假期作业15 事件的相互独立性-【创新大课堂·暑假作业】2025-2026学年高一数学快乐假期讲练测

高一数学每日 假期作业十五 考点集训 1.A[由题可知，P(X)=P(X)=合，先后授掷 两枚质地均匀的骰子的所有结果有：(1,1)， (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1), (2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2), (3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3), (4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4), (5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4), (6,5),(6,6),共36种.两次投掷的骰子朝上的 数字之差的绝对值小于3的结果有：(1,1)， (1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)(3,1), (3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,2),(4,3), (4,4),(4,5),(4,6),(5,3),(5,4),(5,5), (5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共24种.两次投掷 的骰子朝上的数字均为偶数的结果有：(2,2)， (2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2), 6,0.6,6,共9种.所以P(X)=器=号 P(X,)-器-子，亭件XX包含的结是有： (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),共4种.事件X1X4 包含的结果有：(2,2)，(2,4)，(2,6)，共3种.事 件X2X3包含的结果有：(4,6)，(5,6)，(6,6)，共 3种.事件X2X4包含的结果有：(2,6)，（4,6)， (6,6),共3种.所以P(XX)=品= PXX)=斋=立P(XX)=最= 3 1 PXX,)=最=立周为P(XX)=P(X) P(X3),P(X1X4)≠P(X1)P(X4),P(X2X3)≠ P(X2)P(X3),P(X2X4)≠P(X2)P(X4).所以 X1与X3相互独立，A正确，BCD错误.故 选A.] 2.C[因为P(A)=号，所以P(A)=1-P(A)= 1-号-合又因为P(B)=甘P(A)P(B)- ×号-号所以P(AB)=P(AP(B,所以率 3 件A与事件B相互独立、事件A与事件B不互 斥，故不对立.故选C.门 3.B[从甲袋中任取1个球，该球为白球的概率为 2 ，该球为红球的概率为了，从乙袋中取1个球， 滨球为白球的概率为，该球为红球的批率为 子对于A选项，2个球颜色相同的凝奉为号× 十吉×日日A对：对于B越项，2个球不部 是红球的概奉为1一宁×号-昌，B储：时于C选 项，至少有1个红球的栀率为1一号×号=号，C 对；对千D选项，2个球中恰有1个红球的概率 为号X名+日×g-名D对，藏递B] 07 练·练出好成绩 [方法技巧] 1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤 (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积， 2.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式 时，要掌握公式的适用条件一各个事件是相 互独立的，而且它们同时发生， 69 4.125 [由表中数据得：估计这个人体重减轻的概 的为8-品故答案为：0] 5.解(1)由频率分布直方图，得0.5(0.08十0.16 +a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04)=1, 解得a=0.30; 数据落在区间[0,2)的频率为0.04十0.08十0.15 +0.20=0.47, 数据落在区间[0,2.5)的频率和为0.73，则用水 量60%的分位数m∈(2,2.5)， 由(m-2)×0.52=0.6-0.47,解得m=2.25, 所以a=0.30,估计该地区月均用水量的60%分 位数为2.25. (2)设事件A:(i=1,2)表示第i位居民月均用水 量大于60%分位数，P(A:)=0.6,事件B表示恰 有1位居民月均用水量大于60%分位数，B =A1A2+A1A2, 因此P(B)=P(A1A2)十P(A1A2)=0.6×0.4 +0.4×0.6=0.48, 所以所求概率为0.48. (3)试验的样本空间={（甲，乙），（甲，丙）， (甲，丁)，（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁）}，共6个样 本点， 