假期作业4 指数函数与对数函数-【创新大课堂·暑假作业】2025-2026学年高一数学快乐假期讲练测

第一部分假期作业四 指数函数与对数函数 假期作业四 指数函数与对数函数 十“十十“十…十“十 【日品好题】请重点关注第4题，该题考查函数奇偶性的定义与判断、求对数型复合函数的 定义域、对数型复合函数的单调性等知识，比较全面 0考点集训川0… 考点五函数的零点 5.函数f(x)=2x十lnx-6的零点所在的区 考点一 指数运算 间是 () 1.设a>0,m,n是正整数，且n>1,则下列各式 A.(1,2) B.(2,3)C.(3,4) D.(4,5) 中不正确的是 ( : 考点六函数模型的应用 A.aai-a B.(ai)"=a 6.现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水 C.a"-am D.a 面的速率为100m/s,这是第一次“打水漂”， am 然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打 考点二 指数函数 水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片 2.函数f(x)=(】 的单调增区间 的速率低于60m/s,则至少需要“打水漂”的 次数为（参考数据：取1n0.6≈-0.511， 为 ln0.9≈-0.105) ( 考点三 对数运算 A.4 B.5 C.6 D.7 3.生物丰富度指数4=、是河流水质的 In N …0易猎清零0… 个评价指标，其中S,N分别表示河流中的生 易错点 忽略对数型复合函数中间变量的 物种类数与生物个体总数，生物丰富度指数 取值范围 d越大，水质越好.如果某河流治理前后的生 物种类数S没有变化，生物个体总数由N1 已知函数f(x)=ln(a.x2一a.x+1)的定义域 是R,则a的取值范围是 变为N2,生物丰富度指数由d1变为d2,若 N=告- A.(0,4) B.[0,4) ! C.[0,4] D.(4,+∞) 2 [易错警示]求对数型复合函数的定义域 A.log32 B. 时，涉及一元二次不等式在实数集上恒成立 C.log23 D. 问题，要对二次项系数分情况讨论. 尝试选择 考点四 对数函数 解析由题意可知：a.x2一ax十1>0对任意 4.(多选)已知函数f(x) 2一 2+x ,则( x∈R恒成立，若a=0,则1>0，符合题意；若 A.f(x)是奇函数 a≠0，则/>0 ,解得0<a<4.综上 B.f(x)≥0 △=a2-4a< C.f(x)在(-2,2)上单调递减 所述：a的取值范围是[0,4).故选B. D.f(x)在(2，十∞)上单调递增 答案B 9 高一数学每日一练·练出好成绩 o真题尝试 o典题典例o: (2024·全国甲卷)已知a>1且 题点 函数模型的选择应用 logsa [例门 已知某车厘子收购市场在过去的30天 1 loga4 是测a 内对车厘子的日收购量P(x)(单位：百斤) 与第x天之间的函数关系为①P(x)=a(x …0大题综合0… 8)2+b:②P(x)=mx-20|+n;③P(x)=p+ 已知函数f(x)=2十log。(x-1)(a>0,且 gnx这三种函数模型中的一个，且部分数据 a≠1)的图象过点(3,3). 如下表： (1)求实数a的值； x(天) 6 10 22 28 (2)求函数f(x)的定义域，并判断其在定义 P(x)(百斤) 46 50 58 52 域上的单调性（不需要证明）； (3)解关于x的不等式f(2x-3)<f(21 (1)请确定P(x)的解析式，并说明理由； 2x+1). (2)若第x天平均每斤车厘子的收购价格为 Qx(单位：元)，且Qx)=20+(1≤≤ 30,且x∈N*),记过去30天内第x天该市 场收购车厘子的资金总额为∫(x)(单位：百 元)，求f(x)的最小值. [思维路径]本题考查函数模型的应用，用 基本不等式求和的最小值 (1)将表格中的各个数据分别代入3个函数 关系式中，求解，即可得到符合题意的表 达式 (2)计算出f(x)的表达式，再分段讨论利用 函数的单调性与基本不等式求出最小值： 10 第一部分 假期作业四 指数函数与对数函数 [知识拓展]开放型的探究题，函数模型 (2)现有一辆同型号纯电动汽车从A中学行 不是确定的，需要我们去探索，去尝试，找 驶到B中学，其中，国道上行驶50km,高速 到最合适的模型，解题过程为： 上行驶300km.