精品解析：吉林延边朝鲜族自治州延吉市第三高级中学2025-2026学年第二学期高一年级期中考试数学试卷

延吉市第三高级中学2025---2026学年度第二学期 高一年级期中考试数学学科试卷 命题人：张钰佳 审核人：刘瑞 考生注意：1、本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2、第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂写在答题卡对应的方框内；第Ⅱ卷请用黑色墨水签字笔在答题卡各题的答案区域内作答，超出答题区域的答案无效，在草稿纸上作答无效. 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 2. 已知向量，则（ ） A. B. C. 1 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示求解． 【详解】因为， 所以，，解得． 3. 如图，在平行四边形中，点是对角线上靠近的三等分点，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，， 在平行四边形中，. 点是上靠近的三等分点，故. 而，因此. 4. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，则该四棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何体结构特征补形为长方体得外接球球心在中点处，求出即可得球的半径，进而由球的体积公式即可得解. 【详解】根据几何体结构特征，将几何体补形为长方体， 显然四棱锥的外接球即为长方体的外接球， 所以外接球球心在中点处， 又，故外接球半径， 所以. 故选：D. 5. 已知正三棱锥，，，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取中点，连接，，得到（或补角）即为异面直线与所成角求解. 【详解】取中点，连接，，则， 所以（或补角）即为异面直线与所成角， 因为，，则，， 由余弦定理可得， 所以异面直线AF与BD所成角的余弦值为. 故选：D. 6. 在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【详解】在中，由， 根据正弦定理，得， 又， 则， 即，在中，， 则，因为，所以，则为直角三角形. 7. 已知正四棱台的体积为，，，则该四棱台的表面积为（ ） A. 18 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依次求得正四棱台的高，侧面等腰梯形的高，结合棱台表面积公式即可求解. 【详解】设正四棱台的高为，则，解得， 设正四棱台侧面等腰梯形的高为，则， 故该四棱台的表面积为. 故选：B. 8. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的动点，下列说法不正确的是（ ） A. 对任意点，平面 B. 三棱锥的体积为 C. 线段长度的最小值为 D. 存在点，使得与平面所成角的大小为 【答案】D 【解析】 【分析】连接，证得平面平面，可判定A正确；根据，可判定B正确；当点为线段的中点时，求得线段的长度最小值，可判定C正确；求得与平面所成角的正切值的取值范围，可判定D错误. 【详解】连接，由且， 可得四边形为平行四边形，所以， 又由平面，且平面，所以平面， 同理可得平面，又，可得平面平面， 所以对于任意点，则平面，所以A正确； 由，所以B正确； 当点为线段的中点时，可得， 此时线段的长度最小，最小值为，所以C正确； 当点在线段上运动时，长度的最小值为，最大值为， 又由长度的取值范围为，而点到平面的距离为定值1， 因为平面平面， 所以与平面所成角与与平面所成角相等， 又由平面，可得在平面射影为， 所以在平面所成角的正切值为， 即与平面所成角的正切值的取值范围为， 其最大值小于，则不存在点使得与平面所成角的大小为， 所以D错误. 故选：D. 【点睛】1、对面面平行判定定理的条件“面内两相交直线”认识不清导致错解； 2、等体积法：等体积法也称积转化或等积变形，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决锥体的体积，特别时三棱锥的体积. 3、求解直线与平面所成角时，根据直线与平面所成角的定义，结合垂线段与斜线段的长度比求得线面角的正弦值. 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分，有选错的得 0 分． 9. 如图所示，在棱长为1的正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ） A. ，，三点共线 B. 平面 C. 直线与平面所成的角为 D. 到平面的距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正方体的特征证得点在上可知项正确；利用线面垂直的判断定理可得平面，故项正确；首先找到线面角，然后利用三角函数值确定线面角的大小即可；由三棱锥的等体积法可得点面距离． 【详解】由于为正方体的体对角线， 在平面内，据此可得平面平面于， 又交平面于点，故点在上，故项正确； 很明显平面，平面，故， 同理，，于点，故平面，故项正确； 设正方体的棱长为1，直线与平面的夹角为，则， 点到平面的距离为，故，，故项正确； 设到平面的距离为，，，解得，故D项错误； 故选：ABC． 10. 如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则（ ） A. 圆锥的母线长为 B. 圆锥与圆柱的体积比为1：3 C. 该几何体的表面积为 D. 圆锥侧面展开图的圆心角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的几何体，利用圆锥、圆柱的结构特征，结合体积公式、侧面积公式逐项求解判断. 【详解】对于A，由勾股定理得圆锥母线长，A正确； 对于B，圆锥的体积为，圆柱的体积为， 因此圆锥与圆柱的体积比为，B正确； 对于C，该几何体的表面积为，C错误； 对于D，设圆锥侧面展开图的圆心角为，由弧长公式得，圆心角，D正确． 故选：ABD 11. 设为两个不同的平面，为两条不同的直线，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若或，则 B. 若，则或 C. 若或，则 D. 若，则或 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A项，若或，此时与平面的交线的位置关系不确定 ， 可能与异面或平行，故A项错误； 对于B项，若，可能在平面或内，但是一定有或，故B项正确； 对于C项，若，因为，所以，由直线与平面垂直的性质，可得； 若，因为，同理可得，故C项正确； 对于D项，若，与平面的位置关系不确定，不一定垂直于或，故D项错误． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，是等腰直角三角形且，其中斜边，则这个平面图形的面积是___________． 【答案】## 【解析】 【详解】设对应的平面图形为， 在斜二测画法的图形中在轴上，还原后的图形中在轴上，且长度不变， 在斜二测画法的图形中在轴上，还原后的图形中在轴上， 且的长度扩大为的倍， 是等腰直角三角形且，斜边，， 根据斜二测画法可知，，，, . 13. 为测量河北岸两点，之间的距离（不可到达），现在河南岸选定两点，，并测得，，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】由已知得，求得，在中由正弦定理得，在中，由余弦定理即可求解． 【详解】由，，得，， 所以， 在中，， 由正弦定理得，，则， 在中，由余弦定理得，， 解得， 故答案为：． 14. 如图，已知在三棱柱中，分别为的中点，则截面分三棱柱的体积比______. 【答案】 【解析】 【分析】通过设，三棱柱的高为，来求出棱台的体积，进而求出三棱锥的体积，计算比值. 【详解】设，三棱柱的高为. ， . . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤． 15. 已知向量，且与的夹角为. （1）求； （2）若与平行，求实数的值； （3）求与上的投影向量. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用向量的夹角公式，列出方程，求得的值，结合模的计算公式，即可求解； （2）先求得，且，结合与平行，列出方程，即可求解； （3）根据题意，结合向量的投影向量的公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为，可得且， 又因为与的夹角为，可得， 解得或， 因为，所以，所以， 则，所以. 【小问2详解】 解：因为， 所以，， 又因为与平行，所以，解得. 【小问3详解】 解：因为，可得， 可得，且， 所以在上的投影向量为. 16. 如图所示，在正方体中，.证明： （1）证明 （2）. 【答案】（1）在正方体中，，且 ，故 ； 又 ，所以四边形 是平行四边形； 所以，又 平面 ， 平面 ； 所以 平面 ; （2）连接，因为四边形 是正方形，所以 , 在正方体中， 平面 ， 平面 ，所以 , ，，且 ， 平面 ； 所以 平面 ，因为 平面 故 ，即 . 【解析】 【分析】（1）通过线面平行判定定理证明； （2）通过线面垂直证明线线垂直. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 17. 在中，角所对的边分别是，且. （1）求角； （2）已知的角平分线交于点，若的面积为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可得解； （2）根据三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 即， 所以， 因为，则，可得， 则，故； 【小问2详解】 由，解得， 因为，即， 即， 解得. 18. 已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：因为点在底面上的射影是与的交点， 所以平面，因为平面，所以， 又因为四边形为菱形，所以， 因为，且平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得平面，所以，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）由平面，得到是直线与平面所成角，在直角中，即可求解； （3）设点到平面的距离为，根据，列出方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为平面，所以直线与平面所成角，即为， 又因为菱形的边长为且，可得为等边三角形，且， 因为是等边三角形，所以， 在直角中，可得， 因为，所以. 【小问3详解】 解：由题意，可得，与都是边长为是等边三角形， 所以，且， 所以， 因为，所以， 设点到平面的距离为，由，可得， 即，解得， 所以点到平面的距离为． 19. 已知、、分别为三个内角、、的对边， （1）求； （2）若的面积为，求的周长； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围： 【答案】（1） （2）6 （3） 【解析】 【分析】（1）正弦定理边化角，利用三角恒等变换即可求解； （2）余弦定理结合三角形面积公式求出即可； （3）利用正弦定理把周长表示成关于的函数求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理， 可变成， 又 则，又，, 则，即，又，则， 从而，所以. 【小问2详解】 由的面积为，得， 又由余弦定理，得，从而， 从而，得（负值舍去） 从而的周长. 【小问3详解】 由正弦定理， 从而， 由为锐角三角形，得，解得， 从而,则,， 即的周长的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延吉市第三高级中学2025---2026学年度第二学期 高一年级期中考试数学学科试卷 命题人：张钰佳 审核人：刘瑞 考生注意：1、本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2、第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂写在答题卡对应的方框内；第Ⅱ卷请用黑色墨水签字笔在答题卡各题的答案区域内作答，超出答题区域的答案无效，在草稿纸上作答无效. 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则（ ） A. B. C. 1 D. 6 3. 如图，在平行四边形中，点是对角线上靠近的三等分点，设，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，则该四棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正三棱锥，，，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 7. 已知正四棱台的体积为，，，则该四棱台的表面积为（ ） A. 18 B. C. D. 8. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的动点，下列说法不正确的是（ ） A. 对任意点，平面 B. 三棱锥的体积为 C. 线段长度的最小值为 D. 存在点，使得与平面所成角的大小为 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分，有选错的得 0 分． 9. 如图所示，在棱长为1的正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ） A. ，，三点共线 B. 平面 C. 直线与平面所成的角为 D. 到平面的距离为 10. 如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则（ ） A. 圆锥的母线长为 B. 圆锥与圆柱的体积比为1：3 C. 该几何体的表面积为 D. 圆锥侧面展开图的圆心角为 11. 设为两个不同的平面，为两条不同的直线，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若或，则 B. 若，则或 C. 若或，则 D. 若，则或 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，是等腰直角三角形且，其中斜边，则这个平面图形的面积是___________． 13. 为测量河北岸两点，之间的距离（不可到达），现在河南岸选定两点，，并测得，，，则_____． 14. 如图，已知在三棱柱中，分别为的中点，则截面分三棱柱的体积比______. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤． 15. 已知向量，且与的夹角为. （1）求； （2）若与平行，求实数的值； （3）求与上的投影向量. 16. 如图所示，在正方体中，.证明： （1）证明 （2）. 17. 在中，角所对的边分别是，且. （1）求角； （2）已知的角平分线交于点，若的面积为，求. 18. 已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求点到平面的距离. 19. 已知、、分别为三个内角、、的对边， （1）求； （2）若的面积为，求的周长； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $