新知预览1 空间向量及其线性运算-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（B版 全学年）

三022 易知△FCB≌△HBB1, 所以BF⊥HB, 又因为BF⊥A1B1,且A1B1∩HB1=B1, 所以BF⊥平面AEHB1,所以BF⊥DE 12.解：(1)证明：，'PD⊥平面ABCD,AMC平面ABCD .PD⊥AM. PD⊥AM,PB⊥AM,PB∩PD=D,PBC平面PBD,PD C平面PBD,.AM⊥平面PBD. 又.AMC平面PAM. .平面PAM⊥平面PBD (2)M为BC的中点， BM=2AD,且AB=DC=10, ,AM⊥平面PBD,BDC平面PBD,∴AM⊥BD 则有∠BAM+∠MAD=90°，∠MAD+∠ADB=90°，即 ∠BAM=∠ADB, 则有△BAM△ADB,则有识@， 将①式代入②，解得AD=√2. 所以SGABCD=AD·DC=√2X1=√2. 新题快递 1.C[如图， 因为球O与平面a,B相切于点A,B,所以OA⊥a,OB⊥B. 所以球心O与平面a,B均成30°的直线有几条转化为 “过空间一，点O与OA,OB(OA,OB成角70)所成角均为 60°的直线有几条” 0 图1 图2 如图（图1中∠BOP=∠AOP=60°，图2中∠BOP=∠AOP =120°)可知， 当点P在平面OAB上方时，有2条； 根据对称性可知当点P在平面OAB下方时，也有2条， 所以过空间一点O与OA,OB所成角均为60°的直线有 4条， 即过球心O与平面a,3均成30°的直线有4条.] 2.解析：以三棱锥A1-ABC为例（如图(1）)，则此三棱锥的4 个面均为直角三角形，故①错误； D A D E 富一数类 FG∥D1D,.过点F、D1、G的截面为矩形FGD1D, FG⊥DE,DE⊥AF,∴DE⊥平面AFG,当P在直线FG 上运动时，APC平面AFG, DE⊥AP,故②正确； 当Q在直线BC:上运动时，△ADQ的面积为定值（如图 (2)),C到平面AD,Q的距离为定值，∴.AD,QC的体积是 定值，故③正确； 连接DC,则DC1⊥平面ABCD,∴.M的轨迹是线段 A1D1,故④正确. 答案：②③④ [第二部分] 新知预览1 知识梳理 1.(1)大小方向(2)大小模(3)AB|aAB1 (4)01相等相反相同相等 2.OA+AB OA-OC 3.(1)互相平行或重合共线向量同一个平面a=沾 p=xa十b(2)方向向量 典例探究 [例1][解析](1)A中，向量a,b平行，则a,b所在的直线 平行或重合；B中，a=b|只能说明a,b的长度相等而方 向不确定；C中，向量不能比较大小，故选D. (2)A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅 模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不 一定相同；B为真命题，AC与A1C的方向相同，模也相等，故 AC-AC1;C为真命题，向量的相等满足传递性；D为假命 题，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相 同故不一定相等，所以选BC. [答案](1)D(2)BC 变式训练 1.解：(1)与向量AB相等的所有向量（除它自身之外）有A1B1, DC及DC共3个. (2)向量AA1的相反向量为A1A,BB,CC,D,D. (3)|AC1=3. [例2][解](1)CB+BA=CA. (2)因为M是BB1的中点， 所以BM=之BB C 又AA=B丽，所以AC+C店+合Ad =AB+BM=AM. (3)AA-AC-CB-CA-CB-BAT. 向量CA1,AM,BA如图所示. 变式训练 2.解析：D[A中，AD,-A1A-AB=AD,-AB=BD,;B 中，BC+BB,-D,C-BC+CD,=BD;C中，DD-A店 +AD=AD+DD1-AB=AD1-AB=BD1:D中，B1D1- A1A+DD,=BD+AA1+DD,=BD,+AA1≠BD,故 选D.] [例3][解]法一：M,N分别是AC, BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形， ..MN=MA+AF+FN =CA+A+成. ① 壁快乐假期 又：MN=M花+CE+EB+BN =-号i+C成-亦-成， ② ①+②得2MN=C正， .CE∥MN,即CE与MN共线. 