假设该电动汽车在国道和高 (1)用待定系数法求出函数解析式； 速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量 (2)检验：将(1)中求出的几个函数模型进 Q与速度x的关系满足(1)中的函数表达 行比较、验证，得出最适合的函数模型； 式；高速路上车速x(单位：km/h)满足x∈ (3)利用所求出的函数模型解决问题. [80,120],且每小时耗电量N(单位：wh)与 速度x(单位：km/h)的关系满足N(x)=2x2 o对点精练0… -10x十200(80≤x≤120).则当国道和高速 比亚迪是我国乃至全世界新能源电动车的： 上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量 排头兵，新能源电动车汽车主要采用电能作 最少，最少总耗电量为多少？ 为动力来源，目前比较常见的主要有两种： 混合动力汽车、纯电动汽车.有关部门在国： 道上对比亚迪某型号纯电动汽车进行测试， 国道限速60km/h.经数次测试，得到该纯电 动汽车每小时耗电量Q(单位：wh)与速度x (单位：km/h)的数据如下表所示： 0 10 40 60 p 0 1420 4480 6720 为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小 时耗电量Q与速度x的关系，现有以下三种 函数模型供选择：①Q1(x)= 品8-2x2+ c,®Q(x)=1-(号)广，®Q() 300l0gx+b (1)当0≤x≤60时，请选出你认为最符合表 格中所列数据的函数模型（不需说明理由）， 并求出相应的函数表达式： 11高一数学每日 (2)因为f(x)= (2ax+3,x≤1 ax2+.xx>1且a>0, 可知f(x)=2a.x十3在（一o∞，1]内单调递增，则 f(x)f(1)=2a+3, 所以f(x)在(-c∞，1]内的值域为(-∞，2a十 3]； 且f(x)=a.x2十x在(1，十o∞)内单调递增，则 f(x)>f(1)=a+1, 所以f(x)在(1，十∞)内的值域为(a十1，+o∞)； 注意到2a+3=(a+1)+(a+2)>a+1, 所以f(x)在R内的值域为R. (3)若fx)=20十3x1在R上单调递减， {a.x2+x,x>1 a<o 则 1 2a ,解得-2≤a≤- 2a+3≥a+1 所以实数a的取位范图为[一2一打 典题典例 解 (1)因为f(x0)=x0十 4=√19，所以x0+ =x6+8+1=19,即6+16=11. 图为(。一动】 =x6-8+19=11-8=3,所以 TO- 4=±3， (2)f(x)在区间(0,2)上单调递减，在区间(2，十∞) 上单调递增，证明如下： 任取x1,x2∈(0，十o∞)，且x1<x2, 则a)-f)=(+)-(+)=m x2)+ 4(x2-x1)_（x1-x2)(x1x2-4) x1x2 因为x1,x2∈(0，十o∞)，且x1<x2,所以x1x2> 0,x1-x2<0, 当0<x1<x2<2时，x1x2-4<0,所以f(x1) f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 当2<x1<x2时，x1x2-4>0,所以f(x1)一 f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以f(x)在区间(0,2)上单调递减，在区间(2， 十∞)上单调递增. (3)当1<t≤2时，由(2)知f(x)在[1，t]上单调 递减，所以f（x)max=f(1)=5; 当t>2时，由(2)知f(x)在[1,2]上单调递减，在 [2,t门上单调递增， 因为f(4)=5,所以若2<t<4,则f(x)max= f(1)=5, 若≥4，则f(x)x=f)=1十1 5,1<t<4 综上，f(x)max= +≥ 对点精练 解(1)：f(1)=2,f(-1)=-2, 2 a+62 2 解得∫a=1 .