假期作业8 平面向量的数量积-【创新大课堂·暑假作业】2025-2026学年高一数学快乐假期讲练测

参考答 假期作业八 考点集训 1.C[△ABC中，AB=3,BC=4,∠B=60°，AB与 BC的夹角为角B的补角，则AB·BC=|AB |BC|cos(AB,BC)=AB·BC·cos120°=-6. 故选C.] 2.B[因为a=(1,3),b=(-2,x),又a∥b,所以 x=-6,故b·(a十c)=(-2,-6)·(7,-3) -14+18=4.故选B.] 3.3a-b2g2 D MC 3 [由已知 可得MN=MD+DA+ AN=2专Ci-Ai+号A店 =名A店-A0+2A店=子A店-A0=3a-b: BC-BA+AD+DC--AB+AD+AB- 一号AB+A心=-号a+,因为尔1BC,所以 M.Bc=(3a-o)·(-号a+b)=-号a2+ a·b-8=0,所以a·b=号a2十62，所以 o2DAB86=ab6+a尖 2当收沿-合即1a=11时， 3 2 等号成立，所以∠DAB余孩值的最小值为2区 31 故茶余为：0b:2] [方法技巧]平面向量角的范围、最值问题求解 策略： ①利用三角函数求范围、最值. ②利用基本不等式求范围、最值. ③建立坐标系，设变量构造函数求范围、最值. ④数形结合，应用图形的几何性质求范围、最值， 4.√13[由(2a-3b)·(2a+b)=61,得4a2-3b2 -4a·b=61,而a|=4,|b|=3,则4×42-3× 32-4a·b=61,解得a·b=-6,所以|a十b|= √a2+b2+2a·b=√42+32-2X6=√/13.故 答案为√13.] 5.A[a⊥b,故2(m十1)-m=0,解得m=-2,所 以a=(2,一2)，则a在c方向上的投影向量为 倍后-1.g-(信 √5 选A.] 6.2[由向量a,b的模相等且夹角为60°，得a·b =ao60=la2,由向量a与向受0 a垂直，得a…(b-a)=a·b-a2=号2a2 a2=0,而a>0,所以入=2.故答案为：2.] 5 案与详解 ,真题尝试 D[因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所 以b2-4a·b=0即4十x2-4x=0,故x=2.故 选D.」 大题综合 解(1)因为a⊥b,所以a·b=0,则1×6十3.x =0,解得x=-2, 故b=(6,-2),2a-3b=2(1,3)-3(6,-2)=(2,6) -(18,-6)=(-16,12). (2)因为a∥b,所以x=3×6=18,则b=(6,18), |b|=√62+182=6√10. (3)a+b=(1,3)+(6,x)=(7,3+x),b-c=(6, x)-(1,-1)=(5,x+1), 若a+b与b一c共线，则5×(3十x)=7×(x十 1),解得x=4,即b=(6,4), 故a·b=1×6+3×4=18. 典题典例 D[以A为坐标原点，AB, AD所在直线分别为x,y轴， D 建立平面直角坐标系，如图 所示， 则A(0,0),B(4,0),C(4,4), D(0,4),P(4入，0)， 因为PC=(4-4入，4)，DP= (41,-4),(入>0)， 所以PC·DP=4(4-4)-16=-162+16A- 16=-16-2) -12, 所以当A=号时，P,D币取得最大值-12.故 选D.] 对点精练 1.D[边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中 点，故EA=EB=1,EA·EC=EA·(EB+BC) =EA·EB+EA·BC=|EA|·|EB|cOSπ+ EA1·BCleos-=1X1×(-1)+0=-1.故 选D.] 2.C[设AP与AB的夹角为0，所以AP·AB= AP AB|cos 0=20 AP cos 0, 因为|AP|cos0表示AP在AB方向上的投影， 当点P与点F重合时，|AP cos0最小， 此时9=120,201Ac0s0=20×20×(-2） -200, 所以AP·AB的最小值是一200.故选C.] 假期作业九 考点集训 1.A[如图：设OA与BC交 于点D,由OA+AB+AC B =0可得AB+AC=AO 可得四边形OBAC是平行 四边形，因为OB=OC=2 可得四边形OBAC是菱 形，且OA=OB=2, 所以AD=OD=1,BD= DC=√3， 9第一部分假期作业八平面向量的数量积 假期作业八平面向量的数量积 【日品好题】请重点关注第6题，该题是已知向量垂直求参数，是高考常考题型 十一十”十十 十十十十”十十十十十 …0考点集川0… …O易错清零0… 考点一数量积的定义 易错点a与b的夹角为钝角（锐角）的充要 1.在△ABC中，AB=3,BC=4,∠B=60°，则 条件出错 AB·BC= ( ) 已知a=(x,2x),b=(-3.x,2),如果a与b的 A.12 B.6 C.-6 D.-12 夹角为钝角，则x的取值范围是 考点二 数量积的坐标运算 [易错警示]正确理解a与b的夹角为钝角 2.已知向量a=(1,3),b=(-2,x),c=(-x,x), (锐角)的充要条件：向量a,b为非零向量，向 若a∥b,则b·(a十c)= ( 量a与b的夹角为0，则〈a,b〉为锐角台a·b A.-22 B.4 C.14 D.32 x1x2十y1y2>0, >0且a与b不共线台 考点三求向量的夹角 x1y2一x2y1≠0； 3.在梯形ABCD中，AB∥CD,且AB=3CD, b〉为钝角台a·b<0且a与b不共线 M,N分别为线段DC和AB的中点，若AB x1x2十y1y2<0, =a,AD=b,用a,b表示MN= x1y2一x2y1≠0. 若MN⊥BC,则∠DAB余弦值的最小值为 尝试解答 解析 向量a与b的夹角为钝角，则a·b= 考点四 求向量的模 32+4r<0.解得x<0或>号：又向量 4.已知a=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)= a与b不共线，所以2x十6.x2≠0，解得x≠ 61.则a十b|= 考点五求投影向量 且x≠0；故所求x的取值范围是(-∞， 5.已知向量a=(2,m),b=(m十1，-1)，且a⊥ )U(-号0)U(学+∞)故答案为： b,若c=(2,1),则a在c方向上的投影向量 的坐标是 -0,-3U(-30u(g+∞) A(传) B(分-2) 答案（-∞，-3)U(-30)U(侍+ c(-) n() 0真题尝试0 考点六向量垂直 (2024·全国新高考I卷)已知向量a=(0,1), 6.已知向量a,b的模相等且夹角为60°，若向量 b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= a与向量b一a垂直，则实数入= A.-2 B.-1 C.1 D.2 19 高一数学每日一练·练出好成绩 ●● (3)若向量c=(1,一1)，若a十b与b-c共 大题综合0 线，求a·b 已知平面向量a=(1,3),b=(6,x). (1)若a⊥b,求2a-3b的值； …0典题典例0… 题点 平面向量数量积 [例]已知正方形ABCD的边长为4，点P满 足AP=入AB(入>0)，则PC·DP的最大值为 A.-16 B.0 C.12 D.-12 [思维路径]本题是数量积的坐标表示、向 量与几何最值问题，建立直角坐标系，根据 (2)若a∥b,求|b1的值； 向量的坐标运算即可求解 汇知识拓展]计算平面向量数量积的主要 方法 (1)利用定义：a·b=|a|bcos(a,b>. (2)利用坐标运算，若a=（x1,y1),b=(x2, y2),则a·b=x1x2十y1y2. (3)灵活运用平面向量数量积的常用结论. …0对点精练0… 1.在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的 中点，则EA.EC ( A.2 B.-2 C.1 D.-1 2.《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古 老经典，其中有一种几何图形与正六边形相 关.假设正六边形ABCDEF代表六种不同 的卦象元素，边长为20，点P是正六边形边 ABCDEF内部（包括边界）上的动点，则AP· AB的最小值是 ( A.-400B.-100C.-200D.100 20