专题01 一次函数（含几何问题）29大题型（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材北京版

**基本信息** 以29类题型构建一次函数全体系训练，从概念到几何综合再到实际应用，逻辑递进，突出抽象能力与模型意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|7题型|常量变量、函数概念等|从变量关系到坐标系，构建函数认知基础| |图象性质|8题型|解析式、象限分布等|由定义推导性质，结合图象深化理解| |几何综合|4题型|平移、旋转、折叠|函数与几何变换结合，培养空间观念| |实际应用|10题型|利润、行程、梯度计价|建立函数模型解决实际问题，发展应用意识|

专题01 一次函数（含几何问题） 题型1 常量与变量（常考点） 题型16 一次函数的平移问题（重点） 题型2 函数的相关概念 题型17 根据一次函数的增减性求参数（重点） 题型3 函数的三种表示方法 题型18 比较一次函数值的大小 题型4 从函数的图象获取信息（常考点） 题型19 求直线围成的图形面积（重点） 题型5 平面直角坐标系 题型20 一次函数与方程（常考点） 题型6 坐标的平移（常考点） 题型21 一次函数与不等式（常考点） 题型7 点坐标规律探索 题型22 分配方案问题（重点） 题型8 正比例函数的定义 题型23 最大利润问题（难点） 题型9 根据一次函数的定义求参数（重点） 题型24 行程问题（难点） 题型10 一次函数的图象 题型25 梯度计价问题（重点） 题型11 根据一次函数经过的象限求参数范围（常考点） 题型26 一次函数的旋转问题（难点） 题型12 一次函数图象与坐标轴的交点问题（重点） 题型27 一次函数的折叠问题（难点） 题型13 画一次函数的图象 题型28 一次函数中的最值问题（难点） 题型14 一次函数解析式（常考点） 题型29 一次函数的新定义问题（难点） 题型15 正比例函数的图象、性质 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 常量与变量（共3小题） 1．底边为10的三角形的面积与其高的关系式为，在此式中（    ） A．是变量，5、是常量 B．、是变量，5是常量 C．是变量，5、是常量 D．5是变量，、是常量 【答案】B 【分析】根据常量、变量定义判断即可． 【详解】解：、是变量，5是常量， 故选B． 【点睛】本题考查变量和常量，熟记在一个变化过程中，发生变化的量叫变量，不发生改变的量叫常量是解题的关键． 2．标准体重是衡量身体健康状况的一项指标．男性标准体重与身高之间的关系式为：，下列关于与的说法正确的是（    ） A．为常量，为变量 B．与都为常量 C．为变量，为常量 D．与都为变量 【答案】D 【分析】本题考查函数关系式、常量与变量，利用定义判断常量与变量、自变量与函数是本题的关键．根据会发生变化的量为变量，不会发生变化的量是常量，据此即可作答． 【详解】解：∵男性标准体重与身高之间的关系式为：， ∴身高会发生变化，体重也会发生变化 ∴与都为变量 故选：D 3．某市居民用电价格是元/(千瓦·时)，居民应付电费为元，用电量为千瓦·时，其中常量是 ________，变量是 ______________． 【答案】 0.58 【分析】根据变量是变化的量，常量是固定不变的量，即可得出结论． 【详解】解：由题意，可知：常量是0.58，变量是； 故答案为：0.58； 【点睛】本题考查变量和常量，熟练掌握变量是变化的量，常量是固定不变的量，是解题的关键． 题型二 函数的相关概念（共3小题） 4．函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】根据二次根式被开方数非负、分式分母不为零的要求，列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：函数的自变量应满足，解得， ∴自变量的取值范围是． 5．变量x，y有如下关系；①；②；③；④．其中y是x的函数的是________． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了函数的概念，设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，掌握函数的概念是解题的关键．根据函数的定义判断即可． 【详解】解：①，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，符合函数的定义； ②给一个任意不是0的数x，y都有唯一的值与它对应，符合函数的定义； ③，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，符合函数的定义； ④，任意给一个正数x，y都有两个值与x对应，不符合函数的定义； 故答案为：①②③． 6．函数的自变量的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂的定义，列出自变量需满足的不等式，求解后取公共范围即可得到结果． 【详解】解：要使函数有意义，需同时满足： 被开方数非负、分母不为零、零指数幂的底数不为零， 因此可得不等式组， 解不等式组得，且，且， 由可知恒成立，因此自变量的取值范围为且． 题型三 函数的三种表示方法（共3小题） 7．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂重物的质量有下面的关系，那么弹簧总长与所挂重物之间的关系式为（    ） 0 1 2 3 4 5 6 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格数据，确定弹簧原长和每挂重物弹簧的伸长量，即可求出函数关系式． 【详解】解：观察表格数据可知， 当时，，即弹簧原长为，且x每增加，y增加， ∴弹簧总长与所挂重物之间的关系式为． 8．在弹性质限度内，弹簧挂上物体后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如表： 所挂物体的质量 … 弹簧的长度 … 则不挂物体时，弹簧的长度是________． 【答案】 【分析】根据表格数据可直接得出答案． 【详解】解：由表格可知，当所挂物体的质量为，即不挂物体时， 弹簧的长度是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了函数的表示方法—列表法，学会从表格数据中观察出函数的关系是解决本题的关键． 9．如图，小珍依据漏刻的基本原理做了一个底面积为，容积为的圆柱形漏刻（浮子体积忽略不计），观测并记录了水位（单位：）与时间（单位：）之间的数据如下： 0 1 2 3 4 5 … 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 … (1)请写出水位与时间之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． (2)当时，求对应的时间，并说明它表示的实际意义． 【答案】(1)； (2)当时，．实际意义：当计时时长为时，漏刻的水位高度为． 【分析】（1）观察表格数据，判断水位与时间的函数类型（一次函数），利用待定系数法求解析式，再结合漏刻容积确定自变量取值范围； （2）将代入函数解析式求解t，并解释实际意义． 【详解】（1）解：由表格可知，与是一次函数关系，设解析式为． 当时，，代入得； 当时，，代入得，解得． ∴函数关系式为． 漏刻容积为，底面积为，则最大水位． 令，则， 解得：． 自变量的取值范围为． （2）解：当时，，解得． 实际意义：当计时时长为时，漏刻的水位高度为． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，解题关键是通过表格判断函数类型，利用待定系数法求解析式，并结合实际场景确定自变量范围． 题型四 从函数的图象获取信息（共3小题） 10．小王同学从家出发，步行到离家1200米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为_____分钟． 【答案】3 【分析】由图象得出小王走完全程1200米用了12分钟．爸爸在小王出发4分钟后才出发，在小王到达终点（第12分钟）时，爸爸正好回到家．进而求出各自的速度，再利用行程问题求解即可． 【详解】解：由函数图象可知，小王走完全程1200米用了12分钟．小王的速度（米/分钟） 爸爸在小王出发4分钟后才出发，在小王到达终点（第12分钟）时，爸爸正好回到家． 说明爸爸往返一共用了：（分钟）． 因为往返速度一样，所以爸爸单程（家到公园）用了：（分钟）． 爸爸的速度 （米/分钟） 设第一次相遇时小王走了分钟，依题意得： 解得：，． 设第二次相遇时小王走了分钟，依题意得：， 解得： 两人先后两次相遇的时间间隔为分钟． 11．周六，小峰去博物馆参观学习．他从家出发，先去早餐店吃完早餐，然后继续骑自行车去博物馆，参观完博物馆后直接骑自行车回家，如图是小峰离家的距离（）和小峰离家的时间（）之间的关系．根据图象完成下列各题： (1)在这个过程中，自变量是________，因变量是_______； (2)博物馆离家的路程为________，小峰在博物馆参观的时间为________； (3)小峰从博物馆骑自行车回家的平均速度是多少？ 【答案】(1)小峰离家的时间，小峰离家的距离 (2)3000，50 (3) 【分析】（1）根据自变量和因变量定义即可； （2）根据图象作答即可； （3）根据图象得出从博物馆到家的距离和回家的时间，再作答即可． 【详解】（1）解：由题意得：自变量是小峰离家时间，因变量是小峰离家的距离； （2）解：由图象得，博物馆离家的路程为，小峰在博物馆参观了； （3）解：小峰从博物馆骑自行车回家的平均速度为：． 12．某快递公司开展“快递员提升配送效率”活动，要求快递员也要注意安全驾驶．快递员小李骑电动车去派送快递，他行驶了一段时间后，想起要去附近的便利店取个包裹，于是又折回到刚经过的便利店，取到包裹后继续前往派送点，直到抵达派送点．如图是他本次所用的时间与出发地距离的关系示意图． 根据图中提供的信息回答下列问题： (1)出发地到派送点的距离是____米，小李在便利店停留了____分钟； (2)整个送快递的过程中，小李的最快速度是____米/分钟； (3)当快递员小李距离派送点600米时，求小李所用时间． 【答案】(1)，； (2)； (3)分钟或分钟或分钟． 【分析】（1）根据函数图象进行回答即可； （2）根据图象可知 至 分钟速度最快； （3）分别求出在不同时段的速度，再根据题意列方程解答即可． 【详解】（1）解：出发地到派送点的距离是米，小李在便利店停留了：（分钟）； （2）解：当时，速度为（米/分钟）， 当时，速度为（米/分钟）， 当时，速度为， 当时，速度为（米/分钟）， ， 故整个送快递的过程中，小李的最快速度是米/分钟； （3）解：设小李从家出发分钟时，离派送点的距离是米， 当时，，得， 当时，，得， 当时，，得， 即小李出发分钟或分钟或分钟时，离派送点的距离是米． 题型五 平面直角坐标系（共3小题） 13．按要求解答下列各题： (1)在平面直角坐标系中，已知点在轴上，求点的坐标． (2)已知点到坐标轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意得到，求出，然后求解即可； （2）根据题意得到，求出或，然后分情况求解即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为； （2）解：∵点到坐标轴的距离相等 ∴ 解得或 当时，， ∴点的坐标为； 当时，， ∴点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 14．在平面直角坐标系中，已知点M的坐标为． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且轴，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据y轴上的点横坐标为0，列出方程解出的值，即可得出答案； （2）根据与x轴平行的直线上的点纵坐标相同，列出方程解出的值，进而得到点M的坐标． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得， ． 点M的坐标为． （2）解：点N的坐标为，且轴， ， 解得， ， 点M的坐标为 15．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为． (1)若点在轴上，则点的坐标为_________； (2)若点在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为，求的值； (3)点的坐标为，若直线轴，且线段的长为，求的值及点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或11；点的坐标为或 【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征：横坐标为0，列方程求出的值，再计算纵坐标，即可得到点A的坐标． （2）根据第四象限内点的坐标特征：横坐标为正、纵坐标为负，点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值，据此列方程求出的值． （3）根据直线轴，可得、两点纵坐标相等，先求出的值，得到点的坐标；再根据线段的长度为5，结合两点间距离公式求出点的横坐标，进而求出的值． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得：． ， 点的坐标为． （2）解：点在第四象限， ，． 点到两坐标轴的距离之和为9， ， ， 解得：． （3）解：直线轴， 点与点的纵坐标相等， ， 解得：， 点的坐标为． 线段的长为5， ， 或， 解得：或． 