-a+b =-2 b=0心f(x)=x+ 0 5 练·练出好成绩 (2)f(.x)在(1，十o∞)上单调递增，证明如下： 任取x1,x2∈(1，十o∞)，且x1<x2, 则f()-fx2)=(+-(2+)= x1x2-1 x2） x1x2 x1,x2∈(1，十o∞)，且x1<x2, x1-x2<0,x1x2>1,.x1x2-1>0 .f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以函数f(x)在(1，十o∞)上单调递增. (3)由对勾函数性质得f(x)在(0,1)上单调 递减， 画数fx)在x[子号]上的最大值为f(）】 4 由0≥f)知m≥frx…m≥号，所以m的 最小值为号 假期作业四 考点集训 1.A[对于A,aa=a+片=a是，A错误：对于 B(a）=ax4=a,B正确；对于C,a=am, C正确；对于Da=上=，D正确，故 a am 选A.] 2.(-0,-3)和(0,3)[函数fx)=(号) -9 设1=2-91，则f)=(）), 因f)=() 在R上是单调递减函数， t=x2-9|= ∫x2-9,x≤-3或x≥3 {9-x2,-3<x<3 .t=|x2-9|在区间（一3,0）和(3，十∞)上单调 递增， 在区间（一∞，一3）和(0,3)上单调递减， .由复合函数单调性可得f(x)的单调递增区间 为：(-∞，-3)和(0,3).] [方法技巧]函数y=af(x(a>0,a≠1)单调性 的处理技巧 (1)关于指数型函数y=afx)(a>0,且a≠1)的 单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a< 1;二是f(x)的单调性，它由两个函数y=a“, u=f(x)复合而成. (2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定 义域，然后把函数分解成y=f(u),u=p(x),通 过考查f(u)和9(x)的单调性，求出y f(g(x)的单调性. a.D[由题老得d-合d=高由 S-1 N好，可得N,=N度，所以华=是.nN d1 In N2 S-1 In Ni_In N 如心 In N2 In N2 In N2 2' .故选D.] 参考答 4.ACD[要使得函数f(x)有意义，则 2-x 2+x 0,解得x≠2且x≠一2，所以f(x)的定义域关于 原点对称，且f(-x)十f(x)=1n2-2 2+x =ln1=0,从而f(x)是奇函数，A正 确；f(1)= 2+1<1n1=0,B错送：当xE 2-1 12一=ln2+x, (-2,2)时，f(x)=ln2+x 2-x=ln(2 x)-ln(2+x),y=ln(2-x)在(-2,2)上单调递 减，y=ln(2十x)在(-2,2)上单调递增，所以 f(x)在(-2,2)上单调递减，C正确；当x∈(2， +)时fx)=h=1n号-1 千y=1-2在(2，十∞)上单羽造城，y 4 1nx在(0，十o∞)上单调递增，所以f(x)在(2，十∞) 上单调递增，D正确.故选ACD. 5.B[因为函数y=2x-6、y=lnx在(0，十o∞)上 均为增函数，故函数f(x)在(0，十∞)上为增函 数，因为f(1)=-4<0,f(2)=1n2-2<0,f(3) =ln3>0,则f(2)f(3)<0,由零点存在定理可 知，函数f(x)的零点所在的区间是(2,3).故 选B.] 6.C[设石片第n次“打水漂”时的速率为m,则 vm=100×0.90”-1.由100×0.90”-1<60，得 0.90-1<0.6,则(n-1)ln0.90<1n0.6,即n- 1>日898487用a>687.k至少 需要“打水漂”的次数为6.故选C.门 真题尝试 64[由题，11 3 -号1og2a=- 5 logsa loga4 log2a 2 2 整理得(1og2a)2-5log2a-6=0,→log2a=-1或 log2a=6,又a>1,所以log2a=6=log226,故a=26 =64.故答案为：64.] 大题综合 解(1)因为函数f(x)=loga(x-1)+2(a>0 且a≠1)的图象过，点(3,3)， 所以f(3)=loga2+2=3,即1oga2=1,解得 a=2; (2)由(1)得a=2, 所以函数f(x)=2+1og2(x-1), 由x-1>0解得x>1, 所以函数f(x)的定义域为(1，十oo),函数f(x) 在(1，十∞)上单调递增. (3)由复合函数的单调性知：f(x)=log2（x一1) 十2在(1，十∞)上单调递增， 又f(2x-3)<f(21-2x+1), 12x-3>1 ,2x>4 所以21-2x+1>1 ,即2x<10, 21-2x+1>2-32x<8 即4<2x<8, 解得2<x<3, 所以不等式的解集为(2,3) 典题典例 解(1)将表格中数据(6,46)，(10,50)代入关系 ①P(x)=a(x-8)2+b中， 5 案与详解 得到8二松十女此方银无每，合去： 将表格中数据(6,46)，(10,50)代入关系②P(x) =mx-20十n中， 得到8二1m十郑得60 1n=60 故方程为 P(x)=-|x-20|+60, 经验证，(22,58)，(28,52)也符合上式，故函数解 析式为P(x)=-x一20+60； 由表格数据知，函数应该先增后减，不满足③； 综上所述：P(x)=-x-20|+60; (2)因为P(x)=-|x-20|+60,Q(x)=20+ 8,故f(x)=Q(x)XP(x), 当1≤x≤20时，f(x)=Q(.x)×P(x)=（20+ 9）×(x+40)=20x+320+808, 因为20x+320≥2/20x×320=160,当且仅当 x=4时取等号， 所以f(x)min=f(4)=968; 当20<x≤30时，f(x)=Q(x)XP(x)=20+ 2）×(80-0=-20x+640+1592. 在区间(20,30]上单调递减，故f(x)mim=f(30) _3040 3 因为3040>968，所以f(x)mm=f4)=968. 3 对点精练 解(1)对于③Q3(x)=3001ogax+b,当x=0 时，它无意义，故不符合题意； 对子0Q.)=1-(号)）广，当x=10时，0,10) =1-(学)又0<（号）”<()”=1. 所以Q:10)=1-(号 10 <1,故不符合题意；故 选①Q1(x)= 0-2x2+c, 由表中的数据可得，0×103-2X102+c×10 1420,解得c=160, .Q(x)= 02-2x2+160x (2)高速上行驶300km,所用时间为300h, x 则所耗电量为f(x)=300 N(x)=300.(2x2 x -10x+200)=600(x+100) -3000, 由对勾函数的性质可知，f(x)在[80,120]上单调 递增， f(.x)min=f(80)=600×(80+100 80 3000= 45750wh, 国道上行驶50km,所用时间为职h, 高一数学每日 刚所耗电量为g)-0Q)2·(品： 13 2.x2+160x=x2-100x+8000, ,0≤x≤60，.当x=50时，g(x)min=g(50) =5500wh, ∴.当这辆车在高速上的行驶速度为80km/h,在 国道上的行驶速度为50km/h时， 该车从A中学行驶到B中学的总耗电量最少， 最少为45750+5500=51250wh. 假期作业五 考点集训 1.C[设该扇形的半径为r,所对孤长为l, 别{廊得{化这所以痛形 2r+l=5 (=2 圆心角的孤度数a==3或。