重规则，精准提取全部公共因式，避免漏提、错提； （2）拆分提取因式,将多项式每一项分别除以公因式，剩余多项式整体纳入括号内； （3）化简整理,合并括号内同类项，化简括号内代数式； （4）核验检查,核查因式提取完整性、符号正误，保证括号内无剩余公因式。 【知识点四、公式法】 平方差公式：a2－b2＝ （a＋b）（a－b） 结构特征：原式为二项式、两项均为平方形式、两项符号一正一负。 完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 结构特征：原式为三项式、首尾两项为平方形式、中间项为首尾底数乘积的2倍 【知识点五、因式分解通用解题步骤】 一提：优先提取多项式全部公共因式； 二套：结合多项式结构，套用对应乘法公式完成分解； 三查：核验因式分解彻底性，保证每一个因式均无法继续分解。 【知识点六、十字相乘法】 适用于+px+q的二次三项式。 核心：若两个数a、b满足a+b=p,ab=q. 则+px+q=（x+a）(x+b) 【知识点七、分组分解法】 适用形式：多项式项数≥4，无法直接提公因式、套公式. 两两分组：am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n)。 三一分组：三项组用完全平方公式，剩余一项再用平方差公式。 【知识点八、因式分解的原则】 分解必须彻底，直到不能再分解为止； 结果中每一个因式都必须是整式； 相同因式写成幂的形式； 首项系数为负，提取符号； 结果不含中括号，只保留小括号。 题型解析◆精准备考 题型1.判断是否是因式分解 1．下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断选项即可得到答案． 【详解】选项A、属于整式乘法，右边是多项式的差，不是整式积的形式，故A不符合题意； 选项B、结果为，不是几个整式积的形式，故B不符合题意； 选项C、将多项式化为两个整式与的积，符合因式分解的定义，故C符合题意； 选项D中，左边是单项式，不是多项式，不属于因式分解，故D不符合题意． 2．下列变形①；②；③；④；⑤中，是因式分解的是______（填序号） 【答案】② 【分析】本题主要考查了因式分解的意义，直接利用因式分解的意义分析得出答案． 【详解】解：①，是多项式乘法，故①不是因式分解； ②，是因式分解，； ③是单项式，不是因式分解； ④中不是整式，故④不是因式分解； ⑤，等式右边不是整式的乘积，故⑤不是因式分解， 故答案为：②． 3．下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)不是因式分解 (2)不是因式分解 (3)是因式分解 (4)不是因式分解 (5)不是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的意义，注意因式分解是针对多项式而言的，因式分解后，右边是整式积的形式． 根据分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式 【详解】（1）解：因式分解是针对多项式来说的，故不是因式分解； （2）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解； （3）解：是因式分解； （4）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解； （5）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解． 题型2.找公因式 1．因式分解代数式，应提取的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】公因式是多项式各项都含有的公共因式，确定规则为：相同字母取最低次幂，乘积即为所求公因式． 【详解】解：∵ 多项式为，各项均含有的公共字母为和， 又∵在两项中的次数分别为和，最低次数为；在两项中的次数分别为和，最低次数为， ∴公因式为． 2．多项式的公因式是_______． 【答案】 【分析】根据确定公因式的方法，依次确定系数的最大公约数，相同字母，相同字母的最低次幂，即可得到结果． 【详解】解：多项式的公因式是． 3．写出下列多项式各项的公因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】找多项式各项的公因式，需分别确定系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次幂，再将二者相乘即可． 【详解】（1）解：对于多项式，系数3、、6的最大公约数是3，各项都含有的相同字母为，且的最低次幂是1， ∴各项的公因式为． （2）解：对于多项式，系数4、的最大公约数是2，各项都含有的相同字母为、，的最低次幂是1，的最低次幂是2， ∴各项的公因式为． 题型3.判断能否用公式法分解因式 1．下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是（     ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式分解因式的条件：多项式为三项，两项为符号相同的平方项，第三项为两平方项底数乘积的2倍，逐一判断即可. 【详解】解：∵选项A的多项式中，两个平方项与符号不同，不符合要求，∴A错误； ∵选项B的多项式只有两项，不符合完全平方公式分解的要求，∴B错误； ∵选项C的多项式中，一次项不是，不满足条件，∴C错误； ∵选项D的多项式，符合完全平方公式，∴D正确. 2．在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有______个． 【答案】4 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握、是解答本题的关键．根据公式分析解答即可． 【详解】解：，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； 故答案为：4． 3．