假期作业14 随机事件与概率-【创新大课堂·暑假作业】2025-2026学年高一数学快乐假期讲练测

高一数学每日 因此第59百分位数在第4组即区间[70,80]上， 设第59百分位数为x, 则0.59-0.35=x-70 0.65-0.3580-70 解得x=78; (3)样本数据在区间[50,60]的个数为0.1×100 =10,在区间[60,70]上的个数为0.2×100=20， 20 所以元10020×52+0+206X61=60, 20 6差为三10十206+(52-602门十 [3+(64-60)2]=36. 典题典例 解(1)该班级女生人数是2十5十6+5十2=20， 女生收看“两会”新闻次数的中位数是3. (2)由题意：该班女生对“两会”新闻的“关注指 数”为8=65%， 20 所以男生对“两会”新闻的“关注指数”为60%. 设该班的男生有x人，则一1十3+6》=60%， 解得x=25.所以该班级有男生25人， (3)该班级女生收看“两会”新闻次数的平均数为 1×2+2×5+3×6+4×5+5×2=3, 20 女生收看“两会”新闻次数的方差为 2×(3-1)2+5×(3-2)2+6×(3-3)2+5×(3-4)2+2×(3-5)2 20 因为男、女生收看“两会”新闻次数的平均数与中 位数都相等，而方差2>品， 109 所以男生比女生收看“两会”新闻次数的波动幅 度大 对点精练 1 解(1)甲厂10个轮胎宽度的平均值x甲=1 (195+194+196+193+194+197+196+195+ 193+197)=195(mm), 乙厂10个轮胎宽度的平均位2=。×(195十 196+193+192+195+194+195+192+195+ 193)=194(mm). (2)甲厂10个轮胎宽度在[194,196]内的数据为 195,194,196,194,196,195, 则平均数为195+194+196十194+196+195-195， 6 方差号=G×[02+(-12++（-12+1+ 07号， 乙厂10个轮胎宽度在[194,196]内的数据为 195,196,195,194,195,195, 则平均数为195+196+195十194+195+195=195， 6 ∴方差星=日×[02+12+02+(-102+02+02灯 1 39 :甲、乙两厂生产的标准轮胎宽度的平均值一 样，但乙厂的方差更小， .乙厂的轮胎相对更好. 0 6 练·练出好成绩 假期作业十四 考点集训 1.B[①：因为A三B,x∈A,所以x∈B,因此“若 任取x∈A,则x∈B”是必然事件，故本命题是真 命题：②：当集合A是集合B的真子集时，显然 存在一个元素在集合B中，不在集合A中，因此 “若x任A,则x∈B”是随机事件，故本命题是假 命题；③：任取x∈B,当集合A是集合B的真子 集时，x∈A有可能成立，也可能不成立，因此“若 任取x∈B,则x∈A”是随机事件，故本命题是真 命题；④：因为xB,所以一定有x氏A,显然“若 x任B,则x氏A”是必然事件，故本命题是真命题. 因此①③④为真命题.故选B.] 2.C[由同时抛掷两枚硬币，基本事件的空间为2 ={(正，正)，（正，反），（反，正)，（反，反）}，其中 事件A={(正，正)}，事件B={(正，正)，（正， 反)，（反，正）}，所以A三B.故选C.] 3.C[根据题意，记2个红球分别为A、B,2个黑 球分别为a,b,则从这4个球中任取2个球的总 基本事件为AB,Aa,Ba,Ab,Bb,ab:A.都是黑球 的基本事件为ab,至少有一个黑球的基本事件为 Aa,Ba,Ab,Bb,ab,两个事件有交事件ab,所以 不为互斥事件，故A错误；B.至少有一个黑球的 基本事件为Aa,Ba,Ab,Bb,ab,都是红球的基本 事件为AB,两个事件不仅是互斥事件，也是对立 事件，故B错误；C.恰有两个黑球的基本事件为 ab,恰有一个黑球的基本事件为Aa,Ba,Ab,Bb, 两个事件是互斥事件，但不是对立事件，故C正 确；D.至少有一个黑球的基本事件为Aa,Ba, Ab,Bb,ab,至少有一个红球的基本事件为AB, Aa,Ba,Ab,Bb,两个事件不是互斥事件，故D错 误.故选C.门 4.C[从中取出2粒恰好是同一色包含都是黑子 或都是白子两个事件，这两个事件是互斥事件， 设两粒是同一色为事件A,同为黑子为事件B, 同为白子为事件C,则P(A)=P(B+C)=P(B) +PC0)=号+器-品选C] 5.D[根据题意，所有可能的客车通过顺序的情况 为（上，中，下），（上，下，中），（中，上，下），（中， 下，上)，（下，中，上），（下，上，中），共6种，其中 该人可以不坐下等车情况有除第一种情况外的 其金5种情况，则其桃率为吾，故选D] [方法技巧]利用公式法求解古典概型问题的 步骤 第一步→ 定型，根据事件的性质，确定 事件类型为古典概型 定量，确定试验包含的样本点 第二步 总数及所求事件包含的样本 点个数 第三步 求值，代入古典概型的概率计 算公式求解 参考答 .BC [因为 $$P \left( A \right) = \frac { 1 } { 2 } ， P \left( B \right) = \frac { 3 } { 4 } ，$$ 所以 $$\lambda \frac { 3 } { 4 } \le P \left( A \right.