第1课时 空间向量及其线性运算-【创新大课堂·暑假作业】2025-2026学年高一数学快乐假期讲练测

第三部分 假期新知预习 选择性必修第一册 第一章空间向量与立体几何 第1课时 空间向量及其线性运算 .0提前学新果0…。 相反 与向量a长度相等且 向量 方向相反的向量 [课标要求] 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了 如果表示若干空间向 解空间向量的概念。 量的有向线段所在的 2.经历由平面向量的线性运算推广到空间向： 直线互相平行或重 合，那么这些向量叫 a∥b 量的过程，掌握空间向量的线性运算及其运 共线 做共线向量或平行 向量 算律. 向量 3.掌握空间向量共线、共面的充要条件及其 规定：零向量与任意 应用 向量平行 0∥a 知识点一 空间向量的概念 方向相同且模相等的 a=b或AB 1.空间向量 相等向量 向量 =CD (1)定义：在空间中，我们把具有大小和方向 的量叫做空间向量. [例1]给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个 (2)长度或模：空间向量的大小叫做空间向 点为起点，则它们的终点构成一个圆； 量的长度或模， ‘几何表示法：空间向量用有向线段表示， ②在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有AC (3) 字母表示法： =A1C1; 表 用字母a,b,c,…表示， ③若空间向量a,b,c满足a=b,b=c,则 示 若向量a的起点是A,终点是B, a=c; 法 则向量a也可以记作AB, ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是 其模记为a或|AB A.1 B.2 2.几类常见的空间向量 C.3 D.4 名称 定义 表示法 [对点练习1]下列命题是真命题的是( 零向量 长度为0的向量 A.空间向量就是空间中的一条有向线段 0 B.不相等的两个空间向量的模必不相等 单位 a=1或 模为1的向量 C.任一向量与它的相反向量不相等 向量 AB|=1 D.向量BA与向量AB的长度相等 46 第三部分 假期新知预习 知识点二 空间向量的线性运算 [对点练习2]如图，在四 面体OABC中，M为棱 1.空间向量的加法、减法以及数乘运算 BC的中点，点N,P分 Q M 别满足ON=2NM,AP \a(A>0) 入a(入<0) A下则0币- = 图(1) 图(2) 由图(1)，知①a十b=OA+AB=OB;②a-b A.号Oi+号0i+0d =OA-OC=CA;由图(2)，知③当入>0时， BOi+号0+号0 Aa=入OA=PQ;当入<0时，Aa=AOA= MN;当入=0时，aa=0. coi+oi+d 9 2.空间向量的线性运算满足的运算律 D.+ 交换律：a十b=b十a; 知识点三 共线向量与共面向量 结合律：a十(b十c)=(a+b)十c,入(a)= (入u)a; 共线（平行）向量 共面向量 分配律：（入十）a=a+a,入(a十b)=a 表示空间向量的有 +b. 向线段所在的直线 平行于同一个 3.一般地，对于三个不共面的向量a,b,c,以任 定 义 互相平行或重合， 平面的向量， 意点O为起点，a,b,c为邻边作平行六面体， 则这些向量叫做共 叫做共面向量 则a,b,c的和等于以O为起点的平行六面： 线向量或平行向量 体对角线所表示的向量： 若两个向量 [例2]如图，在四面体ABCD中，E是棱AB a,b不共线， 对于空间任意两个 则向量p与向 的中点，F是棱CD上一点，且C=CD,则 充 向量a,b(b≠0)，a 量a,b共面的 EF= 条 ∥b的充要条件是 充要条件是存 件 存在实数入，使a 在唯一的有序 λb 实数对（x, y),使p=a E +yb B---------“D、A 2.直线1的方向向量：已知O是直线1上一点， 在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意 A.-号A店号AC+3Ai 一点P,存在实数入，使得OP=a,我们把与向 量α平行的非零向量称为直线I的方向向量. B.号A店+号AC-号A方 3.与直线、平面平行的向量：如果表示向量 C号A店-号AC-号Ad 的有向线段OA所在的直线OA与直线1平 行或重合，那么称向量a平行于直线1，如果 D.-AB+号AC+号AD 直线OA平行于平面a或在平面a内，那么 称向量a平行于平面a. 47 高一数学每日一练·练出好成绩 [例3]如图，己知平 0 2.