探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 【答案】(1)不能 (2)3，5，3，5，3，5 (3)①；② 【分析】本题考查因式分解，掌握十字相乘法，是解题的关键． （1）根据完全平方式的特点判断即可； （2）将15拆解乘，又，即可得出结果； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：∵不是完全平方式， ∴不能利用完全平方公式进行因式分解； 故答案为：不能； （2）∵， ∴； （3）①； ②． 题型4.提公因式法分解因式 1．若，，则的值为（   ） A．8 B．15 C．25 D．45 【答案】B 【分析】本题考查提公因式因式分解和代数式整体代入求值，先对所求多项式因式分解，再代入已知条件计算即可． 【详解】解： 又， 代入得 因此原式的值为． 2．已知，，则的值为______． 【答案】 【分析】先对所求多项式提取公因式进行因式分解，再将已知和的值整体代入计算． 【详解】解：对原式因式分解得， 将，代入，得原式 ． 3．先因式分解，再计算求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】先利用互为相反数的平方相等变形，提取公因式完成因式分解，再代入、的值计算即可． 【详解】解： ， 把，代入得， 原式． 题型5.平方差公式分解因式 1．已知（_______），则横线上应填的代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将等式右侧的多项式分解因式，然后对比即可解答． 【详解】解： ∵， ∴ 横线上应填的代数式是，即故选D符合题意． 2．因式分解：________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 3．把下列各式分解因式： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 题型6.完全平方公式分解因式 1．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式的结构特征逐一判断选项即可，完全平方公式的结构为． 【详解】解：A、的常数项为，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解； B、缺少两个数乘积的倍这一项，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解； C、是平方差，只能用平方差公式因式分解，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解； D、，符合完全平方公式结构，可以用完全平方公式因式分解． 2．已知，则的值为______． 【答案】 【分析】根据已知等式求出的值，再对所求多项式因式分解，利用整体代入法求值即可． 【详解】解：由得：， ∴． 3．先阅读材料，再解答问题： 已知，求的值． 解：将“”看成一个整体，设， 则原式可变形为． 将代入，得， 则，所以． 以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． (1)因式分解：； (2)应用：已知一个长方形的长为，宽为，且满足，求该长方形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则原式可变形为，据此可得答案； （2）设，则可推出，得出，可得到答案． 【详解】（1）解：设，则原式可变形为， 将代入，得原式； （2）， 设， ， 解得： ，即， 该长方形的周长为． 题型7.综合运用公式法分解因式 1．把因式分解得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平方差公式和完全平方公式解答即可. 【详解】解：； 故选：C. 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键. 2．因式分解：__________． 【答案】/ 【分析】本题考查因式分解，先利用平方差公式法进行因式分解，再利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 3．因式分解． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型8.综合提公因式和公式法分解因式 1．下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 分解因式：． 解： ● ☆ 其中运用到的方法是 △ 和 □ ． 下列回答错误的是（    ） A．●代表 B．☆代表 C．△可能代表提公因式法 D．□可能代表完全平方公式法 【答案】D 【分析】先逐步对原式因式分解，再判断各选项内容即可. 【详解】解： ； ∴●代表，选项A正确， ☆代表，选项B正确， 分解过程第一步为提公因式法，第二步为平方差公式法，因此△可以代表提公因式法，选项C正确，□代表平方差公式法，不是完全平方公式法，选项D错误. 2．分解因式：________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再由完全平方公式进行分解即可． 【详解】解：． 3．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据提公因式法和公式法分解因式即可； （2）根据提公因式法和公式法分解因式即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ， ． 题型9.因式分解与有理数简算 1．与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查完全平方公式进行因式分解，根据完全平方公式因式分解即可得答案． 【详解】解：， 故选：C． 2．利用因式分解计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用；通过提取公因式进行因式分解后计算． 【详解】解： ． 故答案为 ． 3．