事件A表示所选2人中恰有1人月均用水量大 于60%分位数， 则A={(甲，丙)，（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁）}， 共4个样本，点， 所以PA)音-号 所以所选2人中恰有1人月均用水量大于60% 分位数的概率为 真题尝试 3 0.055 [设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数 分别为5n,4n,6n,所以总数为15n,所以甲盒中 黑球个数为40%×5n=2n,白球个数为3n;乙盒 中黑球个数为25%×4n=n,白球个数为3n;丙 盒中黑球个数为50%×6n=3n,白球个数为3n; 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑 球”为事件A,所以，P(A)=0.4×0.25×0.5= 0.05;记“将三个盒子混合后取出一个球，是白 球”为事件B,黑球总共有2n十n十3n=6n个，白 琼共有9阳个，所以，P(B)=-号故答案为： 0.05:2] 大题综合 解(1)由频率分布直方图得，10×(0.005十a十 0.030+0.035+0.010)=1, 解得a=0.020. ●● 参考答 估计初赛成绩的平均数为：x=55×0.05十65× 0.2+75×0.3+85×0.35+95×0.1=77.5. 所以a=0.020,平均成绩为77.5. (2)由(1)知，成绩在[60,70)，[70,80)的频率之 比为0.2：0.3=2：3， 则在[60,70)中随机抽取了5×号 =2人，记为 a,b, 在[70,80)中随机抽取了5×号=3人，记为c, d,e, 从5人中随机抽取2人的样本空间为：2={ab, ac,ad,ae,be,bd,be,cd,ce,de, 共10个样本点， 设事件A=“至少有1名学生的成绩在[60,70) 内”， 则A={ab,ac,ad,ae,bc,bd,be},有7个样本，点， 国光P(A)=: 所以至少有1名学生的成绩在[60,70)内的概率 (3)若首场甲乙比赛，则甲获胜有三种情况： D甲乙比家甲雅，甲丙比赛甲胜，凝率为号×司 1 ②甲乙比赛甲胜，甲丙比赛丙胜，丙乙比赛乙胜， 乙甲比家甲驻的能奉为号×合×号×号品 3 ③甲乙比赛乙胜，乙丙比赛丙胜，丙甲比赛甲胜， 乙甲此家印粒的振李为号×号×号X号品 所以装终甲院胜的瓶奉为号十品品品 若首场甲丙比赛，则甲获胜有三种情况： ①甲丙比赛甲胜，甲乙比赛甲胜的概率为之X。 =3 ②甲丙比赛甲胜，甲乙比赛乙胜，乙丙比赛丙胜， 丙甲比案甲胜的瓶率为号×行×号×号=8 ③甲丙比赛丙胜，丙乙比赛乙胜，乙甲比赛甲胜， 甲丙比寒甲驻的瓶率为宁×专×号×号。： 所以最格甲武胜的板奉为}十店+站器音： 若首场乙丙比赛，则甲获胜有两种情况： ①乙丙比赛丙胜，丙甲比赛甲胜，甲乙比赛甲胜 的率为号×X行。 ×=2 ②乙丙比赛乙胜，乙甲比赛甲胜，甲丙比赛甲胜 所以爱终甲茂胜的凝年为号十日一号=号 因为号音>行 所以首场由甲乙比赛才能使甲获胜的概率最大， 案与详解 典题典例 解(1)经过多轮比赛后，估计甲走的步数比 乙多， 原因是每轮比赛中甲向前走一步的可能性更大， 具体如下： 一轮比赛中，记“甲向前走一步”为事件A,“乙向 前走一步”为事件B, 根据古典概型概率的计算可得P(A)=号， P(B)=3 则P(A)>P(B),即每轮比赛中甲向前走一步的 可能性更大， 所以，多轮比赛后，估计甲走的步数比乙多. (2)在2轮比赛后，事件“乙走的步数比甲多”包 含“乙恰好向前走一步，甲没有前进”和“乙恰好 向前走两步，甲最多向前走一步”两个事件， 分别记为C、D,且事件C、D为互斥事件， 则PC)=P(BBAA+BBAA)=2X专×号X号 34 5-75 P(D)=P(BBAA+BBAA+BBAA)= × ×(号×+号×号+×)= 所以，2轮比赛后，乙走的步数比甲多的概率为 P(CO+PD)=壳+日-号 对点精练 解(1)由数表知，30天中，甲景区完全限流的天 所以小明遇到完全限流的概率 -151 ②由数表知，乙景区不限流的概率为p1= 号丙景区不限流的桃率为p加品=宁， 3 所以小明在两个景区至少遇到一次限流的概率卫 =1-18=1-×-0 (3)若小明上午选甲景区，下午选乙景区能完成 第览的瓶李P二1一（品×品十）器 -225 若小明上午选甲景区，下午选丙景区能完成游览 的概奉P=1-(品×品+易)-8： 133 若小明上午选乙景区，下午选甲景区能完成游览 的栀奉=1-（高×品+品）-票 81 163 若小明上午选乙景区，下午选丙景区能完成游览 的概奉P=1-(品×品+品)=器 若小明上午选丙景区，下午选甲景区能完成游览 的瓶率P=1-(品×品+8)-器： 若小明上午选丙景区，下午选乙景区能完成游览 的瓶率P,=1-(品×品司)器 而P2最大，即小明上午选甲景区，下午选丙景区 能完成游览的概率最大。高一数学每日一练·练出好成绩 假期作业十五 事件的相互独立性 十十=十十十十 十十 十十…十=十十 【日品好题】请重点关注第5题，该题是概率与统计的结合，考查知识比较全面 …0考点集训0… 考点四 频率与概率 考点一独立事件的判断 :4.某个制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有 1.先后投掷两枚质地均匀的骰子，X1表示事 500名志愿者服用此药，结果如下： 件“第一次投掷的骰子朝上的数字为2”，X2 体重变化 体重减轻 体重不变 体重增加 表示事件“第二次投掷的骰子朝上的数字为 6”,X3表示事件“两次投掷的骰子朝上的数 人数 276 144 80 字之差的绝对值小于3”，X4表示事件“两次 如果另有一人服用此药，估计其体重减轻的 投掷的骰子朝上的数字均为偶数”，则( A.X1与X3相互独立 概率为 B.X1与X4相互独立 考点五 概率与统计的结合 C.X2与X3相互独立 5.我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为 D.X2与X4相互独立 了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用 考点二对立事件、互斥事件、独立事件混 水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标 合辨析 准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的 2.若P(AB)=,P(A)=号，P(B)=,则事 部分按平价收费，超出x的部分按议价收 费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得 件A与事件B的关系是 了某年100位居民每人的月均用水量（单 A.事件A与事件B互斥 位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…， B.事件与A事件B对立 [4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率 C.事件A与事件B相互独立 D.事件A与事件B互斥又独立 分布直方图. 考点三利用独立性求事件的概率 频率/组距 0.52 3.甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个 0.40 白球，6个红球，这些小球除颜色外完全相 0.16 同，从甲、乙两袋中各任取1个球，则下列结 0.12---- 0.08-- 论错误的是 00.511.522.533.544.5月均用水量/吨 A.2个球颜色相同的概率为) (1)求直方图中a的值（保留两位小数）以及 B.2个球不都是红球的概率为) 估计该地区月均用水量的60%分位数； (2)现在该地区居民中任选2位居民，将月 C至少有1个红球的概率为号 均用水量落入各组的频率视为概率，不同居 民的月均用水量相互独立，求恰有1位居民 D.2个球中恰有1个红球的概率为 2 月均用水量大于60%分位数的概率； 38 第一部分 假期作业十五事件的相互独立性 (3)现有4位居民甲、乙、丙、丁，经调查，甲： 解析依题意基本事件总数为6×6=36 和乙月均用水量大于60%分位数，丙和丁月 个，“第一次取出的球的数字是1”的基本事 均用水量不大于60%分位数，现从该4人中： 件有1×6=6个，“第二次取出的球的数字 随机选2人，求所选2人中恰有1人月均用 是2”的基本事件有1×6=6个，“两次取出 水量大于60%分位数的概率. 的球的数字之和为8”的基本事件有(2,6)， (3,5),(4,4),(5,3),(6,2)共5个，“两次取 出的球的数字之和为7”的基本事件有(1,6)， (2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)共6个 P(丙)-嘉P(T)=626=日：P(甲) P(乙)=言，故A正确，B错误；又同时满足 事件甲、丁的基本事件有(1,6)共1个，同时 满足事件乙、丙的基本事件有(6,2)共1个， P(乙丙)= 6≠P(乙)XP(丙)元与丙 不相互独立，故C错误；·P(甲丁)=36 P(甲)XP(丁)，.甲与丁相互独立，故D正 确.故选AD. 答案AD …0易错清零0… …0真题尝试0… 易错点独立事件的判断 (2023·天津·高考真题)把若干个黑球和 （多选)有6个相同的球，分别标有数字1,2， 白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三 3,4,5,6,从中有放回的随机取两次，每次取 个空箱子中，三个箱子中的球数之比为5：4 1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字 :6.且其中的黑球比例依次为40%，25%， 是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字 50%.若从每个箱子中各随机摸出一球，则 是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之 三个球都是黑球的概率为 ;若把所 和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字 有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白 之和是7”，则 ( 球的概率为 AP(丙)=器 RPT)=器 …0大题综合0… C.