如图，在平行六面体 E 行六面体ABCD-A' ABCD-A1BCID 中， A A B,-1G B B'C'D',E,F,G,H D AB-AD-AA- 分别是棱A'D',C A B D',CC和AB的中点，求证：E,F,G,H四点 A.AC 共面 B.AC C.DB D.DB :3.在空间四边形ABCD中，点M,G分别是BC和 CD的中点，则AB+2(BD+BC =() A.AD B.GA C.AG D.MG :4.若a,b,c是空间一组不共面的向量，则不共 面的一组向量为 A.a-b,b+c,c+a B.-a+c,-b-c;a+b C.a+b,b-c,a+c D.a+b,a-b,c 5.(多选)如图所示， D C 在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB D =3,AD=2,AA1 =1,则在以八个 顶点中的两个分别为始点和终点的向量中 [对点练习3]有以下命题： ①若p=xa十yb(x,y∈R),则p与a、b A.单位向量有8个 共面； B.与AB相等的向量有3个 ②若p与a、b共面，则p=x十b(x,y∈R); C.AA1的相反向量有4个 ③若MP=rMA+yM店(，y∈R,则M、6.《多选如图，在四面体 D.模为√5的向量有4个 P、A、B共面； ABCD中，点E,F分 ④若M、P、A、B共面，则MP=xMA 别为BC,CD的中点， D yMB(x,y∈R) 则 则所有真命题的序号是 A.E示-B丽 B …0提早练新题0… B.AE+AF=AC C.AD+DC+CB=AB 1.下列说法中正确的是 A.空间中共线的向量必在同一条直线上 D.Ai-2(A店+AG=Ei B.若两个空间向量相等，则它们的起点相7.设a,b是空间中两个不共线的向量，已知AB 同，终点也相同 =9a+mb;BC=-2a-b;CD=-a+2b; C.数乘运算中，入既决定大小又决定方向 A,B,D三点共线，则实数m D.在四边形ABCD中，一定有A店+AD8.已知i,j,k是不共面向量，Q=2i-j十3k, b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,若a,b,c三 =AC 个向量共面，则实数入= 48参考答案与详解 (2)如图1，连接AC与BD,设AC∩BD=O,连 接EO, 得S△rCD=(1-A)W5,VA-FCD 25(1-), 3 由题意AB⊥BD,AB⊥BC,AB=BC=CD DB=2,所以AD=AC=2√2， 所以San=CD√AD2-() B =2v81-7. 设F到面ACD的距离为d, 图1 图2 则VFD=}·SaCD·d-. 3 则AO=BO=CO=DO 因为EA=EB=EC=ED, VEACD-VAFCDd-2(), 33 所以EO⊥AC,EO⊥BD, 又因为ACC平面ABCD,BDC平面ABCD,且 得d=2(1-. 7 AC∩BD=O 在△BFC中，由余弦定理， 所以EO⊥平面ABCD. 得CF2=42-4十4. 所以四棱锥E-ABCD是正四棱锥. 设CF与平面ACD所成角为0， (3)如图2所示，取BE中点G,连接AG, GC,AC, 则sin0= d 2I1-)=2I CF 7√2-λ+1 7 根据等边三角形性质可知AG⊥EB,CG⊥EB, 所以∠AGC是二面角A-BE-C的平面角， 22-2λ+1=。 N2-入+1 2×1 7 入2-λ十1 7 设该正八面体棱长为a, 则AC=2a,AG=GC= 2, 一1 入十入 则在△AGC中，AG2+GC2=多02≠AC2, 1 入+于二1∈(1，+o∞)，… -∈(0,1)， 1 所以∠AGC≠90°，所以平面ABE与平面BCE -1 不垂直， 10.解(1)BC=CD=2,∠BCD=60°， △BCD是等边三角形， 又∠EBC=150°，.∠EBD=90°，即∠ABD= 第三部分 假期新知预习 90°，AB⊥BD. .AB=BC=2,AC=2√2， 选择性必修第一册 由勾股定理得，AB⊥BC. 第一章空间向量与立体几何 又BC,BDC面BCD,BC∩BD=B, ∴.AB⊥面BCD. 第1课时空间向量及其线性运算 (2)过等边三角形BCD的 外心O1作直线1 提前学新课 面BCD, M 例1B[对于①，根据空间向量的定义，空间中所 设球心O,连接OA,OB,过 有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的 点O作OM⊥AB,交AB于 终点构成一个球面，故①为假命题；对于②，根据 M. 正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结 设球O的半径为R,OO1 合向量的方向，所以AC=A1C1,故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义，明显成立，故③为 真命题；对于④，向量相等即模相等和方向相同， 21 故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故 R2,解得，R= 3 ④为假命题.故选B.] (3)由(1)得，AB⊥面BCD, 对点练习1D[对于A,有向线段是空间向量的 号5an 一种表示形式，但不能把二者完全等同起来，故 VA-FCD= A错误；对于B,不相等的两个空间向量的模也 而在△BCD中，BF=ABD(0<入<1)， 可以相等，只要它们的方向不相同即可，故B错 75 高一数学每日一练·练出好成绩 误；对于C,零向量的相反向量仍是零向量，但零！3.C[因为点G是CD的中 向量与零向量是相等的，故C错误；对于D,BA: 点，所以BD十BC=2BG, 与AB仅是方向相反，它们的长度是相等的，故D 正确.故选D.门 所以A店+(BD+8C) 例2D[连接AF, AB+BG=AG.故选C.] 由题意，得EF=EA十AF :4.D[A选项：a-b+(b十c) M 合Bi+花+丽 = =c十a,所以a-b,b十c,c E 十a是共面向量；B选项：-a十c十(-b一c) -2A店+AC+}元- -a-b=-(a+b),所以-a+c,-b-c,a+b是 共面向量；C选项：a十b-(b-c)=a十c,所以a A话+AC+号(AD - B2“ 十b,b-c,a十c是共面向量；D选项：令a十b= x(a-b)十yc,显然x,y无解，故不是共面向量. A0)=-A店+号AC+专Ad.放选D.] 故选D.] 对点练习2B[O=OA+A=OA+号AN= :5.ABC[由题可知单位向量有AA1,A1A,BB1, B1B,CC,C1C,DD1,D1D,共8个，故A正确； oi+号0示-0i)=0i+号o示=oi+号 与AB相等的向量有A1B1,D1C,DC,共3个，故 ×号oi=oi+号oi=号oi+音×2oi B正确；向量AA1的相反向量有A1A,B1B,C1C, D1D,共4个，故C正确；模为√5的向量分别为 +风)-+号成+号元故选以.] AD1,D1A,A D,DA1,BC1 ,C B,B1C,CB1,8 例3解 取ED=a,E求=b,Ei=c, 个，故D错误.故选ABC.] 6.ACD[因为E,F分别为BC,CD的中点，所以 则HG=HB+BC+CG -DF+2ED+7AA E示=B元，故A正确：若A正+A市=AC可得A正 =AC-A下=FC,由图可知AE,FC不共线，矛 -b-a+2a+(AH+HE+EA) 盾，故B错误；因为AD+DC+CB=AC+CB= =b十a+3b-a-e-a)=号 A店，故C正确：因为A市-合(A店+AC)=A市- 所以HG与b,c共面，又EF=b,Ei=c, ×2A正=AD-AE=ED,故D正确.故 2 所以HG与EF、EH共面， 选ACD.] 所以E,F,G,H四点共面 对点练习30Q[由空间向量的共面定理可知，7.二3[因为BD=BC+CD,已知BC--2a-b, ①和③是真命题； CD=-a+2b, 对于②，当a与b共线，且p与a、b不共线时，满 所以BD=(-2a-b)+(-a+2b)=-3a+b. 足p与a、b共面， 因为A,B,D三，点共线，所以AB与BD共线，即存 但不存在实数组(x,y),使p=0十b成立，故 ②是假命题； 在实数，使得AB=ABD 对于④，当M、A、B共线且P与M、A、B不共线： 已知AB=9a+mb,BD=-3a+b,则9a+b 时，满足M、P、A、B共面， =(-3a+b). 但不存在实数组(x,y),使MP=xMA+yMB成 根据向量相等的性质，对于a和b前面的系数分 立，故④是假命题.故答案为：①③.] 提早练新题 到和车可得名： 1.C[对于A,空间中共线的向量不一定在同一条 由9=-3入，解得入=一3，又因为m=入，所以m= 直线，有可能两向量所在的直线平行，所以A错 -3.故答案为：-3.] 误；对于B,方向相同，大小相等的空间向量相等：8 65 [若a,b,c三个向量共面，则存在实数m,n 它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，所 以B错误；对于C,向量数乘运算中，入既决定大 满足a=mb十nc, 小又决定方向，所以C正确；对于D,在平行四边 即2i-j+3k=m(-i+4j-2k)+n(7i+5j+ 形ABCD中，才有AB十AD=AC,所以D错误. ,2=-m+7n 冰)，所以 -1=4m十5m,解得m= 17 故选C.] 33n=33 2.C[由题意AB-AD-AA1=AB-(AD+ (3=-2m+n AA1)=AB-AD1=D1B.故选C.] 停成农家为停 76 0