假期作业12 空间点、直线、平面的位置关系-【创新大课堂·暑假作业】2025-2026学年高一数学快乐假期讲练测

高一数学每日一练·练出好成绩 假期作业十二空间点、直线、平面的位置关系 【日品好题】请重点关注第6题，该题结合实际应用背景，考查二面角的求法，是高考的高 频考点 …0考点集川0… 考点四异面直线所成角 4.（多选)如图，四棱锥 考点一空间点、直线、平面的位置关系 S-ABCD的底面为正方 1.设m、n是两条不同的直线，a、B、Y是三个不 同的平面，则下列说法正确的是 形，SD⊥平面ABCD, A.若mCa,nC3,a∥B,则m∥n 则下列结论正确的是 B.若a∩B=n,m∥n,m⊥Y,则a⊥Y ( B C.若m⊥n,n⊥3，则m∥3 A.AB⊥SA D.若m⊥n,n∥a,则m⊥a B.AC与SB所成的角为90° 考点二平行的判定与性质 C.AD与SB所成的角等于CD与SB所成 2.（多选)如图，在正方体 D G 的角 ABCD-A1B1CD1中， D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成 E,F,G分别是棱 的角 BB1,B1C1,C1D1的 中点，则 考点五直线与平面所成角 ( A.FG∥平面AED 5.如图，圆台OO1的轴截 B B.BC1∥平面AED 面是等腰梯形ABCD, C.点C1在平面AED1内 AB=BC=2CD=4,E D.点F在平面AED1内 为下底面⊙O上的一 考点三 垂直的判定与性质 点，且AE=√5BE,则 3.如图，在斜棱柱ABCD 直线CE与平面ABCD A1BC1D1中，底面AB 所成角的正切值 CD为菱形，A1A=AB, ∠A1AB=∠A1AD= 为 60°. 考点六二面角 (1)证明：BD⊥A1A; 6.如图是一种帐篷示意 正脊 斜脊 (2)若A1A=A1C=2,求BD的长度. 图，帐顶采用“五脊四坡 式”，四条斜脊的长度相 等，一条正脊平行于底 面，正脊与斜脊长度的 长 比为号，底面为矩形且长与宽之比为2：1， 若各斜坡面与底面所成二面角都相等，则该 二面角的正切值为 A.2 B C 3 D.5 28 第一部分 假期作业十二 空间点、直线、平面的位置关系 考点七空间距离 点的位置移动会带动点、线、面之间位置 7.如图，圆柱的轴截面AB 关系与数量关系的变化.只有分析清楚关 CD是正方形，点E是底 键点的准确位置，才能以此为参照点，确 面圆周上异于A,B的一 定其他点、线、面的位置，进而进行有关的 点，若AB=4,当三棱锥 证明与计算. DABE体积最大时，则 尝试解答 E 点C到平面BDE的距离 解(1)证明：.∠P'AD=90°， ∴.P'A⊥AD A.2 B.2√2 在等腰梯形中，AB⊥AP, C ∴.在四棱锥中，AB⊥AP' D.告E 又AD∩AB=A,AD,ABC平面ABCD, ∴.P'A⊥平面ABCD. …O易错清零0… 又，CDC平面ABCD,∴.P'A⊥CD. 易错点翻折前后的“变”与“不变” 在等腰梯形BCDE中，AB⊥BC,PD= 如图，等腰梯形BCDP中，BC∥PD,BA⊥ 3BC,且AB=BC=1, PD于点A,PD=3BC且AB=BC=1.沿 AB把△PAB折起到△P'AB的位置，使 :PD=3,AP=PD BC=1,AD=3-1 2 ∠P'AD=90°. =2, P 由勾股定理得AC=√JAB2十BC2=√2，故 CD=AC=√2， ∴.AC2+CD2=AD2, ∴.AC⊥CD. (1)求证：CD⊥平面P'AC; PA∩AC=A,P'A,ACC平面P'AC (2)求三棱柱AP'BC的体积； .CD⊥平面P'AC (3)线段PA上是否存在点M,使得BM∥ 平面P'CD.若存在，指出点M的位置并证 (2):SAA-2BC·AB=7,PA⊥平面 明；若不存在，请说明理由 ABCD, [易错警示]突破翻折问题思维障碍的两： ∴VAPRC-=VP-ABC-=3·SAABC·PA= 个关键策略 3 1.确定翻折前后变与不变的关系：画好翻折 1 ,11 3×2=6 前后的平面图形与立体图形，分清翻折前 (3)线段P'A上存在一点M,使得BM∥平 后图形的位置关系和数量关系的变与不 面P'CD,M为P'A的中点， 变.一般地，位于“折痕”同侧的点、线之间 证明：取P'A的中点M,P'D的中点N,连接 的位置关系和数量关系不变，而位于“折！ BM,MN,NC. 痕”两侧的点、线之间的位置关系会发生 变化.在平面图形中处理不变的关系，在 立体图形中处理变化的关系， 2.确定翻折后关键点的位置：所谓的关键！ 点，是指翻折过程中运动变化的点，关键 29 高一数学每日一练·练出好成绩 M,N分别为P'A,P'D的中点， o大题综合o … MN/AD且MN=2AD, 如图，四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是边 .BC∥PD且PD=3BC, 长为2的正方形，平面EAB⊥底面ABCD, :BC∥AD且BC=2AD, AE=EB,F为CE上的点，且BF⊥平 面ACE. ∴.MN∥BC且MN=BC, ,∴.四边形MNCB为平行四边形， .BM∥CN. 又.'BM吨平面P'CD,CNC平面P'CD, ∴.BM∥平面P'CD. …0真题尝试0… (1)求证：平面ADE⊥平面BCE; (2024·全国新高考I (2)求二面角BACE大小的正切值； 卷)如图，四棱锥P-AB (3)试探求点D到平面ACE的距离d与四 CD中，PA⊥底面AB 面体ACED外接球半径R的大小关系，并说 CD,PA=AC=2,BC- 明理由. 1,AB=√3. (1)若AD⊥PB,证明： AD∥平面PBC; (2)若AD⊥DC,且二面角A-CP-D的正弦： 值为厘，求AD, 30 第一部分 假期作业十二空间点、直线、平面的位置关系 o典题典例 汇知识拓展了“线线垂直和线面垂直的相互 转化 题点 证明线面垂直 线面垂直的定义 [例]如图，在以P为顶 点，√2为母线长的圆锥 线线垂直 线面垂直的判定定理 线面垂直 中，底面圆O的直径AB 长为2，点C在圆O所在 平面内，且AC是圆O的 如果两条平行线中的一条直线与一个平面垂 直，那么另外一条直线也与此平面垂直 切线，BC交圆O于点D,连接PD,OD (1)求证：PB⊥平面PAC; …0对点精练0… 2)若AC=25,求点O到平面PBD的 如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD 距离. : 是边长为2的正方形，EF=1,FB=FC [思维路径]本题考查线面垂直的证明和 ∠BFC=90°，AE=√3. 点面距离的求解计算， (1)由题意可知AC⊥AB,又PO⊥AC,从而 可得AC⊥平面PAB,从而AC⊥PB,由勾股 定理得PA⊥PB,由线面垂直的判定定理可 B 得到证明； (1)求证：EF∥AB; (2)由条件计算S△BD和S△PBD,然后利用 (2)求证：AB⊥平面BCF; VP-OBD=VO-PBD即可得到结果. (3)求直线AE与平面BDE所成角的正 切值. 31高一数学每日 2.BCD[设AB=2m,AC =2n,由题设m十n=4.三 棱锥PEFG中，FG=PE =3,EF=PG=m,EG= PF=n,将P-EFG放在棱 长为x,y,之的长方体中， ,x2+y2=32 如图，则有y2十2=m2, G (x2+x2=n2 三棱锥P-EFG的外接球就是长方体的外接球，！ 所以(2R)2=2+y2+2=号(9+m2+n2),由 基本不等式m2+n2≥m十n)2 =8,当且仅当 2 m=n=2时等号成立，所以外接球表面积S= R≥(9+8x=1故运CD.] 假期作业十二 考点集训 1.B[选项A中，若ma,nCB,a∥B,则m∥n或 m,n异面，A错误；选项B,若a∩B=n,m∥n, m⊥y,则n⊥Y,nCa,所以a⊥Y,B正确；选项C, 若m⊥n,nLB,则m∥B或m在B内，C选项错 误；选项D,若m⊥n,n∥a,则m∥a或m和a相 交，D选项错误.故选B.门] 2.BD[连接EF,B1D1,在正 D 方体ABCD-A1B1C1D1中， AB∥C1D1且AB=C1D1, 所以四边形ABC1D1是平行 四边形，所以AD1∥BC1,因 为AD1C平面AED1,BC1寸 平面AED1,所以BC1∥平面AED1,故B正确； 1 因为E,F分别为BB1,B1C1中点，所以EF∥ BC1,所以EF∥AD1,所以E,F,D1,A四点共 面，即，点F在平面AED1内，故D正确；再连接 FD1,显然G不在平面AEFD1内，所以FG与平 面AED1不平行，故A错误；由BC1∥平面 AED1,可知，点C1不在平面AED1内，故C错 误.故选BD.] 3.解(1)过点A1作A1O⊥ 平面ABCD,垂足为O,连 接AC,OB,OD,如右图： 因为AA1=AA1,AB AD,∠A1AB=∠A1AD,A 所以△A1AB≌△A1AD,则A1B=A1D, 因为A1O⊥平面ABCD,OB,OD,BDC平面 ABCD,所以A1O⊥OB,A1O⊥OD,A1O⊥BD, 因为A1B=A1D,A1O=A1O,所以Rt△A1OB≌ Rt△A1OD,则OB=OD, 可得点O在线段BD的中垂线上， 即O∈AC,所以A1,A,O,C共面， 易知AC⊥BD,因为A1O∩AC=O,A1O,ACC 平面A1AC,所以BD⊥平面A1AC, 因为AA1C平面A1AC,所以AA1⊥BD. 0 64 练·练出好成绩 (2)连接AC,记AC∩BD=E,连接A1E,如 下图： D C B D B 在△AA1C中，由A1A=A1C,且AE=CE,则 A1E⊥AC, 由(1)可知BD⊥平面A1AC, 因为BDC平面ABCD,所以平面A1AC⊥平面 ABCD, 因为平面A1AC∩平面ABCD=AC,所以A1E⊥ 平面ABCD, 在△A1AB中，AA1=AB,∠A1AB=60°，则 AB=AA, 易知△A1AE≌△A1BE,则AE=BE,所以底面 ABCD为正方形， 由AB=2,则BD=√2AB=2√2. 4.ABC[对于A,由SD⊥平面ABCD,AB,ACC 平面ABCD,得SD⊥AB,由正方形ABCD,得 ABAD,而SD∩AD=D,SD,ADC平面 SAD,则AB⊥平面SAD,又SAC平面SAD,因 此AB⊥SA,A正确；对于B,由选项A知，SD⊥ AC,AC⊥BD,而SD∩BD=D,SD,BDC平面 SBD,则AC⊥平面SBD,又SBC平面SBD,因 此ACSB,AC与SB所成的角为90°，B正确： 对于C,由A同理可得BC⊥CS由AD∥BC,CD ∥AB,得AD与SB所成的角为∠SBC,CD与 SB所成的角为∠SBA,所以coS∠SBC=BC- SB SB=Cos∠SBA,则AD与SB所成的角等于CD AB 与SB所成的角，C正确；对于D,AB⊥SA,AB∥ CD,则CD⊥SA,DC与SA所成的角为90°，而AB 与SC所成的角为∠SCD<90°，则AB与SC所成的 角不等于DC与SA所成的角，D错误.故选ABC.] 5[在下底面内过点E作EFLAB,垂足为F,连 接CF,如右图： 在圆O内，易知∠AEB= 90°，由AE=√5BE,且AE2 D +BE2=AB2=16,则AE= 2√3，BE=2,可得EF= AEXBE=B,在Rt△EFB AB 中，BF=√BE2-FE=1, 在等腰梯形ABCD中，由 CD=2,AB=4,BF=1,则 E CF⊥AB,在Rt△CFB中， CF=√CB2一FB2=√I5,在圆台内易知平面 ABCD⊥平面AEB,由图可知平面ABCD∩平面 AEB=AB,因为EFAB,EFC平面AEB,所以 EF⊥平面ABCD,则∠FCE为直线CE与平面 ABCD所成的角，因为CFC平面ABCD,所以 EF⊥CF,在RtACFE中，tan∠ECF-EF=B -CF√15 怎故家为票」 参考答案 6.A[根据题意不 F 妨设：正脊EF=4, 斜脊EB=3,底面 M 矩形的长为AB= A B 4a,宽BC=2a,设E,F在底面ABCD的投影分 别为G,H,BC,AD的中点分别为M,N,若各斜 坡面与底面所成二面角都相等，则G,H,M,N四 点共线，GM=HN,且EB=EC,则EM⊥BC, MN⊥BC,可知二面角E一BC一A的平面角为 ∠EMN,过G作GI⊥AB,垂足为I,连接EI,因 为EG⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,可得EG ⊥AB,且GI∩EG=G,GI,EGC平面EGI,可得 AB⊥平面EGI,又因为GIC平面EGI,可得AB ⊥GI,则二面角EAB-C的平面角为∠EIG,可 知∠EMN=∠EIG,则tan∠EMN=tan∠EIG, 即祭-部可得GM=G1,即如=4，可得 2 a=2,则GB=2√2，GE=√JEB2-GB2=1,可得 an∠EIG-需宁·所以所求二面角的正切值 为分故选A] 7.D[法一：因为三棱锥DABE的高即为圆柱的 高，即AD=4,当三棱锥DABE体积最大时，即 直角△ABE的面积最大，由于AB=4,所以点E 是孤AB的中点时，即△ABE是等腰直角三角 形，此时S△ABE= 2 X4×2=4,VDABE= 子SAAIE·AD=子X4X4 D =吕，连接AC,交BD于点 、0 O,所以点O为AC的中点， 所以，点C到平面BDE的距 离等于点A到平面BDE的 A B ⊙ 距离，设点A到平面BDE 的距离为h,因为AD⊥平面ABE,BEC平面： ABE,所以AD⊥BE,又AE⊥BE,AD∩AE=A, AD、AEC平面ADE,所以BE⊥平面ADE,由于 DEC平面ADE,所以BE⊥DE,DE= √AD2+AE2=√16+8=2√6，所以S△BDE 名×2EX26=4,所以VnE=吉SaE·h 9解得h-故选D 3 法二：因为三棱锥DABE的高即为圆柱的高，即 AD=4,当三棱锥DABE D 体积最大时，即直角 △ABE的面积最大，由于 、0. AB=4,所以点E是孤AB 的中点时，即△ABE是等 腰直角三角形，所以AE= Ak: B 2√2，DE=√AD2+AE2 E √16十8=2√6，连接AC交 BD于点O,所以点O为AC的中点，所以点C到 平面BDE的距离等于点A到平面BDE的距！ 0 65 与详解 离，做AF⊥DE,且交DE于点F,因为AD⊥平 面ABE,BEC平面ABE,所以AD⊥BE,又AE ⊥BE,AD∩AE=A,AD、AEC平面ADE,所以 BE⊥平面ADE,AFC平面ADE,所以AF⊥ BE,又DE∩BE=E,DE、BEC平面BDE,所以 AF⊥平面BDE,因此，点A到平面BDE的距离 为点A到直线DE的距离，即AF=ADXAE= DE 号.故选D] [方法技巧]求点到平面的距离的两种方法： (1)等体积法：在三棱锥中求点到平面的距离的 常用方法； (2)几何法：找到点到平面的距离，有时可转化为 过已知点且与相关平面平行的直线上的其他点 到平面的距离. 真题尝试 解(1)因为PA⊥平面ABCD,而ADC平面 ABCD,所以PA⊥AD, 又AD⊥PB,PB∩PA=P,PB,PAC平面 PAB,所以AD平面PAB, 而ABC平面PAB,所以AD⊥AB. 因为BC2十AB2=AC2,所以BC⊥AB,根据平面 知识可知AD∥BC, 又BCC平面PBC,AD丈平面PBC,所以AD∥ 平面PBC. (2)如图所示，过点D作DE⊥AC于E,再过点E 作EF⊥CP于F,连接DF, 因为PA⊥平面ABCD,所以平面PAC⊥平面 ABCD,而平面PAC∩平面ABCD=AC, 所以DE⊥平面PAC,又EF⊥CP,所以CP⊥平 面DEF,所以CP⊥DF, 根据二面角的定义可知， ∠DFE即为二面角A-CP D的平面角， 即sin∠DFE=42 7 D.- 即tan∠DFE=√6. 因为AD⊥DC,设AD=x, A 则CD=√4一x2,由等面积 法可得，DE=C√4一x 2 又CE= √4-x2)-4-=4-x2 4 2,而AEFC为等 腰直角三角形，所以EF=4- 2√2 xv4-12 故tan∠DFE= 2 =√6，解得x=√3，即 4-x2 2√2 AD=√3. 大题综合 解(1)因为底面ABCD是边长为2的正方形， 所以BC⊥AB, 因为平面EAB⊥底面ABCD,交线为AB,BCC 平面ABCD, 所以BC⊥平面EAB, 高一数学 每日 因为AEC平面EAB,所以BC⊥AE, 因为BF⊥平面ACE,AEC平面ACE, 所以BF⊥AE, 因为BC∩BF=B,BC,BFC平面BCE, 所以AE⊥平面BCE, 又AEC平面ADE,所以平面ADE⊥平面BCE; (2)连接BD,交AC于点O,连接OF, 因为底面ABCD是边长为2 D 的正方形， 所以AC⊥BO,由勾股定理得 BD=AC=√22+22=2√2， 故BO=√2， B 因为BF⊥平面ACE,AC, OFC平面ACE, 所以BF⊥AC,BF⊥OF, 因为BO∩BF=B,BO,BFC平面OBF, 所以AC⊥平面OBF, 因为OF平面OBF,所以AC⊥OF, 所以∠BOF(或其补角)为二面角BACE的平 面角， 由(1)知，AE⊥平面BCE, BEC平面BCE,所以AE⊥BE, 又AE=BE,AB=2,由勾股定理得AE=BE =√2， 由(1)知，BC⊥平面EAB,EBC平面EAB,故 BC⊥EB, 由勾股定理得CE=JBC2十BE2=√6， 所以BF=BE·BC-EX2_2VS CE √6 3 因为BF⊥OF,故OF=√BO2-BF=J2- 4 3 23 所以tan∠BOF= BF 3 OF =√2， √6 3 所以二面角BACE大小的正切值为√2； (3)d<R,理由如下： D 取AB的中点G,连接EG, OG,OE 因为AE=BE,所以EG⊥ AB,故EG为三棱锥EACD 的高， 又AE⊥BE, 所以EG=名AB=1, E VDACR-VRACD-SACEG- 1X2 ×2×1=3, 由CE=√6，AC=2√2，AE=√2得CE2十AE2 =AC2, 所以CE⊥AE, 所以5△ABC=合AE.CE=5, 0 6 练·练出好成绩 所以点D到平面ACE的距离d= 3V D-ACE2 S△AEC √3 =2V3 3 因为0为BD中点，所以OG=号AD= 1,OG∥AD, 故OG平面ABE,因为EGC平面ABE,所以 OGEG, 由勾股定理得OE=√OG2+GE2=√2， 又OA=OB=OC=OD=√2，故点O为四面体 ACED外接球球心， 故外接球半径R=√2， 是然25巨，故dR 典题典例 解(1)因为AB是圆O的直径，AC与圆O切于 点A,所以AC⊥AB. 又在圆锥中，PO垂直底面圆O,ACC底面圆O, 所以PO⊥AC,而PO∩AB=O,PO,ABC平面 PAB,所以AC⊥平面PAB,PBC平面PAB,从 而ACPB. 在三角形PAB中，PA2十PB2=AB2,所以PA ⊥PB, 又PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC.所以PB ⊥平面PAC. (2)因为AB=2,AC=2,5,AC⊥AB, 3 所以在直角△ABC中，∠ABC=否 又OD=OB=1=PO,则△OBD是等腰三角形， 所以BD=3,S△OBD=之 ×1x1xsm经- 4 又PB=PD=反，所以S6mD=合X5×号 =15 4 设，点O到平面PBD的距离为d,由VP-OBD =VOPBD 即}SA0n·P0=号SaPm·d, 所以d4= 5 对点精练 解(1)证明：由多面体的定义知，C,D,E,F四 点共面，A,B,F,E四点共面， 因为AB∥CD,AB丈平面CDEF,CDC平面 CDEF,所以AB∥平面CDEF, 又因为ABC平面ABFE,且平面CDEF∩平面 ABFE=EF,所以EF∥AB. (2)证明：取AB的中点M,连接EM,则AM= MB=1, 由(1)知EF∥AB,所以EF∥MB,又因为EF= MB=1,所以四边形EMBF是平行四边形， 得到EM∥FB,且EM=FB,在Rt△BFC中， FB2+FC2=BC2=4, 又FB=FC,得FB=√2，所以EM=√2， ●● 参考答乳 在△AME中，AE=√3，AM=1,EM=√2，所以 AM2+EM2=3=AE2, 所以AM⊥EM,即AB⊥FB, 又因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC, 又FB∩BC=B,FBC平面BCF,BCC平 面BCF, 所以AB⊥平面BCF. (3)连接AC,设AC与BD相交于点O,则点O 是AC的中，点， E D A M 取BC的中点H,连接OH,EO,FH, 则0H/AB,0H=AB=1, 由I)知EF∥AB,且EF=合AB,所以EF∥ OH,且EF=OH, 所以四边形EOHF是平行四边形， 所以EO∥FH,且EO=FH=1, 由(1)知AB⊥平面BCF,又FHC平面BCF, 所以FH⊥AB,又因为FH⊥BC,AB∩BC=B, ABC平面ABCD,BC二平面ABCD, 所以FH⊥平面ABCD,故EO⊥平面ABCD, 又AOC平面ABCD,所以，EO⊥AO, 又因为AO⊥BD,EO∩BD=O,EOC平面 EBD,BDC平面EBD, 所以AO⊥平面EBD,故∠AEO是直线AE与平 面BDE所成的角， 在R△1OE中，a∠A0=8-9-E,所 以直线AE与平面BDE所成角的正切值为√2. 假期作业十三 考点集训 1.C[由题意，采用分层抽样的方法，应从高一年 级抽取36×4+3十2=16人，从商三年级抽取 2 36×4十3十2=8人，则抽取到的商一年级学生 人数比高三多16一8=8人.故选C.门 2.B[10(m+2m+0.015+0.020×2+0.030)= 1,解得m=0.005,故物理成绩大于等于60分的 人数为300×[1-10×(0.005+0.015)]=240. 故选B.] 3.D[将该运动员8次射击比赛的成绩从小到大 排列：9.3、9.4、9.5、9.6、9.7、9.8、9.9、10.0， ,'从这组数据中任取一个数，这个数比大的概 率为0.25，一共有8个数，.比m大的数有两 个，则9.8≤m<9.9,对于A,8×0.65=5.2, ∴.第65百分位为第6个数，即9.8，满足题意；对 于B,8×0.7=5.6,.第70百分位为第6个 数，即9.8，满足题意；对于C,8×0.75=6, ∴.第75百分位为第6,7个数的平均数，即 9.8十9.9=9.85，满足题意；对于D,8×0.8= 2 6.4,∴.第80百分位为第7个数，即9.9，不满足 题意.故选D.门 0 6 案与详解 4.ABC[众数是指出现次数最多的数据，所以 x=6,将这组数据按从小到大的顺序排列：一2， 6,6,8,12,中位数是指处于中间位置的数，即为 6,平均教为2+6+8+6+12=6.故选ABC.] 5 5.AC[因为1+2十…十6=m, 6 所以1十y2十…十y6 6 =(3x1+1)十(3.x2+1)+.+(3x6+1) 6 =3m+1,故A正确； 因为西-m)2+(2-m)2+…+(x6-m)2 =n,所 6 以y1-3m-1)2+(02-3m-1)2+…+(06-3m-1)2 6 _3z1+1-3m-1)2+(3x2+1-3m-1)2+…+(3x6+1-3m-1)2 6 =9m,故B错误； 不妨设x1≤x2≤…≤x6,所以y1≤y2≤…≤y6, 又6X0.6=3.6,所以数据x1,x2,x3,x4,5,x6 的60%分位数为p=x4, 新数据y1,y2,y3,y4,y5,y6的60%分位数为y4 =3x4十1=3p十1，故C正确； 不妨设x1≤x2≤…≤x6,所以y1≤y2≤…≤y6, 所以数据x1,x2,x3,x4,x5,x6的极差q=x6 -x1, 新数据y1y2,y3y4,y5y6的极差为y6一y1= 3x6+1-(3.x1十1)=3(x6-x1)=3q,故D错 误.故选AC.] [方法技巧] 1.若x1,x2,…,xm的平均数为x,那么mx1十a, m.x2十a,…,m.xn十a的平均数为m元十a. 2.数据x1,x2,…,xn与数据x1'=x1十a,x2' x2十a,·,xn=xn十a的方差相等，即数据经 过平移后方差不变. 3.若x1,x2,…,xn的方差为s2,那么ax1十b, ax2十b,…,axm十b的方差为a22. 真题尝试 C「对于A,根据频数分布表可知，6十12十18 36<50,所以亩产量的中位数不小于1050kg,故 A错误；对于B,亩产量不低于1100kg的频数为 24十10=34，所以低于1100kg的稻田占比为 100一34=66%，故B错误；对于C,稻田亩产量 100 的极差最大为1200一900=300，最小为1150 950=200,故C正确；对于D,由频数分布表可 得，平均值为0×(6×925+12×95+18× 1025+30×1075+24×1125+10×1175)= 1067,故D错误.故选C.] 大题综合 解(1)由题意10×(0.005+0.01+0.02十a+ 0.025十0.01)=1，解得a=0.03; (2)由直方图知前3组数的频率为10×(0.005十 0.01+0.02)=0.35 前4组数的频率为10×(0.005+0.01十0.02+ 0.03)=0.65,