假期作业10 复数-【创新大课堂·暑假作业】2025-2026学年高一数学快乐假期讲练测

高一数学每日一练·练出好成绩 假期作业十 复数 十十十一 十十…十=十十十十=十十 十…十十 十十十 【日品好题】请重点关注第4题，该题是复数的四则运算，是高考频考题型， …0考点集训川0… …O易错清零0… 考点一复数的模 易错点复数的乘方运算 1.已知复数=1十ai(a>0),且|之|=3，则a= ( 已知i为虚数单位，之= i+i2+…+2023 1-i ，则 A.1 B.2 C.2 D.2√2 考点二 共轭复数 复数乏在复平面上所对应的点在 2.若复数之满足乏一3i=之(i是虚数单位)，则复 A.第一象限 数之的虚部为 ) B.第二象限 3 A. B.- c D.- 21 C.第三象限 考点三 复数的加减运算 D.第四象限 3.已知复数之1=12-3i,2=-9十i,则之1十2 [易错警示] 的实部与虚部分别为 ( A.3,-2 B.3,-2i 1.i的乘方具有周期性： C.2,-3 D.2,-3i 4n=1,i4n+1=i,i4+2=一1，i4n+3=一i, 考点四复数的乘除运算 n++1+n+2十切+3=0，n∈N*. 4.复数+的虚部是 ( A-吉 B号 2.1生0=士2+-i-i 25 D 25 尝试选择 考点五复数的几何意义 解析 因为4k+1十k+2+k+3十4+4=i 5.(多选)已知复数1=a十bi(a,b∈R),之2= 2-3i,则 ( A.若之1·2为实数，则点P(a,b)在直线3x 1-i+1=0,则=i计i2+…+2023 -1 1-i 1-i -2y=0上 -(1+i) R若行与号互为共矩复数则6=。 (1-i)(1+i) 号所以=十 22 C.若1,2对应的点关于直线y=一x对 在复平面上所对应的点为（一·）位于第 称，则之1=3一21 D.若1|=1,则|1-2的最小值为√13 二象限.故选B. 答案 B 考点六复数的三角表示 …0真题尝试0… 6.复数=cos希十isin需是方程x5十a=0的 一个根，那么α的值为 ( (2024·会国新高考I卷)若产=1十i,则 A. 之= ( A.-1-i B.-1+i c C.1-i D.1+i 24 0 第一部分 假期作业十复数 o大题综合o 汇知识拓展]与复数模有关的最值问题 (1)求复数在复平面内对应点的集合表示 已知i是虚数单位，之表示之的共轭复数，复： 的图形时，常用的方法是通过化简得到关 数之满足(1十i)·之=之十1 于复数模的最简等式或不等式，然后根据 (1)求|之的值； :复数的模的几何意义直接判断图形的 (2)在复平面内，若=。-3+(m2-3m十 形状. 1)i对应的点在第三象限，求实数m的取值： (2)复数的几何意义是复平面内两点之间 范围 的距离公式，若之=x十yi,则|之一(a十bi) 表示复平面内点(x,y)与点(a,b)之间的距 离，则x-(a十bi)|=r表示以(a,b)为圆 心，以r为半径的圆上的点. …0对点精练0… 1.已知复数之满足之|=1，则|x+2+√5的取 值范围是 :2.若之=x十yi(x,y∈R),i为虚数单位，在复平 面内之所对应的点为Z,且|之+2-2=1， (1)求满足上述条件的点Z的集合是什么图 形并且求该图形的方程； (2)之一2-2i的最小值. … 0典题典例0… 题点与复数模有关的最值 [例]已知复数之满足|之十2一2=2，且复数： 之在复平面内的对应点为M (1)确定点M的集合构成图形的形状； (2)求之一1+2的最大值和最小值， [思维路径]本题是与复数模相关的轨迹： (图形)问题 (1)根据复数模的几何意义确定点M的集合 构成图形的形状. (2)根据复数模的几何意义，结合圆的几何 性质求得正确答案， 25参考答案与详解 (2)在△PBC中，由正弦定理知，sin∠BPC