法二：M,N分别是AC,BF的中点，且四边形ABCD和 ABEF都是平行四边形， :M=AN-AM=(A店+A)-2AC =号A店+A前-名(A+Aò) -A应-A-名B成-O-}成 .MN∥CE,即MN与CE共线. 变式训练 3.证明：设AB=a,AD=b,AA=c 因为A龙=2E元，A市=号元， 所以A正=号AD,A广=号A衣， 所以A立=号A市=号b, A正-号C-AA)-号AB+A市-AM =号a+号号， 所以床-A-A-号c-号（a号0 又丽-试+AA+店-=号b+a=a号c 2 所以或-成， 又因为EF与EB有公共点E,所以E,F,B三点共线 [例4][解](1)：OA+OB+OC=3OM, ..0A-OM=(OM-OB)+(OM-OC), ∴.MA=BM+CM=-MB-Mc, ∴.向量MA,MB,MC共面. (2)由(1)知向量MA,MB,MC共面，而它们有共同的起点 M,且A,B,C三点不共线，.M,A,B,C共面，即M在平面 ABC内. 变式训练 4.证明：易得AC,AD不共线.令AB-xAC+yAD(x,y∈R), 则e1+e2=x(2e1+8e2)+y(3e1-3e2) =(2x+3y)e1+(8.x-3y)e2. 1 :e,和，不共线心x+3解得 x5' 18x-3y=1,1 1 y=51 A店=}A花+}A市，A,B,C,D四点共面. 检测评价 1.C[OA+AB-C=OA+A+BC-O心.故选C.] 2.D[根据题意可知四边形ABCD是平行四边形，AD与CB, OA与OC为相反向量，AC与DB方向不同，D0与OB是相等 向量.] .-S0MA□ 3.A[对于选项B,其终点构成一个球面，对于选项C,空间非 零向量能用空间中的一条有向线段表示，但不能说向量就是 有向线段；对于选项D,向量a与向量b不相等，有可能它们 的模相等，但方向不同，故选A.] 4.C[根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断 可知A,B,D的运算结果都为AC,而C中，(BA-BC) CC,=CA-CC,=CA,故选C.] 5.D[因为A花=AA+AE=AA+子A,C=AA+子(A店 +动，所以x=1y=子] 6.BC[在平行四边形ABDC中，满足AB=CD.但不满足A 与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段，A不正确. 因为Ad=号AC+号A立，所以3Ai-AC+2A成，所以 2AD-2AB=AC-AD,所以2BD=DC,所以3BD=BD +DC,即3BD=BC,B正确.若Q为△ABC的重心，则QA +QB+QC=0.所以3PQ+QA+QB+QC=3PQ,所以 3PQ=pi+p+P心，即P=}pi+}pi+}P心，c正 确.在三棱柱ABC-A1B,C中，令AB=a,AC=b,AA=c, 满足a与b,b与c,c与a都是共面向量，但a,b,c不共面，D 不正确.故选BC.] 7.BCD [AB+BC+CD+DA-AC+CD+DA-AD+DA- 0,A正确：若a,b同向共线，则|a|一|b<|a十b|,故B不正 确；由向量平行知C不正确；D中只有x十y十之=1时，才有 P,A,B,C四点共面，故D不正确.故选BCD.] 8解折：如困，A成=号市=号×合（西 +Aò=}e-b. 答案：号(c-b) 9.解折：原式=（合+5x号-3）a+(合×2-5x号+3x2)b +(-3x+5x号-3e=8a+号-名c. 5 7 答案：名a+b- 10.解析：因为BD=CD-CB=e1-4e2,AB=2e1十ke2,又A, B,D三成共线，由向量共线的充要条件得号-名，所以及 =-8. 答案：一8 11.解：1)DB,-DC+CB,-DC+BB-BC=a-b+c, BE-BA+AA+A,E--a+2b+c, AF=A8+B萨-a+号0叶e)-AB+号成=a+2b叶2c (2)DD,+DB+CD-DD +(CD+DB)=DD,+CB= DD十DA1=DA1,连接DA(图略)，由于CB1LDA1,所 以DA1或CB1即为所求. 12.解：由题意可知M,N分别是AD1,BD的中点，四边形AB CD为平行四边形，连接AC,则N为AC的中点， M=Ad-A成=号A花-号AD-2(AC-ADi) Dc,M与D,C共线 08三022 高一数半) 第二部分 青春须早为一新知预览 新知预览1空间向量及其线性运算 学不可以已。 