吉林延边朝鲜族自治州延吉市第三高级中学2025-2026学年第二学期高一年级期中考试数学试卷

**基本信息** 高一年级期中数学试卷涵盖复数、向量、立体几何、解三角形等核心内容，通过基础题与综合题梯度设计，考查空间观念、运算能力及应用意识，适配高一学段知识掌握与能力发展需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数运算、向量分解、四棱锥外接球|第3题以平行四边形为背景考查向量线性运算，体现几何直观| |多选题|3/18|正方体线面关系、圆锥圆柱组合体|第9题结合正方体中点共线与线面平行，考查推理能力| |填空题|3/15|斜二测画法、测量距离、体积比|第13题通过测量两岸距离，强化应用意识| |解答题|5/77|向量综合、立体几何证明与计算、解三角形|18题以菱形为载体，融合线面垂直证明、线面角及点面距离计算，突出空间观念与逻辑推理|

延吉市第三高级中学2025---2026学年度第二学期 高一年级期中考试数学学科试卷 命题人：张钰佳 审核人：刘瑞 考生注意：1、本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。 2、 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂写在答题卡对应的方框内；第Ⅱ卷请用黑色墨水签字笔在答题卡各题的答案区域内作答，超出答题区域的答案无效，在草稿纸上作答无效。 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数满足，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，则（   ） A． B． C．1 D．6 3．如图，在平行四边形中，点是对角线上靠近的三等分点，设，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，则该四棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 5．已知正三棱锥，，，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 7．已知正四棱台的体积为，，，则该四棱台的表面积为（   ） A．18 B． C． D． 8．如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的动点，下列说法不正确的是（    ） A．对任意点，平面 B．三棱锥的体积为 C．线段长度的最小值为 D．存在点，使得与平面所成角的大小为 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分，有选错的得 0 分． 9．如图所示，在棱长为1的正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．平面 C．直线与平面所成的角为 D．到平面的距离为 10．如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重若该几何体底面半径为1，则（    ） A．圆锥的母线长为 B．圆锥与圆柱的体积比为1：3 C．该几何体的表面积为 D．圆锥侧面展开图的圆心角为 11．设为两个不同的平面，为两条不同的直线，且，则下列说法正确的是（   ） A．若或，则 B．若，则或 C．若或，则 D．若，则或 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，是等腰直角三角形且，其中斜边，则这个平面图形的面积是___________． 13．为测量河北岸两点，之间的距离，现在河南岸选定两点，，并测得，，，则_____． 14．如图，已知在三棱柱中，分别为的中点，则截面分三棱柱的体积比______. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤． 15．（本小题满分 13 分） 已知向量，且与的夹角为. (1)求； (2)若与平行，求实数的值； (3)求在上的投影向量. 16．（本小题满分 15 分） 如图所示，在正方体中，.证明： (1)证明 (2). 17．（本小题满分 15 分） 在中，角所对的边分别是，且. (1)求角； (2)已知的角平分线交于点，若的面积为，求. 18．（本小题满分 17 分） 已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)求点到平面的距离. 19．（本小题满分 17 分） 已知、、分别为三个内角、、的对边， (1)求； (2)若的面积为，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围. ( 高 一 · 第二学期 期中 考试 数学 · 第 1 页（共2页） ) 学科网（北京）股份有限公司 $延吉市第三高级中学2025--一2026学年度第二学期 高一年级期中考试数学学科试卷 命题人：张钰佳 审核人：刘瑞 考生注意：1、本试卷分为第1卷（选择题）和第川卷（非选择题）两部分，满分150 分，考试时间120分钟。 2、第1卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂写在答题卡对应的方框内；第川卷 请用黑色墨水签字笔在答题卡各题的答案区域内作答，超出答题区域的答案无效，在 草稿纸上作答无效。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数：满足z(1+i)=3+i,则：的共轭复数五=() A.2-i B.2+i C.-2-i D.-2+i 2.己知向量a=(3,x),b=(-1,2),b1(a+b),则x=() A.-1 B.-6 C.1 D.6 D 3.如图，在平行四边形ABCD中，点E是对角线BD上靠近D的 三等分点，设AB=a,AD=b,则DE=() B A.a+方B.a-c. 16-1。 D.1a-26 3 3 33 33 3 3 4.