$$ UB ∪B)≤1， ，所以 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P $$\left( A B \right) = \frac { 1 } { 2 } + \frac { 3 } { 4 } - P \left( A B \right) = \frac { 5 } { 4 } - P \left( A B \right) ，$$ $$P \frac { 3 } { 4 } \le$$ $$\frac { 5 } { 4 } - P \left( A B \right) \le 1 ，$$ 解得 $$\frac { 1 } { 4 } \le P \left( A B \right) \le \frac { 1 } { 2 } .$$ 故 选 BC. 真题尝试 B [画出树状图，如图， 甲 乙 乙 丙 丁 甲 丙 丁 丙丁乙丁乙丙 丙丁甲丁甲丙 丁丙丁乙丙乙 丁丙丁甲丙甲 丙 丁 甲 乙 丁 甲 乙 丙 乙丁甲丁甲乙 乙丙甲丙甲乙 丁乙丁甲乙甲 丙乙丙甲乙甲 由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有 24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的 排法共有8种，故所求概率 $$P = \frac { 8 } { 2 4 } = \frac { 1 } { 3 } .$$ .故选B.] 大题综合 解(1)由已知样本空间 Ω={-5，-3，-1，1， 3，5}， 若函数 y=f(x) 有两个不等的零点，则 $$\triangle = \left( - a \right) ^ { 2 } -$$ 4>0， 解得 a<-2 或 a>2， 事件A为“所选取的实数a使得函数 y=f(x) )有 两个不等零点” 所以事件 A 对应的集合为 A={-5，-3，3，5}， 则I $$P \left( A \right) = \frac { 4 } { 6 } = \frac { 2 } { 3 } ；$$ (2)若函数 y(x) 在 $$\left[ \frac { 1 } { 3 } ， + \infty \right)$$ 上是严格增函数， 则- $$- \frac { - a } { 2 } = \frac { a } { 2 } \le \frac { 1 } { 3 } ， 且$$ $$p a \le \frac { 2 } { 3 } ，$$ 所以事件B对应的集合为 B={-5，-3，-1}， 则事件A，事件B至少一个发生对应的集合AU B={-5，-3，-1，3，5}， 则 $$P \left( A \cup B \right) = \frac { 5 } { 6 } .$$ 典题典例 解(1)从5名学生中，不放回地任意依次抽取2 名学生的所有可能结果为： $$\left( B _ { 1 } ， B _ { 2 } \right) ， \left( B _ { 1 } ， G _ { 1 } \right) ， \left( B _ { 1 } ， G _ { 2 } \right) ， \left( B _ { 1 } ， G _ { 3 } \right) ， \left( B _ { 2 }$$ $${ B _ { 1 } } \right) ， \left( B _ { 2 } ， G _ { 1 } \right) ， \left( B _ { 2 } ， G _ { 2 } \right) ， \left( B _ { 2 } ， G _ { 3 } \right) ， \left( G _ { 1 } ， B _ { 1 } \right)$$ \left.{})， $$\left( G _ { 1 } ， B _ { 2 } \right) ， \left( G _ { 1 } ， G _ { 2 } \right) ， \left( G _ { 1 } ， G _ { 3 } \right) ， \left( G _ { 2 } ， B _ { 1 } \right) ， \left( G _ { 2 }$$ $${ B _ { 2 } } \right) ， \left( G _ { 2 } ， G _ { 1 } \right) ， \left( G _ { 2 } ， G _ { 3 } \right) ， \left( G _ { 3 } ， B _ { 1 } \right) ， \left( G _ { 3 } ， B _ { 2 } \right)$$ $$\left( G _ { 3 } ， G _ { 1 } \right) ， \left( G _ { 3 } ， G _ { 2 } \right) ，$$ 共 20 种结果. 