陕西西安市第七十中学2025-2026学年八年级下学期6.12学情自测数学卷

**基本信息** 以中国传统纹样、古典园林窗型等文化素材为情境，融合几何变换、函数应用等核心知识，实现基础巩固与素养提升的周测适配。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|中心对称图形判定、因式分解、平行四边形性质|结合如意纹等传统纹样考几何直观，如第1题区分中心对称与轴对称| |填空题|6/18|多边形外角、分式值为零、图形平移|以颐和园五角夹堂窗考正五边形外角，体现文化传承| |解答题|12/78|几何作图、分式方程应用、动态几何探究|含公益购书费用优化（第23题）等实际问题，考模型意识；压轴题（第26题）通过旋转探究全等，发展推理能力|

八年级数学学情自测 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 如意纹 B. 冰裂纹 C. 盘长纹 D. 风车纹 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，中，是边上一点，连接，，分别是，的中点，连接，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 若关于x的分式方程有增根，则a的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 如图，在等腰梯形中，，点为中点，联结，作交于点．如果，且，那么的长为．（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 中国古典园林里面的窗型，形制丰富，如图是颐和园小长廊五角夹堂窗，其轮廓是一个正五边形，如图是它的示意图，它的一个外角的度数为___________． 10. 若分式的值为零，则______． 11. 如图，一个长，宽是的长方形草地，有两条任何地方的水平宽度都是的纵、横相交的小路，这块草地的面积是_______． （第12题图） 12. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则___________． 13. 如图，在平行四边形中，平分交边于点，已知，，则的长度是___________． 14. 如图，在边长为4的等边中，射线于点，将沿射线平移，得到，连接、，则的最小值为________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答题应写出过程） 15. （本题满分5分） 因式分解： 16. （本题满分5分） 17. （本题满分5分） 解下列不等式组： 解方程：． 18. （本题满分5分） 如图，已知，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 19. （本题满分5分） 先化简，再求值：，其中满足． 20. （本题满分5分） 如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若，，求的长. 21. （本题满分6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）将向左平移4个单位后得到对应的，请画出平移后的 （2）画出关于原点中心对称的 （3）观察发现，与关于点成中心对称，则点的坐标是________． 22. （本题满分7分） 如图，在中，，，为延长线上的一点，连接，使得是的中点，点是上一点，连接，． （1）求的度数 （2）若，求的长． 23.（本题满分7分） 我市某爱心公益组织准备采买一批儿童绘本捐赠给教育资源匮乏的边远地区，他们先用元购买了一种科普绘本，又用元买了一种故事绘本，科普绘本比故事绘本价格高出一半，他们所买的科普绘本比故事绘本少本． （1）求科普绘本和故事绘本的价格各是多少？ （2）若购买科普绘本和故事绘本共本，且科普绘本数量不少于故事绘本数量的，请问两种绘本分别购买多少本可使费用最少？ 24. （本题满分8分） 如图，已知，，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若的面积是，，求的长． 25. （本题满分8分） 如图，一次函数的图像分别交x轴，y轴于A，B两点，过点B的另一条直线交x轴正半轴于点C，且 （1）求直线的表达式． （2）点E为直线上一动点，在y轴上是否存在点D，使点A，B，D，E构成以为边的平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由． 26. （本题满分12分） 【问题提出】 （1）如图①，在和中，，，，则 ________．全等.