BC (2)由1)可知A=晋，所以sinA=合 =PC 因为cosB=2 2,所以sinB=3 1 sin B' 3 4X 所以sin∠BPC=BCsin B_4X 所以sinA a_ PC 2一1， sin Bb 2,由a+6=5, 2√3 所以a=3,b=2 所以sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B 且0<∠BPC<,故∠BPC=受， 22+5 在直角三角形△PBC中，由勾股定理知，PB= 6 √BC2-PC2-2, 此时PA=AB-PB=4. 所以SaAc=absin C=2E+ 2 典题典例 :2.解1)由已知及正弦定理得sin Acos B+sinB sin A=sin C, 解(1)，AC⊥AD,AE=3,DE=5 3 .'sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B .AD=√DE2-AE2=4,sin∠ADE= 5 '.'sin Bsin A=cos Asin B, ,sinB≠0，.sinA=cosA,.tanA=1, SABD=号X DAX DBX sin∠ADB=号 ×4×8: A∈(0，元)，A= 4 ×- (2),S△ABC= 2bcsin A-2bc-12-1 4 2 (2)AE=EB,∠AED=∠EAB+∠EBA, ∴.bc=2-√2， sin∠AED= 合则as∠AD-( 又a2=b2+c2-2 bccos A,2=(b+c)2-(2+ 3 √2)bc, .(b+c)2=4,∴.b+c=2. ∴∠AED=2∠BAC, 假期作业十 cos∠AED=1-2sin2∠BAC=3 考点集训 :1.D[因为之=1十ai,x=3,所以√12十a2=3,解 :∠BAC∈(O,) 得a=±2√2，因为a>0,所以a=2√2.故选D.] sin∠BAC=5,eos∠BAC=-sinZBAC 2.B[根据题意可设之=a十bi,a,b∈R,则z=a- bi,a,b∈R,所以由之-3i=x可得a-bi-3i=a+ =2 i,所以-6一3=6：解得6=一号，即复数：的虚 6, 又∠CBD=∠ABD=∠BAC,在△BCE中， 部为一是故选B] ∠CBE十∠BEC+∠BCE=π !3.A[因为x1=12-3i,之2=-9十i,所以x1十22 sin∠BCE=sin(∠CBE+∠BEC) =3-2i,其实部与虚部分别为3，-2.故选A.] =sin∠CBEcos.∠BEC+cos∠CBEsin∠BEC= :4.D[因为+2=9+2)3+40=-5+10i 5×3+25×4=115 3-4i(3-4i)(3+4i) 25 5 57 5.5 25 EC 由正弦定理可知'sin乙CBE BE 吉+层，所以虚部为号故选D.] -sin∠BCE [方法技巧]复数乘法、除法运算的解题策略 (1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四 ∴EC-BE·sin∠CBE 3X6 则运算，可将含有虚数单位ⅰ的看作一类同类 515 项，不含ⅰ的看作另一类同类项，分别合并即可， sin∠BCE 115 11 (2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以 25 分母的共轭复数，解题时要注意把ⅰ的幂写成最 对点精练 简形式 1.解(1)由sin2A-sin2B=sin2C-3 sin Bsin C5.ACD[对于选项A,z1·x2=(a+bi)(2-3i)= 及正弦定理， (2a十3b)+(2b一3a)i,因为1·之2为实数，所以 可得a2-b2=c2-√5bc,故3bc=c2+b2-a2, 2b-3a=0,所以点P(a,b)在直线3.x-2y=0 2+b2-a2-V36c 上，所以A正确；对于选项B,因为2=2一3i,所 由余弦定理，可得cosA= 1 2bc 2bc -后十器所以的共能发 以 之2 3 2 数为品一器所以6=一是所以B错送：对子这 由于A∈(0，x),故A= 项C,因为1，z2对应的点分别为M(a,b),N(2, 6: -3), 61 高一数学每日一练·练出好成绩 b+3-1 (2)设复数1一2i在复平面内的对应点为 所以 a-2 Q(1,-2),则|之-1+2i=|MQ,如图2所示， a+2+b3=0 {632所以1= 解得∫a=3 |PQ|=√(1+2)2+(-2-2)2=5， 2 2 则|之-1+2i的最大值即|MQ的最大值是|PQ 3一2i,所以C正确；对于选项D,因为z1=1,所 +2=7; 以a2十b2=1,所以复数之1对应的，点在圆a2十b2 |之一1+2i的最小值即MQ|的最小值是PQ| 2=3. =1上运动，又x1-x2|=√(a-2)2+(b十3)2， !对点精练 即为点(a,b)到(2，一3)的距离，则其最小值为 1.[2,4] [|之|=1表示之 √13-1，所以D正确.故选ACD.] 对应的点Z1是以原点O 6.D[因为：=cos后十isin无是方程x5十a=0 为圆心，半径r=1的圆上 的点， 的一个根，所以a=-x5=-（cos 焉+isin) |x+2+√5il=|x-(-2 一√5i)|的几何意义表示圆 =-cos-isin晋=- 1 i.故选D.] O上的点Z和Z2(-2, 一√5)之间的距离， 真题尝试 图为音-中1-1+1+i所以 于是，|之+2十√5i|的最大值为QZ2+r x-1-之-1 √(0+2)2+(0+5)2+1=4，最小值为OZ2|-x =1计=1-i故选C.] =√/(0+2)2+(0+√5)2-1=2， 所以|x十2十√5的取值范围是[2,4].故答案为： 大题综合 [2,4].J 解(1)令x=a+bi且a,b∈R,则(1+i)(a+bi)2.解i)由z+2-2i= =(a-bi)+1, 1得|之-(-2+2i) 所以a-b+(a+b)i=a+1-bi,则a一6=a十1， =1, 1a+b=-b’ 因此复数之对应的点Z 可得∫a=2 在以之0=一2十2i对应 1b=-1 的点Z0为圆心，1为半 所以x=2-i,则|x=√5； 径的圆上， (2)由1=2+i3+(m2-3m十1)i=2-3+ 方程为：(x+2)2+(y -2)2=1, (m2-3m+2)i, 如图所示， 故对应点(？- (2)设y=z-2-2i,则y是Z点到2十2i对应 ,m2-3m十2）在第三象限， n 的点A的距离.又AZo=4, 则/2 3∠0 .由图知ymim=|AZo-1=3. m .x-2-2i的最小值为3. m2-3m+2<0 假期作业十一 所a0m骨p1K和< 考点集训 1.C[如图1，将 P (1<m<2, 正三棱台，还 所以实数m的取值范国为(1，号) 原为正三棱 锥，由相似关 A 典题典例 系可知，三棱 C 解(1)设复数一2+2i在复平面内的对应点为 锥P-A1B1C1 C P(-2,2), 的棱长都是3， A BA, 则|z+2-2i=|z-(-2+2i)|=|MP|=2, 如图2，点P在 图1 图2 套香是以点P身道公，2为丰经的恩 底面A1B1C1的射影是底面三角形的中心，高 如图1所示. PO=√32一（√5）2=√6，所以根据相似关系可知， 三棱台的高也是√6.故选C.] 2.D[在梯形A'B'C'D'中，∠B'A'D'=45°，则该 梯形的高为AB'sim45°号，梯形A'B'C'D'的 2 面积为S' A'D'+B'C'.2-3E,在斜二测 2 24 D 画法中，原图形的面积是对应直观图面积的2√2 倍，所以平面图形ABCD的面积S=2√2S= 2 22×32=3.故选D.] 图1 图2 62