假期作业6 三角恒等变换、函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象与性质-【创新大课堂·暑假作业】2025-2026学年高一数学快乐假期讲练测

高一数学每日一练·练出好成绩 假期作业六三角恒等变换、函数f(x)=Asin(ωx十p) 的图象与性质 【日品好题】 请重点关注第5题，该题考查函数f(x)=Asin(wx十p)的性质，注意利用整体 思想求解， o考点集训 (3)当x[,]时，不等式1f(x)-m<3 考点一 和角公式 恒成立，求实数m的取值范围. 1.已知iana=-23,则ian(a+）)=( A._ 3√3 3√3 D. 3√3 7 B.3 7 5 考点二 差角公式 2.sin50°+sin70° sin80° A.2√3 B.√3 C.2 D.1 考点三 倍角公式 3.已知cos(a- 3sin a=- 专则sn2a +)= ( A品 24 25 D.- 25 考点四函数f(x)=Asin(owx十p)的图象 考点六函数f(x)=Asin(wx十p)的应用 4.（多选)已知函数f(x)= 6.已知某摩天轮的最高点到地面的距离为 Asin(ax+)(A>0,w>0, 160,摩天轮启动后按逆时针方向匀速转 0<φ<π)的部分图象如图所 动，直径为140m,每30分钟转动一圈.若从 示，则 ( 最低点开始计时，则摩天轮运行5分钟后离 A.函数f(x)的最小正周期 3 地面的高度为 () 是2 A.35mB.45m C.55m D.65m B.w=1 …0易错清零0… Ce=号 易错点 不能正确理解三角函数图象的变 D,函数y=f(x)的图象向右平移。个单位 换规律 得到一个偶函数的图象 (多速)为了得到函数)=sin(2x一)的 考点五函数f(x)=Asin(wx十p)的性质 图象，只需把正弦曲线上所有的点() 5.已知函数f(x)=2 sin xcos x-2√3cos2x+ A.先向右平移2x个单位长度，再将横坐标缩 3 √3，x∈R. (1)求(x)的最小正周期； 短到原来的号，纵坐标不变 (2)若h(x)=f(x+)的图象关于点(- B.先向右平移个单位长度，再将横坐标伸 对称，且t∈(0，π)，求t的值； 长到原来的2倍，纵坐标不变 14 ● 第一部分假期作业六三角恒等变换、函数f(x)=Asin(wx十o)的图象与性质 C.先将横坐标缩短到原来的？，纵坐标不 …0大题综合0 变，再向右平移5个单位长度 已知函数f(x)=sin(aw.x+p)w>0,p< D.先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不： )的部分图象如图所示 变，再向右平移个单位长度 (1)求f(x)的解 [易错警示]函数y=Asin(wx十p)十k(A> 析式； 0,w>0)中，参数A,w,9,k的变化引起图象 (2)将f(x)的图象向 5π 的变换： 右平移答个单位长 12 (1)A的变化引起图象中振幅的变换，即纵 向伸缩变换. 度，得到函数y= (2)ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩 g(x)的图象，求 变换 gx)在区间[0，】 (3)如的变化引起左右平移变换，k的变化引 上的最大值和最小值； 起上下平移变换 图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”. (3)若函数y=fx)-在区间[-否，]上 【注意】(1)平移变换和伸缩变换都是针对： 有且仅有一个零点，求实数k的取值范围. x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于： wx加减多少值； (2)余弦型、正切型函数的图象变换过程与 正弦型函数的图象变换过程相同. 尝试选择 解析正弦曲线y=sinx先向右平移2π个 单位长度，得到函数=sim(红一)的图象， 再将所有点的横坐标缩短到原来的2纵坐 标不变，得到函数f(x)=sin(2z一2)的图 象，故A正确，B错误；先将正弦曲线y=six 上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标 不变，得到函数y=sin2x的图象，再向右平 移5个单位长度，得到函数f(x)=sin(2x 到的因象，故C正确，D错送故选AC 答案AC …0真题尝试0 (多选)(2024·全国新高考Ⅱ卷)对于函数 f()=sin2x和g(r)=sin(2r-平)，下列 说法中正确的有 ( A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 15 高一数学每日一练·练出好成绩 。