当时，，点的坐标为； 当时，，点的坐标为． 题型六 坐标的平移（共3小题） 16．已知点在平面直角坐标系中的位置如图所示，三角形中任意一点平移后的对应点为． (1)写出点的坐标； (2)求三角形的面积； (3)点在轴上，当三角形的面积为3时，求出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)2 (3)或 【分析】本题考查坐标与图形变化平移，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平移规律解决问题即可． （2）利用分割法求解即可． （3）根据三角形的面积为3，求出的长，进而得到的坐标． 【详解】（1）由题意，， ，，． （2） （3）当点在轴上时， 或． 17．在平面直角坐标系中，已知点，，的坐标分别为，，． (1)画出，求的面积； (2)若将平移得到，中的任意一点经过平移后的对应点的坐标是，直接写出平移的方法； (3)若点在轴上， 的面积为10，求出点的坐标． 【答案】(1)解：如图， 即为所求； ， 三角形的面积为 (2)先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到 (3)或 【分析】（1）先根据点，，的坐标描点，然后顺次连接即可；再运用割补法求面积即可； （2）根据图形的平移方式与图形上每一点的平移方式相同即可解答； （3）设D点的坐标为，再用绝对值表示出的长，再根据的面积为10列绝对值方程求得d的值即可解答． 【详解】（1）解：图略： 的面积． （2）解：∵将平移得到，中的任意一点经过平移后的对应点的坐标是， ∴将点P先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到． （3）解：如图：设D点的坐标为，则， ∵的面积为10， ∴，解得：或， ∴点的坐标为或． 18．已知点在平面直角坐标系中第一象限内，将线段平移至线段，其中点与点对应． (1)如图1，若，，连接，． ①写出点坐标_________； ②在轴上存在一点，使得，求点的坐标； (2)如图2，若，点为轴上一动点（点不与原点重合），请直接写出与之间的数量关系（不用证明）． 【答案】(1)①；②或； (2)或或. 【分析】（1）先根据的坐标找到平移规律，从而求出的坐标，进而的面积和的面积可求，根据，求出点坐标即可； （2）分两种情况讨论：当P在y轴的正半轴上时和当P在y轴的负半轴上时，求解即可． 【详解】（1）解：①由线段平移，点的对应点为， 故线段先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到线段， 则点平移后的坐标为， 即； ②∵，，， ∴， ∴的面积， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或； （2）解：如图，延长交y轴于点E． ∵平移， ， ∵， ，， 分两种情况讨论： （1）当P在y轴的正半轴上时， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）当P在y轴的负半轴上时， 若P在点E上方（含与点E重合）时，则， ∴； 若P在点E下方时，则， ∴； 综合可得与的数量关系是或或. 题型七 点坐标规律探索（共3小题） 19．如图，正方形的顶点均在正方形网格的格点处，建立平面直角坐标系后，某动点的初始位置在点处，第次移动到点处，第次移动到点处，第次移动到点处，第次移动到点处，第次移动到点处依此规律，可知第次移动后该动点所在位置的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意及图形确定点，，，的坐标，发现动点位置每次移动为一个循环周期，计算除以的余数即可确定最终位置． 【详解】由题意及图形可知： 初始位置为， 第次移动到，从到横坐标加，纵坐标加， 四边形是正方形， 观察网格，第次移动到，从到横坐标加，纵坐标减，得，即； 第次移动到，从到横坐标减，纵坐标减，得，即； 第次移动到，回到起点， 动点位置以点，，，为序，每次移动循环一次， ， 第次移动后的位置与第次移动后的位置相同，即点 第次移动后该动点所在位置的坐标为． 20．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，…，…，若点的坐标为，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据伴随点的定义求出前几个点的坐标，找出点坐标的循环规律，再根据规律求解即可． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 由此可知，每4个点为一个循环周期， ∵， ∴点的坐标与点的坐标相同，即为． 21．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，…根据这个规律，第个点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据题意可以发现当为奇数时，第个点的横坐标为，第个点的横坐标为，且两者的纵坐标均为，然后写出第个点的坐标即可． 【详解】解：由图可知，在轴上，第1个点的横坐标为1， 第2个点的横坐标为， 第9个点的横坐标为， 第10个点的横坐标为， 可以发现当为奇数时，第个点的横坐标为，第个点的横坐标为，且两者的纵坐标均为， ∵，是奇数， ∴第个点是横坐标，且在轴上， ∴第个点的坐标为． 题型八 正比例函数的定义（共3小题） 22．当________时，函数（是常数）是正比例函数． 【答案】 【分析】正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为1，常数项为0． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， ． 23．已知，与成正比例，与成正比例，当时，；当时，，则当时，的值为_____． 【答案】0 【分析】根据正比例的定义设出和的表达式，得到关于的函数式，再代入已知的，的值求出待定系数，最后代入计算的值即可． 【详解】解：∵与成正比例，与成正比例， ∴，， ∵， ∴， ∵当时，；当时，， ∴， 解得：， ∴， 当时，． 24．若与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在该函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求函数解析式，求自变量的值： （1）设出函数解析式，再代入已知的数据求解即可； （2）把代入（1）所求解析式中进行求解即可． 【详解】（1）解：设， 把时，代入得：， 解得， ，即； （2）解：把代入得， 解得． 题型九 根据一次函数的定义求参数（共3小题） 25．已知是一次函数，则的值为（　　） A．1 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数需满足两个条件：x的次数为1，且一次项系数不为0，据此列等式和不等式计算即可得到m的值． 【详解】解：∵是一次函数， ∴， 解，得，即或， 又∵，即， ∴． 26．已知函数是关于的一次函数，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义可得的指数为1，且求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的一次函数， ∴且 ∴． 27．已知函数是关于的一次函数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义条件是：、为常数，是解题关键．根据一次函数的定义条件即可求解． 【详解】解：根据题意得：且， ∴． 题型十 一次函数的图象（共3小题） 28．画出直线，并借助图象找出： (1)直线上横坐标是2的点； (2)直线上纵坐标是的点； (3)直线上到y轴的距离等于2的点． 【答案】(1)图象如图：；直线上横坐标是2的点为； (2)直线上纵坐标是的点为； (3)直线上到y轴的距离等于2的点为或． 【详解】（1）解：列表： 0 2 3 描点、连线，函数图象，略； 由图象得，直线上横坐标是2的点为； （2）解：由图象得，直线上纵坐标是的点为； （3）解：由图象得，直线上到y轴的距离等于2的点为或． 29．已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数解析式； (2)画出该一次函数的图象． 【答案】(1)； (2)图见解析 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为，把点和点代入，得 ， 解得， ∴； （2）解：由题意，画图如下： 30．已知一次函数的图象经过和． (1)求关于的函数解析式； (2)在图中画出该函数的图象，并判断说明点是否在该函数图象上． 【答案】(1) (2)作图见解析，点不在函数图象上 【分析】（1）将两个点的坐标代入关系式得出二元一次方程组，求出解即可得出答案； （2）根据列表，描点，连线得出函数图象，再将代入关系式验证即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点， ∴，解得， ∴一次函数关系式为； （2）解：列表： x 0 1 y 1 4 描点，连线如下图： 当时，， ∴点不在一次函数的图象上． 题型十一 根据一次函数经过的象限求参数范围（共3小题） 31．一次函数的图象经过第一、三、四象限，求a的取值范围． 【答案】 【分析】一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，． 【详解】解：因为一次函数的图象经过第一、三、四象限， 所以且， 解得且， 所以a的取值范围是． 32．已知函数． (1)当为何值时，函数图象经过原点； (2)若这个函数是一次函数，且图象不经过第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）函数图象经过原点，说明原点满足该函数解析式，将点代入解析式求解即可； （2）根据一次函数的性质，图象不经过第二象限时，一次项系数大于0，常数项小于等于0，列出不等式组求解即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：将原点代入函数得： ， 解得：； （2）解：根据题意得：， 解得， 的取值范围为． 33．已知函数． (1)若函数图象与x轴交于点，求m的值； (2)若函数图象平行于直线，求m的值； (3)若该函数图象不经过第二象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）将代入函数解析式得出，计算即可得出答案； （2）根据平行的两直线的斜率相同得出，计算即可得出答案； （3）根据该函数图象不经过第二象限得出，，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵函数图象与x轴交于点， ∴， 解得：； （2）解：∵函数图象平行于直线， ∴， 解得：； （3）解：∵该函数图象不经过第二象限， ∴，， 解得：． 题型十二 一次函数图象与坐标轴的交点问题（共3小题） 34．如果一次函数的图像与x轴的交点在轴的正半轴上，那么m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】先求出一次函数与x轴交点的横坐标，再根据交点在正半轴列出不等式，解不等式即可得到的取值范围. 【详解】解：x轴上点的纵坐标为0，令，得， 解得， 因为一次函数的图象与x轴的交点在正半轴上， 所以， 根据不等式的基本性质，不等式两边同乘正数2，不等号方向不变，得， 解得：． 35．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于、两点． (1)求一次函数解析式； (2)点P是y轴上的点，若的面积为2，求此时P点的坐标． 【答案】(1) (2)P点的坐标为或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）设，根据三角形的面积为2建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：将、代入， 得， 解得，， 故一次函数的解析式为． （2）设，、， 解得，或， 故点的坐标为或． 36．如图，已知函数的图象为直线，函数的图象为直线，直线、分别交轴于点和点，分别交轴于点和，和相交于点． (1)求直线的解析式； (2)若点是轴上一点，连接，当的面积是面积的2倍时，请求出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】（1）将和代入直线：可得，计算即可得出结果 （2）先求出直线的解析式为，令，则，求得，设点到轴的距离为，则，，结合题意得出，设，则，，进而得出，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将和代入直线：可得， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：将代入直线：可得， 解得， ∴直线的解析式为， 令，则，解得， ∴， 设点到轴的距离为，则，， ∵的面积是面积的2倍， ∴， 设，则，， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或． 题型十三 画一次函数的图象（共3小题） 37．在如图所示的平面直角坐标系中． (1)画出函数的图象； (2)若图象与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）列表，描点，然后连线即可画出图象； （2）首先得到，，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：列表如下： x 0 1 0 图象如图所示： （2）解：由（1）得，， ∴，， ∴． 