完成日期： 月 日 ★[学习目标]1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面 向量的运算及其法则推广到空间向量的过程，3.掌握空间向量的线性运算法则. 知识梳理一自学教材，素养奠基 1.空间向量的有关概念 2.空间向量的线性运算 (1)定义：在空间中，把具有 和 名称 代数形式 几何形式 运算律 的量叫做空间向量. (2)长度：向量的 叫做向量的长度 0B= 或 加法 交换律：a十b ①字母表示法：空间向量用字 =a+b a+b =b十a; 母a,b,c,…表示 CA= 结合律：a十(b十 a ②有向线段表示法：向量a的 c)=(a+b)+c (3)表示法 减法 起点是A,终点是B,则向量a =a-b 也可以记作 ,其模记 为 或 当λ>0时， 结合律： (4)几类特殊向量 a=入OA (ua)=()a; =PQ; 特殊向量 定义 表示法 10 /M 分配律： 当1<0时， 有 入a 长度为 数乘 的 /0>0) /(a<0) (+)a 零向量 0 血=AOA 向量 0 =M; =a十4a, λ(a+b) a=1或 当入=0时， 单位向量 模为 的向量 =Aa+b a=0 |AB=1 与a长度 3.空间向量的共线与共面 而方向 的 (1)共线、共面向量 相反向量 a 向量，称为a的 共线（平行）向量 共面向量 相反向量 方向 且模 a=b或 如果表示若干空间 相等向量 的向量 AB-CD 向量的有向线段所 平行于 在的直线 表示若干空间向 定义 的向量，叫 共线向 ,那么这些向 量的有向线段所 a∥b或 做共面向量 量或平 量叫做 或 在的直线互相平 AB∥CD 行向量 平行向量 行或重合 71 快乐假期 0M-= 续表 (2)直线L的方向向量 若两个向量a,b不共 如图，O是直线1上一点，在直 对于空间任意两 线，则向量卫与向量 线1上取非零向量a,则对于) 个向量a,b(b卡 充要 a,b共面的充要条件 直线上任意一点P,由数乘向量的定义 0),a∥b的充要 条件 是存在唯一的有序实 及向量共线的充要条件可知，存在实数入， 条件是存在实数 数对(，y),使 入，使 使得OP=a.我们把与向量a平行的非零 向量称为直线1的 典例探究 探究学习，素养形成 ◆[题型一] 空间向量的概念 (1)试写出与AB相等的所有向量； 例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确 (2)试写出AA1的相反向量； 的是 (3)若AB=AD=2,AA1=1,求向量AC A.若向量a,b平行，则a,b所在的直线 的模 平行 B.若|a=b,则a,b的长度相等而方向相 同或相反 C.若向量AB,CD满足|AB>CD1, 则AB>CD D.相等向量其方向必相同 (2)(多选)下列命题为真命题的是() A.若空间向量a,b满足|a=b,则a=b ◆[题型二]空间向量的线性运算 B.在正方体ABCD一AB1C1D1中，必有 例2 如图所示，在三棱柱 AC-A C ABC-A1B1C1中，M是BB C.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则 的中点，化简下列各式，并在 A m=p 图中标出化简得到的向量： D.空间中任意两个单位向量必相等 (1)CB+BA1; 规律方法空间向量的概念与平面向量 (2)AC+C店+2AA; 的概念相类似，平面向量的其他相关概 (3)AA,-AC-CB. 念，如向量的模、相等向量、平行向量、相 反向量、单位向量等都可以拓展为空间向 量的相关概念 [变式训练] 1.如图所示，以长方体ABCD 一ABCD1的八个顶点的 两点为起点和终点的向 量中， 72 三0022 高一教学的 规律方法空间向量加法、减法运算的 规律方法 判定向量共线就是充分利用 两个技巧 已知条件找到实数入，使a=b成立，或充 (1)巧用相反向量：向量的三角形法则是 分利用空间向量的运算法则，结合具体图 解决空间向量加、减法的关键，灵活运 形通过化简，计算得出a=b,从而得到 用相反向量可使向量首尾相接， a∥b. (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四 [变式训练] 边形法则进行向量加、减法运算时，务 3.如图所示，在正方体ABCD 必注意和向量、差向量的方向，必要时 A1B1C1D1中，点E在A1D1 可采用空间向量的自由平移获得运算 上，且A1E=2ED1,点F在 结果 体对角线A1C上，且A1F= [注意](1)向量减法是加法的逆运算， 减去一个向量等于加上这个向量的相 成 反向量. 求证：E、F、B三点共线， (2)首尾相连的若干向量构成封闭图形 时，它们的和向量为零向量， [变式训练] 2.如图，在长方体ABCD A1B,CD1中，下列各式运 算结果不为BD,的是( A.AD:-AA-AB B.BC+BB-D,C C.DD,-AB+AD D.B D-A A+DD ◆[题型四]空间向量共面问题 ◆[题型三]向量共线问题 例4已知A,B,C三点不共线，平面ABC外 例3如图，四边形ABCD -点M满起OMi-}OA+O+}Od 和ABEF都是平行四 (1)判断MA,MB,MC三个向量是否共面； 边形，且不共面，M,N (2)判断M是否在平面ABC内. 分别是AC,BF的中 点，则CE与MN是否共线？ 73 k曼快乐假期 S0M-= 规律方法解决向量共面的策略 [变式训练] 4.已知向量e1,e2,不共线，如果AB=e1十e2, (1)若已知点P在平面ABC内，则有AP =xAB+yAC或OP=xOA+yOB AC=2e1+8e2,AD=3e1-3e2,求证：A,B, C,D四点共面， 十zOC(x+y十之=1).然后利用指定 向量表示出已知向量，用待定系数法 求出参数. (2)证明三个向量共面（或四点共面），需 利用共面向量定理，证明过程中要灵 活进行向量的分解与合成，将其中一 个向量用另外两个向量来表示. 检测评价— 诊断落实，素养达标 一、选择题 5.已知正方体ABCD-A1B,C,D,中，A1E= 1.在空间四边形OABC中，OA+AB-CB 等于 A,C,若A正=xAA+(店+AD,则 A.OA B.AB c.oc D.AC () 2.如图所示，在四棱柱的上底 Ax=1y= Bx-29=1 面ABCD中，AB=DC,则下 列向量相等的是 () C.z-1.y-3 Dx=1y-号 A.AD与CB B.OA与OC 6.(多选)给出下列命题，其中正确的命题为 C.AC与DB D.DO与OB ( 3.下列命题中为真命题的是 A.若AB=CD,则必有A与C重合，B与D A.向量AB与BA的长度相等 重合，AB与CD为同一线段 B.将空间中所有的单位向量移到同一个起 点，则它们的终点构成一个圆 B.若AD-}AC+号A店，则可知BC-3Bd C.空间非零向量就是空间中的一条有向 C.若Q为△ABC的重心，则PQ-号PA+ 线段 D.不相等的两个空间向量的模必不相等 Pi+号Pd 4.在正方体ABCD一A1B1C1D1中，下列各式 D.非零向量a,b,c满足a与b,b与c,c与a 的运算结果不为向量AC,的是 都是共面向量，则a,b,c必共面 A.(AB+BC)+CC 7.(多选)在以下命题中，不正确的命题是() A.已知A,B,C,D是空间任意四点，则 B.(AA+A D)+D C AB+BC+CD+DA-0 C.(BA-BC)-CC B.|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要 D.(AA+A B)+B C 条件 74 三-0022 一数学恐) C.若a与b共线，则a与b所在直线平行 12.如图，在平行六面体 D D.对空间任意一点O和不共线的三点A, ABCD-A1B1C,D1中，M B,C,若OP=xOA+yOB+zOC(其中 是AD1的中点，N是 x,y,之∈R),则P,A,B,C四点共面 BD的中点，试判断MN 二、填空题 与D,C是否共线 8.设M是△ABC的重心，记CA=b,AB=c, 则AM= (用b,c表示). 9.化简2a+2b-3c)+5(后a-2b+号c 3(a-2b+c)= 10.设e1,e2是不共线的向量，已知AB=2e1+ ke2 CB=e +3e2,CD=2e-2,A,B, D三点共线，则实数k为 三、解答题 11.在平行六面体ABCD D AB,C1D1中，AB=a, AD=b,AA=c,E为 A1D1的中点，F为BC 与BC的交点. (1)用基底{a,b,c}表示下列向量：DB1, BE,AF; (2)在图中画出DD,+DB+CD化简后的 向量 75