(填“是”或“不是”) 【问题探究】 （2）如图②，在五边形中，，，，，的平分线交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，分别连接，，，，求证：. 【问题解决】 （3）某区现有一块三角形空地，如图③所示，经测量：，，政府准备在空地内修建景观以丰富市民生活．为了方便游览，现计划在点处设立入口，在点和点处设立出口，并修建两条步道和．其中，点，分别在，上，要求，，若步道，请直接写出步道的长． 学科网（北京）股份有限公司 $八年级数学学情自测 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题 意的) 1.纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的 风俗习惯，早己融入我们的生活.下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形 的是() 如意纹 冰裂纹 风车纹 【答案】D 解：A中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图形既可以看作是中心对称图形又可以看作是轴对称图形，故本选项不符合题意； D中图形是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意， 所以，选D 2.若a<b,则() A.a+3>b+3 B.a-2>b-2 C.-a<-b D.2a<2b 【答案】D 解：A.a<b, ∴.a+3<b+3,则此项错误，不符题意； B..'a<b, .a-2<b-2,则此项错误，不符题意； C..'a<b, ∴.-a>-b,则此项错误，不符合题意； D..'a<b, ∴.2a<2b,则此项正确，符合题意； 所以，选D 3.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是() A.xx-2)=x2-2x B.（x+1)2=x2+2x+1 C.x2-4=（x+2)x-2) 【答案】C 解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； C、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意： D、等式右边中的二不是整式，不是因式分解，故此选项不符合题意 所以，选C. 4.在平面直角坐标系中，将点M2,-2)先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长 度，得到的点N的坐标是() A.（-2,0) B.（6,0 C.（-2,1 D.（6,-4 【答案】A 解：：点M2,-2)先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点N, .点N的横坐标为2-4=-2，纵坐标为-2+2=0， ∴.点N的坐标为-2,0). 所以，选A 5.如图，ABC中，N是边BC上一点，连接AN,D,E分别是AN,AC的中点， 连接BD,BD⊥AN,AB=6,BC=8,则DE=() D E A.2 B. 2 C.1 D. 【答案】C 解：D是AN中点且BD⊥AN, :BD垂直平分AN, ∴.BN=AB=6, :BC=8, CN=2, D,E分别是AN,AC的中点， .DE是aANC的中位线， DE=7CN =1. 所以，选C 6.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,下列条件能判定这个四边形 是平行四边形的是（) A.AB∥DC,AD=BC B.AB=BC,AD=CD C.AB∥DC,AB=DC D.AD=BC,AO=CO 【答案】C 解：A、AB∥DC,AD=BC,由“一组对边平行，另一边相等的四边形”无法判断四边 形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意： B、AB=BC,AD=CD,由“两组邻边相等的四边形”无法判定四边形ABCD是平行 四边形，故选项B不符合题意； C、AB∥DC,AB=DC,由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判断四边 形ABCD是平行四边形，故选项C符合题意； D、若AB∥DC,AB=DC,由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判断四边 形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：C. 7若关于x的分式方程+！ =2-,a有增根，则a的值为() x-33-x A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】B 解： x+l=2-0 x-3-23-x 方程两边同时乘(x-3),得x+1=2(x-3)+a, 去括号，得x+1=2x-6+a, 解得：x=7-a. 分式方程有增根， :x-3=0,即x=3, ∴.7-a=3, 解得：a=4. 故选：B. 8.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD,点E为CD中点，联结AE,作 AF⊥AE交BC于点F.如果AD=√2，AE=23,且∠DAE=30°，那么BF的长为. () E B A4-V2 B.6-2 C.2W3-2 D.4-22 【答案】D 解：如图所示，过点A作AI⊥BC于I,过点D作DH⊥BC于H,延长AE,BC交于 G B F .AD∥BC, .∠EAD=∠EGC,∠EDA=∠ECG, 点E为CD中点， ∴.DE=CE, ∴.△ADE≌△GCE(AAS GE=AE=2W3,∠G=∠DAE=30°，CG=AD=2, AG=45, 在Rt△AFG中，∠FAG=90°，∠AGF=30°， .FG=2AF, AG=FG2-AF2=3AF=43, .AF=4, .FG=8, 在RtA1G中，∠A1G=90°，∠AGI=30°， A1=AG=2N5, .1G=VAG2-A12=6, F1=2; AD∥BC,AI⊥BC, .AI⊥AD, 又DH⊥BC, .四边形ADHI是矩形， .AD=HI=√2，AI=DH, 又AB=CD, .Rt△ABI≌RtADCH (HL) :HC=BI=GI-IH -CG=6-22 BF=6-2V2-2=4-2√2. 所以，选D 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分) 9.中国古典园林里面的窗型，形制丰富，如图1是颐和园小长廊五角夹堂窗，其轮廓是一个 正五边形，如图2是它的示意图，它的一个外角的度数为 图1 图2 【答案】72 解：，该窗型轮廓是一个正五边形， .它的外角和为360°，且每个外角相等， .=360°÷5=72°. 所以，答案为72 10.若分式0-9 的值为零，则x= x-3 【答案】-3 解：分式武9 的值为零， x-3 ∴.x2-9=0且分母x-3≠0， 解得：x=3或x=-3, x-3≠0， .x≠3， .x=-3, 所以，答案为：-3. 11.如图，一个长20m,宽是12m的长方形草地，有两条任何地方的水平宽度都是1m的纵、 横相交的小路，这块草地的面积是m. A D 1米 B 1米 【答案】209 解：：两条小路的宽都是1m, ∴.草地的长为20-1=19，宽为12-1=11， ∴这块草地的面积为19×11=209(m2）. 所以，答案为209 12.如图，将ABC绕点A顺时针旋转20°得到ADE,点B的对应点D恰好落在边BC 上，则∠ADE= 【答案】80° 解：由旋转的性质可知，AD=AB,∠ADE=∠B,∠BAD=20°， ∠ADB=∠B, ∠BAD=20°， ·∠ADE=∠ADB=∠B=二×(180°-20)=80°， 所以，答案为：80° 13.如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC边于点E,已知BE=4cm, AB=6cm,则AD的长度是 cm. E 【答案】10 解：，DE平分∠ADC, ∴.∠ADE=∠CDE, .ABCD, ∴.AB=CD,AD∥BC,AB∥CD ∴.∠ADE=∠CED, .∠CDE=∠CED, ∴.CD=CE, .BE =4cm,AB=6cm, ∴.CD=CE=6, .BC=AD=EE BE =10(cm, 所以，答案为：10 14.如图，在边长为4的等边ABC中，射线BD⊥AC于点D,将△ABD沿射线BD平 移，得到△EGF,连接CF、CG,则CF+CG的最小值为 B 【答案】2√万 解：如图，连接AG、AE、AF,延长FE到点F',使得EF'=EF,连接AF、GF', A B :△ABD沿射线BD平移，得到△EGF, EF∥AC, BD⊥AC, .EF⊥BF,AE DF, .AE⊥EF', AE垂直平分EF', AF'=AF, :ABC是等边三角形，BD⊥AC, ∴.BF垂直平分AC, ∴.AG=CG,AF=CF, .AF'=CF, .CF+CG=AF +AG, :当点A、G、F'在同一条直线上时，CF+CG=AF'+AG=GF',此时AF'+AG取得 最小值GF',即CF+CG的最小值为GF', ABC是等边三角形，BD⊥AC,边长为4， 1 AD=二AC=2, ·BD=V√AB2-AD2=V42-22=25, :.GF=BD=23,FF'=2EF=2AD=4, GF'=vGF2-FF=25°-42=2万， .CF+CG的最小值为2√万. 故答案为：2√万. 三、解答题（共12小题，计78分.解答题应写出过程） 15.因式分解： 3a3-12a2+12a 解：原式=3aa2-4a+4, =3a(a-22 16.解下列不等式组： 5x-1<3x+1)① 2x-1-1s5x+1@ 3 2 解：解①，得x<2, 解②，得x≥-1， 所以，原不等式组的解集为-1≤x<2. 5 17.解方程： =4 2x-33-2x 解：去分母可得x-5=42x-3, 解得x=1, 检验：把x=1代入最简公分母2x-3,得2x-3=2×1-3=-1≠0， 所以，原分式方程的解是x=1. 18.如图，已知口ABCD,请用尺规作图法，在BC边上求作一点P,使得 PD+PC=AD.(不写作法，保留作图痕迹) D 解：如图所示，点P即是所要求作的点， B 19.先化简，再求值： x+3-9） x-3 父2-2x+1,其中x满足x=2. x2-3x 解：原式 x+3x-3_x-91.(x-12 x-3 x-3 x(x-3) -2-9-(x-9.(x-明 x-3 xx-3) =2-9-x+9(x-12 x-3 x(x-3 =x2-x.(x-12 x-3x(x-3) =r-x(x-3) x-3(x-1)1 x-1 当x=2时 原式22 =4 2-1 2O.如图，口ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为 DE的中点，连接CG.若AD=3,AB=CF=2,求CG的长 F G B 解：如下图所示，延长DC交EF于点M,AD=3,AB=CF=2, ·平行四边形ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上， ∴.DMI∥AE, .△CMF是等边三角形， ∴.AB=CF=CM=MF=2. 在平行四边形ABCD中，AB=CD=2,AD=BC=3, 又△BEF是等边三角形， .BF=BE=EF=BC+CF=3+2=5, ∴.EM=EF-MF=5-2=3 ·G为DE的中点，CD=CM=2, :C是DM的中点，且CG是△DEM的中位线， .CG-EM 3 2 M B E 21.如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点分别是A1,3),B(4,4),C(2,1. B (1)将ABC向左平移4个单位后得到对应的△A,B,C1,请画出平移后的△A,B,C1 (2)画出ABC关于原点0中心对称的△A,B,C2 (3)观察发现，△A,B,C,与△A,B,C,关于点P成中心对称，则点P的坐标是 解：(1)△ABC即为所求. 本y B 解：(2)△A,B,C2即为所求. B C B 解：(3)△A,B,C,与△A,B,C2关于点(-2,0)成中心对称， 点P(-2,0). B 22.如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=34°，D为BC延长线上的一点，连接 AD,使得∠D=40°，E是BC的中点，点F是AD上一点，连接EF,EF=AF. B E (1)求∠CAD的度数 (2)若EF=5,求AD的长. 解：(1)：AB=AC,∠BAC=34°， ∠B=180°-∠B1C=730, 2 ∴.∠BAD=180°-∠B-∠D=67°， .∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=33 解：(2)如图，连接AE, :E是BC的中点，AB=AC, .AE⊥ED, .EF=AF, ∠FAE=∠FEA, .∠FED=90°-∠FEA=90°-∠FAE=∠D, .EF=AF=DF, .AD=2EF=10. 23我市某爱心公益组织准备采买一批儿童绘本捐赠给教育资源匮乏的边远地区，他们先用 1500元购买了一种科普绘本，又用1500元买了一种故事绘本，科普绘本比故事绘本价格高 出一半，他们所买的科普绘本比故事绘本少100本. (1)求科普绘本和故事绘本的价格各是多少？ (2)若购买科普绘本和故事绘本共1200本，且科普绘本数量不少于故事绘本数量的)，请 问两种绘本分别购买多少本可使费用最少？ 解：(1)设故事绘本的价格是x元，则科普绘本的价格是 元 1500 1500 -100 由题意得： 1 1+ 解得：x=5, 经检验，x=5是原方程的解，且符合题意， 答：故事绘本的价格是5元，科普绘本的价格是7.5元 解：(2)设购买科普绘本m本，则购买故事绘本(1200-m)本， 由题意得：m≥二(1200-m, 解得：m≥400， 设购买费用为w元， 由题意得：w=7.5m+5(1200-m）=2.5m+6000, 2.5>0, ∴.w随m的增大而增大， .当m=400时，w有最小值， 此时，1200-m=800, 答：购买科普绘本400本，故事绘本800本可使费用最少. 24.如图，已知AC=AE,BC=BE,BC∥AD,CD⊥CE. B (1)求证：四边形ABCD是平行四边形， (2)若AAEB的面积是10，CD=5,求CF的长. 证明：(1)，AC=AE, ∴.点A在线段EC的垂直平分线上， BC=BE, ∴.点B在线段EC的垂直平分线上， .直线AB垂直平分线段EC,即AB⊥CE, CD⊥CE, .AB∥CD, 又.BC∥AD, .四边形ABCD是平行四边形 解：(2)四边形ABCD是平行四边形，CD=5, .AB=CD=5, ,AB垂直平分线段EC, .EF=CF,AB⊥CE, :S4e=)AB-EF=10,即x5×EF=10, 2 解得EF=4, .CF=EF=4. 25.如图，一次函数y=x+2的图像分别交x轴，y轴于A,B两点，过点B的另一条直线 交x轴正半轴于点C,且OC=1OB (1)求直线BC的表达式. (2)点E为直线BC上一动点，在y轴上是否存在点D,使点A,B,D,E构成以AB为 边的平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由. 解：(1)对于一次函数y=x+2,令x=0,则y=2, .B0,2) .OB=2, 0C0B=1 .C1,0), 设过点B(0,2),C1,0)的直线BC的解析式为y=kx+b, 「b=2 k=-2 六k+6=0解行 b=2· ∴.直线BC的解析式为y=-2x+2 解：(2)存在点D,点A,B,D,E构成以AB为边的平行四边形.理由如下： 对于一次函数y=x+2,令y=0,则x+2=0, 解得x=-2, .A-2,0), 点E为直线BC上一动点，点D在y轴上， .设Em,-2m+2),D0,n), ①当AD,BE为对角线时，AD,BE的中点重合， -2+00+m 2 2 m=-2 解得 0+n2+-2m+2 n=8, 2 2 .D0,8): ②当AE,BD为对角线时，AE,BD的中点重合， -2+m0+0 2 2 m=2 ,解得 0+(-2m+2）2+n n=-4' 2 2 .D(0,-4; 综上所述，点D的坐标为(0,8)或(0,4). 26.【问题提出】 (I)如图①，在ABC和ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,则 △ABD与△ACE ·全等（填“是”或“不是”） 【问题探究】 (2)如图②，在五边形ABCDF中，AB∥CD,AD∥BC,AB=CD, ∠ADC=120°，∠BCD的平分线CE交AD于点E,将线段AE绕点A逆时针旋转60°得 到线段AF,分别连接EF,FD,BD,BF,求证：FD=BD. E E D B B 图1 图2 图3 【问题解决】 (3)某区现有一块三角形空地ABC,如图③所示，经测量：∠A=60°，BC=70m,政 府准备在空地内修建景观以丰富市民生活.为了方便游览，现计划在点E处设立入口，在 点C和点D处设立出口，并修建两条步道CE和DE.其中，点D,E分别在AC,AB上， 要求CD=BE,∠CED=30°，若步道CE=50m,请直接写出步道DE的长， 解：(1)：∠BAC=∠DAE, .∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中： AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ∴.△ABD≌△ACE(SAS 所以，填是 证明：(2)：AB∥CD,AD∥BC, .四边形ABCD是平行四边形， ∠DEC=∠ECB, .EC平分∠BCD, .∠DCE=∠ECB, ∴.∠DEC=∠DCE, .DE=DC, .DE=AB; 如图，分别连接BF,EF, B 点E绕点A逆时针旋转60°，得到点F, :AE=AF,∠FAE=60°， △AEF是等边三角形， AF=EF,∠FED=120°， 在口ABCD中，∠ADC=120°， ∴.∠BAD=180°-∠ADC=60°， .∠FAB=∠FAE+∠DAB=I20°=∠FED, 在△ABF和△EDF中： 「AF=EF ∠FAB=∠FED, AB=ED △ABF≌△EDF(SAS): :∠AFB=∠EFD,FB=FD, ∠AFB+∠BFE=∠EFD+∠BFE, 即∠BFD=∠AFE=60°， :△BFD是等边三角形， :FD=BD 解：(3)如图，以DC、DE为边作平行四边形CDEF,连接BF, 则∠FCE=∠CED=30°，DE=CF,CD=EF,∠BEF=∠A=60°， 设DE=x,则CF=x, .CD=BE, .EF BE, 又.∠BEF=60°， △BEF是等边三角形， 将BCF绕点B逆时针旋转6O°得aBHE,连接CH, .△BCH是等边三角形，EH=CF=x,∠DEH=60°， ∴.CH=BC=70, .·∠CEH=∠DEH+∠CED=60°+30°=90°， .EH2+CE2=CH2, 即x2+502=702, x=20W6, 即ED的长为20√6m·