38．画出函数的图象． (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … … (2)描点并连线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）把对应的x的值代入解析式中求出对应的y的值即可； （2）根据（1）所求，先描点，再连线画出函数图象即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … … （2）解：函数图象如下所示： 39．已知一次函数与轴交于点与轴交于点．且与满足． (1)求出点，点的坐标； (2)求出一次函数的表达式，并画出图象； (3)在轴上是否存在一点，使三角形是以为腰的等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，求出符合题意的点的坐标． 【答案】(1)， (2)；作图见解析 (3)点的坐标为或或 【分析】本题主要考查了非负数的性质、一次函数的图象、等腰三角形的性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由非负数的性质即可得解； （2）根据两点确定一条直线即可画图； （3）求出，分，两种情况讨论． 【详解】（1）解：， ，． ，． （2）过，作直线即为一次函数的图象． （3），， ，． ． 设， ． ①当时，即， 或． 或． ②当时， ， ． ． 综上所述：点的坐标为或或． 题型十四 一次函数解析式（共3小题） 40．已知与成正比例，当时，． (1)求与的函数表达式； (2)若点在（1）中的函数图象上，请求出m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，再由当时，，求出的值即可得解； （2）当时，求出的值即可． 【详解】（1）解：与成正比例， 设， 当时，， ， 解得：， ，即， 与的函数表达式为； （2）解：∵点在函数的图象上， ∴． 41．已知一次函数图象过点和. (1)求该一次函数解析式； (2)求当时，函数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，求一次函数的函数值． （1）根据待定系数法求一次函数的解析式即可． （2）将代入一次函数的解析式，解得的值即可． 【详解】（1）解：设该一次函数的解析式为，代入点和得， 解得：， ∴该一次函数的解析式为：； （2）解：当时，代入一次函数的解析式得：. ∴当时，函数的值为. 42．已知一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象相交于点． (1)求a的值； (2)求k、b的值 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）将点代入函数求解即可； （2）利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：将点代入函数得：， 即； （2）解：由（1）知，， 将点和点代入函数得： 解得． 题型十五 正比例函数的图象、性质（共3小题） 43．已知正比例函数和一次函数． (1)若一次函数和正比例函数的图象交于点，求m和k； (2)k满足什么条件时，上述两个函数的图象的交点一定在第一象限？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的相关知识， （1）先根据一次函数求出m的值，再将点坐标代入求出k的值即可； （2）当两条直线不平行时必定相交，根据交点在第一象限得出正比例函数必须经过第一象限，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一次函数和正比例函数的图象交于点， ∴， ∴； （2）解：∵一次函数的图象经过一、二、四象限， 当时，两直线一定有交点， 若两个函数的图象的交点一定在第一象限， 则函数的图像一定需要经过一象限， ∴． 44．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)判断点，是否在这个函数的图象上． 【答案】(1) (2)见解析 (3)不在 【分析】（1）直接把点代入正比例函数，求出k的值即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）把点的横坐标代入正比例函数的解析式求出y的值，进一步比较得出答案即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴这个函数的解析式； （2）解：当时，， 当时，， ∴经过点，，描点画出图象如下： （3）解：∵正比例函数的解析式为， ∴当时，， ∴点不在这个函数的图象上． 45．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点C，且C点的横坐标为1，一次函数的图象经过C、两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)求C点的坐标 (2)求一次函数的解析式及A、B两点的坐标． (3)求的面积 【答案】(1) (2)，， (3)6 【分析】（1）将代入，求出y的值即可； （2）把，代入，求出k、b的值，即可得出答案． （3）由，，得，即可得． 【详解】（1）解：将代入， 得, ∴． （2）解：把，代入， 得， 解得， ∴， 令，则，解得；令，则， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∴． 题型十六 一次函数的平移问题（共3小题） 46．在平面直角坐标系中，将直线向右平移6个单位或向下平移4个单位可得到同一条直线，则直线经过的点可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的平移方式求出两种平移方式下平移后的函数解析式，则可求出，得到直线，再分别验证选项中的点即可． 【详解】解：将直线向右平移6个单位，得到的函数解析式为， 将直线向下平移4个单位，得到的函数解析式为， 直线向右平移6个单位或向下平移4个单位可得到同一条直线， ， 解得， 直线， 当时，，则点在直线上， 当时，，则点不在直线上， 当时，，则点不在直线上， 当时，，则点不在直线上， 只有A选项符合题意； 47．已知A，B是直线l上两点，，，将直线l平移后交x轴正半轴于点E，交y轴于点F，点P为直线上一点，直线交y轴于点Q，满足，，则点P的坐标为______． 【答案】 或 【分析】解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，分两种情形：当点在y轴的负半轴上时，连接，，，首先利用面积法证明，设，，，用k表示出a，b，再利用面积法，构建方程求出k即可，当点Q在线段上时，此时，点P在的延长线上，同法可求． 【详解】解：当点在y轴的负半轴上时，连接，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 设，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同法可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点Q在线段上时，此时，点P在的延长线上，同法可得， 综上所述，满足条件的点P的坐标为或． 48．已知直线的图象与直线的图象平行． (1)求直线的函数解析式，并在直角坐标系中画出该函数图象； (2)直线的函数图象与轴，轴分别交于、两点，为轴上的一个动点，当的面积为8时，求的值． 【答案】(1)，图象见详解 (2)或 【分析】（1）根据两条直线平行可以得出这两条直线的解析式中自变量的系数相等即可求出的值，问题即可解； （2）先求出、两点的坐标，进而得出，再根据三角形的面积求出，结合点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得：， ∴直线， 当时，解得：， 当时，解得：， ∴，， 结合上述两点，画函数图象如下： （2）∵， ∴， 如图， ∵的面积为8， ∴， ∴， ∵，， ∴，或者， 即：，或者． 题型十七 根据一次函数的增减性求参数（共3小题） 49．已知是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】对于一次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，结合两点横坐标的大小即可判断和的大小关系． 【详解】解：在一次函数中， ， 随的增大而增大， 又， ． 50．已知一次函数，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】理解一次函数，当时，随的增大而增大，根据该性质列不等式求解即可。 【详解】解：一次函数中随的增大而增大， ， 解得． 51．已知直线，当m为何值时： (1)此直线与直线平行． (2)此直线与直线交于点． (3)此直线不经过第三象限． (4)函数值y随x的增大而减小且与y轴的交点在x轴下方． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）两直线平行，比例系数相等，即，求出方程的解即可； （2）先将点代入直线求出，然后再将该点代入，即可求出的值； （3）①当时，直线不经过第三象限，那么直线经过第二、四象限或第一、二、四象限，即满足，，由此可得到关于的不等式组，求出不等式组的解即可；②当时，直线不经过第三象限，即满足，由此可得到关于的不等式组，求出不等式组的解即可； （4）根据函数值随的增大而减小且与轴的交点在轴下方，可得，，由此可得到关于的不等式组，求出不等式组的解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：将点代入直线，得， 解得，即交点坐标为． 将点代入，得， 解得． （3）解：直线不经过第三象限，则其斜率且在轴上的截距 因此有 解得 （4）解：依题意，得 解得． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，两条直线平行的条件，解题的关键是掌握一次函数的性质． 题型十八 比较一次函数值的大小（共3小题） 52．已知与成正比例，且当时，． (1)求与的函数关系式； (2)若点，在这个函数的图象上，试判断与的大小关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数解析式的求法，一次函数的性质．熟练掌握和理解一次函数解析式的求法；将点的坐标代入解析式求出k，一次函数的性质等知识，这是解答此题的关键所在． （1）先设一次函数解析式为，根据，时，代入一次解析式求得k；　 （2）将点，代入一次函数解析式求出a、b的值即可求解. 【详解】（1）解：设， 把，代入得， 解得， ∴． ∴与的函数关系式为． （2）解：∵点，在函数的图象上， ∴， ， ∴． 53．已知与成正比例，且当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)已知点在该函数的图象上，且，求m的取值范围； (3)当时， y的最小值为5， 求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查正比例函数的概念，一次函数的图象与性质，掌握好一次函数的性质是解题关键． （1）根据正比例函数的定义，使用待定系数法解题； （2）将点坐标代入（1）中的解析式，求出与关系后，代入不等式，得到m的取值范围； （3）利用一次函数的增减性可知，当时，y取最小值，代入解析式求出m即可． 【详解】（1）解：设， 将，代入解析式，得： ， 解得，， ∴，即； （2）解：将，代入解析式，得： ， ∵， ∴， 解得，； （3）解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，y取最小值5， ∴，解得，． 54．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且垂直于轴的直线交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于3，直接写出的值． 【答案】(1)函数的解析式为， (2)1 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征． （1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点的纵坐标为3，代入函数解析式求出点的横坐标即可； （2）根据函数图象得出当过点时满足题意，代入求出n的值即可． 【详解】（1）解：把点和代入得： ， 解得：， ∴该函数的解析式为， 由题意知点的纵坐标为3， 当时， 解得：， ∴； （2）解：由（1）知：当时，， 因为当时，函数的值大于函数的值且小于3， 所以当过点时满足题意， 代入得：， 解得：． 题型十九 求直线围成的图形面积（共3小题） 55．如图，已知一次函数，的图象交于点A，它们分别交x轴于点B，C，则的面积为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】题目主要考查一次函数的基本性质及交点和三角形面积问题，根据题意得出，，结合图形计算面积即可，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点方法是解题关键 【详解】解：∵一次函数， ∴当时，， 解得：， ∵一次函数, ∴当时，， 解得： ， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴， 边上的高即为点A的纵坐标1， ∴的面积为：， 故选：B 56．