乙与丙相互独立 D.甲与丁相互独立 某中学高一年级举行了数学素养知识竞赛， [易错警示]判断两个事件是否相互独立 的方法： 竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛 (1)直接法：由事件本身的性质直接判定两： 情况，现从高一年级随机抽取了200名学 个事件发生是否相互影响； 生，记录他们的初赛成绩，将数据按照[50， (2)公式法：若P(AB)=P(A)P(B),则事件 60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100] A,B为相互独立事件 分成5组，制成了如图所示的频率分布直 尝试选择 方图. 39 高一数学每日一练·练出好成绩 频率 组距 …o典题典例o 0.035 0.030 题点 独立事件的概率 a--..- [例]甲、乙两人在沙滩边进行连续多轮走步 0.010 比赛，甲、乙各有一个不透明的盒子，甲的盒 0.005 子里面有2个红球1个白球，乙的盒子里面 05060708090100成绩（分） 有2个红球3个白球，这些球只有颜色不同. (1)求频率分布直方图中a的值，并估计高 每一轮比赛的规则是：甲，乙同时各自从自 一年级初赛的平均成绩（同一组中的数据用： 己的盒子里面摸出一球，如果甲摸到红球， 该组区间的中点值代替)； 甲向前走一步，否则原地不动；如果乙摸到 (2)按照分层抽样从[60,70)和[70,80)两组： 白球，乙向前走一步，否则原地不动.各自摸 中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名 球后都放回自己的盒子中. 学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的： (1)经过多轮比赛后，试估计甲、乙走的步数 成绩在[60,70)的概率； 谁多？说明理由？ (3)已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行： (2)以频率作为概率，试求2轮比赛后，乙走 决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场： 的步数比甲走的步数多的概率。 比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者 [思维路径]本题是计算古典概型问题的 与轮空者进行下一场的比赛（比赛没有平 概率、计算独立事件的概率， 局)，先赢两场者获胜，比赛随即结束.己知： (1)在一轮比赛中，记“甲向前走一步”为事 每场比赛甲胜乙的概率为号，甲胜丙的概率 件A,“乙向前走一步”为事件B,计算出 P(A)、P(B)的值，比较大小后可得出结论； 为2，乙胜丙的概率为}，每场比赛相互独 (2)在2轮比赛后，事件“乙走的步数比甲 立，请通过计算说明哪两人参加首场比赛甲 多”包含“乙恰好向前走一步，甲没有前进” 获胜的概率最大 和“乙恰好向前走两步，甲最多向前走一步” 两个事件，利用独立事件的概率公式计算出 这两个事件的概率，相加即为所求事件的 概率. 40 第一部分 假期作业十五事件的相互独立性 汇知识拓展]求相互独立事件同时发生的 (2)小明任选两天，分别到乙、丙两景区游 概率的方法 览，估计小明在两个景区至少遇到一次限流 (1)相互独立事件同时发生的概率等于他 (包括局部限流和完全限流)的概率； 们各自发生的概率之积。 (2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从 其对立事件入手计算. …0对点精练0… 某市在旅游旺季时，为应对景区可能出现人 流量过大的情况，规定：当人流量达到景区 最大承载量的80%时，将对该景区采取局部 限流措施；当人流量达到景区最大承载量的 100%时，将对该景区采取完全限流措施.小 明计划假期去该市甲、乙、丙三个旅游景区 旅行，他调查了甲、乙、丙三个旅游景区在去 年同期30天的限流措施情况，见下表： 景区限流情况 不限流 局部限流 完全限流 景区累计天数 甲景区累计天数 21天 7天 2天 乙景区累计天数 18天 4天 8天 丙景区累计天数 15天 9天 6天 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三个景区 限流情况相互独立. (1)小明某天到甲景区旅游，估计小明遇到： 完全限流的概率； (3)小明计划在一天内从甲、乙、丙三个景区 中选择两个景区，并分别在上午和下午游 览.若存在以下两种情况之一，则不能完成 游览： (1)在上午的游览中遇到局部限流，且下午 的游览中遇到完全限流； (ⅱ)在上午的游览中遇到完全限流： 请帮助小明制定游览计划，使他完成游览的 概率最大：上午游览 景区，下午 游览 景区.（从“甲、乙、丙”中选 择两个填写) 41