假期作业11 空间几何体及其表面积与体积-【创新大课堂·暑假作业】2025-2026学年高一数学快乐假期讲练测

高一数学每日 b+3=1 所以 a-2 a+2+b-3 ,解得∫a=3 6=二2，所以1= 2 2 =0 3一2i,所以C正确；对于选项D,因为x1=1,所 以a2十b2=1,所以复数x1对应的点在圆a2十b2 =1上运动，又x1-x2|=√(a-2)2十(b十3)2， 即为，点(a,b)到(2，一3)的距离，则其最小值为 √13-1，所以D正确.故选ACD.] 6.D[因为=cos盖+isim是是方程5+a=0 的一个根，所以a=-x5=-(cos无+isin无) 真题尝试 心[因为音牛中-1+1+i所以 之-1 =1+-1-i放选C.] 大题综合 解(1)令x=a+bi且a,b∈R,则(1十i)(a+bi) =(a-bi)+1, 所以a-b+(a+b)i=a+1-bi,则a一b=a十1， ”1a+b=-b' 可得∫a=2 1b=-1 所以之=2一i,则x|=5; (2)由1=2+i-3+(m2-3m+1Di=2-3+ m (m2-3m+2)i, 故对应点(2一品m2-8m十2)在第三象保. m m2-3m+2<0 3 所以0之·即1<m<受 1<m<2, 所以实数m的取值范国为1，)】 典题典例 解(1)设复数一2+2i在复平面内的对应点为 P(-2,2), 则|z+2-2i=|z-(-2+2i)|=|MP|=2, 故点M的集合是以点P为圆心，2为半径的圆， 如图1所示. -2 图1 图2 0 6 练·练出好成绩 (2)设复数1一2i在复平面内的对应点为 Q(1,-2),则|之-1+2i=|MQ,如图2所示， |PQ|=√(1+2)2+(-2-2)2=5， 则|之-1+2i的最大值即|MQ的最大值是|PQ +2=7; |之一1+2i的最小值即|MQ|的最小值是|PQ| 2=3. 对点精练 1.[2,4] [|之=1表示之 对应的点Z1是以原点O 为圆心，半径r=1的圆上 的点， |之+2+√5i=|x-(-2 一√5i)|的几何意义表示圆 O上的点Z和Z2(-2, Z 一√5)之间的距离， 于是，|之+2+√5i|的最大值为QZ2十r= √/(0+2)2+(0+√5)2+1=4，最小值为OZ2|-r =√/(0+2)2+(0+√5)2-1=2， 所以|之十2十√5i的取值范围是[2,4].故答案为： [2,4].] 2.解(1)由之+2-2i= 1得|之-（-2+2i) =1, 因此复数之对应的点Z 在以之0=一2十2i对应 的点Z0为圆心，1为半 径的圆上， 方程为：(x+2)2十(y -2)2=1, 如图所示. (2)设y=|之-2-2i,则y是Z点到2十2i对应 的点A的距离.又AZo=4, .由图知ymin=AZo|-1=3. .x-2一2i的最小值为3. 假期作业十一 考点集训 1.C[如图1，将 正三棱台，还 原为正三棱 锥，由相似关 4 C B 系可知，三棱 : 锥P-A1B1C 的棱长都是3， 如图2，点P在 图1 图2 底面A1B1C1的射影是底面三角形的中心，高 PO=√32-（√5）2=√6，所以根据相似关系可知， 三棱台的高也是√6.故选C.] 2.D[在梯形A'B'C'D'中，∠BA'D'=45°，则该 格形的高为ABsm5-号格形ABC'D的 面积为S'=AD'BC.9=3y2,在斜二测 2 2 4 画法中，原图形的面积是对应直观图面积的2√2 倍，所以平面图形ABCD的面积S=2√2S= 22×3y2=3.故选D.] 4 参考答案与详解 3.D[因为轴截面是一个斜边长为2√2的等腰直 (2)球B的表面积S1=4πr2=4元， 角三角形，所以圆雏的底面半径R=厄，母线1=2， 圆柱的侧面积S2=2πR·2R=4πR2=(6+ 所以圆锥的表面积S=πR2十πRl=(2十2√②)π. 4√2)π， 故选D.] 4.A[设底面三角形面积为S,三棱锥的高为h,由 圆柱的侧面积与球B的表面积之比为3十2区 2 直观图的性质得=是，解得S=45,因为正典 典题典例 C[如图，正四面体 三棱绿的依积为8，所以号××=8， ABCD底面BCD的中心 3， 记为，点E,连接AE,DE 解得h=2,故A正确.故选A.] 5.A[依题意，设正方体的边长为a,a>0,则6a2 由正四面体的性质可 得：AE⊥面BCD.因为 B6-----------------D =18,a=√3，则正方体的对角线长为√3十3十3= 正四面体ABCD棱长 3,所以正方体外接球球的直径2R=3,半径R= 为2， 号，所以球的体积为暂×()=要故选A] 所以底面三角形BCD的高为2in牙=5，则 6.C[将圆锥侧面沿母线 SA展开，其侧面展开图 为如图所示的扇形 DE=号×5=2 3 SAA',则A'C的长度即 为灯光带的最小长度， 所以正四西体ABCD的高AE2-(2) ,AA=2πr=12π， /AsA--号在△AC中，SC=言sA =26 3 =6,SA'=18,.A'C2=A'S2+SC2-2A'S· 设正四面体ABCD内切球的半径为R,球心 为O. SCeos∠ASA=182+62-2X18X6×(-） 由等体积法可得：V正四面体ABCD=4V正三棱锥OBCD， 468,解得：AC=6√13，即灯光带的最小长度为： 即宁XSARD XAE=-X专×SAD XR,解得： 6√13m.故选C.] [方法技巧]探究几何体表面上两点间的最小 距离 R=子AE-, 6 (1)将几何体沿着某棱（母线）剪开后展开，画出 其侧面展开图； 所以正四面体的内切球的半径R= 61 (2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题； 因为正方体的棱长为a, (3)结合已知条件求得结果. 真题尝试 所以正方体的外接球的半径r= √6 4 [由题可得两个圆台的高分别为h甲= 此(a)max= 巨.故选C.] 3 √2(r2-r1)]2-(r2-r1)户=5(r2-r1),h元=对点精练 √3(r2-r1)]-(r2-r1)2=22(r2-r1),所以1.B[设正四棱台上底面 D V甲 }(5:+5+5SM甲 A1B1C1D1的中心为O1, A h甲 下底面A2B2C2D2的中 七 号(5：+5+5Sh2 hi 心为O2,因为A1B1=√2， -故答策为] A2B2=3√2，所以O1A1 2√2(r2-r1) 4 =1,O2A2=3.过A1作A1E⊥O2A2于E,易得 大题综合 A2E=2, 解(1)设圆柱的底面半径为R,小球的半径为 设该正四棱台外接球的球心为O,则O在直线 r,且r<R, O1O2上，OO2=A1E=√JA1A-A2E2=4√2， 由圆柱与球的性质知AB2=(2r)2=(2R-2r)2 设OO1=x,则OO2=|4√2-x|,设外接球的半 +(2R-2r)2, 即r2-4Rr+2R2=0, 径为R,则R2=OO+O1A=OO号+O2A,即 r<R, r=(2-2R=(2-2x2+E=1, +14-2+3,解得x=5,则R 2 六球A的体积为V=号-青 -(}+1-盟所以外接球的表面氨为 3元 4πR2=54π.故选B.] 0 63 高一数学每日 2.BCD[设AB=2m,AC =2n,由题设m十n=4.三 棱锥PEFG中，FG=PE =3,EF=PG=m,EG= PF=n,将P-EFG放在棱 长为x,y,之的长方体中， ,x2+y2=32 如图，则有y2十2=m2, G (x2+x2=n2 三棱锥P-EFG的外接球就是长方体的外接球，！ 所以(2R)2=2+y2+2=号(9+m2+n2),由 基本不等式m2+n2≥m十n)2 =8,当且仅当 2 m=n=2时等号成立，所以外接球表面积S= R≥(9+8x=1故运CD.] 假期作业十二 考点集训 1.B[选项A中，若ma,nCB,a∥B,则m∥n或 m,n异面，A错误；选项B,若a∩B=n,m∥n, m⊥y,则n⊥Y,nCa,所以a⊥Y,B正确；选项C, 若m⊥n,nLB,则m∥B或m在B内，C选项错 误；选项D,若m⊥n,n∥a,则m∥a或m和a相 交，D选项错误.故选B.门] 2.BD[连接EF,B1D1,在正 D 方体ABCD-A1B1C1D1中， AB∥C1D1且AB=C1D1, 所以四边形ABC1D1是平行 四边形，所以AD1∥BC1,因 为AD1C平面AED1,BC1寸 平面AED1,所以BC1∥平面AED1,故B正确； 1 因为E,F分别为BB1,B1C1中点，所以EF∥ BC1,所以EF∥AD1,所以E,F,D1,A四点共 面，即，点F在平面AED1内，故D正确；再连接 FD1,显然G不在平面AEFD1内，所以FG与平 面AED1不平行，故A错误；由BC1∥平面 AED1,可知，点C1不在平面AED1内，故C错 误.故选BD.] 3.解(1)过点A1作A1O⊥ 平面ABCD,垂足为O,连 接AC,OB,OD,如右图： 因为AA1=AA1,AB AD,∠A1AB=∠A1AD,A 所以△A1AB≌△A1AD,则A1B=A1D, 因为A1O⊥平面ABCD,OB,OD,BDC平面 ABCD,所以A1O⊥OB,A1O⊥OD,A1O⊥BD, 因为A1B=A1D,A1O=A1O,所以Rt△A1OB≌ Rt△A1OD,则OB=OD, 可得点O在线段BD的中垂线上， 即O∈AC,所以A1,A,O,C共面， 易知AC⊥BD,因为A1O∩AC=O,A1O,ACC 平面A1AC,所以BD⊥平面A1AC, 因为AA1C平面A1AC,所以AA1⊥BD. 0 64 练·练出好成绩 (2)连接AC,记AC∩BD=E,连接A1E,如 下图： D C B D B 在△AA1C中，由A1A=A1C,且AE=CE,则 A1E⊥AC, 由(1)可知BD⊥平面A1AC, 因为BDC平面ABCD,所以平面A1AC⊥平面 ABCD, 因为平面A1AC∩平面ABCD=AC,所以A1E⊥ 平面ABCD, 在△A1AB中，AA1=AB,∠A1AB=60°，则 AB=AA, 易知△A1AE≌△A1BE,则AE=BE,所以底面 ABCD为正方形， 由AB=2,则BD=√2AB=2√2. 4.ABC[对于A,由SD⊥平面ABCD,AB,ACC 平面ABCD,得SD⊥AB,由正方形ABCD,得 ABAD,而SD∩AD=D,SD,ADC平面 SAD,则AB⊥平面SAD,又SAC平面SAD,因 此AB⊥SA,A正确；对于B,由选项A知，SD⊥ AC,AC⊥BD,而SD∩BD=D,SD,BDC平面 SBD,则AC⊥平面SBD,又SBC平面SBD,因 此ACSB,AC与SB所成的角为90°，B正确： 对于C,由A同理可得BC⊥CS由AD∥BC,CD ∥AB,得AD与SB所成的角为∠SBC,CD与 SB所成的角为∠SBA,所以coS∠SBC=BC- SB SB=Cos∠SBA,则AD与SB所成的角等于CD AB 与SB所成的角，C正确；对于D,AB⊥SA,AB∥ CD,则CD⊥SA,DC与SA所成的角为90°，而AB 与SC所成的角为∠SCD<90°，则AB与SC所成的 角不等于DC与SA所成的角，D错误.故选ABC.] 5[在下底面内过点E作EFLAB,垂足为F,连 接CF,如右图： 在圆O内，易知∠AEB= 90°，由AE=√5BE,且AE2 D +BE2=AB2=16,则AE= 2√3，BE=2,可得EF= AEXBE=B,在Rt△EFB AB 中，BF=√BE2-FE=1, 在等腰梯形ABCD中，由 CD=2,AB=4,BF=1,则 E CF⊥AB,在Rt△CFB中， CF=√CB2一FB2=√I5,在圆台内易知平面 ABCD⊥平面AEB,由图可知平面ABCD∩平面 AEB=AB,因为EFAB,EFC平面AEB,所以 EF⊥平面ABCD,则∠FCE为直线CE与平面 ABCD所成的角，因为CFC平面ABCD,所以 EF⊥CF,在RtACFE中，tan∠ECF-EF=B -CF√15 怎故家为票」高一数学每日一练·练出好成绩 假期作业十一空间几何体及其表面积与体积 +十十 十=十十十十 十…十十 …十=十十 【日品好题】请重点关注第6题，该题考查几何体的侧面展开图，比较典型， …0考点集训川0… 考点六几何体的展开图 6.某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥 考点一空间几何体的结构特征 形屋顶的小屋（如图1）.现测量其中一个屋 1.如图，ABC-A1B1C1是 顶，得到圆锥SO的底面直径AB长为12m, 一个正三棱台，而且下 母线SA长为18m(如图2).若C是母线SA 底面边长为6，上底面边 的一个三等分点（靠近点S),从点A到点C 长和侧棱长都为3，则棱 绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最 台的高为 小长度为 A号 B.33 2 C.6 D.√3 考点二 空间几何体的直观图 2.如图所示，梯形AB'CD 是平面图形ABCD用斜 二测画法得到的直观 D' 图1 图2 图，A'D'=2,AB'=BC A A.6√7m B.16m =1,则平面图形ABCD的面积为 C.6√13m D.12m A.1 B C,33 4 D.3 …0易错清零0… 考点三 空间几何体的表面积 易错点 计算几何体的体积 3.已知圆锥的轴截面是一个斜边长为2√2的 我国数学名著《九章算术》第五卷《商功》中 等腰直角三角形，则圆锥的表面积为( 有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二 A.√2π 丈，高一丈.问积几何？”意思是：现有圆台形 B.2√2π 的建筑物，下底面圆的周长为3丈，上底面 C.4π D.(2十2√2)π 圆的周长为2丈，高为1丈，则它的体积（单 考点四 空间几何体的体积 位：立方丈)是 ( 4.已知正三棱锥的体积为8 13 3 ,其底面三角形 A.12r 9 B.12x C.5+6 D19 6 4π 的斜二测直观图面积为√6，则三棱锥的高为 [易错警示] ( 儿何体的体积问题 A.2 C.1 D.2 第一步 ①分析题意，列出题目条件 列出条件 考点五球的内切、外接 ②求出计算体积所需的量 5.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，： 第二步 求相关量 若这个正方体的表面积为18，则这个球的体 ③代入公式，得出体积 积为 ( 第三步 得出体积 B.12π C.9π D.43π 尝试选择 26 第一部分 假期作业十一 空间几何体及其表面积与体积 解析 由题感得，下底半径R=2(文)，上 思维路径]本题是多面体与球体内切外 接问题 底半径r= 2=1（文)，高h=1(丈)，所以它 利用当这个小正方体可以在大正四面体内 2元元 部任意转动且小正方体的棱长最大时，小正 的体积V= 3h(R2+2+Rr)= 3πX1X 方体的外接球的半径等于该大正四面体的 ()+()+×」=品立方支). 内切球的半径.先求出正四面体的内切球的 半径R=6 故选B. ,再利用正方体的外接球的辛径 答案B r R=即可求将给果 3 …0真题尝试0 [知识拓展“关于内切、外接球的结论 (2024·全国甲卷)已知圆台甲、乙的上底面 (1)正方体的棱长为a,球的半径为R.若球 半径均为r1,下底面半径均为r2,圆台的母 为正方体的外接球，则2R=√3a. 线长分别为2(r2-r1),3(r2-r1),则圆台甲 拓展：若球为正方体的内切球（如图1），则 与乙的体积之比为 2R=a; 0大题综合0… 若球与正方体的各棱相切（如图2），则2R 如图，在水平放置的直径与高相等的圆柱 √2a 内，放入两个半径相等的 小球（球A和球B),圆柱 的底面直径为2十√2，向 B 圆柱内注满水，水面刚好 图1 图2 淹没小球B. (2)若长方体的过同一顶点的三条棱长分 (1)求球A的体积； 别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R (2)求圆柱的侧面积与球B的表面积之比， =√Ja2+b2+c2. (3)正四面体的外接球和内切球的球心在 正四面体的高上， 设正四面体的棱长为a,则其外接球的半径 为 4a,内切球的半径为 2a …0对点精练0 1. 在正四棱台A1B1C1D1-A2B2C2D2中，A1B1= √2，A2B2=3√2，A1A2=6,则该正四棱台外接 球的表面积为 () o典题典例o A.108π B.54π C.36π D.27π 题点多面体与球的内切、外接 2.(多选)在△ABC中，BC=6,AB+AC=8, [例]已知一件艺术品由外层一个大正四面： E,F,G分别为三边BC,CA,AB的中点，将 体，内层一个小正方体构成，外层正四面体的 △AFG,△BEG,△CEF分别沿FG,EG,EF 棱长为2，在该大正四面体内放置一个棱长为 向上折起，使得A,B,C重合，记为P,则三棱 a的小正方体，并且小正方体在大正四面体 锥PEFG的外接球表面积的取值可以为 内可以任意转动，则a的最大值为 A.9 c号 D.2/3 3 A c 27