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，过点的直线平分的面积且与轴交于点，则直线对应的函数解析式为__________． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、三角形中线性质，熟练掌握以上知识点是关键． 先求出点、的坐标，根据中线性质得到点坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点， 令，则，令，则， ，． 过点的直线平分的面积， ， ． ， 设直线对应的函数解析式为． 把代入，得，解得， 直线对应的函数解析式为． 故答案为：． 57．如图，直线与轴、轴分别交于点，且与直线相交于点，直线与轴、轴分别交于点、． (1)求点的坐标及直线的函数表达式； (2)直接写出点的坐标； (3)直线上是否存在点，使得的面积为？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）先求得，再待定系数法求解析式，即可求解； （2）令，代入，即可求解； （3）过点作轴交于点，得出，设，进而分类讨论，根据三角形的面积公式，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入 ∴ ∴ 设直线的函数表达式为 将、代入 ∴ 解得： ∴直线的函数表达式为 （2）解：当时， ∴ （3）解：如图，过点作轴交于点， 当时，，则，则 设 当在的上方时， ∴ 解得：， ∴ 当在的下方时，如图 ∴ 解得：， ∴ 综上所述，点的坐标为或 题型二十 一次函数与方程（共3小题） 58．如图是一次函数的图像，则方程的解为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，一元一次方程的解就是对应一次函数与x轴交点的横坐标是解题的关键． 关于x的方程一元一次方程的解就是一次函数与x轴交点的横坐标的值，据此即可解答． 【详解】解：从图像上可知，一次函数与x轴交点的横坐标为， 所以关于x的方程的解为． 故答案为：． 59．如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键．一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解． 【详解】解：一次函数和的图象相交于点， 的解为， 故答案为：． 60．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，又大于函数的值，直接写出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将已知两点代入解析式，列方程组求解即可； （2）先联立两条已知直线的解析式求出它们的交点坐标，再根据已知条件，确定该正比例函数必经过此交点，最后将交点坐标代入即可求出的值． 【详解】（1）解：将点和点代入0）中，得 ， 解得； （2）解：． 联立， 解得， ∴函数与的图象交于点， 如图， ∵当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，又大于函数的值， ∴函数的图象经过点， ∴，解得． 题型二十一 一次函数与不等式（共3小题） 61．如图，直线与坐标轴的两个交点分别为，，则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】根据图像确定直线与轴的交点坐标，结合图像在轴下方的部分对应的的取值范围进行求解． 【详解】解：由图像可知，直线与轴的交点为． 当时，．观察图像可知，函数随的增大而增大， 当时，，即． 不等式的解集为． 62．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是___________． 【答案】 【详解】解：由图可知，当时，直线在直线的上方， 故关于x的不等式的解集是． 63．在平面直角坐标系中，直线与的图象交于点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，又小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）将代入先求出k，再将代入即可求出b； （2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的下方，画出临界状态图象分析即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入得：， 解得：； 将，代入得：， 解得：； （2）解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为， 把代入得：， ∴的函数图象总是经过点， 把代入得：， 解得：， 当直线平行时，， ∵当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，又小于函数的值， ∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的下方，则画出图象为， 由图象得：当直线在直线与直线之间时，符合题意， ∴m的取值范围为． 题型二十二 分配方案问题（共3小题） 64．灯彩（洛阳宫灯）是国家级非物质文化遗产之一．古朴典雅，款式多样，彩绘蕴蓄，是生活的真实写照，给人以美的享受．李老师计划购进一批灯彩，已知甲、乙两个商店的标价都是每个10元．两商店售卖方式如下：设李老师购买灯彩的个数为x（个），甲商店所需费用为元，且；乙商店所需费用为元． 甲商店 乙商店 购买一张会员卡， 享受会员价， 每个灯彩可按标价的七折卖； 不购买会员卡， 每个灯彩可按标价的九折卖． (1)甲商店一张会员卡的价格为______元； (2)求的函数表达式； (3)若李老师准备买40个灯彩，则选哪个商店比较合算，请说明理由． 【答案】(1)100 (2) (3)选乙商店比较合算，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，明确题意，求出相应的函数解析式是解题的关键． （1）代入到，得到相应的值，即可得出甲商店一张会员卡的价格； （2）根据乙商店的售卖方式，即可求出的函数表达式； （3）分别代入到和，比较相应与的大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，， 当时，， 即甲商店一张会员卡的价格为100元． 故答案为：100． （2）依照乙商店的售卖方式可得：， 的函数表达式为． （3）选乙商店比较合算，理由如下： 代入，则； 代入，则； ， 选乙商店比较合算． 65．福鼎市贯岭镇是黄栀子之乡，今年黄栀子价格大涨，农民收益颇丰，某天一农户采收级、级黄栀子共斤，级黄栀子售价每斤元，级黄栀子售价每斤元． (1)求该农户全部售出这些黄栀子的收入（元）与采收的级黄栀子数量（斤）之间的函数关系式； (2)若当天全部售出这些黄栀子的总收入为元，求售出的级黄栀子的数量． 【答案】(1) (2)若收入元时，则售出的级黄栀子斤． 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用： （1）依题意得，化简即可求得答案； （2）将代入一次函数即可求得答案． 【详解】（1）依题意，得 ， 即； （2）当时，可得 解得 ． 答：若收入元时，则售出的级黄栀子斤． 66．某校要采购一款水杯，了解到有A，B两家超市可供选择，此款水杯在A，B两家超市售价均为50元，为了促销两家超市给出了不同的优惠方案： A超市：打8折出售； B超市：20个以内（含20个）不打折，超过20个后，超过的部分打7折． 该校计划购买水杯x个，设去A超市购买应付元，去B超市购买应付元． (1)分别求出，关于x的函数关系式； (2)若该校只在一个超市购买，怎样买更划算． 【答案】(1)，； (2)当时，在A厂家购买划算；当时，两个厂家付款一样；当时，在B厂家购买划算． 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、根据题意写出函数关系式并掌握一元一次不等式的解法是本题的关键． （1）根据售价、购买数量和折扣可直接写出关于x的函数关系式；分别根据购买数量小于等于20件和大于20件两种情况列出方程即可； （2）根据x不同的取值范围，分别求出当、、时对应的x的取值范围即可． 【详解】（1）解：，， ∴， 当时，， 当时，， ∴； （2）解：当时，， 当且为整数时： 若，得，解得； 若，得，解得； 若，得，解得； 综上，当时，在A厂家购买划算；当时，两个厂家付款一样；当时，在B厂家购买划算． 题型二十三 最大利润问题（共3小题） 67．某礼品店经销，两种礼品盒，第一次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元；第二次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元． (1)求购进，两种礼品盒的单价分别是多少元； (2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共盒，总费用不超过元，那么至少购进种礼品盒多少盒？ (3)在（2）的条件下，若每个礼品盒的利润为元，每个礼品盒的利润为元，如何进货才能使销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元； (2)至少购进种礼品盒盒； (3)购进种礼品盒盒，种礼品盒盒才能使销售利润最大，最大利润是元． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用， （1）设购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元，根据题意列二元一次方程组解决； （2）设购进种礼品盒盒，则购进种礼品盒盒，根据总费用不超过元列不等式解决； （3）设销售利润为元，得出，根据一次函数性质求出最值即可． 【详解】（1）解：设购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元， 由题意得：， 解得：， 答：购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元； （2）设购进种礼品盒盒，则购进种礼品盒盒， 由题意得：， 解得：， 答：至少购进种礼品盒盒； （3）设销售利润为元， 由题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值， 此时，， 答：购进种礼品盒盒，种礼品盒盒才能使销售利润最大，最大利润是元． 68．某电商公司根据市场需求购进一批，两种型号的电脑小音箱进行销售，每台型小音箱的进价比型小音箱的进价多10元，用6000元购进型小音箱的台数是用4000元购进型小音箱的台数的2倍． (1)求每台两种型号的小音箱的进价． (2)该电商公司计划分别购进两种型号的小音箱共80台进行销售，其中型小音箱台数不少于型小音箱台数的2倍，型小音箱每台售价为35元，型小音箱每台售价为48元，怎样安排进货才能使售完这80台小音箱所获利润最大?最大利润是多少元? 【答案】(1)每台型小音箱的进价是元，每台型小音箱的进价是元 (2)购进型小音箱台、型小音箱台才能使售完这台小音箱所获利润最大，最大利润是元 【分析】本题主要考查了分式方程和一次函数的实际应用，关键在于知识点的掌握和与现实生活结合的能力． （1）根据已知条件建立方程求出两种型号小音箱的进价． （2）根据利润关系和数量限制条件确定利润最大时的进货方案． 【详解】（1）设每台型小音箱的进价是元，则每台型小音箱的进价是元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的根， ， 每台型小音箱的进价是元，每台型小音箱的进价是元； （2）设购进型小音箱台，则购进型小音箱台， 根据题意，得， 解得且为整数， 设售完这台小音箱所获利润为元，则， ， 随的减小而增大， 且为整数， 当时，取最大值，（元）， 此时购进型小音箱（台）， 购进型小音箱台、型小音箱台才能使售完这台小音箱所获利润最大，最大利润是元． 69．某水果商店购进甲、乙两种水果进行销售，经了解甲种水果和乙种水果的进价与售价如表所示． 甲 乙 进价（元/千克） 售价（元/千克） 18 23 已知用1000元购进甲种水果的重量与用1400元购进乙种水果的重量相同． (1)求表中的值； (2)若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的4倍，从进货到全部卖完两种水果均有的损坏．如果设将所有完好水果卖出会获利元，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)10 (2)购进80千克甲种水果，20千克乙种水果，才能获得最大利润，最大利润是630元 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意，找准关系是解答的关键． （1）根据表格数据关系，利用“用1000元购进甲种水果的重量与用1400元购进乙种水果的重量相同”列方程求解即可； （2）设购进千克甲种水果，则购进千克乙种水果，先根据已知列不等式求得m的取值范围，再根据利润等于销售量乘以单件利润列出函数关系式，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，也满足题意， 的值为10． （2）解：设购进千克甲种水果，则购进千克乙种水果， 甲种水果的重量不低于乙种水果重量的4倍， ， 解得， 则， 由（1）可得，甲的进价为10元，乙的进价为14元， 而， ， 随增大而减小， 当时，取最大值，最大值为（元）， 此时， 购进80千克甲种水果，20千克乙种水果，才能获得最大利润，最大利润是630元． 题型二十四 行程问题（共3小题） 70．随着人工智能的发展，许多餐厅使用智能机器人送餐．