热考专题2 立体几何中的数量关系与位置关系-【创新大课堂·暑假作业】2025-2026学年高一数学快乐假期讲练测

高一数学每日一练·练出好成绩 热考专题二立体几何中的数量关系与位置关系 十十十 十十十十十十十十十 十十十十 【热考解读】立体几何中的数量关系与位置关系是高中数学的核心内容之一，是高考的必 考内容，并且所占比重较大，立体几何是培养数学学科核心素养的重要载体，该部分主要考 查对转化、化归思想的应用，以提升直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养， :6.(多选)在正三棱台ABCA1B1C1中，AB= 0热考专练0… 1.如图，在正方形ABCD-A'B'C'D'中，M,N 2A1B1=2AA1=2√3.则 ( 分别是A'D',D'C'的中点，则直线AM与平 面BND的位置关系是 A.三棱台ABCA1B1C1的表面积为213 ( 2 N M B.直线AA1与BC所成角的余弦值为 4 B C.直线AA1与平面BCC1B1所成角的余弦 D 值为号 B D.三棱锥B1-ABC与三棱锥B-A1B1C1的 A.垂直 B.平行 C.相交但不垂直 D.无法确定 公共部分的几何体的体积为。 2.如图，SABC是正三棱锥 7.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是 且侧棱长为a,E,F分别 边长为2的等边三角形，异面直线AB1与 是SA,SC上的动点， △BEF的周长的最小值 A1C所成角的余弦值为，则该三棱柱的 为√2a,则侧棱SA,SC的 夹角为 ( ) 高为 B A.309 B.60 C.20 D.90 3.已知直线m⊥平面a,则“直线n⊥m”是“n∥a” B 的 A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 B 4.已知在三棱锥PABC中，平面PACL平面：8.如图，正方体ABCD-A1B1CD1的棱长为4， ABC,BC=2√6，PA=3,∠PAC=90°， E为BC的中点，F为线段CC1上的动点，过 ∠BAC=120°，则三棱锥P-ABC的体积的 点A,E,F的平面截该正方体所得截面记为 最大值为 S,当CF=3时，截面S与A1D1,C1D1分别 A.6W3 B.4√6 C.26 D.23 交于M,N,则MN= 5.埃及胡夫金字塔是世界古代建筑奇迹之一， 它的形状可视为一个正四棱锥，其侧面与底： B 面所成角的余弦值为，则侧面三角形 的顶角的正切值为 ( D. A.2 B.3 C.51 D.5+1 2 2 44 ●c 第二部分 热考专题突破 9.金刚石也被称作钻石， 10.已知在平面四边形 E 是天然存在的最硬的物 BCDE中，EB=BC 质，可以用来切割玻璃， D =CD=2,∠EBC= 也用作钻探机的钻头. 150°，∠BCD=60°. D 河南某实业集团股份有 B 限公司是国内人造金刚 ------------------. 将△EBD沿BD翻折至△ABD,AC= 2√2，点F在线段BD上，且BF=λBD,0< 石的排头兵，人造金刚 λ<1. 石年生产能力达15亿克拉，是国内同行业 (1)求证：AB⊥面BCD; 第一，世界第三金刚石生产基地.金刚石呈 (2)求三棱锥ABCD外接球的半径； 现如图所示的“正八面体”外形.正八面体由 (3)求直线CF与平面ACD所成角的正弦 八个全等的等边三角形围成，且对角面（如 值的取值范围. ABCD)都是正方形 (1)证明：AE∥平面CDF: (2)证明：四棱锥E-ABCD是正四棱锥； (3)试判断平面ABE与平面BCE是否垂 直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明： 理由. 45参考答 (2)因为sin2B+cos2B=1,得simB=5, 3 且. .6 sin A sin B 解得sinA=√0， 6； (3)因为sin2B=2 sin Bcos B=4, 9 c0s2B=2c0s2B-1=-9, 1 sin(2B-f）=sin2Bcos平-cos2Bsin开 4 =4W10+√2 18 10.解(1)因为b+c=a(cos C+3sinC, 由正弦定理得sinB+sinC=sin A(cos C十 3sin C), sin(A+C)+sin C=sin A(cos C+3sin C), 即cos Asin C+sinC=√3 sin Csin A, 因为C∈(0，π)，所以sinC≠0， 所以sinA-c0sA=1,即sin(A-吾）= 又因为A∈(0，π)，所以A= 3 2因为AD平分∠DAC.