设事件 A 为抽到的 2 人为1名男生和 1 名女生 则事件 A 发生的所有可能结果为： $$\left( B _ { 1 } ， G _ { 1 } \right) ， \left( B _ { 1 } ， G _ { 2 } \right) ， \left( B _ { 1 } ， G _ { 3 } \right) ， \left( B _ { 2 } ， G _ { 1 } \right) ， \left( B _ { 2 } ，$$ $${ G _ { 2 } } \right) ， \left( B _ { 2 } ， G _ { 3 } \right) ， \left( G _ { 1 } ， B _ { 1 } \right) ， \left( G _ { 1 } ， B _ { 2 } \right) ， \left( G _ { 2 } ， B _ { 1 } \right)$$ \left.{})， 6 案与详解 (G2,B2),(G3,B1),(G3,B2),共12种结果. 由古典概型的概率计算公式得：P(A)-号- 3 即不放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名 男生和1名女生的概率为 (2)有放回简单随机抽样抽取2名学生的所有可 能结果为： (B1,B1),(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B1, G3),(B2,B1),(B2,B2),(B2,G1),(B2,G2), (B2,G3),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G1),(G1, G2),(G1,G3),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1), (G2,G2),(G2,G3),(G3,B1),(G3,B2),(G3, G1),(G3,G2),(G3,G3),共25种结果. 设事件B为抽到的2人为1名男生和1名女生， 则事件B发生的所有可能结果为： (B1,G1),(B1,G2),(B1,G3),(B2,G),（B2, G2),(B2,G3),(G,B1),(G1,B2),(G2,B1), (G2,B2),(G3,B1),(G3,B2),共12种结果. 由古典极型的概来计年公式得：P(B》=岩， 即有放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名 男生和1名女生的瓶丰为号 对点精练 1 [两次抽取的试验的样本空间2={11,12， 13,14,21,22,23,24,31,32,33,34,41,42,43, 44},共16个，两次抽取的卡片数字之和大于6 的事件A={34,43,44},共3个，所以两次抽取 的卡片数字之和大于6的概率是P(A)=6,则] 不大于6的概率为1一P(A)=1二=名：散签 案为：1品 2.解(1)由所给数据可知，一等品零件共有5个. 设“从8个零件中，随机抽取一个为一等品”为事 件A,则P(A)=8 5 所以，从8个零件中，随机抽取一个为一等品的 概率为8 (2)一等品零件的编号为A1,A2,A3,A4,A5·从 这5个一等品零件中依次不放回随机抽取2个， 所有可能的结果有：2={(A1,A2),(A1,A3), (A1,A4),(A1,A5),(A2,A1),(A2,A3),(A2, A4),(A2,A5),（A3,A1),(A3,A2),(A3,A4), （A3,A5),(A4,A1),(A4,A2),(A4,A3),(A4, A5),(A5,A1),(A5,A2),(A5,A3),(A5,A4)}, 分共20种. 设“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径 相等”为事件B,所有可能结果有：B={(A1, A4),(A2,A3),（A2,A5),(A3,A5),(A4,A1), (A3,A2),(A5,A2),(A5,A3)},共有8种. 所以，PB=品-号 所以，从一等品零件中，随机抽取的2个零件直 径相等的概率为导 9第一部分 假期作业十四随机事件与概率 假期作业十四 随机事件与概率 十十 十十十 十十十…十十 十=十十十 =十十十十十十十 【日品好题】请重点关注第5题，该题是用公式法求古典概型的概率，是高频考点. …0考点集训川0… 考点五古典概型的概率 考点一 随机事件与样本空间 5.某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、 1.对满足A二B的非空集合A、B,有下列四个 中、下等级的客车，发车顺序随机，某天袁先 命题： 生准备在该汽车站乘车前往省城办事，他先 ①“若任取x∈A,则x∈B”是必然事件； 放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第 ②“若x庄A,则x∈B”是不可能事件： 二辆，否则上第三辆，则他没有乘坐下等车 ③“若任取x∈B,则x∈A”是随机事件； 的概率为 ( ④“若x庄B,则x庄A”是必然事件 其中正确命题的个数为 A日 c n A.4 B.3 C.2 D.1 考点六 概率的基本性质 考点二事件的关系及运算 2.同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事 :6.(多选)已知A,B为两个事件，P(A)= 件A,“向上的面至少有一枚是正面”为事件 P(B)= B,则有 ( ,则P(AB)的值可能为 A.A=B A.6 B 16 D. 5 B.A2B C.A二B …0易错清零0… D.A与B之间没有关系 考点三互斥事件与对立事件的判断 易错点 事件关系的运算 3.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个 已知事件A,B,C两两互斥，若P(A)= 5 球，那么互斥而不对立的两个事件是 ( A.至少有一个黑球与都是黑球 P(C)=3,P(AUB)=是则P(BUC) B.至少有一个黑球与都是红球 C.恰有一个黑球与恰有两个黑球 D.至少有一个黑球与至少有一个红球 A 8 R号 考点四互斥事件与对立事件的概率 7 4.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取 C.5 Dt 出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概 [易错警示]事件关系的运算策略 进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定 率是号，则从中任意取出2粒恰好是同一色 义；二是要全面考虑同一条件下的试验可能 的概率是 ( 出现的全部结果，必要时可列出全部的试验 A号 B号 结果进行分析.当事件是由互斥事件组成 c 时，运用互斥事件的概率加法公式. D.1 尝试选择 35 高一数学每日一练·练出好成绩 —●● 解析，A,B,C两两互斥，.P(AB)= (2)记事件为B“所选取的实数a使得函数 P(BC)=0,.P(AUB)=P(A)+P(B)- y=f(x)在[子，十∞）上是严格增函数”，求 PAB)=号+P(B)=是P(B)=日 事件A,事件B至少一个发生的概率. ..P(BUC)=P(B)+P(C)-P(BC)= 3 造B 答案B 0真题尝试0… (2024·全国甲卷文数)甲、乙、丙、丁四人排 成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的 概率是 ( B c 2 0. …0大题综合0 在集合-5，一3，一1,1,3,5中任意选取一个 实数作为a,构造函数f(x)=x2-ax十1， x∈R,记事件A为“所选取的实数a使得函 数y=(x)有两个不等零点”， (1)观察选取的实数a,写出样本空间与事件 A对应的集合，并求事件A发生的概率； 0典题典例0… 题点有放回与无放回问题的概率 :[例]从2名男生（记为B1和B2)和3名女生 (记为G1,G2和G3)组成的总体中，任意依 次抽取2名学生， (1)不放回简单随机抽样求出抽到的2人为 1名男生和1名女生的概率； (2)有放回简单随机抽样求出抽到的2人为 1名男生和1名女生的概率， [思维路径]本题是计算古典概型问题的 概率、有放回与无放回问题的概率. 36 第一部分假期作业十四 随机事件与概率 (1)通过列举法，写出不放回时抽取2名学： …o对点精练0 生的所有可能结果，再从中找出抽到2人为 1名男生和1名女生的结果，由古典概型的 :1.一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有 概率计算公式即可得到结果； 数字1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片，若 (2)通过列举法，写出有放回时抽取2名学： 第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡 生的所有可能结果，再从中找出抽到2人为 片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的 1名男生和1名女生的结果，由古典概型的 概率是 概率计算公式即可得到结果. :2.抽取某车床生产的8个零件，编号为A1 A2,…,Ag,测得其直径（单位：cm)分别为： 1.51,1.49,1.49,1.51,1.49,1.48,1.47, 1.53,其中直径在区间[1.49,1.51]内的零 件为一等品 (1)求从上述8个零件中，随机抽取一个，求 这个零件为一等品的概率； (2)从上述一等品零件中，不放回地依次随 机抽取2个，用零件的编号列出所有可能的 抽取结果，并求这2个零件直径相等的 概率 [知识拓展]解决有序和无序问题应注意 两点 (1)关于不放回抽样，计算样本点个数时， 既可以看作是有顺序的，也可以看作是无 顺序的，其最后结果是一致的，但不论选择 哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会 产生错误 (2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两 次的过程中，因为先后顺序不同，所以（α，b), (b,a)不是同一个样本点. 37