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面 ABCD,PA=AB=2,AD=4,则该四棱锥外接球的体积为() A.24元 B.2√6元 C.20元 D.8√6元 5.己知正三棱锥A-BCD,AB=3,BC=2,F为CD中点，则异面直线AF与BD 所成角的余弦值为() A.② 3 B. D. 8 3 4 2 高一·第二学期期中考试 6.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,若acosB-bcos4=c,则△ABC 的形状为() A.等腰三角形B.等边三角形 C.直角三角形D.等腰直角三角形 13 7.已知正四棱台4B,CD-ABCD的体积为？，AB=3,AB=1,则该四棱台的 表面积为() A.18 B.10+83 C.10+8√2 D.10+8V10 8.如图，在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，P为线段BC上的动点，下列说法不 正确的是（) A.对任意点P,DP/I平面ABD B.三棱锥P-ADD的体积为后 C.线段DP长度的最小值为 2 D.存在点P,使得DP与平面ADn4所成角的大小为子 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分， D 部分选对的得部分，有选错的得0分. 9.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-AB,C,D中，O为 BD的中点，直线AC交平面CBD于点M,则下列结论正确 的是() A B A.C1,M,O三点共线 B.AC⊥平面C,BD C.直线4C,与平面ABCD,所成的角为石 D.B到平面CBD的距离为V 2 10.如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重若 该几何体底面半径为1，则（) 数学·第1页（共2页） A.圆锥的母线长为√万 B.圆锥与圆柱的体积比为1：3 C.该几何体的表面积为5π D.圆锥侧面展开图的圆心角为√2元 11.设，B为两个不同的平面，m,n为两条不同的直线，且a∩B=m,则下列说法 正确的是（) A.若n∥o或nlIB,则ml/n B.若mlln,则nl∥o或nl/p C.若n⊥a或n⊥B,则m⊥n D.若m⊥n,则n⊥a或n⊥B 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示， △OAB是等腰直角三角形且OA'=AB',其中斜边OB'=√5， T45 则这个平面图形的面积是 B 13.为测量河北岸两点A,B之间的距离，现在河南岸选定两点C，D,并测得 CD=100m,∠ACB=∠ADB=60°，∠ACD=45°，∠BDC=30°，则AB= m 14.如图，已知在三棱柱ABC-A'B'C中，E,F分别为AC,BC 的中点，则截面EFB'A分三棱柱的体积 VEA-ABFE- VERC-CBA 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、解答过 程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 已知向量a=(1.0),6=(ml),且a与万的夹角为买 ()求a-26: (2)若a+b与2ā-b平行，求实数的值： (3)求ā+在a上的投影向量 高一·第二学期期中考试 16.（本小题满分15分) D 如图所示，在正方体ABCD-AB,CD,中，AB=1.证明： B (1)证明A,B//平面DB,C (2)AD⊥BC. 17.（本小题满分15分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且acosB-3 bcos4=c-2b. (1)求角A: ②已知A的角平分线交BC于点D,若c=3,△ABC的面积为；5，求AD 18.（本小题满分17分) 已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，平面ABCD外一点P在平面ABCD上的 射影是AC与BD的交点O,△PDB是等边三角形. (1)求证：AC⊥平面PBD; (2)求直线PC与平面ABCD所成角的大小： (3)求点D到平面PBC的距离 19.（本小题满分17分) 已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，acosC+√3 asinC-b-c=0. (1)求A; (2)若a=2,△ABC的面积为√5，求△ABC的周长： (3)若a=2,△ABC为锐角三角形，求△ABC的周长的取值范围. 数学·第2页（共2页)延吉市第三高级中学2025--2026学年度第二学期高一年级期中考试 数学学科答题卡 姓名： 班级： 考号： 考场： 座号： 注意事项 1. 答题前请将姓名、班级、考场、座号和准考证号填写清楚。 2. 客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 3. 主观题必须使用黑色签字笔书写 贴条形码区 4. 必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效。 5.保持答卷清洁完整。 正确填涂 缺考标记 一.选择题(40分) 1[A][B][C][D]5[A][B][c][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][c][D]7[A][B][c][] 4[A][B][c][D]8[A][B][C][] ■■■■■■■■■■■■■■■ 二选择题(18分) 9[A][B][C][D]10[A][B][C][D]I1[A][B][c][D] ■■■■ ■■1 三填空题(15分) 12 13 14 ID:4086602 第1页共 四解答题 15(13分) 16(15分) D 9 B A 2页 ■ 清使用2B铅笔填涂选择题 17(15分) 18(17分) P 口■ ID:4086602 第2页共 答案等选项及考号 ■ 19(17分) 2页 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B D A C C D ABC ABD 题号 11 答案 BC 1．B 【详解】. 2．A 【分析】由向量垂直的坐标表示求解． 【详解】因为， 所以，，解得． 3．B 【详解】由，， 在平行四边形中，. 点是上靠近的三等分点，故. 而，因此. 4．D 【分析】根据几何体结构特征补形为长方体得外接球球心在中点处，求出即可得球的半径，进而由球的体积公式即可得解. 【详解】根据几何体结构特征，将几何体补形为长方体， 显然四棱锥的外接球即为长方体的外接球， 所以外接球球心在中点处， 又，故外接球半径， 所以. 故选：D. 5．A 【分析】取中点，连接，，得到（或补角）即为异面直线与所成角求解. 【详解】取中点，连接，，则， 所以（或补角）即为异面直线与所成角， 因为，，则，， 由余弦定理可得， 所以异面直线AF与BD所成角的余弦值为. 6．C 【详解】在中，由， 根据正弦定理，得， 又， 则， 即，在中，， 则，因为，所以，则为直角三角形. 7．C 【分析】依次求得正四棱台的高，侧面等腰梯形的高，结合棱台表面积公式即可求解. 【详解】设正四棱台的高为，则，解得， 设正四棱台侧面等腰梯形的高为，则， 故该四棱台的表面积为. 故选：C. 8.D 【分析】连接，证得平面平面，可判定A正确；根据，可判定B正确；当点为线段的中点时，求得线段的长度最小值，可判定C正确；求得与平面所成角的正切值的取值范围，可判定D错误. 【详解】连接，由且， 可得四边形为平行四边形，所以， 又由平面，且平面，所以平面， 同理可得平面，又，可得平面平面， 所以对于任意点，则平面，所以A正确； 由，所以B正确； 当点为线段的中点时，可得， 此时线段的长度最小，最小值为，所以C正确； 当点在线段上运动时，长度的最小值为，最大值为， 又由长度的取值范围为，而点到平面的距离为定值1， 因为平面平面， 所以与平面所成角与与平面所成角相等， 又由平面，可得在平面射影为， 所以在平面所成角的正切值为， 即与平面所成角的正切值的取值范围为， 其最大值小于，则不存在点使得与平面所成角的大小为， 所以D错误. 故选：D. 9．ABC 【分析】利用正方体的特征证得点在上可知项正确；利用线面垂直的判断定理可得平面，故项正确；首先找到线面角，然后利用三角函数值确定线面角的大小即可；由三棱锥的等体积法可得点面距离． 【详解】由于为正方体的体对角线， 在平面内，据此可得平面平面于， 又交平面于点，故点在上，故项正确； 很明显平面，平面，故， 同理，，于点，故平面，故项正确； 设正方体的棱长为1，直线与平面的夹角为，则， 点到平面的距离为，故，，故项正确； 设到平面的距离为，，，解得，故D项错误； 故选：ABC． 10．ABD 【分析】根据给定的几何体，利用圆锥、圆柱的结构特征，结合体积公式、侧面积公式逐项求解判断. 【详解】对于A，由勾股定理得圆锥母线长，A正确； 对于B，圆锥的体积为，圆柱的体积为， 因此圆锥与圆柱的体积比为，B正确； 对于C，该几何体的表面积为，C错误； 对于D，设圆锥侧面展开图的圆心角为，由弧长公式得，圆心角，D正确． 故选：ABD 11．BC 【详解】对于A项，若或，此时与平面的交线的位置关系不确定 ， 可能与异面或平行，故A项错误； 对于B项，若，可能在平面或内，但是一定有或，故B项正确； 对于C项，若，因为，所以，由直线与平面垂直的性质，可得； 若，因为，同理可得，故C项正确； 对于D项，若，与平面的位置关系不确定，不一定垂直于或，故D项错误． 12．/ 【详解】设对应的平面图形为， 在斜二测画法的图形中在轴上，还原后的图形中在轴上，且长度不变， 在斜二测画法的图形中在轴上，还原后的图形中在轴上， 且的长度扩大为的倍， 是等腰直角三角形且，斜边，， 根据斜二测画法可知，，，, . 13． 【分析】由已知得，求得，在中由正弦定理得，在中，由余弦定理即可求解． 【详解】由，，得，， 所以， 在中，， 由正弦定理得，，则， 在中，由余弦定理得，， 解得， 故答案为：． 14． 【分析】通过设，三棱柱的高为，来求出棱台的体积，进而求出三棱锥的体积，计算比值. 【详解】设，三棱柱的高为. ， . . 15．(1) (2) (3)(2,0) 【分析】 【详解】（1）（1）∵，∴. ∵与的夹角为，， ∴，解得或， ∵，∴. ∴， ∴， ∴. （2）由题意得，， 又与平行，，解得. （3） =(2,1) 16．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】 (1) （2）如图所示，连接，   为正方体， ， 平面为平行四边形， . 为正方形， ， . 17．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可得解； （2）根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 即， 所以， 因为，则，可得， 则，故； （2）由，解得， 因为，即， 即， 解得. 18．(1)证明见解析 (2) (3)点到平面的距离为 【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）由已知，结合即可求解； （3）由线面平行的判定定理可得平面，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交于点，要使角最大，则需使最小，此时，从而求解． 【详解】（1）∵点在底面上的射影是与的交点， 平面， 平面，， 四边形为菱形，， ，平面， 平面． (2) （3）由题意可得,与都是边长为2的等边三角形， ，， ， ，， 设点到平面的距离为， 由得， 即，解得， 故点到平面的距离为． 19．(1) (2)6 (3) 【分析】（1）正弦定理边化角，利用三角恒等变换即可求解； （2）余弦定理结合三角形面积公式求出即可； （3）利用正弦定理把周长表示成关于的函数求解即可. 【详解】（1）由正弦定理， 可变成， 又 则，又，, 则，即，又，则， 从而，所以. （2）由的面积为，得， 又由余弦定理，得，从而， 从而，得（负值舍去） 从而的周长. （3）由正弦定理， 从而， 由为锐角三角形，得，解得， 从而,则,， 即的周长的取值范围. ( 高 一 · 第二学期4月阶段性考试 数学 答案 · 第 1 页（共 6 页） ) 学科网（北京）股份有限公司 $