所以后肥-2，年 =2b, 由面积相等得号3·2办·sn普十36： 解得6=3)5，所以c=35. 2 由余孩定理得。2-(29)+3)2-2.3 2 ·3·c0s吾-8所以a=号 9 热考专题二立体几何中的数量关系与位置关系 热考专练 1.B[连接AC交BD D' 于E,连接MN,EN, M A'C',而M,N分别是 A A'D',DC的中点，所 以MN∥A'C'∥AC, 即MN∥AE,且2MN =A'C'=AC=2AE, DX--- 即MN=AE,则四边 它1 形AENM为平行四边 A 形，故AM∥EN,由AM丈平面BND,ENC平 面BND,则AM∥平面BND.故选B.] 2.A[把正三棱锥沿SB剪开，并展开，形成三个 全等的等腰三角形，△SBC,△SCA,△SAB',连 接BB',交SC于F,交SA于E,则线段BB就是 △BEF的最小周长，即BB'=√2a, 0 7 案与详解 A C 又SB=SB'=a,根据勾股定理，SB2十SB'2= BB2=2a2,所以△SBB'是等腰直角三角形， ∠BSB=90,∠ASC=90°X号=30°，所以 3 侧棱SA,SC的夹角为30°.故选A.] 3.B[若直线m⊥平面a,n⊥m,则直线nC平面a 或n∥a;若直线m⊥平面a,直线n∥a,则n⊥m,所 以“n⊥m”是“n∥a”的必要不充分条件.故选B.] 4.D[因为∠PAC=90°，即PA⊥AC,又平面 PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC, PAC平面PAC,所以PA⊥平面ABC,在△BAC 中BC=2√6，∠BAC=120°，由余弦定理a2= b2+c2-2 bccos∠BAC,即24=b2+c2+bc,所以 b2+c2=24-bc≥2bc,所以bc≤8，当且仅当b= c=22时取等号.所以S△BAC=2 besin∠BAC= c≤2，即△BAC的面积最大位为2反.所 以Vpc=专PA·SAINC≤}X3X25= 2√3，即三棱锥P一ABC的体积的最大值为 2√3.故选D.] 5.A[如图，在正四棱锥P-ABCD中，令AB=2a, 点O为底面ABCD的中心，取AD中，点为M, 连接OM,PM,则PM⊥ AD,OM⊥AD,∠PMO 是侧面与底面所成二面 角的平面角，由侧面与底 面所成角的余弦值为 D ,%. 2 而OM=AM=a,则PM =5a,在Rt△PAM中， 2 tan∠APM=AM-5-1 PM 2 tan∠APD= 2tan∠APM W5-1 =2 1-tan2∠APM 1-5-12 2 故选A.] 6.ACD[将正三棱台 ABCA1B1C1补成 三棱锥P-ABC,根据 长度关系可知三棱 锥P-ABC为正四 面体， A 对于A:因为S△ABC 1×23×25× 3 2 =3√5，可知 0 高一数学每日 SaA=子SaAc- 9√ 4 ,SAABC=S△AC 33 4 所以三棱台ABCA1B1C1的表面积为3√3十 35+3×9y5-215,故A正确； 4 42 对于B:取AC的中点D,连接BD,C1D, 可知AD∥A1C1,AD=A1C,则ADC1A1为平 行四边形，则AA1∥C1D,C1D=AA1=√3， 可知直线AA1与BC1所成角为∠BC1D(或其补 角)， 因为BC=BD=3,则coS∠BC1D=9+3-9 2×3×WJ3 6 所以直线AA:与BG所成角的余弦值为，故 B错误； 对于C:因为三棱锥PABC为正四面体， 则，点P在平面ABC内的投影为△ABC的中 心O, 且直线AA1与平面BCCB1所成角等于直线 AA1与平面ABC所成角∠PAO, 释A0-2,明0∠PA0-2-号 23 所以直线AA1与平面BCC1B1所成角的余弦值 为号故C正确： 对于D:设AB1∩A1B=M,BC1∩B1C=N, C A B 可知M,N分别为△PAB,△PBC的重心，且所 求几何体为三棱锥BB1MN, 因为AB1⊥PB,B1C⊥PB,AB1∩B1C=B1, AB1,B1CC平面AB1C,可得PB⊥平面AB1C, 所以三棱锥BB1MN的高即为BB1=√3， 又因为AB1=B1C=3,则B1D=√JAB-AD2 =√6， 可得SaBw=号SamC=日×合X2X后 - 3 所以三棱锥B-B1MN的体积VBB,N=3 3X 39 ,故D正确.故选ACD.] 0 7 练·练出好成绩 7.2[连接B1C,如图， 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC∥A1C1, 则∠B1AC(或其补角)是异面直线AB1与A1C 所成的角，所以cos∠B1AC=巨 4 设三棱柱的高为h,在Rt△ABB1和Rt△CBB1 中，AB1=CB1=√22+h2, 所以△B1AC是等腰三角形， 1 因为cos∠B1AC= AB1 V22+ 所以 ② √22+h2 4 所以h=2,所以该三棱柱的高为2.故答案 为：2.] 4√5 H 8.3 [由图，截面S与平 D 面ADD1A1,平面BB1C1C M 相交，因平面ADDA1∥平 B A 面BBC1C,则相应交线 平行 则过A作EF的平行线， Di.... 则平行线与A1D1交点即 为M,与DD1延长线交于 H. 注意到△AHDO△EFC,则EC-FC=→ AD HD 2 HD=6,又DD1=4,则HD1=2. 又注意到△MHD,∽△AHD,则HD=MD HD AD 合→MD,=青 又截面S与平面ABCD,平面A1B1C1D1相交， 则同理过M作AE平行线，则平行线与C1D1交 点即为N. 注意到△AEBn△NMD1则MD=ND,=艺 EB AB3 →ND,= 则根据勾股定理，MN √)+(- 效参案为：5] 9.解(1)由题意可知，对角面AFCE是正方形， 所以AE∥CF, 又因为CFC平面CDF,AE寸平面CDF, 所以AE∥平面CDF. 4 参考答案与详解 (2)如图1，连接AC与BD,设AC∩BD=O,连 接EO, 得S△rCD=(1-X)W5,VA-FCD 25(1-), 3 由题意AB⊥BD,AB⊥BC,AB=BC=CD DB=2,所以AD=AC=2√2， 所以San=CD√AD2-() B =2v81=7. 设F到面ACD的距离为d, 图1 图2 则VFD=}·SAACD·d-, 3 则AO=BO=CO=DO 因为EA=EB=EC=ED, VEACD-VAFCDd-2() 3 3 所以EO⊥AC,EO⊥BD, 叉因为ACC平面ABCD,BDC平面ABCD,且 得d=2@1-x. 7 AC∩BD=O 在△BFC中，由余弦定理， 所以EO⊥平面ABCD. 得CF2=42-4十4. 所以四棱锥E-ABCD是正四棱锥. 设CF与平面ACD所成角为0， (3)如图2所示，取BE中点G,连接AG, d 2I1-)=2I GC,AC, 则sin0= CF 7√2-λ+1 7 根据等边三角形性质可知AG⊥EB,CG⊥EB, 所以∠AGC是二面角A-BE-C的平面角， 22-2λ+1=。 =2I× N2-入+1 21×1- 7 2-λ+1 7 设该正八面体棱长为a, 1 则AC=V2a,AG=GC=- 2, 一1 入十入 则在△AGC中，AG2+GC2=多a2≠AC2, 1 λ+11∈(1，+∞)，. -∈(0,1)， 1 所以∠AGC≠90°，所以平面ABE与平面BCE -1 不垂直， 10.解(1)BC=CD=2,∠BCD=60°， sim0e(o.牙) △BCD是等边三角形 又∠EBC=150°，.∠EBD=90°，即∠ABD= 第三部分 假期新知预习 90°，AB⊥BD. .AB=BC=2,AC=2√2， 选择性必修第一册 由勾股定理得，AB⊥BC. 第一章空间向量与立体几何 又BC,BDC面BCD,BC∩BD=B, ∴.AB⊥面BCD. 第1课时空间向量及其线性运算 (2)过等边三角形BCD的 外心O1作直线（⊥ 提前学新课 面BCD, M : 例1B[对于①，根据空间向量的定义，空间中所 设球心O,连接OA,OB,过 有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的 点O作OM⊥AB,交AB于 终点构成一个球面，故①为假命题；对于②，根据 M. 正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结 设球O的半径为R,OO1 合向量的方向，所以AC=A1C1,故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义，明显成立，故③为 真命题；对于④，向量相等即模相等和方向相同， 21 故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故 R2,解得，R= 3 ④为假命题.故选B.] (3)由(1)得，AB⊥面BCD, 对点练习1D[对于A,有向线段是空间向量的 一种表示形式，但不能把二者完全等同起来，故 VA-FCD= 号5am A错误；对于B,不相等的两个空间向量的模也 而在△BCD中，BF=ABD(0<入<1)， 可以相等，只要它们的方向不相同即可，故B错 75