因式分解、用因式分解进行简便计算： (1)因式分解：； (2)用因式分解进行简便计算：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： . 题型10.已知因式分解的结果求参数 1．已知，则a的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴． 2．若，则常数________． 【答案】 【分析】先计算，再比较即可求解． 【详解】∵， 又∵， ∴， ∴． 3．若关于x的二次三项式分解因式的结果为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式与整式乘法，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．对展开得到m，n的值，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 题型11.十字相乘法 1．分解因式，结果正确的是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解：利用十字相乘法即可分解因式． 【详解】解：， 故选：A． 2．教材有这样一段话：分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数(如图) 这样，我们也可以得到 利用上述方法，分解因式：_________． 【答案】 【分析】本题主要考查利用十字相乘法求解一元二次方程，判断是否可以利用十字相乘法是解题的关键． 首先观察这个式子的二次项系数，常数项和一次项系数，利用十字相乘法运算得到即可． 【详解】解：∵这个式子的二次项系数，常数项，一次项系数， ∴， 故答案为：． 3．利用“十字相乘法”因式分解： 同学们，我们已经学习了因式分解的两种常用方法：提公因式法与公式法．另外，因式分解还有一种很重要的方法叫作“十字相乘法”，常用于二次三项式的因式分解，实质上是逆用整式乘法的过程：，这个方法的关键是把二次项系数与常数项分别都拆成两个因数的积，并使这两组因数交叉相乘后的和等于一次项系数． 请你仿照以上方法把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2） 解：． 题型12.分组分解法 1．把分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是先分组，再利用提公因式与平方差公式分解因式，把原式分为两组，再提取公因式，结合平方差公式分解因式即可. 【详解】解： ； 故选D 2．因式分解：____________． 【答案】 【分析】先分组提取公因式，再利用平方差公式继续分解，直至分解彻底． 【详解】解： ． 3．阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如：已知，求代数式的值．我们把看作一个整体代入求值，原式． 又如：因式分解． 我们把看作一个整体，令，则原式，再把a还原成得，原式． 请根据上面的提示和范例解决下面问题： (1)因式分解：______； (2)已知，求的值； (3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题以整体换元法为背景考查了完全平方公式的应用，关键是要找到整体即可解答． （1）将看作整体换元，利用完全平方公式即可求解； （2）将看成整体换元，即可求解； （3）将中第一项与第四项结合，第二项第三相结合展开，利用整体换元即可求解． 【详解】（1）解：（1）将看成整体，令， 则原式， 再将a还原，得到原式， 故答案为：； （2）∵， ∴ ∴ ； （3）证明：设这连续整数分别为n，，，，（n为整数）， 则 将看成整体，令， 则原式 ， 再将b还原，得到原式， ∵n为整数， ∴为整数， 故式子的值一定是某一个整数的平方． ∴四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方 题型13.实数范围内分解因式 1．下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式的应用．判断二次三项式能否在实数范围内分解因式的方法：把二次三项式看成方程的形式，可以在实数范围内分解，即方程有实根，即．若二次三项式可以在实数范围内分解，则二次三项式等于0时，，计算各选项中的值，根据的符号判断即可． 【详解】解：A、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； B、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； C、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； D、， ∵， ∴方程没有实数解， 在实数范围内不能因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 2．在实数范围内分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查在实数范围内分解因式，通过令二次表达式等于零，解关于x的二次方程，利用求根公式得到根，然后写出因式分解形式． 【详解】解：令， ∴， 则， 当时，， 当时，， 所以根为，， 因此，． 故答案为：． 3．在实数范围内把下列各式分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式     ； （2）解：原式 . 题型14.因式分解的应用 1．已知长方形的长为，宽为，若该长方形的周长为14，面积为12，则的值为（     ） A．70 B．84 C．96 D．168 【答案】B 【分析】先根据长方形周长和面积公式得到和的值，再对所求多项式进行因式分解，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵长方形周长为14，长为，宽为， 则，即； ∵长方形面积为12， ∴， ∵， 将，代入得： 原式． 2．