假期作业14 空间点、直线、平面之间的位置关系-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（北师版）

快乐假期 假期作业14 空间点、直线 的位置关系 【《思维整合室 1.三个基本事实 基本事实1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平 面内. 基本事实2：过 的三点， 有且只有一个平面 基本事实3：如果两个不重合的平面有一 个公共点，那么它们 过 该点的公共直线！ 基本事实3的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点 有且只有一个平面： 推论2：经过两条相交直线有且只有一个 平面； 推论3：经过两条平行直线有且只有一个 平面 2.空间直线的位置关系 共面直线 异面直线：不同在 一个平面内 3.空间中直线与平面、平面与平面的位置 关系 图形语言 符号语言 公共点 相交 a∩a=A .个 直线与 平行 a∥a 个 面 在平 面内 a aCa K 平 a 平行 个 面 a∥B 与 平 ® 相交 a∩3=l 个 4.异面直线所成的角 (1)定义：设a,b是两条异面直线，经过空间 中任一点O作直线a'∥a,b∥b,把a' 与b'所成的 叫做异面直 线a与b所成的角. 30 00-= 平面之间 千里之行，始于足下。 完成日期： 月 日 2范固：〔0，引 《技能提升台 素养提升 ◆[考点一]平面的基本性质 1.(多选)已知a,B为平面，A,B,M,N为 点，a为直线，下列推理正确的是( A.A∈a,A∈B,B∈a,B∈B→aC3 B.M∈a,M∈β，N∈a,N∈B→a∩B =MN C.A∈a,A∈B→a∩B=A D.A,B,M∈a,A,B,M∈B,且A,B,M 不共线→a,3重合 2.下列两个相交平面的画法中正确的是 3.下列命题中正确的个数为 ①若△ABC在平面α外，它的三条边所 在的直线分别交a于P,Q,R,则P,Q,R 三点共线； ②若三条直线a,b,c互相平行且分别交 直线1于A,B,C三点，则这四条直线 共面； ③空间中不共面五个点一定能确定10 个平面. A.0 B.1 C.2 D.3 4.若直线1与平面α相交 于点O,A,B∈l,C,D∈ a,且AC∥BD,则O,C, B D三点的位置关 a O D 系是 ◆[考点二]空间两直线 的位置关系 5.设BD1是正方体ABCD一AB1C1D1的 一条对角线，则这个正方体中，面对角线 与BD1异面的有 ( A.0条 B.4条 C.6条 D.12条 三0022 6.若直线a,b,c满足a∥b,a,c异面，则b 与c A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 7.(2023·上海卷)如图 C 所示，在正方体AB CDAB1CD1中，点 P为边A1C1上的动 点，则下列直线中，始 D 终与直线BP异面 的是 () A.DD B.AC C.AD D.B C 8.如图，G,H,M,N分别是正三棱柱的顶 点或所在棱的中点，则表示直线GH, MN是异面直线的图形有 G个M ① ③ ◆[考点三]异面直线所成的角 9.(2021·全国乙卷文，10)在正方体ABCD 一ABCD1中，P为B,D1的中点，则直 线PB与AD1所成的角为 () A B. c牙 D.8 10.(2023·全国甲卷（理）)在正方体AB CDA,BC1D1中，E,F分别为CD, AB,的中点，则以EF为直径的球面与 正方体每条棱的交点总数为 11.如图所示，在长方体 H ABCD-EFGH中， AB=AD=2√3，AE D =2. (1)求直线BC和EG所成的角； (2)求直线AE和BG所成的角. 3 富一数学) 12.如图，在正方体ABCD一 H EFGH中，O为侧面E ADHE的中心，求： 0. (1)BE与CG所成的角； (2)FO与BD所成的角. 新题快递 1.如图所示，圆锥底面半径为1，母线AC= 2,D为弧AB的中点，E是BC中点，则 异面直线AC与DE夹角的正弦值是 D A.2 B.1 号 D. 2.正方体ABCD-A,B1CD1的棱长为2，E, F分别是BC,CC1的中点，则平面AEF 截该正方体所得的截面面积为() A. B8C号 《益智欢乐谷 踏上幽径，追逐星光 人有两条路要走，一条是必须走的，一 条是想走的，你必须把必须走的路走漂亮 才可以走想走的路，有些路，你不走下去， 就不会知道那边的风景有多美，所以内心 难过也不要把自己丢在黑暗中.按时睡觉， 好好吃饭，洗个热乎的澡，喝甜甜的奶茶. 看看长河落日，花朵树木，驱逐丧气再努力 奔跑，生活到处是发光的星星.人壁快乐假期 12.解：如图所示，作出轴截面，0是球心， 与边BC,AC相切于点D,E.连接 AD.OE. 因为△ABC是正三角形， 所以CD=子AC 因为R△A0EOR△ACD,所以器-是 因为CD=1cm,所以AC=2cm,AD=√3cm, 设0E=,期A0=5-所以后，宁 所以= 3 cm, 4 V3{ =45x(cm),即球的体积等 27 cnt 新题快递 1.B[在△AOB中，∠AOB=120°，而OA=OB=√3，取 AB中点C,连接OC,PC,有OC⊥AB,PC⊥AB,如图， --.01 B ∠AB0=30°，0C三号，AB=2BC=3,由△PAB的面积 为，得2×3xp0=9里 4 解得PC= 3y3,于是P0=√PC-0C- 2 √( 6 所以圆雏的体积V= X0AXP0=子xXW5X,6 =√6π.] 2.解析：四面体的体积最大时 即面SAB⊥面ABC, SA=SB=2,且SA⊥SB, BC=5,AC=√3，所以 ∠ACB=90°， 取AB的中，点H,连接 CH,SH, H A B SH⊥AB,平面SAB∩平面 ABC=AB,SH在平面 sAB内，而SH=之E· C SA=√2 1 所以SH⊥平面ABC,所以VsAe=3·SAA·SH= }·=@ 6 则外接球的球心在SH上，设球心为O,连接OC,CH= }·AB=EsA=E,周为sH=合E·SA= √2，所以O与H重合，所以R=CH=SH=√2， 所以四面体的外接球的表面积S=4πR=8π， 答案：8m 6 900-= 假期作业14 思维整合室 1.两点不在一条直线上有且只有一条 2.平行相交任何3.10无数0无数 4.(1)锐角（或直角） 技能提升台素养提升 1.ABD[选项C中，a与B有公共，点A,则它们有过点A 的一条交线，故C错.门 2.D 3.C[在①中，因为P,Q,R三点既在平面ABC上，又在 平面a上，所以这三点必在平面ABC与a的交线上，即 P,Q,R三点共线，故①正确；在②中，因为a∥b,所以a 与b确定一个平面《，而1上有A,B两，点在该平面上，所 以l二a,即a,b,l三线共面于a;同理a,c,l三线也共面， 不妨设为B,而a,3有两条公共的直线a,l,所以a与B重 合，故这些直线共面，故②正确；在③中，不妨设其中四 点共面，则它们最多只能确定7个平面，故③错.] 4.解析：，AC∥BD, AC与BD确定一个平面，记作平面B,则a∩B=CD. :lna=0,∴.0ea. 又O∈ABCB,∴OE直线CD,.O,C,D三点共线. 答案：共线 5.C 6.C[由于a∥b, a,c异面，此时，b 6 和c可能相交，也 o c 即共面，如图所示 b与c相交；b和c 也可能异面，如图所示b与c异面.综上所述，b与c不可 能是平行直线.门 7.B[对于A,当P是A,C,的中点时，BP与DD,是相交 直线：对于B,根据异面直线的定义知，BP与AC是异面 直线；对于C,当点P与C,重合时，BP与AD,是平行直 线；对于D,当点P与C1重合时，BP与B1C是相交 直线.] 8.解析：①中HG∥MN;③中GM∥HN且GM≠HN,所 以直线HG与MN必相交. 答案：②④ 9.D[由题意可知，连接BP,BC1,PC,(图略)，则BP, BC所成角即为所求角0，设AB=2,则BP=√6，BC1= 2VE,PC=E,由余孩定理可知os)BPr+BC-CP 2BP·BC 6+8-2_ 26·22 ,所以夹角为令] 10.解析：在正方体ABCD D C A1B,CD1中，E,F分 别为CD,A1B1的 F A 中点， 设正方体ABCD ->W AB,C1D1中棱长为 0 2,EF中点为O, 取AB,BB1中点G,M, E 侧面BB,CC的中心 A G 为N, 连接FG,EG,OM,ON,MN,如图， 由题意得O为球心，在正方体ABCD-A1B,CD中， EF=√FG+EG=√W4+4=2√2， .R=√2， 则球心O到BB,的距离为OM=√ON+MN= √+I=√2， 三0022 .球O与棱BB,相切，球面与棱BB只有一个交，点， 同理，根据正方体ABCDA,B,C,D,的对称性可知，其 余各棱和球面也只有一个交点， ∴以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数 为12. 答案：12 11.解：(1)连接AC(图略)，EG∥AC, .∠ACB即是BC和EG所成的角. :在长方体ABCD-EFGH中，AB=AD=2N3, .tan∠ACB=1,∴.∠ACB=45°， .直线BC和EG所成的角是45° (2):AE∥BF,∴∠FBG即是AE和BG所成的角. 易知tan∠FBG=√3， .∠FBG=60°， .直线AE和BG所成的角是60 12.解：(1)CG∥FB, .∠EBF是异面直线BE与CG所 E 成的角 在Rt△EFB中，EF=FB, .∠EBF=45°， D ∴.BE与CG所成的角为45° (2)连接FH, FB∥AE,FB=AE,AE∥HD,AE=HD, .FB=HD,FB∥HD, .四边形FBDH是平行四边形， .BD∥FH, .∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接 HA,AF. 则△AFH是等边三角形， 又O是AH的中点，∴.∠HFO=30, .FO与BD所成的角为30°. 新题快递 1.C[设底面圆心为O,连接EO,CO, OD,如图所示，可知EO∥AC,故 ∠OED为异面直线AC与DE所成的 角（或其补角）， ,COL底面ABD, ∴.CO⊥OD.又点D为半圆孤AB的 D 中点， .AB⊥OD,又CO∩AB=O, .OD⊥平面ABC, .OD⊥EO,在Rt△ODE中，OD=OE=1, ∠0ED=冬m∠0ED-吗放异西直线AC与 DE夫角的三弦值光盟（造C] 2.D[连接AD,则AD,∥ 0 EF,连接FD,,则平面AEF 截正方体所得截面多边形 为梯形AD1FE, A 正方体棱长为2，故AD =2√2，EF=√2， C D 又AE=D,F=√2+1 =√5， .等腰梯形ADFE的 高为 ∴梯形AD,FE的面积为=2+22X后=号.门 2 6 假期作业15 思维整合室 1.(1)平行(2)相等或互补 2.这个平面内交线3.相交直线相交交线 技能提升台素养提升 1.A 2.BCD[对于A,若直线1在平面a内，l上有两点到a的 距离为0，相等，此时1不与a平行，所以A错误；对于B, 因为1∥B,所以存在直线m二B使得1∥m,因为l⊥a,所 以m⊥a,又m二B,所以3⊥a,所以B正确；对于C,l∥a, 故存在mCa使得l∥m,因为a∥B,所以m∥B,因为l∥ m,l中B,所以l∥B,C正确.对于D由面面平行的判定定 理知D正确.] 3.D[A可由上底面与下底面平行的性质定理判定正确， B,C可由线面平行的判定定理判定正确性.D错在D,B ∥1,1与B1C1所成角是45°.J 4.解析：连接HN,FH,FN(图略)，则FH∥DD,HN ∥BD, 易知平面FHN∥平面B,BDD,,只需M∈FH,则MN C平面FHN,∴.MN∥平面BBDD. 答案：点M在线段FH上（或点M与点H重合） 5.C 6.BD[A:若a∩y=a,∩Y=b,且a∥b,则a,B可能相交、 平行，错误；B:若a,b相交，且都在a,3外，a∥a,b∥a,a ∥B,b∥B,由面面平行的判定可得a∥B,正确；C:若a∥ a,b∥B,且a∥b,则a,B可能相交、平行，错误；D:若aC a,a∥B,a∩B=b,由线面平行的性质定理得a∥b,正确.] 7.AB[如图，：EG∥E,G,EG寸平 H 面EFG,EGC平面E1FG1, .EG∥平面EFG,又GF∥H1E, 同理可证H1E∥平面E,FG, 又H1E∩EG=E,∴.平面EFG1∥ EGH1,故A正确，同理可得B正确， 故选AB.门 8.解析：平面MNE∥平面ACB,, 由平面平行的性质定理可得EN∥B,C,EM∥B,A, 又E为BB1的中，点， ∴M,N分别为BA,BC的中点， MN=号4c.即器合 答案：2 9.D[如图，任取线段A1B上一点 A M,过M作MH∥AA,交AB于 H,过H作HG∥AC交BC于G, Bi 过G作CC1的平行线，与CB, N 定有交，点N,连接MN, 可证平面MNGH∥平面ACC1A 所以MN∥平面ACC1A1,则这样 H G 的MN有无数条.] 3 10.解析：，EF∥DG,BE∥AD,BE∩EF=E,AD∩DG= D,BE,EFC平面BEF,AD,EGC平面ADGC,∴.平面 BEF∥平面ADGC. :BFC平面BEF, .BF∥平面ACGD,故①正确； 由于DG=2EF, 则四边形EFGD是梯形， GF的延长线必与直线DE相交，故④不正确： 选项②③不能推出. 答案：①