假期作业9 平面向量的应用-【创新大课堂·暑假作业】2025-2026学年高一数学快乐假期讲练测

参考答 假期作业八 考点集训 1.C[△ABC中，AB=3,BC=4,∠B=60°，AB与 BC的夹角为角B的补角，则AB·BC=|AB |BC|cos(AB,BC)=AB·BC·cos120°=-6. 故选C.] 2.B[因为a=(1,3),b=(-2,x),又a∥b,所以 x=-6,故b·(a十c)=(-2,-6)·(7,-3) -14+18=4.故选B.] 3.3a-b2g2 D MC 3 [由已知 可得MN=MD+DA+ AN=2专Ci-Ai+号A店 =名A店-A0+2A店=子A店-A0=3a-b: BC-BA+AD+DC--AB+AD+AB- 一号AB+A心=-号a+,因为尔1BC,所以 M.Bc=(3a-o)·(-号a+b)=-号a2+ a·b-8=0,所以a·b=号a2十62，所以 o2DAB86=ab6+a尖 2当收沿-合即1a=11时， 3 2 等号成立，所以∠DAB余孩值的最小值为2区 31 故茶余为：0b:2] [方法技巧]平面向量角的范围、最值问题求解 策略： ①利用三角函数求范围、最值. ②利用基本不等式求范围、最值. ③建立坐标系，设变量构造函数求范围、最值. ④数形结合，应用图形的几何性质求范围、最值， 4.√13[由(2a-3b)·(2a+b)=61,得4a2-3b2 -4a·b=61,而a|=4,|b|=3,则4×42-3× 32-4a·b=61,解得a·b=-6,所以|a十b|= √a2+b2+2a·b=√42+32-2X6=√/13.故 答案为√13.] 5.A[a⊥b,故2(m十1)-m=0,解得m=-2,所 以a=(2,一2)，则a在c方向上的投影向量为 倍后-1.g-(信 √5 选A.] 6.2[由向量a,b的模相等且夹角为60°，得a·b =ao60=la2,由向量a与向受0 a垂直，得a…(b-a)=a·b-a2=号2a2 a2=0,而a>0,所以入=2.故答案为：2.] 5 案与详解 ,真题尝试 D[因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所 以b2-4a·b=0即4十x2-4x=0,故x=2.故 选D.」 大题综合 解(1)因为a⊥b,所以a·b=0,则1×6十3.x =0,解得x=-2, 故b=(6,-2),2a-3b=2(1,3)-3(6,-2)=(2,6) -(18,-6)=(-16,12). (2)因为a∥b,所以x=3×6=18,则b=(6,18), |b|=√62+182=6√10. (3)a+b=(1,3)+(6,x)=(7,3+x),b-c=(6, x)-(1,-1)=(5,x+1), 若a+b与b一c共线，则5×(3十x)=7×(x十 1),解得x=4,即b=(6,4), 故a·b=1×6+3×4=18. 典题典例 D[以A为坐标原点，AB, AD所在直线分别为x,y轴， D 建立平面直角坐标系，如图 所示， 则A(0,0),B(4,0),C(4,4), D(0,4),P(4入，0)， 因为PC=(4-4入，4)，DP= (41,-4),(入>0)， 所以PC·DP=4(4-4)-16=-162+16A- 16=-16-2) -12, 所以当A=号时，P,D币取得最大值-12.故 选D.] 对点精练 1.D[边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中 点，故EA=EB=1,EA·EC=EA·(EB+BC) =EA·EB+EA·BC=|EA|·|EB|cOSπ+ EA1·BCleos-=1X1×(-1)+0=-1.故 选D.] 2.C[设AP与AB的夹角为0，所以AP·AB= AP AB|cos 0=20 AP cos 0, 因为|AP|cos0表示AP在AB方向上的投影， 当点P与点F重合时，|AP cos0最小， 此时9=120,201Ac0s0=20×20×(-2） -200, 所以AP·AB的最小值是一200.故选C.] 假期作业九 考点集训 1.A[如图：设OA与BC交 于点D,由OA+AB+AC B =0可得AB+AC=AO 可得四边形OBAC是平行 四边形，因为OB=OC=2 可得四边形OBAC是菱 形，且OA=OB=2, 所以AD=OD=1,BD= DC=√3， 9 高一数学每日 由图知：PB=PD十DB,PC=PD+DC,DB= -DC, 所以PB·PC=(PD+DB)(PD-DB)= 1PD12-|BD12=|PD12-3, 同理：PA=PD+DA,PO=PD+DO,DA -DO, 所以PA·PO=(PD-DO)(PD+DO)= |PD2-|DO2=|PD|2-1, 可得PA·PO+PB·PC=2PD12-4, 所以点P是圆内一点，所以0≤|PD|<3,所以 -4≤2|PD12-4<14, 即PA·PO+PB·PC的取值范围为[-4,14). 