已知等腰三角形的两边长，满足，这个等腰三角形的周长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，等腰三角形的定义，三角形的三边关系．根据绝对值和平方的非负性，可得，，再根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论，利用三角形三边关系判断，即可求解． 【详解】解： ∴ 因为且，所以且，解得，． 当腰为时，三边为，，，但，不满足三角形三边关系，故舍去； 当腰为时，三边为，，，满足三角形三边关系， 周长为． 故答案为：． 3．按要求解答下列问题： (1)若关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围； (2)已知a，b，c是的三条边，且满足，请判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）先解关于，的二元一次方程组，得出，，再代入，得出，最后解不等式即可； （2）先对进行因式分解，再利用三角形边长性质即可判断三角形的形状． 【详解】（1）解：， 将两个方程相加消去，可得， 解得，， 把代入方程， 解得，． ， ， 解得，． （2）解：是等腰三角形，理由如下： ， ， ． a，b，c是的三条边， ． 且， ，即， 是等腰三角形． 题型15.因式分解与新定义运算 1．定义：若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，，所以13是“和谐数”，下列说法不正确的是（    ） A．17是和谐数 B．（，是整数）不一定是和谐数 C．如果，都是和谐数（），则也是“和谐数” D．当时，（，是整数）是“和谐数” 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．根据“和谐数”的定义，利用完全平方公式逐项判断即可． 【详解】解：A.， 17是和谐数，故该说法正确，不符合题意； B. ， （是整数）一定是和谐数，故该说法错误，符合题意； C. ， 都是“和谐数”，设， 原式 ， 也是“和谐数”，故该说法正确，不符合题意； D.， ， 当时，（是整数）是“和谐数”，故该说法正确，不符合题意． 故选：B． 2．定义新运算：对于任意实数，规定（，为常数），若，，将因式分解的结果为____________． 【答案】 【分析】根据新运算定义，将已知条件代入得到关于，的二元一次方程组，解方程组求出，的值，再得到的多项式，最后对多项式进行因式分解即可． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得， ∴． 3．对于任意有理数，我们规定 (1)已知，则 ； (2)对于有理数若是一个完全平方式，则 ； (3)对于有理数，若． （i）求的值； （ii）将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点在边上，连接，．若，，图中阴影部分的面积为174，求的值． (4) 【答案】(1)3 (2) (3)（i）；（ii）的值为2 【分析】（1）由新定义求出，然后利用因式分解计算即可； （2）先根据新定义变形，再根据完全平方式有和差两种形式解答即可； （3）①根据新定义，得，然后根据完全平方公式进行变形，最后整体代入计算即可； ②根据题意，得化简计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴； （2）解：， ∵是一个完全平方式， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； ②由题图知， 所以， 化简，得． 因为， 所以． 因为由①知， 所以， 解得． 题型16.因式分解中最值问题 1．已知m，n均为正整数且满足，则的最大值是（    ） A．16 B．22 C．34 D．36 【答案】D 【分析】由得.由于，据此列出关于m、n的方程组，求出每一组m、n的值，再求出相应的的值，即可找到的最大值. 【详解】由得 ∵m，n均为正整数 或或或 或或或    或 解得或或或或或或或 ∴或22或18或16 ∴的最大值是36 故选：D 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是将变形为. 2．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：．若a，b为实数且满足，整式，求整式M的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，分组分解法因式分解，配方法的运用，掌握以上知识，正确配方是关键． 由已知条件得到，代入整式中，通过配方法将转化为完全平方式与常数的和，进而利用非负性求最小值． 【详解】解：由，得， 代入，得： ， 对和分别配方：，， 代入得： ， 由于， 且，故， 当时，满足，且， 因此，整式的最小值为， 故答案为：． 3．读下列材料： “我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：求代数式的最小值． 解： ， 当，即时，的最小值是5． 【问题解决】 (1)代数式的最小值_________． (2)已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的边的最大值． (3)若，，求的值 【答案】(1)2 (2)6 (3)81 【分析】（1）将原式变形为，根据非负数的意义就可以得出代数式的最小值． （2）将原式变形为，再进一步求解即可． （3）求解，代入，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值是． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， 解得：，． ∵的三边长、、都是正整数， ∴， ∴的最大整数值为． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：，， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $