新知预览1 空间向量及其线性运算-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业

-0022 一数学 [第二部分]青春须早为一 新知预览 新知预览1空间向量及其线性运算 学不可以已。 完成日期： 月 .日 ★[学习目标]：1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经 历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算法则 知识梳理—一自学教材，素养奠基 1.空间向量的有关概念 名称 代数形式 几何形式 运算律 (1)定义：在空间中，把具有 和 当入>0时， 的量叫做空间向量. (2)长度：向量的 叫做向量的长度 a OA 结合律： 或 =PQ: 10 公 〔①字母表示法：空间向量用字 当A<0时， A(a)=(u)a; 数乘 入a X a Aa =AOA >0)/<0 分配律：（入十） 母a,b,c,…表示 a=xa+pa,A(a (3)表示法 ②有向线段表示法：向量a的 =MN; +b)=a+λb 起点是A,终点是B,则向量a 当入=0时， 也可以记作 ,其模记 Aa=0 为 或 (4)几类特殊向量 3.空间向量的共线与共面 特殊向量 定义 (1)共线、共面向量 表示法 S 共线（平行）向量 共面向量 零向量 长度为 的向量 a=1或 如果表示若干空间向 单位向量 模为 的向量 AB=1 量的有向线段所在的 平行于 的 定义直线 那 向量，叫做共面向量 与a长度 而方向 相反向量 么这些向量叫做 的向量，称为a的相反向量 -a 或平行向量 相等向量 方向 且模 的 a=b或 向量 若两个向量a,b不共线 AB=CD 对于空间任意两个向 则向量p与向量a,b共 共线向 表示若干空间向量的有向线 充要量a,b(b≠0)，a∥b的 a∥b或 面的充要条件是存在唯 量或平 段所在的直线互相平行或 条件充要条件是存在实数 的有序实数对(x,y), 行向量 重合 AB∥CD 入，使 使 2.空间向量的线性运算 名称 代数形式 几何形式 运算律 (2)直线1的方向向量 如图，O是直线1上一点， OB= 加法 交换律：a+b 在直线1上取非零向量a,方“ =a+b B =b+a; 则对于直线1上任意一点 b 结合律：a十(b P,由数乘向量的定义及向量共线的 CA= a +c)=(a+b) 减法 充要条件可知，存在实数入，使得OP= a.我们把与向量a平行的非零向量 a-b 称为直线1的 41 受快乐假职 00-= 典例探究——探究学习，素养形成 ◆[题型一]空间向量的概念 (1)CB+BA1; 例1(1)下列关于空间向量的说法中正确 的是 ( ) (2)AC+CB+号AA: A.若向量a,b平行，则a,b所在的直线 (3)AA-AC-CB. 平行 B.若|a|=b|,则a,b的长度相等而方 向相同或相反 C.若向量AB,CD满足IAB>|CD1,则 AB>CD D.相等向量其方向必相同 (2)(多选题)下列命题为真命题的是() A.若空间向量a,b满足a=|bl,则a=b B.在正方体ABCD一AB,C,D1中，必有 AC=AC C.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p, 则m=p D.空间中任意两个单位向量必相等 规律方法空间向量的概念与平面向 量的概念相类似，平面向量的其他相关 概念，如向量的模、相等向量、平行向 量、相反向量、单位向量等都可以拓展 规律方法空间向量加法、减法运算 为空间向量的相关概念 的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量的三角形法则 [变式训练] 是解决空间向量加、减法的关键， 1.如图示，以长方体AB CD-A,B,C,D,的八个顶 灵活运用相反向量可使向量首尾 相接. 点的两点为起点和终点的 (2)巧用平移：利用三角形法则和平行 向量中， 四边形法则进行向量加、减法运算 (1)试写出与AB相等的所 时，务必注意和向量、差向量的方 有向量； 向，必要时可采用空间向量的自由 (2)试写出AA,的相反向量： 平移获得运算结果. (3)若AB=AD=2,AA,=1,求向量AC, [注意](1)向量减法是加法的逆运 的模 算，减去一个向量等于加上这个向量 的相反向量 (2)首尾相连的若干向量构成封闭图 形时，它们的和向量为零向量， [变式训练] 2.如图，在长方体ABCD 一ABCD1中，下列 各式运算结果不为BD ◆[题型二]空间向量的线性运算 的是 ( 例2如图所示，在三棱柱 A A.AD:-AA-AB ABC-A1B,C1中，M是 BB,的中点，化简下列各 B.BC+BB-D,C 式，并在图中标出化简得 C.DD-AB+AD 到的向量： D.B D-A A+DD 4织 三0P2 含一数学卧 ◆[题型三]向量共线问题 ◆[题型四]空间向量共面问题 例3 如图，四边形 例4已知A,B,C三点不共线，平面ABC外 ABCD和ABEF都 是平行四边形，且不 一点M满足OM=OA+号O店+3 共面，M,V分别是 (1)判断MA,MB,MC三个向量是否 AC,BF的中点，则 共面； CE与MN是否共线？ (2)判断M是否在平面ABC内. 规律方法判定向量共线就是充分利 用已知条件找到实数入，使a=b成立， 或充分利用空间向量的运算法则，结合具 规律方法解决向量共面的策略 体图形通过化简，计算得出a=b,从而得 (1)若已知点P在平面ABC内，则有AP 到a∥b. =xAB+yACOP=x OA+yOB+z [变式训练] 3.如图所示，在正方体 OC(x十y十之=1).然后利用指定向量表 ABCD -A B C D 示出已知向量，用待定系数法求出参数 A 中，点E在A1D1上， (2)证明三个向量共面（或四点共面）， 需利用共面向量定理，证明过程中要灵 且AE=2ED1,点F 活进行向量的分解与合成，将其中一个 在体对角线A,C上，且 向量用另外两个向量来表示， A正-号F元求证：E、 「变式训练] F、B三点共线， 4.已知向量e1,e2,不共线，如果AB=e1十 e2,AC=2e1+8e2,AD=3e1-3e2,求证： A,B,C,D四点共面. 检测评价一诊断落实，素养达标 选择题 A.AD与CB B.OA与0C 1.在空间四边形OABC中，OA+AB-CB C.AC与DB D.DO与OB 等于 3.下列命题中为真命题的是 A.OA B.AB A.向量AB与BA的长度相等 C.oc D.AC B.将空间中所有的单位向量移到同一个 起点，则它们的终点构成一个圆 2.如图所示，在四棱柱的上底 C.空间非零向量就是空间中的一条有向 面ABCD中，AB=DC,则下 线段 列向量相等的是 D.不相等的两个空间向量的模必不相等 43 飞堡快乐假期 S00= 4.如图在三棱锥ABCD中， 三、解答题 E是棱CD的中点，且BF 11.如图，在空间四边形 =庞，则A《 B ABCD中，已知点G为 △BCD的重心，E,F, A.2A店+子aC-AD B-- H分别为CD,AD,BC G】 BA店+AC-A0 的中点，化简下列各 式，并在图中标出化简结果。 C.-5AB+3 AC+3AD D.}a成+3+}a元 (1AG+号BE-}AC, 5.已知O为空间任意一点，A,B,C,P满足 (2)2(A店+AC-AD: 任意三点不共线，但四点共面，且OP=m OA+2OB+OC,则m的值为 () (3)号a成+号ac+号A西 A.-1 B.-2 C.-3 D.1 6.(多选)给出下列命题，其中正确的命题为 () A.若AB=CD,则必有A与C重合，B与 D重合，AB与CD为同一线段 B若D-号+号.则可知-3励 C.若Q为△ABC的重心，则P日=号PA +P啦+号元 D.非零向量a,b,c满足a与b,b与c,c 与a都是共面向量，则a,b,c必共面 7.(多选题)在以下命题中，不正确的命题 12.如图，在平行六面体 是 A ABCD -A B C D A.已知A,B,C,D是空间任意四点，则 中，M是AD1的中 AB+BC+CD+DA=0 B.|a|-|b=|a+bl是a,b共线的充要 点，N是BD的中点， 条件 试判断MN与D,C是否共线. C.若a与b共线，则表示a与b的有向线 段所在直线平行 D.对空间任意一点O和不共线的三点A, B,C,若OP=xOA+yOB+xOC(其中 x,y,之∈R),则P,A,B,C四点共面 二、填空题 8.设M是△ABC的重心，记CA=b,AB c,则AM= (用b,c表示) 3(a-2b+c)= 10.设e1,e是不共线的向量，已知AB=2e+ ke2,CB=e+3e2,CD=2e-2 A,B,D 三点共线，则实数为 44三0022 (2)若甲、乙两人各回答2道题，两人共答对3道题，则 甲只答对一道题、乙2道题全部答对或乙只答对一道 题、甲2道题全部答对. 甲只答对一道题，乙2道题全部答对的概率为2X号× (-2)×()）=是 乙只答对一道题，甲2道题全部答对的概率为2X是× 子×（合）=是 故两人共答对3道题的概率为品十是合所以甲，之 、3 两人各回答2道题，两人共答对3道题的概率为日 新题快递 1.D「由题可知甲、乙投掷一次获得的筹数相应的概率如 下表所示 筹数 2 4 5 6 10 0 5 6 9 1236 18 若甲获胜，则在第三场比赛中，甲比乙至少多得三筹 分以下四种情况：①甲得“四筹”，乙得“零筹”，此种情况 发生的栀幸P=日×站点： 5 ②甲得“五筹”，乙得“零筹”或“两筹”，此种情况发生的 11 ③甲得“六筹”，乙得“零筹”或“两筹”，此种情况发生的 极率户=×（辰+）=品： ④甲得“十筹”，乙得“零筹”或“两筹”或“四筹”或“五筹” 或“六筹”，此情况发生的概率P=6 (-)66 故甲孩的桃来P=R+P+R+P,=品+品十 2.ABD[对于AB,由相互独立的积事件的概率乘法公式 可知AB正确：对于C,三次传输译码为1，则可能是三次 全部译为1，或者有两次译为1，则概率为CB(1一B)2+ (1一B)3,故C错误：对于D,可以采用特值法或者作差法 计算.三次传输方案译为0的概率为Ca(1一a)2十(1一 a)3,单次传输译为0的概率为1一a,而Ca(1一a)2十(1 -a)3-(1一a)=(1-a)a(1-2a)>0,所以D正确.] 第二部分 新知预览1 知识梳理 1.(1)大小方向(2)大小模(3)AB lal AB (4)01相等相反相同相等2.OA+ABOA -0c 3.(1)互相平行或重合共线向量同一个平面a=λb p=xa十3b(2)方向向量 6 高一数癸恐 典例探究 [例1][解析](1)A中，向量a,b平行，则a,b所在的 直线平行或重合：B中，|a=|b只能说明a,b的长度相 等而方向不确定；C中，向量不能比较大小：相等相量是 指方向相同且模相等，故选D. (2)A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等， 不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b 的方向不一定相同：B为真命题，AC与A,C的方向相同， 模也相等，故AC=A,C1;C为真命题，向量的相等满足传 递性；D为假命题，空间中任意两个单位向量的模均为 1,但方向不一定相同，故不一定相等，所以选BC [答案](1)D(2)BC 变式训练 1.解：(1)与向量AB相等的所有向量（除它自身之外）有 A1B1,DC及D1C1共3个. (2)向量AA的相反向量为A1A,B,B,C,C,D,D (3)1AC1=3. [例2][解](1)CB+BA=CA: (2)因为M是BB1的中，点，所以BM 又A=BB所以花+丽+号 AA,=AB+BM=AM. (3)AA AC-CB =CA:CB =BA. 向量CA,AM,BA,如图所示. 变式训练 2.解析：D[A中，A,D,-AA-AB=AD,-AB=BD1 B中，BC+BB,-DC=BC+CD1=BD1:C中，DD -AB+AD=AD+DD,-AB=AD1-AB=BD1:D中， B D:-A A+DD =BD+AA DD BD +AA ≠BD.] [例3][解]法一，M,N分别是AC, BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四 边形， ..MN=MA+AF+FN =+A+成 ① 又：MN=MC+CE+EB+BN =-i+-A求-2. ② ①+②得2MN=CE, ∴CE∥MN,即CE与MN共线， 法二：M,N分别是AC,BF的中点，且四边形ABCD 和ABEF都是平行四边形， “M=A不-AM=号A+)-多A心 =2不店+成-之不店+ =(AF-AD)=号(B花-BC)=2C. M∥CE,即M与CE共线. 变式训练 3.证明：设AB=a,AD=b,AA=C 周为A正=2ED.A下=号F元. 坐快乐假期 所以A正=号A可A正=号A衣 所以A正-号AD=号b, A正=号A花-AA)=号A+A舫-A)=号a+号 6 所以萨-A萨-A正=子。-言6-号c 号(a-号b-c) 又E筋=EA+A+Ai=-号b-+a=a-子b-c 所以求=号成， 又因为EF与EB有公共点E,所以E,F,B三点共线. [例4][解](1)OA+OB+OC=3OM, ..0A-OM=(OM-OB)+(OM-OC). ∴.MA=BM+CM=-MB-MC, ∴向量MA,MB,MC共面. (2)由(1)知向量MA,MB,MC共面，而它们有共同的起 点M,且A,B,C三点不共线，.M,A,B,C共面，即M 在平面ABC内. 变式训练 4.证明：易得AC,AD不共线.令AB=xAC+yAD(x,y∈ R),则AB=e1十e,=x(2e1+8e)+y(3e1-3e2)=(2x+ 3y)e1+(8x-3y)e2. x 0和6不我藏心名1年特 1 A店=号aC+号Ad.AB.C,D四点共面. 检测评价 1.C [OA+AB-CB=0A+AB+BC=OC.] 2.D[根据题意可知四边形ABCD是平行四边形，AD与CB, OA与OC为相反向量，AC与DB方向不同，DO与OB是相等 向量，] 3.A[对于选项B,其终点构成一个球面，对于选项C,空 间非零向量能用空间中的一条有向线段表示，但不能说 向量就是有向线段；对于选项D,向量a与向量b不相 等，有可能它们的模相等，但方向不同.] 4.D[连接AE,因为E是校CD的中点，B萨=号酝，所 以A市=A店+B萨=A店+子B正=A店+子(A正-A)= 号+子店-子+ò+号店号店+号 +号.] 5.B[因为A,B,C,P满足任意三点不共线，但四点共面， 所以存在x,y∈R,使得AP=xAB+yAC, 因为AP=OP-OA,AB=OB-OA,AC=OC-OA,所以 OP-OA=z(OB-0A)+y(OC-0A),OP=(1-z- y)OA+xOB+yOC,因为OP=mOA+2OB+OC, ,1-x-y=m, 所以x=2, 解得m=-2.] (y=1, 6 s 6,BC[在平行四边形ABDC中，满足AB=CD.但不满足 A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段，A不 正确，周为方-}A+号店所以3A品=心+2店。 所以2AD-2AB=AC-AD,所以2BD=D元，所以3 BD=BD+DC,即3BD=BC,B正确.若Q为△ABC的 重心，则QA+QB+QC=0.所以3PQ+QA+QB+QC =3P,所以3PQ=pA+P店+P心，即PQ=号pA+ 号P店+号P元.C正骑，在三投柱ABC-ABC中，令 3 AB=a,AC=b,AA1=c,满足a与b,b与c,c与a都是 共面向量，但a,b,c不共面，D不正确.] 7.BCD [AB+BC+CD+DA=AC+CD+DA=AD+ DA=0,A正确；若a,b同向共线，则|a-|b<|a十bl, 故B不正确；由向量平行知C不正确；D中只有x十y十之 =1时，才有P,A,B,C四点共面，故D不正确.] 8,解析：如图，AM=号Aò C =号×合+A心=合(e-创. A 答案：子(c-b) 9.解析：原式=（合+5×号-30 +(分×2-5×2+3×2)b+(-3×2+5×号-3 =a+号b-c 5 10.解析：因为BD=CD-CB=e1-4e,AB=2e,十e2,又A, BD三点共线，由向量共线的充要条件得号=后，所以长 =-8. 答案：一8 11.解：(1)如图，连接EF,G是△BCD 的重心G流=酝 又=示，由向量加法的三角形法 则可知， 花++-G+成+球=正+帝=店 在图中标出A下，如图所示 (2)连接AH,如图，因为E,F,H分别为CD,AD,BC 的中点， 所以成+AC-AD)=(2Ai-AD)=Ai-司 AD=Ai-AF=Fi.在图中标出Fi,如图所示 3)号A成+号A花+号i-A+子（花-i)+日 (A市-A)=店+子（成+B丽）=店+是成=A脑 +BG=AG.在图中标出AG,如图所示. 12.解：由题意可知M,V分别是AD1,BD的中点，四边形 ABCD为平行四边形，连接AC,则N为AC的中点， M=AN-AM=AC-号AD=子AC-AD) =合DCM与DC共线. 8