=1=4，故 3 选C.] 2.AC[由题意角a的终边经过点(m,3),且cosa 年寺(m>0.解得m二，投 行，可知一m A正确，B错误；所以角α的终边经过，点(4,3)，所 以1ama=是，故C正确，D错误，故选AC] 3 [由题知sin3a-cos3a=(sina-cosa) (sina+cos2a+sin acos a),因为sina-cosa 1 1 千，两边平方有1-2 sina=16,所以sin ccos a -是所以sna一osa=}×1+=品故答 案为：热 4.A[:tan(5m+a)=2(a≠kx+受，k∈Z .tan a=2, :cos(r十a)-sin(-a) -cos a+sin a sin(x-a)+sin(登+a sina十cosa =故选A] tan a+1 [方法技巧]本题考查了利用诱导公式解决三 角函数化简求值问题， 解决此类问题常用方法为公式法：熟记并灵活运 用诱导公式是解决此类问题的关键，诱导公式求 值的“二观察，一转化”：(1)观察已知角和所求角 之间的差异，寻求角之间的联系，观察已知的三 角函数名与所求的三角函数名之间的差异； (2)运用诱导公式将不同的角转化为相同的角， 将不同名的三角函数转化为同名的三角函数， 5.A[画出f(x)=|sinx|和y=lgx的函数 图象， v=f(x) y=lg x 2π3π104πx 0 5 练·练出好成绩 因为|sinx|≤1，lg10=1,结合图象可得函数 f(x)=|sinx|与函数y=lgx图象的交点个数 是5个.故选A.] 6.{x|x=π+2kπ，k∈Z}[:f(x)=3-5cosx, .cosx=-1时，函数f(x)有最大值，∴.x的取 值集合为{x|x=π十2kπ，k∈Z}.故答案为：{x x=π十2kπ，k∈Z}.] 7.C[因为f(x)=tanx是(-1,1)内的单调递增 函数，并且是奇函数，所以tana十tanb>0台tana -tanb台tana>tan(-b)台a>-b台a+b>0,所以 “a十b>0”是“f(a)+f(b)>0”充分必要条件.故 选C.] 真题尝试 D[解法一：令f(x)=g(x),即a(x+1)2-1= c0sx十2a.x,可得a.x2十a-1=cosx, F(x)=ax2+a-1,G(x)=cos x, 原题意等价于当x∈（一1,1）时，曲线y=F(x) 与y=G(x)恰有一个交点， 注意到F(x),G(x)均为偶函数，可知该交点只能 在y轴上， 可得F(0)=G(0),即a-1=1,解得a=2, 若a=2,令F(x)=G(x), 可得2x2十1-c0sx=0 因为x∈(-1,1)，则2x2≥0,1-cosx≥0，当且 仅当x=0时，等号成立， 可得2x2十1-cosx≥0，当且仅当x=0时，等号 成立， 则方程2x2十1一cosx=0有且仅有一个实根0， 即曲线y=F(x)与y=G(x)哈有一个交，点， 所以a=2符合题意， 综上所述：a=2. 解法二：令h(x)=f(x)-g(x)=ax2十a-1 cosx,x∈(-1,1)， 原题意等价于h(x)有且仅有一个零点， 因为h(-x)=a(-x)2十a-1-cos(-x)=a.x2 +a-1-cos x=h(x), 则h(x)为偶函数， 根据偶函数的对称性可知h(x)的零，点只能为0， 即h(0)=a-2=0,解得a=2, 若a=2,则h(x)=2.x2+1-cosx,x∈(-1,1)， 又因为2x2≥0,1-cosx≥0当且仅当x=0时， 等号成立， 可得h(x)≥0，当且仅当x一0时，等号成立， 即h(x)有且仅有一个零，点0，所以a=2符合题 意.故选D.] 大题综合 解(1)因为tana=1=-圣，所以b=3, b 3 b 3 -4 所以sina= W62+16 5,cos a= √62+16 5 解得sima·cosa三一5 (2)当n=2k+1(k∈Z)时，sin(nπ十a)·cos(nπ -atan(受+e =sin(2kπ+π+a)·cos(2kπ+π-a)·tankπ+ 4