故选A.] [方法技巧]平面向量解决几何最值问题，通常 有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为 平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平 面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转 化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集， 方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的 有关知识进行求解， 2.C[由题意得，F3=-(F1十F2), 所以F3|=|-(F1+F2)|=F+F2)2= √F2+2F·F+F2=1+2+2=5N.故 选C.] 3.B[由余弦定理得4c2十a2=b2=a2+c2 2 accos B,化简得3c2=-2 accos B>0,故cosB <0,从而△ABC的形状为钝角三角形.故选B.] 1B[由=B可得：2 b 2 sinA,所以 2 sinA=又b>a,所以A=吾，结合内角和定 理，所以C= 受故选B] 5.B[由anA2-S,得ctan A=(2b-c)tanC, 'tan Cc 整理得ccos Csin A=(2b-c)sin Ccos A,由正弦 定理得sin Ccos Csin A=(2sinB-sinC)sinC cos A,sin C(sin Acos C+cos Asin C)=2sin B sin Ccos A,则sin Csin(A+C)-2 sin Bsin Ccos A,则 sin Csin B=2sin Bsin Ccos A. 因为C∈(0，π)，B∈(0，π)，所以sinC≠0，sinB ≠0，所以c0sA= 由于A∈(0，x),所以A=否.且a=2X2 Xsin A =23. S2g=×2X2后=吉n吾-气，得c =8, 0 6 练·练出好成绩 由余孩定理得a2=2+c2-2bcos号，即12= b2+c2-8,因此b2+c2=20,则(b+c)2=b2+c2 +2bc=20+16=36,所以b+c=6.故选B.] 6.B[由题意，在△BCD中，∠CBD=180°-75° 45=60,由正弦定理可知，30 BC 30 sin 60 sin 45 2 =BCBC=106.在△ABC中，易知AB1 ② 2 BC,∠ACB=60°，于是AB=BC×tan60°= 10W6X√3=30√2≈42.42.故选B.] 真题尝试 解(1)由余弦定理有a2十b2-c2=2 abcos C,对 比已知a2+b2-c2=√2ab, 可得cosC=Q2+2-c2-2b-2 2ab 2ab 2 因为C∈(0，π)，所以sinC>0, 从而mc-1-C-(T-号 又周为inC=万c0sB,即cosB= 注意到B∈(0，π)， 所以B=交 31 (2)由1)可得B=号e0sC=号，C∈0，x.从 2 场mA=假)-(+)-号×+9 212 ×名6+ 4 由正弦定理有a b sinsin至 sin 12 从而a-2i6号反-。 4 2c, 由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示 为s6c=nC=台，9·号 2 2 =3+52,由已知△ABC的面积为3十V3,可得 8 3+52=3+5,所以c=22. 8 大题综合 解(1)设BC=CD=x>0, 在△ABC中据余弦定理，得AC2=36十x2-2X 6.ccos B=28,即x2+8=12.ccos B,① 又在△ACD中据余弦定理，得AC2=4十x2-2 ×2.xcos D=28,即x2-24=4.ccos D,② 因为B十D=π， 则cosD=cos(π-B)=-cosB, 联立①@可得x=4,c0sB=合，因为B∈(0，x, 所以B=工 3 参考答案与详解 (2)在△PBC中，由正弦定理知，sin∠BPC BC (2)由()可知A=吾，所以nA=立 =PC sin B' 因为cosB=2V 1 3 2,所以sinB=3, 4X3 所以sinA。 所以sin∠BPC=BCsin B-.X三-1， sinB方=2，由a+b=5, a PC 2√3 所以a=3,b=2 所以sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B 且0<∠BPC<x,故∠BPC=受， 22+5 在直角三角形△PBC中，由勾股定理知，PB= 6 √BC2-PC2-2, 此时PA=AB-PB=4. 所以Sac=absin C=2E+ 2 典题典例 :2.解(1)由已知及正弦定理得sin Acos B十sinB sin A=sin C, 解(1)，AC⊥AD,AE=3,DE=5 、 .sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B .AD=√DE2-AE2=4,sin∠ADE= 3 5 '.sin Bsin A=cos Asin B, ,sinB≠0，.sinA=cosA,.tanA=1, SAAND=-号X DAX DBX sin∠ADB=2XLX8 A∈(0，元)，A= 4 (2).S△ABC= 2besin A-hc21 4 2 (2)AE=EB,∠AED=∠EAB+∠EBA, ∴.bc=2-√2， sin∠AED= 合则as∠AD-( 又，a2=b2+c2-2 bccos A,.2=(b+c)2-(2+ 3 √2)bc, .(b+c)2=4,∴.b+c=2. ∴.∠AED=2∠BAC, 假期作业十 cos∠AED=1-2sin2∠BAC=3 考点集训 :1.D[因为之=1十ai,|x=3,所以√12十a2=3,解 :∠BAC∈(O,) 得a=±2√2，因为a>0,所以a=2√2.故选D.] sin∠BAC-5.eos∠BAC=1-sinBAC 2.B[根据题意可设之=a十bi,a,b∈R,则z=a- bi,a,b∈R,所以由之-3i=x可得a-bi-3i=a+ =26 1,所以-6-3=6，解得=-是，即复数x的虚 , 又∠CBD=∠ABD=∠BAC,在△BCE中， 部为一子故选B] ∠CBE+∠BEC+∠BCE=π !3.A[因为x1=12-3i,之2=-9+i,所以x1十22 sin∠BCE=sin(∠CBE+∠BEC) =3-2i,其实部与虚部分别为3，一2.故选A.] =sin∠CBEcos.∠BEC+cos∠CBEsin∠BEC= :4.D[因为+2=9+2)3+4=-5+10i- 5×3+25×4=11W5 3-4i(3-4i)(3+4i)25 5 5525 EC BE 吉+，所以虚部为号放选D.] 由正弦定理可知'sin/CBE -sin∠BCE [方法技巧]复数乘法、除法运算的解题策略 (1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四 ∴EC-BE·sin∠CBE 3X⑤ 则运算，可将含有虚数单位ⅰ的看作一类同类 515 项，不含ⅰ的看作另一类同类项，分别合并即可， sin∠BCE 115 11 (2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以 25 分母的共轭复数，解题时要注意把ⅰ的幂写成最 对点精练 简形式， 1.解(1)由sin2A-sin2B=sin2C-√3 sin Bsin C5.ACD[对于选项A,z1·x2=(a+bi)(2-3i)= 及正弦定理， (2a十3b)+(2b-3a)i,因为1·之2为实数，所以 可得a2-b2=c2-√5bc,故3bc=c2+b2-a2, 2b-3a=0,所以点P(a,b)在直线3.x-2y=0 2+62-a2bc 上，所以A正确；对于选项B,因为2=2一3i,所 由余弦定理，可得cosA= 1 2bc 2bc -后十器所以的共能双 以1 之2 2 数为品一器所以=一音所以B错误：对子这 3 由于A∈(0，π)，故A= 项C,因为1，z2对应的点分别为M(a,b),N(2, 6 -3), 61第一部分假期作业九平面向量的应用 假期作业九平面向量的应用 【日品好题】请重点关注第5题，该题是典型的利用余弦定理和正弦定理解三角形问题，是 高考常考题型！ 十十十十十十十”十”十十十十十十…十十 …0考点集川0 考点六高度（距离）测量问题 6.如图，测量河对岸的塔高 考点一向量在平面几何中应用 AB时，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测 1.半径为2的圆O上有三点A、B、C满足OA 量基点C与D.现测得 十AB十AC=0,点P是圆内一点，则PA· ∠BCD=75°，∠BDC= B PO+PB·PC的取值范围为 45°，CD=30米，在点C测 ( 得塔顶A的仰角∠ACB= A.[-4,14) B.(-4,14] 60°，则塔高AB约为（单位：米，√2≈1.414） C.[-4,4) D.(-4,4] 考点二向量在物理中的应用 A.30.42 B.42.42 C.50.42 D.60.42 2.平面上三个力F,F2,F作用于一点且处于 …0易错清零0… 平衡状态，1F1I=1N,1F21=2N,F1与F2 易错点 解三角形时忽视对三角形解的个 的夹角为45°，则|F3的大小为 ( 数的讨论 A.√3NB.5N C.√5N D.√6N 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为 考点三余弦定理 Qbc,A=号b=3.下面可使得△ABC有两 3.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a, 组解的a的值为 b,c,且满足4c2十a2=b2,则△ABC的形 A.3③ 2 B.3 C.4 D.e 状为 ( [易错警示]学会数形结合法辅助分析：通 A.直角三角形 B.钝角三角形 过几何作图直观判断解的个数：以已知角A C.锐角三角形 D.等腰三角形 的邻边b为固定边，对边a为半径画弧.若角 考点四 正弦定理 A为锐角，当a<bsin A时无交点（无解），a =bsin A时切于-点(-解)，a>bsin A且a 4.在△ABC中a=2,B=5b=25,则∠C= <b时交于两点（两解），a≥b时交于一点( 解).若角A为直角或钝角，当a≤b时无解， α>b时仅有一解.此方法结合图形与代数条 A B号 件，简化分类过程. 尝试选择 C若或号 D.5或8 解析 由正弦定理可得A二曲B要使 b 考点五余弦定理、正弦定理综合应用 得△ABC有两组解，则角B有两种情况，结 合三角形内角和为π易知A<B,则a<b,所 5.已知△ABC中，角A,B,C的对边分别是a, b,c,且anA=26-S,△ABC的外接圆半径 以bsin A-asin B<a<b,又A=号，b=3,故 tan C 为，BC边上的高为2，则b+c= ( 3B<a<3.故选D. 2 A.5 B.6 C.8 D.9 答案D 21 高一数学每日一练·练出好成绩 o真题尝试0… o典题典例 (2024·全国新高考I卷)记△ABC的内角 题点 三角形的面积 A、B、C的对边分别为a,b,c,已知sinC= [例] 如图，平面四边形AB 2cos B,a2+62-c2=2ab, CD中，对角线AC与BD相 (1)求B; 交于点E,∠ABD= (2)若△ABC的面积为3十√3，求c. ∠CBD,AC⊥AD,AE=EB =3,DE=5. (1)求△ADB的面积； (2)求sin∠BAC的值及EC的长度， [思维路径](1)根据勾股定理可得AD= 4,结合sin∠ADE= 号再根据面积公式求解 即可； (2)根据等腰三角形性质可得∠AED= 2∠BAC,再用同角三角函数的关系与二倍角 0大题综合0… 如图，四边形ABCD的内 公式可得n∠BAC-,然后根据n∠BCE 角B十D=元，AB=6,DA =sin(∠CBE十∠BEC),利用两角和的正弦 =2,BC=CD,且AC= 公式求解，由正弦定理求解EC即可， 27. (1)求B; (2)若点P是线段AB上的 一点，PC=25,求PA 的值 [知识拓展]与三角形面积有关问题的解 题策略： (1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三 角形的相关边、角之后，直接求三角形的 面积； (2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余 弦定理结合求出三角形的其他量， 22 第一部分假期作业九 平面向量的应用 o对点精练0… :2.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、 b、c,且acos B+bsin A=c. 1.在△ABC中，角A,B,C对应的边分别为a, (1)求角A的大小； b,c. sin2A-sin2 B=sin2C-3sin Bsin C. (2)若a=区，△ABC的而积为2，求b叶 (1)求角A; c的值. 2)若cosB=22,a+6=5,求△ABC的 面积. 23