典题典例 汇知识拓展]将三角函数y=f(x)化为 f(x)=Asin(w.x十p)十m的步骤 题点 辅助角公式将三角函数y=f(x)化为 (1)将sin xcos x运用二倍角公式化为 f(x)=Asin(wx+o)+m [例门给出以下三个条件：①直线x=x1,x 2sin2x,对sin2x,cos2x运用降幂公式， x2是函数f(x)图象的任意两条对称轴，且 sin(x士a),cos(x士a)运用两角和与差的公 d-x的最小值为卒：@f(-)=0: 式展开 (2)将(1)中得到的式子利用asin a十bcos a ③对任意的x∈R.fx)≤f() Ja2+b·sin(a十o)化为f(.x)=Asin(x+p) 请从这三个条件中任选一个将下面的题目 十m的形式. 补充完整，并求解。 …0对点精练0… 已知函数f(x)=sin wx·cosw.x十√5cos2w.x 1.已知函数f(x)=sin xcos x+cosx十cos2x, 90 x∈R, (1)求f(x)的最小正周期； (1)求f(x)的表达式； (2)函数f(x)最大值； (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位 (3)求f(x)的单调增区间. 后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为： 原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的 图象，若关于x的方程g(x)一k=0在区间 [0,]上有且只有一个实数解，求实数的 取值范围 [思维路径]本题考查根据函数零点的个 数求参数范围、求图象变化前（后）的解析 式、三角恒等变换的化简问题. (1)先进行三角恒等变换求出f(x)= sin(2wx+）,再分别选三个条件，结合正弦 函数的性质，分别求解，即可得出函数解 析式. (2)首先根据三角函数的变化规律得到g(r)2.已知f(x)=cos2x一sim2x+23 sin acos 的解析式，再由正弦函数的性质求出g(x)在 十1，求： (1)(x)的最小正周期及单调递增区间： 区间[0，]上的单调性，求出区间端点函数 (2)x∈[-君，引时，)-3≥m恒成立， 值，依题意函数y=g(x)的图像与y=k在区 求实数m的范围. 间[0，]上有且只有一个交点，即可求出参 数的取值范围. 16参考答案 =(-sina)·(-cosa)· -cos2a=- 16 =-sina·cosa· tan a 251 典题典例 D[第一步：根据题中信息，得出tana 因为角a的终边过点P(一1,2)， 所以tana=二2=-2， 1 第二步：利用同角三角函数的商数关系将齐次式： 转化为只含tana的分式 所以3sina十cose_3tana+1 2sin a-cos a 2tan a-1' 第三步：代入tana的值求出结果 3ame+1-二-1.故选D.] 2tana-1--4-1 对点精练 1.A[因为2sina-cosa=1,且sin2a十cos2a=1, sin a= 4 解得 或{sina=0 cos a= 3 (c0sa=-1, .4 sin a= 5 又α∈(0，π)，所以 ,所以tana= 4 3 cos a= 1 所以 sin2a+cos2a ,4 4sin acos a-cos2a 4sin acos a-cos a tan2a十1-=2.故选A.] 4tan a-1 39 2.-2 [由已知sin0(cos0-sin0)=sin0cos0 sin20= sin Ocos 0-sin20 tan 0-tan202-22 sin20+cos20 tan20+1 22+1 =一 昌.故答案为： 2 假期作业六 考点集训 1.B[因为tana=-25,则tan(a+5) tana+√3 -2W3+√5_-W 1-tan aX√51+2√3×√3 7 .故选B.] 2.Bsin50+sin70°_sin(60-10)+sin(60°+10) sin 80 sin(90°-10) =sin60'cos10°-cos60sin10°+sin60cos10°+cos60'sin10 cos 10% =2sin60°=√3.故选B.] 3.C[解法一 由题意得：cos(a-）-5sina 1 一十令五x一3s五x 所以sin(a+）=sim(2a+-) =-cs(2a+)=-2os(a+5)-刂 Γ259 0 55 与详解 解法二 由题意得：cos(a-) -√3sina 0sa+ 1 2 sin a-3sin a 2cos a- sina=-sim(a-）=-号 所以sin(e-)=专， 则sim(2a+若）=sin[2(a-)+] =cos2(e-吾）=1-2sim2(e-吾）=-品故 选C. [方法技巧]三角函数求值的类型及方法 (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角， 从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定 关系.解题时，要利用观察得到的关系，结合三角 函数公式转化为特殊角的三角函数. (2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另 外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”， 使其角相同或具有某种关系. (3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关 键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示， 由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角， 有时要压缩角的取值范围， ACD[A.由图可知A=2,最小正周期T=2X (侍一)=2，A正确：B.由T=2,得语=2，故0 =x,B错误：C.将点（告0）代入fx)=2sin(x 十p)中，得()=2sim(告x+)=0, 六专r十g=kxh∈Z),即g=-专x+kx(k∈Z), 4 0<g<r,.9= 3,C正确： D.由题感得)=2sin(x+号： y=f(x)的图象向右平移】个单位，所得函教解 6 新式为g()=2si(一司)+号 =2sin(x +2)-2cos xt, 由函数g(x)定义域为R,g(-x)=2cos(-πx) =2cos(πx)=g(x)得g(x)为偶函数，D正确.故 选ACD.] 解(1)因为f(x)=sin2x-√3cos2.a=2(2sin2x -cos2x）=2sin(2x-5）, 故f(x)的最小正周期为T=2经=元。 (2)由1)知h(x)=2sin(2x+24-3） 由题令2×(-若)+2-5=xk∈Z), 得1=经+晋∈Z. 3 又t(0,x),故t=父或t=5x 61 高一数学每日 (3)当x∈[，]时，2x-∈|]，所以 f(.x)∈[1,2]， 又|f(x)-m|<3恒成立，即f(x)-3<m f(x)十3恒成立， 所以2-3<m<1十3，即-1<m<4,故实数m 的取值范围是(-1,4). 6.C[由题意可设距离地面 的高度h与时间t所满足 的三角函数关系式为：h Asin(wt+p)+B,因为摩 天轮的直径为140m,可 知A=70,又因为摩天轮 的最高点到地面的距离为 160m,可知A+B=160→ B=90, 由每30分钟转动一周，可知T=2红=30→0 需，由于从最候点开始计时，即当1=0时，= 70sin(需×0+9)+90=20→sin9=-1→g- 所以有h=70sin(需1-罗)十90，则当1=5时， 有h=70sin(无×5-)+90=70sim(-若)十 90=-35+90=55(m).故选C.] 真题尝试 BC[A选项，令f)=in2x=0,解得x经 k∈Z,即为f(x)零点，令g(x)=in(2x-王）= 0,解得=经+晋k∈乙，即为g(x)本点，显然 f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然 f(x)max=g（x)max=1,B选项正确；C选项，根 据周期公式，fx),g(x)的周期均为2=元，C选 项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对 称轴满足2x=x+受-经+子k∈Z,g 的对称轴满足2红-至=红十子台x=经+要， 2 81 k∈Z,显然f(x),g(x)图象的对称轴不同，D选 项错误.故选BC.] 大题综合 解0由随设号-弘-登-是专则w=3, 故f(x)=sin(3.x十p), 由f()=sin(至+9)=1，则年+g=至+2x, k∈Z,即p=+2k,k∈乙， 又g<受，则9=至，故f(x)=sin(3+): (2)由题意g(x)=f(-石)-sim[3(x-)十 ]=sin(3x-） 5 练·练出好成绩 x0,】则3a-∈【-至，]，则gx) 号 所以g)的淡小值，最大值分别为号，： (3)x[-,]则=3x+至∈[-平， 由y=sint在t[-平，受)上单调递增，对应值 装为-91)： 在1（受上单调递减，对应位城为[0,1）： 函数y=f()-k在区间[-若，]上有且仅有 一个零点， 即k=f(x)在[-百，]上只有-个解，故k∈ 【-9oU1. 典题典例 解(1)f(.x)=sinw.x·cos wx十V3cos2w.x in con ursin). (1)若选条件①，直线x=x1,x=x2是函数f(x) 图象的任意两条对称轴， 且-x2的最小值为至，则T=2×至=吾 爱解得a=2,则f)=5红+) 若选条件@，则f(-)=sm(-吾+）=0， 则一不 十号=，eZ 因此w=2一6k,k∈Z.又0<ω<3，所以w=2,则 fx)=sin(4z+）: 若选条件@，对任意的x∈R,f(x)≤f() 则有登十行-登+6，kE乙.解得=2十12， k∈Z, 又0<w<3,所以w=2,则fx)=sin(4x+号）： (2)将函数f()的国象向右平移零个单位，得到 y=sin4x-受+）=sim(x-若）的图象， 再将y=sin虹-看）的图象上各点的横坐标伸 长为原来的2倍， 纵坐标不变，得到gx)=sin(2x-)图象. 由-受+2x≤2x-晋≤登+2m,k∈Z,件-晋 十x≤x≤智+6x,k∈Z 参考答案与详解 函数g(x)=sin(2x-否)的单调递增区间为 可得kπ一 ≤x≤kπ十，k∈Z, 3 “离数的单调递增区间为[kx一于kx十看] 又x∈[0，]，所以函数g(x)=sin(2x-)在 k∈Z. 2rxe【吾]=2x+晋e-吾，] [,]上单调递增，在x[,]上单调递减： .y=sin t 周为g0)=合8()=i,s(）= [一晋）上单调递啦，在（受·】 因为关于x的方程g(x)一k=0在区间 [0,]上有且只有一个实数解， (sini)am=-合，即sin(2z+吾川n 、 2 ·当2x+答 若即x=-fxnm=-X2 +1=0, 要使f(x)-3≥m恒成立，则f(x)min≥m十3，即 0≥m十3，可得m≤-3， 故实数m的范围是（一∞，一3]. 假期作业七 考点集训 1.CD[选项A,由于单位向量长度相等，但是方向 不确定，故A错误；选项B,由于只有方向，没有 所以函数g(x)=sin2x- )的图象与直线y 大小，故x轴，y轴不是向量，故B错误；选项C, 由于向量起点相同，但长度不相等，所以终，点不 k在区间[0，]上有且只有一个交点， 同，C正确；选项D,海拔、温度、角度只有大小，没 有方向，故不是向量，D正确.故选CD.] <k<2或k=1. 则一之 2.B[对于A,-(CB十MC)-(DA+BM)= -(CB+MC+DA+BM) 对点精练 1.解(1)由题f(x)=sin xcos x+cos2x --(CB+BM+MC+DA)=-DA-AD.*A 合n2x十5os2z+号 正确；对于B,-BM-DA十MB=MB-DA十 MB=AD十2MB,故B错误；对于C,(AB-DC) 停m2r-号w2+-号ne -CB=AB-DC-CB=AB十BC+CD=AD,故 C正确；对于D,AD-(CD十DC)=AD一0= )+ AD,故D正确.故选B.] :3.C[4a+3b+2(a-b)=4a+3b+2a-2b=6a+ 所以函数f(x)的最小正周期为T==元 :b.故选C.] 2 !4.A[如图所示，在△ABC中， (2周为-号n2x+》+子∈R, 因为AD为BC边上的中线， 所以D为BC的中点， 所以画数最大债为×1叶名1中但 所以由平行四边形法 2 2 则有： (3)令2x-登≤2x+至≤2x+号k∈Z得x Ai=号(A店+Ad, 又点E在AD上，且AE -F<x<kr+零，k∈Z, 2ED, 8 所以函数f(x)的单调增区间为 所以EA=一名AD. 3 [kx-誓x+]k∈Z 所以EB=EA十AB 2.解(1)f(x)=cos2x-sin2x+2√3 sin xcos x 号心+ +1=cos2x+5sin2x+1=2sin(2x+君）-1， =一 ×++店 f(x)的最小正周期T=2π=元， 2 = 号店-吉花+ 由-晋+2x≤2x+若≤受+2x,∈Z, 号店-号d.故选A] 57