假期作业3 函数的概念与性质-【创新大课堂·暑假作业】2025-2026学年高一数学快乐假期讲练测

●0 参考答 对点精练 1.C[因为不等式x2十a.x十1≥0对任意x∈0， ]恒成立，所以-a<-十上对任唐2 (0,号]位成立，设f)=x+(0<x≤号)由 对均函数的性质可知f()在(0，]上单调递 减，所以f(x)in= 川合)-+2则-a≤受 5 得a≥-号即a的取位范国是[-号十)故 选C.] 2.A[令2x+1=t,因为x∈[0,1]，则t∈[1,3]， 所以原不等式等价于，十2>a在1∈[1,3]上 2t 恒成立令02=(+号-小 2t 在t∈[1，√2]时单调递减，在t∈(W2,3)时单调递 增，所以当1=反时，f)mn=巨-是，若f)> a在t∈[1,3]上恒成立，则f(t)min>a,所以a< 厅-是故选A] 假期作业三 考点集训 1.A[在y=f(x+1)中，x∈[-1,3]，.x+1∈ [0,4],.f(x)的定义域是[0,4]，故在f(x2)中0 ≤x2≤4，解得一2≤x≤2，.f(x2)的定义域是 [-2,2].故选A.] 2.A[因为当0<x<2时， 个 f(x)单调递增，当x≥2时， f(x)单调递减，所以0< a<2,b≥2.由2a+a2=8- :x=2 20,得0=4-a一合2，所以 a-b=- 02+2a-4.合0< \y=fx) a2+2a≤4，得a∈(0,5 1小，国为y=42+20-4在(0w厅-1上单洞道 增，所以a-b∈（一4，√5-3].故选A.] 3.B[f(x-1)|<2→-2<f(x-1)<2,又 A(0,2),B(4,-2)是函数f(x)图象上两点，故 f(4)<f(x-1)<f(0),该函数是R上的减函 数，故0<x一1<4，解得1<x<5,即不等式解集 为(1,5).故选B.] D[当011时，f)=92:当1<≤2时， )=-92-:当≥2时，fe0=: 0e1 所以f(t)= 3-(2-)2,1<4≤2作出f0) 2 √3，t>2 的图象，如图， 0 5 案与详解 由图可知，函数f(t)在(0,2]上单调递增，所以当 t=2时f(t)取到最大值，为√，故D正确.故 选D. [方法技巧]函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性 求最值， (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高 点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备 “一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出 最值， 5.2-x-3×2x[,a=2时，f(x)的图象关于原，点 对称，故此时f(x)为奇函数， f(-x)=-f(x),即g(-x)十2·2x=-[g(x) +2·2x, ∴.g(x)+2+1+g(-x)+21-x=0①. ,a=4时，f(x)的图象关于y轴对称，故此时 f(x)为偶函数， ∴.f(-x)=f(x),即g(-x)十4·2x=g(x)十 4·22, .g(x)+2x+2-g(-x)-22-x=0②. ①②两式相加得，2g(x)+2x+1+2x+2十21-x 22-x=0. 整理得，g(x)=2-x-3X2.故答案为：2-x-3 ×2x.] 6A[:点(5，号)在幂函数)的园象上，设 f(r)= 3 =(3)“,解得a=一1，.函数 f)=x1=士定义战为(-0,0)U(0, 十∞)，关于原点对称，.f(一x)= 一f(x）,.函数f(x)是奇函数，根据反比例图象 f(x)在（一∞，0），(0，+o∞)上单调递减.故 选A.] 真题尝试 B[因为当x<3时f(x)=x,所以f(1)=1, f(2)=2,又因为f(x)>f(x-1)十f(x-2),则 f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5, f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)> 13,f(7)>f(6)+f(5)>21,f(8)>f(7)+f(6) >34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+ f(8)>89,f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)> f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f(11)> 377,f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)> f(14)+f(13)>987,f(16)>f(15)+f(14)> 1597>1000,则依次下去可知f(20)>1000,则 B正确；且无证据表明ACD一定正确.故选B.] 大题综合 解(1)因为f(x)= 2a.x+3,x≤1 {ax2+x,x>1' 则f(1)=2a+3=5,解得a=1. 0 高一数学每日 (2)因为f(x)= (2ax+3,x≤1 ax2+.xx>1且a>0, 可知f(x)=2a.x十3在（一o∞，1]内单调递增，则 f(x)f(1)=2a+3, 所以f(x)在(-c∞，1]内的值域为(-∞，2a十 3]； 且f(x)=a.x2十x在(1，十o∞)内单调递增，则 f(x)>f(1)=a+1, 所以f(x)在(1，十∞)内的值域为(a十1，+o∞)； 注意到2a+3=(a+1)+(a+2)>a+1, 所以f(x)在R内的值域为R. (3)若fx)=20十3x1在R上单调递减， {a.x2+x,x>1 a<o 则 1 2a ,解得-2≤a≤- 2a+3≥a+1 所以实数a的取位范图为[一2一打 典题典例 解 (1)因为f(x0)=x0十 4=√19，所以x0+ =x6+8+1=19,即6+16=11. 图为(。一动】 =x6-8+19=11-8=3,所以 TO- 4=±3， (2)f(x)在区间(0,2)上单调递减，在区间(2，十∞) 上单调递增，证明如下： 任取x1,x2∈(0，十o∞)，且x1<x2, 则a)-f)=(+)-(+)=m x2)+ 4(x2-x1)_（x1-x2)(x1x2-4) x1x2 因为x1,x2∈(0，十o∞)，且x1<x2,所以x1x2> 0,x1-x2<0, 当0<x1<x2<2时，x1x2-4<0,所以f(x1) f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 当2<x1<x2时，x1x2-4>0,所以f(x1)一 f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以f(x)在区间(0,2)上单调递减，在区间(2， 十∞)上单调递增. (3)当1<t≤2时，由(2)知f(x)在[1，t]上单调 递减，所以f（x)max=f(1)=5; 当t>2时，由(2)知f(x)在[1,2]上单调递减，在 [2,t门上单调递增， 因为f(4)=5,所以若2<t<4,则f(x)max= f(1)=5, 若≥4，则f(x)x=f)=1十1 5,1<t<4 综上，f(x)max= +≥ 对点精练 解(1)：f(1)=2,f(-1)=-2, 2 a+62 2 解得∫a=1 .-a+b =-2 b=0心f(x)=x+ 0 5 练·练出好成绩 (2)f(.x)在(1，十o∞)上单调递增，证明如下： 任取x1,x2∈(1，十o∞)，且x1<x2, 则f()-fx2)=(+-(2+)= x1x2-1 x2） x1x2 x1,x2∈(1，十o∞)，且x1<x2, x1-x2<0,x1x2>1,.x1x2-1>0 .f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以函数f(x)在(1，十o∞)上单调递增. (3)由对勾函数性质得f(x)在(0,1)上单调 递减， 画数fx)在x[子号]上的最大值为f(）】 4 由0≥f)知m≥frx…m≥号，所以m的 最小值为号 假期作业四 考点集训 1.A[对于A,aa=a+片=a是，A错误：对于 B(a）=ax4=a,B正确；对于C,a=am, C正确；对于Da=上=，D正确，故 a am 选A.] 2.(-0,-3)和(0,3)[函数fx)=(号) -9 设1=2-91，则f)=(）), 因f)=() 在R上是单调递减函数， t=x2-9|= ∫x2-9,x≤-3或x≥3 {9-x2,-3<x<3 .t=|x2-9|在区间（一3,0）和(3，十∞)上单调 递增， 在区间（一∞，一3）和(0,3)上单调递减， .由复合函数单调性可得f(x)的单调递增区间 为：(-∞，-3)和(0,3).] [方法技巧]函数y=af(x(a>0,a≠1)单调性 的处理技巧 (1)关于指数型函数y=afx)(a>0,且a≠1)的 单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a< 1;二是f(x)的单调性，它由两个函数y=a“, u=f(x)复合而成. (2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定 义域，然后把函数分解成y=f(u),u=p(x),通 过考查f(u)和9(x)的单调性，求出y f(g(x)的单调性. a.D[由题老得d-合d=高由 S-1 N好，可得N,=N度，所以华=是.nN d1 In N2 S-1 In Ni_In N 如心 In N2 In N2 In N2 2' .故选D.]高一数学每日一练·练出好成绩 假期作业三 函数的概念与性质 十十=十一 十十=十 …十十十=十十 【日品好题】请重点关注第4题，该题利用函数的图象和单调性求最值，综合性较强 …0考点集训川0… 考点六 幂函数 考点一函数的定义域 6.已知点(5， 在幂函数f(x)的图象上，则 1.已知函数f(x+1)的定义域为[一1,3]，则 f(x)是 f(x2)的定义域为 ( A.奇函数 A.[-2,2] B.[0,4] B.偶函数 C.[1,9] D.[0,8] C.非奇非偶函数 考点二分段函数 D.在x∈（一∞，0）U(0,十∞)上单调递减 x2+2x,0<x<2 2.已知函数f(x) ,若f(a) …0易错清零0… 2x+8,x≥2 易错点 错误理解同一函数的概念 =f(b),a<b,则a-b的取值范围是( 下列各组函数中，表示同一个函数的是( A.(-4,5-3] B.(-4,-1] A.f(x)=√2与g(x)=x C.(-4,1-5] D.(-4,3+5] 考点三函数的单调性 B.f0=与s(x)=x-1 x+1 3.已知A(0,2),B(4,一2)是函数f(x)图象上两： C.f(x)=√x3与g(x)=x元 点，且该函数是R上的减函数，则|(x一1)| D.f(x)=x0与g(x)=1 <2的解集是 [易错警示]两个函数是同一函数的充要 A.(-1,3) 条件是他们的定义域和对应法则分别相同. B.(1,5) 尝试选择 C.(-∞，-1)U(3,+∞) 解析对于A选项，对于f(x)=√x,根据 D.(-∞，1)U(5,+∞) 根式的性质，所以∫(x)=|x,其定义域为 考点四函数的值域（最值） R.而g(x)=x,其定义域为R.但是f(x)与 4.如图，△OAB是边长为2 y g(x)的对应关系不同，当x<0时，f(x) 的正三角形，记△OAB位 一x≠g(x),所以A选项错误；对于B选项， 于直线x=t(t>0)左侧的 对于)共充文城为 图形的面积为f(t),则下 g(x)=x-1的定义域为R.f(x)与g(.x)定 列正确的命题是( ) 义域不同，所以B选项错误；对于C选项，对 A.函数f(t)的定义域 于f(.x)=√3，因为x3≥0，所以x≥0，f(x) 是(0,2] B.函数f(t)是增函数 =√x2·x=x反，定义域为[0，十∞).g(x) C.当t=1时，f(1)有最大值 =x√(，定义域为[0，十∞).f(x)与g(x)定 义域相同，对应关系也相同，所以C选项正 D.函数f(t)的最大值是√3 确；对于D选项，对于f(x)=x°，其定义域 考点五函数的奇偶性 为{xx≠0)，且f(x)=1(x≠0).g(x)=1 5.已知函数f(x)=g(x)十a·2r,若a=2, 的定义域为R.f(x)与g(x)定义域不同，所 f(.x)的图象关于原点对称，若a=4,f(x)的 以D选项错误.故选C. 图象关于y轴对称，则g(x)= 答案C 6 第一部分 假期作业三 函数的概念与性质 真题尝试 o典题典例 (2024·全国新高考I卷)已知函数f(x)的 题点 利用定义证明函数单调性 定义域为R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且 [例门 已知函数f(r)=x+4 当x<3时f(x)=x,则下列结论中一定正 x 确的是 (1)若fx0)=19,求0-4的值： A.f(10)>100 B.f(20)>1000 C.f(10)<1000 D.f(20)<10000 (2)判断f(x)在(0，十∞)上的单调性并利用 定义法证明； o大题综合0… (3)求f(x)在[1，t]上的最大值 12a.x+3,x≤1 [思维路径]本题利用函数单调性求最值 已知函数f(x)= a.x2+x,x>1 或值域、定义法判断或证明函数的单调性、 (1)若f(1)=5,求a的值； 已知函数值求自变量或参数， (2)若a>0,求f(x)的值域； (1)先根据已知条件求出品+15=11，进而 (3)若f(x)在R上单调递减，求实数a的取 值范围. 求出()，再开方即可求解 (2)先求出f(1)-f(x2)= (x1-x2)(x1x2一4) X1X2 再利用定义法证明函数的单调性求出单调区 间即可. (3)利用(2)中结论，根据函数的单调性，结 合f(1)=f(4)=5,分1≤t<4、t≥4两种情 况讨论即可求解. 高一数学每日一练·练出好成绩 ●● 知识拓展了“利用定义证明函数单调性的 (2)判断函数f(x)在(1，+∞)上的单调性并 方法： 用定义进行证明； (1)取值：设x1、x2是所给区间上的任意两 个值，且x1<x2; (2)作差变形：即作差f(x1)一f(x2),并通 过因式分解、配方、有理化等方法，向有利 于判断符号的方向变形； (3)定号：确定差f(x1)一f(x2)的符号； (4)下结论：判断，根据定义得出结论. 即取值→作差→变形→定号→下结论 …0对点精练0… 已知函数()=2+经过(1,2》.(-1，一2》 ax+bi 两点 (1)求函数f(x)的解析式； (3)当x},]时，m≥x,求实数m的 最小值. P