图1是某餐厅的机器人小聪和小智，他们从厨房门口出发，准备给相距的同一桌客人送餐，小聪比小智先出发，且速度保持不变，小智出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小聪行走的时间为，小聪和小智行走的路程分别为与之间的对应关系如图2所示，请根据图象回答下列问题： (1)小智提速后的速度为___________； (2)___________； (3)求小聪行走的路程与行走的时间之间的函数表达式；小智比小聪提前多少秒送餐到位？ 【答案】(1) (2) (3)，秒 【分析】（1）先确定小智出发时间和提速前的路程、时间，计算提速前速度，再得提速后速度； （2）结合小智提速后的路程计算到达时间； （3）用待定系数法求小聪的函数表达式，再分别求出小聪和小智到达时间，计算时间差． 【详解】（1）解：小智从开始出发，到时走了， 此阶段时间为，则提速前速度为， 提速后速度是原来的倍， 所以提速后速度为； （2）小智提速后行驶的路程为总路程减去提速前的，即， 提速后速度为， 所以提速后行驶时间为；   小智从出发，先花走，再花走， 总时间为，即小智到达时间为， 此时； （3）由上述计算，小聪速度为， 且从开始行走， 所以与的函数表达式为； 小聪要走到， 令，即，小聪到达时间为， 解得， 小智到达时间为， 所以小智比小聪提前的时间为． 71．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系． 根据图象回答问题： 信息读取： (1)甲、乙两地之间的距离为______； (2)请解释图中点B，点C和点D的实际意义； 图象理解： (3)求慢车和快车的速度； (4)直接写出线段所表示的y与x之间的函数解析式并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)900 (2)点B表示两车相遇，点表示快车到达乙地，点表示慢车到达甲地 (3)慢车速度为，快车速度为 (4)， 【分析】（1）由图象可知，当时，，即甲、乙两地之间的距离． （2）点处表示两车相遇，点处斜率变化表示快车到达终点，点处表示慢车到达终点． （3）利用慢车走完全程求慢车速度，利用两车小时相遇求快车速度． （4）先求出点坐标，再用待定系数法求线段的函数解析式． 【详解】（1）解：由图象可知，当时，， 甲、乙两地之间的距离为． （2）解：点：两车相遇，即两车行驶后相遇， 点：快车到达乙地，即快车行驶后到达乙地， 点：慢车到达甲地，即慢车行驶后到达甲地． （3）解：慢车速度， 设快车速度为， 两车相遇， ， 解得， 慢车速度为，快车速度为． （4）解：快车到达乙地所需时间h， 此时慢车行驶路程， 点坐标为， 设线段的函数解析式为， 将，代入： ， 解得， ，． 72．如图1，公路上有A、B、C三地，小红、小芳两人分别从A、C两地同时出发，沿公路匀速相向而行．如图2，线段、分别表示小红、小芳两人距离地的距离（米）与跑步时间（分钟）的函数图象． (1)__________米； (2)记线段、的交点为，求点坐标，并解释该点的实际意义； (3)若小红到达地后，3分钟后小芳也到达地，求、两地间的距离． 【答案】(1)1200 (2)；小红、小芳跑了4分钟相遇，此时距离A点800米 (3)600米 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据函数图象获得信息，一元一次方程的应用． （1）根据函数图象直接得出答案即可； （2）根据图象求出两个人的速度，然后求出他们相遇的时间，再求出相遇时小红距离出发点的距离，即可求出点Q的坐标； （3）设A、B两地的距离为s米，利用时间关系可得，再解方程即可． 【详解】（1）解：根据函数图象可得：米； （2）解：根据函数图象可得：小红的速度为：（米/分）， 小芳的速度为：（米/分）， 相遇时小红用的时间为：（分钟）， 相遇时小红跑的路程为：（米） ∴点Q的坐标为，点Q表示小红、小芳跑了4分钟相遇，此时距离A点800米． （3）解：设A、B两地的距离为s米． 由题意得， 解得， 答：A、B两地的距离为600米． 题型二十五 梯度计价问题（共3小题） 73．某风景区集体门票的收费标准如下：30人以内（含30人），每人35元；超过30人，超出的人数每人20元． (1)写出应收门票费用y（单位：元）关于游览人数的函数表达式． (2)如果某单位有45人去该风景区游览，那么购买门票的费用为多少元？ (3)若某单位购买门票花了1650元，则该单位组织了多少人去该风景区游览？ 【答案】(1) (2)1350元． (3)该单位组织了60人去该风景区游览． 【分析】（1）当人数时，门票费用由人基础费用和超出人的额外费用两部分组成，将两部分相加并整理成函数表达式． （2）已知人数，直接代入（1）中得到的函数表达式计算费用． （3）先判断费用元对应的人数是否超过人，再代入函数表达式解方程求人数． 【详解】（1）解：． （2）解：将代入，得． 故购买门票的费用为元． （3）解：由题意知，该单位组织去该风景区游览的人数超过． 将代入，得， 解得． 故该单位组织了人去该风景区游览． 【点睛】本题考查了分段函数的实际应用，掌握分段收费问题需先判断区间，再代入对应表达式计算是解题的关键． 74．小明用的练习本可在甲、乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是每本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的7折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的8.5折卖．设购买练习本数量为x本，甲商店收费为元，乙商店收费为元．（） (1)分别求出，与x之间的关系式； (2)当甲、乙两个商店的收费相同时，所买练习本为多少本？ (3)当购买的数量为22本时，应选择哪个商店更优惠？请说明理由． 【答案】(1)， (2)当甲、乙两个商店的收费相同时，所买练习本为20本 (3)应选择甲商店更优惠，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是根据题意正确建立函数解析式． （1）根据总价单价数量就可以表示出y与x之间的关系式； （2）根据题意得，可得方程，再解方程即可； （3）将分别代入两个函数解析式，求出函数值，再比较即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ； （2）解：根据题意得， 即， 解得， 答：当甲、乙两个商店的收费相同时，所买练习本为20本． （3）解：应选择甲商店更优惠，理由如下： 买22本练习本， 甲商店的费用为元， 乙商店的费用为元． ∵， ∴应选择甲商店更优惠． 75．为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户年用电量及分档计费标准： 计费档 户年用电量 单价/[元] 第一档 0.53 第二档 0.58 第三档 0.83 (1)当时，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某户年用电量是，求该户这一年的电费； (3)某户去年一年的电费是1834元，求该户去年一年的用电量． 【答案】(1) (2) 该户这一年的电费为元； (3) 该户去年一年的用电量为． 【分析】本题考查了分段函数的应用．根据不同用电量区间的单价来计算电费是解题的关键． （1）需考虑分档计费，第一档的电费按照计算，超过的部分按单价计算，将两部分电费相加并化简即可得到关系式； （2）已知年用电量是，判断其处于区间，将代入（1）中的关系式并计算即可； （3）先计算第一档最多电费为元，与已知电费元比较，可知用电量超过第一档；再计算用电量为时的电费，与已知电费元比较，可知用电量在区间，最后将代入计算即可． 【详解】（1）解：， 化简得； （2）解：将代入， 得到， 该户这一年的电费为元； （3）解：元元， 该户用电量超过， 将代入， 解得， 该户用电量在区间， 将代入， 得到， 解得， 答：该户去年一年的用电量为． 题型二十六 一次函数的旋转问题（共3小题） 76．规定：在平面直角坐标系内，某直线绕原点O顺时针旋转，得到的直线称为的“旋转垂线”．    (1)求出直线的“旋转垂线”的解析式； (2)若直线的“旋转垂线”为直线．求证：； (3)如图，在平面直角坐标系中，点，点，点P是直线上一点，度，求点P的坐标． 【答案】(1)直线的“旋转垂线”的解析式是： (2)见解析 (3) 【分析】（1）先求出直线与坐标轴的交点，再求出这两个交点绕原点顺时针旋转后的点，再用待定系数法求出直线的“旋转垂线”的解析式即可； （2）分别求出直线和直线与坐标轴的交点，再利“直线绕原点O顺时针旋转得到的直线”得到这些交点横纵坐标的相等关系，从而得解； （3）作交的延长线于点C，作，作于D，先证明，从而证明，继而推导点C的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，最后用两直线求交点的方法求出点P的坐标． 【详解】（1）解：如图1，    由得：，， ∴点A绕点O顺时针旋转90°后对应的点是， 点B绕点O顺时针旋转90°后对应的点是， 设的解析式为：， 将点，代入得： 解得：， ∴的解析式为：， 即直线的“旋转垂线”的解析式是：； （2）证明：如图2，设直线与轴、轴分别交于点，直线与轴、轴分别交于点，    对于直线 当时，， ∴ 当时，， 解得：， ∴ 同理可得：， ， 依题意得：点绕点O顺时针旋转90°后对应的点是， 点绕点O顺时针旋转90°后对应的点是， ∴ 由得： 两边同时除以并整理得：； （3）解：如图3，作交的延长线于点C，作，作于D，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：， 将代入得： 解得 ∴直线的解析式为：， 直线与直线的解析式联立得： ， 解得 ∴ 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，一次函数图像与坐标轴的交点等知识，利用与坐标轴的交点解决旋转问题是解题的关键．第二问中直线与坐标轴的交点无论在原点的哪个方向，它旋转后用字母表示的结果不变．更一般地，直角坐标系内任意一点绕原点旋转顺时针之后的点是，因此可以不对进行讨论． 77．【问题背景】 数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系． 【问题初探】 （1）如图1，在中，，点与直角顶点重合，射线交边于点，点在射线上，且满足，连接．判断线段与的关系为______． 【问题深探】 （2）如图2，在中，，点为斜边中点，射线交边于点，射线交边于点，且满足 问题①：线段与满足什么数量关系？请说明理由； 问题②：请直接写出线段之间的数量关系____________． 【问题拓展】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点为斜边中点，轴上有一点，动直线绕着点旋转，与轴相交于点，且满足，直线的表达式为____________（直接写出表达式即可）． 【答案】（1）且，理由见解析；（2）①，理由见解析；②（3）或 【分析】本题主要考查的是一次函数综合运用、全等三角形的判定与性质、一次函数的图象和性质、勾股定理的运用等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）用证明即可求解； （2）①先证明得到即可解答；②先说明，再在中，即可求解； （3）先求得，再证明，则；设点，则，解得：（舍去）或4，即点；然后运用勾股定理求得直线的表达式为，当直线l和上述垂直时，也符合题意，求得点F的坐标，最后运用待定系数法求出直线直线l的表达式即可求解． 【详解】解：（1）且，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：且． （2）①，理由如下： 如图：连接， ∵，点为斜边中点， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②∵， ∴； 在中，，即． 故答案为：． （3）∵在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，， ∴ ∵点为斜边中点， ∴点， ∵， ∴，则， 设点，则，解得：（舍去）或4， ∴点， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的表达式为：， 如图：当直线和上述垂直时， ∵在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，， ∴，， ∵点为斜边中点， ∴点，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：该直线l符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为，则有： 则，解得：， ∴直线的解析式为． 综上，直线的表达式为或． 故答案为：或． 78．对于平面直角坐标系内的点P和点Q，给出如下定义：若满足点Q绕点P旋转度后落在半径为1的圆O上，则称点Q是点P的关联点．已知点A的坐标为．    (1)点、、中是点A的关联点的是______； (2)点是点A的关联点，求m的取值范围； (3)已知直线交坐标轴于M、N两点，若线段上的所有点都是点A的关联点，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)是点A的关联点； (2) 或 (3)见解析 【分析】（1）点、、旋转度后落在半径为1的圆O上，称为点A的关联点，则要求这三个点到A的距离点A到圆O的距离即可； （2）根据到A的距离点A到圆O的距离列式求解即可； （3）先根据题意画出图形，求出点A到直线的距离，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：点、、旋转度后落在半径为1的圆O上，称为点A的关联点，则这三个点到A的距离， ∵， ∴， ∴，即这三个点到A的距离， ∵，，， ∴是点A的关联点； （2）解：∵点是点A的关联点，， ∴  ，解得： ∴ 或 解得 或 （3）解：过点A向y轴垂线，与相交于点D，过点A向x轴垂线，与相交于点E，如图，    ∵， 当时，，当时，， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∵线段上的所有点都是点A的关联点， ∴线段上的所有点到A的距离点A到圆O的距离， ∴， 当时，解得：， 当时，解得：； 【点睛】本题考查一次函数综合应用，解题关键是理解题意，数形结合通过构造线段长度作差求解． 题型二十七 一次函数的折叠问题（共3小题） 79．如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使，分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接， ． (1)求A、C两点的坐标； (2)将纸片折叠， 使点A与点C重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分的面积； (3)求所在直线的函数表达式． 【答案】(1) (2)折叠后纸片重叠部分的面积为10 (3) 【分析】本题考查了一次函数的面积问题，求一次函数解析，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握待定系数法，求出重叠部分三角形的底和高是解题的关键． （1）根据得出，根据勾股定理得出，列出方程求解即可； （2）设，则，在中，根据勾股定理可得，列出方程求出，根据，即可解答； （3）由（2）可得，设，则，在中，根据勾股定理可得：，列出方程求出，则，在用待定系数法即可求出所在直线的函数表达式． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形为长方形， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为长方形， ∴， ， 由折叠可得：， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ∴， ∴折叠后纸片重叠部分的面积为10； （3）解：由（2）可得， ∴， 由折叠可得：， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ∴， 设所在直线的函数表达式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴所在直线的函数表达式为． 80．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，C是x轴上一点，将沿着过点B、C的直线折叠，使点A落在y轴上的点D处． (1)求点D的坐标； (2)求直线的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，折叠的性质，求一次函数解析式． （1）先求出，，得到，，根据勾股定理求出，根据折叠的性质得到，求出，即可求出点D的坐标； （2）根据折叠的性质得到，设，根据勾股定理求出，即，可知，根据待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：当时，，即； 当时，解得：，即； ∴，， ∴， ∵将沿着过点B、C的直线折叠，使点A落在y轴上的点D处， ∴， ∴， 即； （2）解：∵将沿着过点B、C的直线折叠，使点A落在y轴上的点D处， ∴， 设， 则， ∴， 解得：， 则， 即， 设直线的函数表达式为， 则， 解得：， 即． 81．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点是轴上一点，把坐标平面沿直线折叠，使点的对应点刚好落在轴上，作直线． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求的值： (3)点为直线上一点，点，连接．若，求点的坐标； (4)若直线上的一点到直线的距离是2，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数及其图象性质，一次函数与二元一次方程组，全等三角形的判定和性质，三角形面积，勾股定理，解决问题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线． （1）先求出、两点的坐标，由勾股定理求出的长，由折叠的性质求出点的坐标，再根据待定系数法即可求出直线对应的函数表达式； （2）连接，由题意得，，在中，,列方程即可求出的值； （3）过点作的平行线，交轴于点，易证，由此可得点的纵坐标，代入中，即可得点的坐标； （4）在线段上取一点，使点到线段的距离为2，连接，过点作于点，过点作直线的平行线，交轴于点，则直线与直线的交点即为点；过点作点的对称点，过点作直线的平行线，交直线于点；求出点、的坐标即可 【详解】（1）解：， 令，则， ． 令，则， ． ，． ． 由折叠得：, ． ． 设直线的函数表达式为， 将，，代入得， ，解得， ∴直线的函数表达式为． （2）解：如图，连接， ∵点， ， ． 由折叠得：， 在中，, 即，解得． （3）解：如图，过点作的平行线，交轴于点， ． ． ． ， 轴． ． 又， ． ． ， ． ． ． ． 在中，令，则， ． （4）解：如图，在线段上取一点，使点到线段的距离为2，连接，过点作于点，则， 过点作直线的平行线，交轴于点，则直线上所有点到直线的距离均为2， ∴直线与直线的交点即为点． ， ． ． ． ∵， ∴直线的函数表达式为． 联立，解得， ． 在中，令，则． ． 如图，过点作点的对称点，则，过点作直线的平行线，交直线于点， ∵直线与直线关于直线对称， ∴直线上每一点到直线的距离也为2． ∴点即为所求． ， ∴直线的函数表达式为． 联立，解得， ． 综上所述，点的坐标为或． 题型二十八 一次函数中的最值问题（共3小题） 82．如图，在平面直角坐标系中，点，M是线段的中点． (1)求直线 的函数表达式； (2)若点P是y轴上一点，且使周长最小，求最小周长． 【答案】(1) (2)的最小周长是 【分析】本题考查了一次函数的图像性质，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，勾股定理，合理做出辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）作点关于y轴对称的点C，连接交y轴于点P，过点M作于点D，此时，可得到最小值，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，把代入可得： ， 解得：， 直线的解析式为； （2）周长， 当最小时，的周长最小， 如下图，作点关于y轴对称的点C，连接交y轴于点P，过点M作于点D， 此时，可得到最小值， ，C与A关于y轴对称， M为中点，， ，即， ， ， 在中，， 在中，， 周长． 83．直线与相交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)在轴上找一点，使得最小，并求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）将点代入，即可求出的值，将点代入，即可求出的值； （2）由直线的图象在直线图象上时，的取值范围即为不等式的解集，结合图象及交点坐标即可解答； （3）先求出点的坐标，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，可得，进而得到，此时，有最小值，最小值为的长，求出直线的解析式，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入，则，解得； 将点代入，则，解得； （2）解：根据图象，得当时，直线的图象在直线图象上方， 则不等式的解集为； （3）解：由（1）知， 将代入，则， ∴， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则， ∴， ∴， 此时，有最小值，最小值为的长， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴． 84．如图，已知直线与直线交于点分别与轴和轴交于两点． (1)填空：关于的不等式的解集是_____； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，并求出点的坐标，若不存在，请说明你的理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，根据两条直线的交点坐标求出不等式的解集，根据轴对称求出线段和最小， 对于（1），根据直线在直线上方时，自变量的取值即可不等式的解集解答； 对于（2），先求出点，再求出直线的关系式，然后求出点最后根据面积公式可得答案； 对于（3），作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为所求的点，再求出直线的表达式，然后令，求得，可得答案． 【详解】（1）解：由图可知，当时，， ∴不等式的解集是． 故答案为：； （2）解：将点代入中，得：， ． 代入中， 得：， 解得：， ， 当时，， 当时，， ； （3）解：作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为所求的点， 设的表达式为，代入点、，得： ， 直线的表达式为． 令，求得， 点的坐标为． 题型二十九 一次函数的新定义问题（共3小题） 85．在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义如下：点与点的“直角距离”为，记作． 例如：点与的“直角距离”． (1)已知点、，中，与原点的“直角距离”等于的点是________． (2)如图，已知点，，根据定义可知线段上的任意一点与原点的“直角距离”都等于．若点与原点的“直角距离”，即． ①若，则点的坐标为________． ②请你在图中将所有满足条件的点组成的图形补全； (3)已知直线和点，若直线上存在点，满足，直接写出的取值范围________． 【答案】(1) (2)①或②见解析 (3) 【分析】（1）根据“直角距离”分别计算四个点到原点的距离，即可判断； （2）①由得，把代入，求出的值即可； ②的图形是以为顶点的正方形，补全图形即可； （3）根据，并由（2）可得：点D在正方形边上，如图，通过观察图可得：k的最大值是过点E，Ｎ的直线，k的最小值是过F的直线，代入可得结论． 【详解】（1）解：∵点、， ∴，，， ∴与原点的“直角距离”等于的点是； （2）解：∵，即， ∴， 把代入，得：， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或； ②补全图形如下： （3）解：∵，则点D在正方形边上，如图2， ∴，，， 又∵点D在直线，又直线过点， 由图2可知：当直线过点E，Ｎ时，通过观察图可得：k的最大值是过点E，Ｎ的直线，k的最小值是过F的直线， 把点代入中，，， 把点F的坐标代入中，，， 故k的取值范围是：． 86．对于平面直角坐标系内的任意两点，，定义它们之间的“直角距离”为．对于平面直角坐标系内的任意两个图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的“直角距离”有最小值，那么称这个最小值为图形M、N间的“直角距离”，记作． (1)已知、，则_______，_______； (2)已知、，若，则t的取值范围是_______； (3)已知，若坐标平面内的点P满足，则在图中画出所有满足条件的点P所构成的图形，该图形的面积是_______． 【答案】(1)3，1 (2)或； (3)作图见解析，2 【分析】（1）根据“直角距离”的公式代入即可求出的值；利用待定系数法求出的表达式，根据题意表示出，最后根据一次函数的增减性即可求解； （2）首先根据“直角距离”的公式表示出点O和的“直角距离”，然后根据，可判断出，进而可求出t的取值范围； （3）首先设出点P的坐标为，根据题意代入表示出，可得出关于x和y的方程，分情况讨论画出所有满足条件的点P所构成的图形，最后求解面积即可． 【详解】（1）解：、， ， 设的表达式为， 将、，代入得 ， 解得：， ， 设线段上一点的坐标为，且， ， ， ， ， 即， ， ∴随x的增大而减小， ∵， ∴当时，有最小值， 最小值， ∴． 故答案为：3，1； （2）∵设经过点和点的表达式为， 代入得：， 解得：， ∴． ∴点O和 “直角距离”，， ∵， ∴， ∴或； 故答案为：或； （3）设点P的坐标为， ∵， ∴代入得，得∶ ，即， 当时，，即， 当时，； 当时，； 当时，，即， 当时，； 当时，； ∴如图所示，正方形即所有满足条件的点P所构成的图形， ，， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系和新定义问题，绝对值的意义，一次函数，分类讨论方法等知识点，解题的关键是正确分析“直角距离”的公式，并列出方程求解． 87．我们给出如下定义：平面直角坐标系中的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作． (1)如图，已知长度为个单位长度的线段在轴上，点的坐标为．求点到线段的距离； (2)已知平面直角坐标系内有一点，到线段：的距离，且点的横坐标为，请你画出图象，并求点的纵坐标． (3)在平面直角坐标系中有一点，到线段：的距离，请你画出点的轨迹．（点的轨迹定义：符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹） 【答案】(1) (2)画图象见解析；的纵坐标为；点的纵坐标为或 (3)见解析 【分析】（1）由M点的坐标为（1，0），点P的坐标为（1，1），根据定义可得PM就是点P到线段MN的距离． （2）首先可得点G在直线x=1上，设直线x=1交x轴于点M，交OE于点P．然后分别从①如图，过点G1作G1F⊥OE于点F，②如图，过点O作G2O⊥OE交直线x=1于点G2，去分析求解即可求得答案； （3）根据（2）的结论即可得到结果． 【详解】（1）解：点的坐标为，点的坐标为， 根据定义可得就是点到线段的距离． ； （2）解：在坐标平面内作出线段：， 点的横坐标为， 点在直线上，设直线交轴于点，交于点． 如图1，过点作于点，则就是点到线段的距离． 线段：， ，均为等腰直角三角形， ， ，由勾股定理得， 又， ． 即的纵坐标为； 如图1，过点作交直线于点，由题意知为等腰直角三角形， ， ． 点同样是满足条件的点． 点的纵坐标为． 综上，点的纵坐标为或； （3）解：如图，由知，在平面直角坐标系中有一点，到线段：的距离的点的轨迹是平行于且到的距离等于的两条线段和． 【点睛】此题属于一次函数的综合题，考查了点到直线的距离、等腰直角三角形的性质、待定系数法求一次函数的解析式等知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一次函数（含几何问题） 题型1 常量与变量（常考点） 题型16 一次函数的平移问题（重点） 题型2 函数的相关概念 题型17 根据一次函数的增减性求参数（重点） 题型3 函数的三种表示方法 题型18 比较一次函数值的大小 题型4 从函数的图象获取信息（常考点） 题型19 求直线围成的图形面积（重点） 题型5 平面直角坐标系 题型20 一次函数与方程（常考点） 题型6 坐标的平移（常考点） 题型21 一次函数与不等式（常考点） 题型7 点坐标规律探索 题型22 分配方案问题（重点） 题型8 正比例函数的定义 题型23 最大利润问题（难点） 题型9 根据一次函数的定义求参数（重点） 题型24 行程问题（难点） 题型10 一次函数的图象 题型25 梯度计价问题（重点） 题型11 根据一次函数经过的象限求参数范围（常考点） 题型26 一次函数的旋转问题（难点） 题型12 一次函数图象与坐标轴的交点问题（重点） 题型27 一次函数的折叠问题（难点） 题型13 画一次函数的图象 题型28 一次函数中的最值问题（难点） 题型14 一次函数解析式（常考点） 题型29 一次函数的新定义问题（难点） 题型15 正比例函数的图象、性质 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 常量与变量（共3小题） 1．底边为10的三角形的面积与其高的关系式为，在此式中（    ） A．是变量，5、是常量 B．、是变量，5是常量 C．是变量，5、是常量 D．5是变量，、是常量 2．标准体重是衡量身体健康状况的一项指标．男性标准体重与身高之间的关系式为：，下列关于与的说法正确的是（    ） A．为常量，为变量 B．与都为常量 C．为变量，为常量 D．与都为变量 3．某市居民用电价格是元/(千瓦·时)，居民应付电费为元，用电量为千瓦·时，其中常量是 ________，变量是 ______________． 题型二 函数的相关概念（共3小题） 4．函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 5．变量x，y有如下关系；①；②；③；④．其中y是x的函数的是________． 6．函数的自变量的取值范围是_____． 题型三 函数的三种表示方法（共3小题） 7．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂重物的质量有下面的关系，那么弹簧总长与所挂重物之间的关系式为（    ） 0 1 2 3 4 5 6 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 A． B． C． D． 8．在弹性质限度内，弹簧挂上物体后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如表： 所挂物体的质量 … 弹簧的长度 … 则不挂物体时，弹簧的长度是________． 9．如图，小珍依据漏刻的基本原理做了一个底面积为，容积为的圆柱形漏刻（浮子体积忽略不计），观测并记录了水位（单位：）与时间（单位：）之间的数据如下： 0 1 2 3 4 5 … 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 … (1)请写出水位与时间之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． (2)当时，求对应的时间，并说明它表示的实际意义． 题型四 从函数的图象获取信息（共3小题） 10．小王同学从家出发，步行到离家1200米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为_____分钟． 11．周六，小峰去博物馆参观学习．他从家出发，先去早餐店吃完早餐，然后继续骑自行车去博物馆，参观完博物馆后直接骑自行车回家，如图是小峰离家的距离（）和小峰离家的时间（）之间的关系．根据图象完成下列各题： (1)在这个过程中，自变量是________，因变量是_______； (2)博物馆离家的路程为________，小峰在博物馆参观的时间为________； (3)小峰从博物馆骑自行车回家的平均速度是多少？ 12．某快递公司开展“快递员提升配送效率”活动，要求快递员也要注意安全驾驶．快递员小李骑电动车去派送快递，他行驶了一段时间后，想起要去附近的便利店取个包裹，于是又折回到刚经过的便利店，取到包裹后继续前往派送点，直到抵达派送点．如图是他本次所用的时间与出发地距离的关系示意图． 根据图中提供的信息回答下列问题： (1)出发地到派送点的距离是____米，小李在便利店停留了____分钟； (2)整个送快递的过程中，小李的最快速度是____米/分钟； (3)当快递员小李距离派送点600米时，求小李所用时间． 题型五 平面直角坐标系（共3小题） 13．按要求解答下列各题： (1)在平面直角坐标系中，已知点在轴上，求点的坐标． (2)已知点到坐标轴的距离相等，求点的坐标． 14．在平面直角坐标系中，已知点M的坐标为． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且轴，求点的坐标． 15．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为． (1)若点在轴上，则点的坐标为_________； (2)若点在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为，求的值； (3)点的坐标为，若直线轴，且线段的长为，求的值及点的坐标． 题型六 坐标的平移（共3小题） 16．已知点在平面直角坐标系中的位置如图所示，三角形中任意一点平移后的对应点为． (1)写出点的坐标； (2)求三角形的面积； (3)点在轴上，当三角形的面积为3时，求出点的坐标． 17．在平面直角坐标系中，已知点，，的坐标分别为，，． (1)画出，求的面积； (2)若将平移得到，中的任意一点经过平移后的对应点的坐标是，直接写出平移的方法； (3)若点在轴上， 的面积为10，求出点的坐标． 18．已知点在平面直角坐标系中第一象限内，将线段平移至线段，其中点与点对应． (1)如图1，若，，连接，． ①写出点坐标_________； ②在轴上存在一点，使得，求点的坐标； (2)如图2，若，点为轴上一动点（点不与原点重合），请直接写出与之间的数量关系（不用证明）． 题型七 点坐标规律探索（共3小题） 19．如图，正方形的顶点均在正方形网格的格点处，建立平面直角坐标系后，某动点的初始位置在点处，第次移动到点处，第次移动到点处，第次移动到点处，第次移动到点处，第次移动到点处依此规律，可知第次移动后该动点所在位置的坐标为（     ） A． B． C． D． 20．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，…，…，若点的坐标为，则点的坐标为_______． 21．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，…根据这个规律，第个点的坐标为______． 题型八 正比例函数的定义（共3小题） 22．当________时，函数（是常数）是正比例函数． 23．已知，与成正比例，与成正比例，当时，；当时，，则当时，的值为_____． 24．若与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在该函数的图象上，求的值． 题型九 根据一次函数的定义求参数（共3小题） 25．已知是一次函数，则的值为（　　） A．1 B．5 C． D． 26．已知函数是关于的一次函数，则的值为_____． 27．已知函数是关于的一次函数，求的值． 题型十 一次函数的图象（共3小题） 28．画出直线，并借助图象找出： (1)直线上横坐标是2的点； (2)直线上纵坐标是的点； (3)直线上到y轴的距离等于2的点． 29．已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数解析式； (2)画出该一次函数的图象． 30．已知一次函数的图象经过和． (1)求关于的函数解析式； (2)在图中画出该函数的图象，并判断说明点是否在该函数图象上． 题型十一 根据一次函数经过的象限求参数范围（共3小题） 31．一次函数的图象经过第一、三、四象限，求a的取值范围． 32．已知函数． (1)当为何值时，函数图象经过原点； (2)若这个函数是一次函数，且图象不经过第二象限，求的取值范围． 33．已知函数． (1)若函数图象与x轴交于点，求m的值； (2)若函数图象平行于直线，求m的值； (3)若该函数图象不经过第二象限，求m的取值范围． 题型十二 一次函数图象与坐标轴的交点问题（共3小题） 34．如果一次函数的图像与x轴的交点在轴的正半轴上，那么m的取值范围是_________． 35．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于、两点． (1)求一次函数解析式； (2)点P是y轴上的点，若的面积为2，求此时P点的坐标． 36．如图，已知函数的图象为直线，函数的图象为直线，直线、分别交轴于点和点，分别交轴于点和，和相交于点． (1)求直线的解析式； (2)若点是轴上一点，连接，当的面积是面积的2倍时，请求出符合条件的点的坐标． 题型十三 画一次函数的图象（共3小题） 37．在如图所示的平面直角坐标系中． (1)画出函数的图象； (2)若图象与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，求出的面积． 38．画出函数的图象． (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … … (2)描点并连线． 39．已知一次函数与轴交于点与轴交于点．且与满足． (1)求出点，点的坐标； (2)求出一次函数的表达式，并画出图象； (3)在轴上是否存在一点，使三角形是以为腰的等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，求出符合题意的点的坐标． 题型十四 一次函数解析式（共3小题） 40．已知与成正比例，当时，． (1)求与的函数表达式； (2)若点在（1）中的函数图象上，请求出m的值． 41．已知一次函数图象过点和. (1)求该一次函数解析式； (2)求当时，函数的值． 42．已知一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象相交于点． (1)求a的值； (2)求k、b的值 题型十五 正比例函数的图象、性质（共3小题） 43．已知正比例函数和一次函数． (1)若一次函数和正比例函数的图象交于点，求m和k； (2)k满足什么条件时，上述两个函数的图象的交点一定在第一象限？ 44．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)判断点，是否在这个函数的图象上． 45．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点C，且C点的横坐标为1，一次函数的图象经过C、两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)求C点的坐标 (2)求一次函数的解析式及A、B两点的坐标． (3)求的面积 题型十六 一次函数的平移问题（共3小题） 46．在平面直角坐标系中，将直线向右平移6个单位或向下平移4个单位可得到同一条直线，则直线经过的点可以是（    ） A． B． C． D． 47．已知A，B是直线l上两点，，，将直线l平移后交x轴正半轴于点E，交y轴于点F，点P为直线上一点，直线交y轴于点Q，满足，，则点P的坐标为______． 48．已知直线的图象与直线的图象平行． (1)求直线的函数解析式，并在直角坐标系中画出该函数图象； (2)直线的函数图象与轴，轴分别交于、两点，为轴上的一个动点，当的面积为8时，求的值． 题型十七 根据一次函数的增减性求参数（共3小题） 49．已知是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 50．已知一次函数，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是______． 51．已知直线，当m为何值时： (1)此直线与直线平行． (2)此直线与直线交于点． (3)此直线不经过第三象限． (4)函数值y随x的增大而减小且与y轴的交点在x轴下方． 题型十八 比较一次函数值的大小（共3小题） 52．已知与成正比例，且当时，． (1)求与的函数关系式； (2)若点，在这个函数的图象上，试判断与的大小关系． 53．已知与成正比例，且当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)已知点在该函数的图象上，且，求m的取值范围； (3)当时， y的最小值为5， 求m的值． 54．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且垂直于轴的直线交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于3，直接写出的值． 题型十九 求直线围成的图形面积（共3小题） 55．如图，已知一次函数，的图象交于点A，它们分别交x轴于点B，C，则的面积为（   ） A．1 B． C．2 D． 56．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，过点的直线平分的面积且与轴交于点，则直线对应的函数解析式为__________． 57．如图，直线与轴、轴分别交于点，且与直线相交于点，直线与轴、轴分别交于点、． (1)求点的坐标及直线的函数表达式； (2)直接写出点的坐标； (3)直线上是否存在点，使得的面积为？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型二十 一次函数与方程（共3小题） 58．如图是一次函数的图像，则方程的解为______． 59．如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是______． 60．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，又大于函数的值，直接写出的值． 题型二十一 一次函数与不等式（共3小题） 61．如图，直线与坐标轴的两个交点分别为，，则不等式的解集为________． 62．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是___________． 63．在平面直角坐标系中，直线与的图象交于点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，又小于函数的值，直接写出的取值范围． 题型二十二 分配方案问题（共3小题） 64．灯彩（洛阳宫灯）是国家级非物质文化遗产之一．古朴典雅，款式多样，彩绘蕴蓄，是生活的真实写照，给人以美的享受．李老师计划购进一批灯彩，已知甲、乙两个商店的标价都是每个10元．两商店售卖方式如下：设李老师购买灯彩的个数为x（个），甲商店所需费用为元，且；乙商店所需费用为元． 甲商店 乙商店 购买一张会员卡， 享受会员价， 每个灯彩可按标价的七折卖； 不购买会员卡， 每个灯彩可按标价的九折卖． (1)甲商店一张会员卡的价格为______元； (2)求的函数表达式； (3)若李老师准备买40个灯彩，则选哪个商店比较合算，请说明理由． 65．福鼎市贯岭镇是黄栀子之乡，今年黄栀子价格大涨，农民收益颇丰，某天一农户采收级、级黄栀子共斤，级黄栀子售价每斤元，级黄栀子售价每斤元． (1)求该农户全部售出这些黄栀子的收入（元）与采收的级黄栀子数量（斤）之间的函数关系式； (2)若当天全部售出这些黄栀子的总收入为元，求售出的级黄栀子的数量． 66．某校要采购一款水杯，了解到有A，B两家超市可供选择，此款水杯在A，B两家超市售价均为50元，为了促销两家超市给出了不同的优惠方案： A超市：打8折出售； B超市：20个以内（含20个）不打折，超过20个后，超过的部分打7折． 该校计划购买水杯x个，设去A超市购买应付元，去B超市购买应付元． (1)分别求出，关于x的函数关系式； (2)若该校只在一个超市购买，怎样买更划算． 题型二十三 最大利润问题（共3小题） 67．某礼品店经销，两种礼品盒，第一次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元；第二次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元． (1)求购进，两种礼品盒的单价分别是多少元； (2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共盒，总费用不超过元，那么至少购进种礼品盒多少盒？ (3)在（2）的条件下，若每个礼品盒的利润为元，每个礼品盒的利润为元，如何进货才能使销售利润最大？最大利润是多少元？ 68．某电商公司根据市场需求购进一批，两种型号的电脑小音箱进行销售，每台型小音箱的进价比型小音箱的进价多10元，用6000元购进型小音箱的台数是用4000元购进型小音箱的台数的2倍． (1)求每台两种型号的小音箱的进价． (2)该电商公司计划分别购进两种型号的小音箱共80台进行销售，其中型小音箱台数不少于型小音箱台数的2倍，型小音箱每台售价为35元，型小音箱每台售价为48元，怎样安排进货才能使售完这80台小音箱所获利润最大?最大利润是多少元? 69．某水果商店购进甲、乙两种水果进行销售，经了解甲种水果和乙种水果的进价与售价如表所示． 甲 乙 进价（元/千克） 售价（元/千克） 18 23 已知用1000元购进甲种水果的重量与用1400元购进乙种水果的重量相同． (1)求表中的值； (2)若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的4倍，从进货到全部卖完两种水果均有的损坏．如果设将所有完好水果卖出会获利元，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 题型二十四 行程问题（共3小题） 70．随着人工智能的发展，许多餐厅使用智能机器人送餐．图1是某餐厅的机器人小聪和小智，他们从厨房门口出发，准备给相距的同一桌客人送餐，小聪比小智先出发，且速度保持不变，小智出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小聪行走的时间为，小聪和小智行走的路程分别为与之间的对应关系如图2所示，请根据图象回答下列问题： (1)小智提速后的速度为___________； (2)___________； (3)求小聪行走的路程与行走的时间之间的函数表达式；小智比小聪提前多少秒送餐到位？ 71．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系． 根据图象回答问题： 信息读取： (1)甲、乙两地之间的距离为______； (2)请解释图中点B，点C和点D的实际意义； 图象理解： (3)求慢车和快车的速度； (4)直接写出线段所表示的y与x之间的函数解析式并写出自变量x的取值范围． 72．如图1，公路上有A、B、C三地，小红、小芳两人分别从A、C两地同时出发，沿公路匀速相向而行．如图2，线段、分别表示小红、小芳两人距离地的距离（米）与跑步时间（分钟）的函数图象． (1)__________米； (2)记线段、的交点为，求点坐标，并解释该点的实际意义； (3)若小红到达地后，3分钟后小芳也到达地，求、两地间的距离． 题型二十五 梯度计价问题（共3小题） 73．某风景区集体门票的收费标准如下：30人以内（含30人），每人35元；超过30人，超出的人数每人20元． (1)写出应收门票费用y（单位：元）关于游览人数的函数表达式． (2)如果某单位有45人去该风景区游览，那么购买门票的费用为多少元？ (3)若某单位购买门票花了1650元，则该单位组织了多少人去该风景区游览？ 74．小明用的练习本可在甲、乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是每本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的7折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的8.5折卖．设购买练习本数量为x本，甲商店收费为元，乙商店收费为元．（） (1)分别求出，与x之间的关系式； (2)当甲、乙两个商店的收费相同时，所买练习本为多少本？ (3)当购买的数量为22本时，应选择哪个商店更优惠？请说明理由． 75．为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户年用电量及分档计费标准： 计费档 户年用电量 单价/[元] 第一档 0.53 第二档 0.58 第三档 0.83 (1)当时，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某户年用电量是，求该户这一年的电费； (3)某户去年一年的电费是1834元，求该户去年一年的用电量． 题型二十六 一次函数的旋转问题（共3小题） 76．规定：在平面直角坐标系内，某直线绕原点O顺时针旋转，得到的直线称为的“旋转垂线”．    (1)求出直线的“旋转垂线”的解析式； (2)若直线的“旋转垂线”为直线．求证：； (3)如图，在平面直角坐标系中，点，点，点P是直线上一点，度，求点P的坐标． 77．【问题背景】 数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系． 【问题初探】 （1）如图1，在中，，点与直角顶点重合，射线交边于点，点在射线上，且满足，连接．判断线段与的关系为______． 【问题深探】 （2）如图2，在中，，点为斜边中点，射线交边于点，射线交边于点，且满足 问题①：线段与满足什么数量关系？请说明理由； 问题②：请直接写出线段之间的数量关系____________． 【问题拓展】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点为斜边中点，轴上有一点，动直线绕着点旋转，与轴相交于点，且满足，直线的表达式为____________（直接写出表达式即可）． 78．对于平面直角坐标系内的点P和点Q，给出如下定义：若满足点Q绕点P旋转度后落在半径为1的圆O上，则称点Q是点P的关联点．已知点A的坐标为．    (1)点、、中是点A的关联点的是______； (2)点是点A的关联点，求m的取值范围； (3)已知直线交坐标轴于M、N两点，若线段上的所有点都是点A的关联点，直接写出b的取值范围． 题型二十七 一次函数的折叠问题（共3小题） 79．如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使，分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接， ． (1)求A、C两点的坐标； (2)将纸片折叠， 使点A与点C重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分的面积； (3)求所在直线的函数表达式． 80．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，C是x轴上一点，将沿着过点B、C的直线折叠，使点A落在y轴上的点D处． (1)求点D的坐标； (2)求直线的函数表达式． 81．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点是轴上一点，把坐标平面沿直线折叠，使点的对应点刚好落在轴上，作直线． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求的值： (3)点为直线上一点，点，连接．若，求点的坐标； (4)若直线上的一点到直线的距离是2，请直接写出点的坐标． 题型二十八 一次函数中的最值问题（共3小题） 82．如图，在平面直角坐标系中，点，M是线段的中点． (1)求直线 的函数表达式； (2)若点P是y轴上一点，且使周长最小，求最小周长． 83．直线与相交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)在轴上找一点，使得最小，并求点的坐标． 84．如图，已知直线与直线交于点分别与轴和轴交于两点． (1)填空：关于的不等式的解集是_____； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，并求出点的坐标，若不存在，请说明你的理由． 题型二十九 一次函数的新定义问题（共3小题） 85．在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义如下：点与点的“直角距离”为，记作． 例如：点与的“直角距离”． (1)已知点、，中，与原点的“直角距离”等于的点是________． (2)如图，已知点，，根据定义可知线段上的任意一点与原点的“直角距离”都等于．若点与原点的“直角距离”，即． ①若，则点的坐标为________． ②请你在图中将所有满足条件的点组成的图形补全； (3)已知直线和点，若直线上存在点，满足，直接写出的取值范围________． 86．对于平面直角坐标系内的任意两点，，定义它们之间的“直角距离”为．对于平面直角坐标系内的任意两个图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的“直角距离”有最小值，那么称这个最小值为图形M、N间的“直角距离”，记作． (1)已知、，则_______，_______； (2)已知、，若，则t的取值范围是_______； (3)已知，若坐标平面内的点P满足，则在图中画出所有满足条件的点P所构成的图形，该图形的面积是_______． 87．我们给出如下定义：平面直角坐标系中的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作． (1)如图，已知长度为个单位长度的线段在轴上，点的坐标为．求点到线段的距离； (2)已知平面直角坐标系内有一点，到线段：的距离，且点的横坐标为，请你画出图象，并求点的纵坐标． (3)在平面直角坐标系中有一点，到线段：的距离，请你画出点的轨迹．（点的轨迹定义：符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $