精品解析：吉林省延边朝鲜族自治州延吉市延边第二中学2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试题

延边第二中学2024-2025学年度第二学期期中考试 高一年级数学试卷 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个选项正确） 1. 已知两条不同的直线及两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与是异面直线 C. 若，则与平行或异面 D. 若，则与一定相交 【答案】C 【解析】 【分析】由面面平行的性质可判断ABC，由线面平行的判定定理可判断D 【详解】若，则直线没有交点，故与平行或异面，故A，B错误，C正确； 若，当时，与平行，故D错误 故选：C 2. 已知平面向量，满足，，，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，再利用向量夹角公式计算得解. 【详解】由，得，由，得，而， 解得，则，而，因此， 所以向量与向量的夹角为. 故选：D 3. 如图，已知圆台形水杯（不计厚度）的杯口直径为6，杯底的直径为4，高为，水杯中盛有部分水.当杯底水平放置时，杯中水的高度为，将半径为的小球放入杯中，小球被完全浸没，水恰好填满水杯，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据小球的体积和原来水中的体积之和为整个圆台的体积，结合圆台体积的计算公式，列出方程，即可求得结果. 【详解】圆台水杯上底面圆半径为，下底面半径为， 当杯底水平放置时，液面半径为， 为方便理解，画出圆台的轴截面图如下所示： 因为此时杯中水的高度为，故为； 整个水杯盛满水时的体积为：， 未放置小球前水体积为：， 又小球体积为； 故，即，解得 故选：D. 4. 已知正方体中，E为中点，则异面直线与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，，根据异面直线所成角的定义，转化为求（或其补角），然后在中用余弦定理即可解得. 【详解】连接，，如图： 因为为正方体可得，所以（或其补角）是异面直线与 所成角， 设正方体的棱长为，， ， 在中，， 所以异面直线与 所成角的余弦值是. 故选：D. 5. 如图中G为重心，PQ过G点，，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由向量的线性运算可得的表达式，又由向量共线的性质设，即，变形整理可得结论； 【详解】根据题意； 又因为，三点共线，则存在，使得， 即，即， 所以，整理得，所以. 故选：A. 6. 有这样一个古算题：“今有木长二丈四尺，围之五尺，葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”（注：1丈等于10尺）则这个问题中，葛藤长的最小值为（ ） A. 2丈4尺 B. 2丈5尺 C. 2丈6尺 D. 2丈8尺 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点之间线段最短，利用圆木的侧面展开图计算葛藤长的最小值. 【详解】 取圆木两个的侧面展开图如上，如图，在中，（即圆木的高）长24尺，（尺），因此葛藤长的最小值为（尺），即为2丈6尺． 故选：C. 7. 如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，，AD与CE交于点O．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用共线定理结合平行四边形法则和已知条件，设，，利用平面向量基本定理求出的值，进而利用平面向量的数量积运算求得的值. 【详解】因为在上，所以与共线，设， 又D是BC的中点，所以，所以，， 因为，所以，所以， 又因为三点共线，所以存在，使得，， 所以，解得， 所以， 所以， 即，所以. 故选：A. 二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分） 8. 在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 若复数中，i为虚数单位，则 B. 已知，其中i是虚数单位，a为实数，则或 C. 若，则 D. 复数是方程在复数范围内的一个解 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数的除法法则，乘法法则，以及复数的性质计算可判断每个选项的正误. 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，由，可得，即， 所以，解得，故B错误； 对于C，设，因为，所以，所以 所以，故C正确； 对于D，因为， 所以复数是方程在复数范围内的一个解，故D正确. 故选：ACD. 9. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 与共线的单位向量的坐标为或 B. 在方向上的投影向量为 C. 与垂直的单位向量的坐标为或 D. 若向量与向量垂直，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量坐标运算求得，再结合单位向量、投影向量的定义、垂直关系的向量表示逐项判断. 【详解】由向量，，得， 对于A，与共线的单位向量的坐标为或，A错误； 对于B，在方向上的投影向量为，B正确； 对于C，设与垂直的向量，则与垂直的单位向量的坐标为或，C错误； 对于D，，解得，D正确. 故选：BD 10. 已知O为内部的一点，满足，，，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意，根据平面向量数量积的运算律计算即可判断A；根据数量积的运算律和定义计算即可判断B；根据诱导公式可得，结合三角形面积公式求出，，的面积即可判断C；根据向量的线性运算即可判断D. 【详解】对于A.由，可得， 两边平方，得，解得，故A正确； 对于B，由，可得， 两边平方有，有，得.故B正确； 对于C，可知，所以. 由三角形面积公式可得，，的面积分别为，1，， 故的面积为2.故C错误； 对于D.因为，， 所以， 故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，请将答案写在答题纸上） 11. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将直观图复原为原图，求出相关线段的长，即可求得答案. 【详解】由题意知在直观图等腰梯形，，， 则； 将直观图复原为原图，如图示： 则， 作于，则， 故四边形的周长为． 故答案为：. 12. 在中，，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】利用正弦定理可求得，进而求得，利用三角形内角和定理可求. 【详解】在中，由正弦定理可得，又， 所以，解得， 因为，所以，所以或， 当时，，当时，， 综上所述：或. 故答案为：或. 13. 如图，半圆的直径为4，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形，则四边形面积的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理，表示出的面积和的面积，进而表示出四边形的面积，利用辅助角公式化简函数的解析式为正弦型函数的形式，利用三角函数的有界性求解. 【详解】设，则的面积为. 的面积为. 所以，四边形的面积为：. 因为，所以当，即时，四边形的面积取得最大值. 此时最大值为. 故答案为：. 四、解答题（共5小题，共77分，请写出必要的解答过程） 14. 如图，在正方体1中，，E、F、G分别为、、中点. （1）求三棱锥的表面积； （2）求证：平面. 【答案】（1）16； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）借助正方体的结构特征求出三棱锥的表面积. （2），连接，利用线面平行的判定推理得证. 【小问1详解】 在正方体中，，两两垂直， 由分别为的中点，得，， 等腰底边上的高， 所以三棱锥的表面积 . 【小问2详解】 连接，，连接， 由是正方形对边中点，得四边形是矩形，则是的中点， 而是的中点，因此，而平面，平面， 所以平面. 15. 已知，，与的夹角为. （1）若与共线，求实数值； （2）求的值； （3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量共线定理得到方程组，解出即可； （2）根据向量数量积的运算律和定义计算即可； （3）根据向量夹角为锐角，则向量数量积大于0，并去掉共线同方向的情况即可. 小问1详解】 因为与共线， 所以存在实数使得， 所以，解得，所以； 【小问2详解】 因为，，与的夹角为， 所以， 所以， 则； 【小问3详解】 向量与的夹角是锐角， 可得，且与不同向共线， 即为， 即有，解得， 由与共线，可得， 解得，当时，两者同向共线， 则实数的取值范围为. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，且满足. （1）求角； （2）若为的中点，且，，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由余弦边角关系得，再应用余弦定理求角的大小； （2）由及向量数量积的运算律得，结合求得，再应用三角形面积公式求面积. 【小问1详解】 由题设，则， 所以，且，则. 【小问2详解】 由（1）， 由，则， 所以，可得， 所以. 17. 如图所示，，，为山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，，．计划沿直线开通穿山隧道，请根据表格中的数据，计算： （1）的长度 （2）隧道的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由求出，从而可求出，然后中利用正弦定理可求出； （2）在中利用正弦定理求出，从而可求出. 【小问1详解】 因为，为锐角，所以， 所以 ， 在中，， 所以由正弦定理得， 所以； 【小问2详解】 因为， 在中，， 所以由正弦定理得， 则， 所以， 所以隧道的长度为. 18. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角； （2）若，求的面积的取值范围； （3）若，且，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）已知条件利用正余弦定理边化角，结合倍角公式化简得，求角； （2）由正弦定理有，由，得，所以可求取值范围； （3）由，可得，由，可求实数的取值范围． 【小问1详解】 由，得， 由余弦定理得， 再由正弦定理及倍角公式得 ， 得，即，在锐角中，有． 【小问2详解】 ，，则． 由正弦定理，有， ． 又是锐角三角形，有，得，则， 所以． 即的面积S的取值范围； 【小问3详解】 ，由正弦定理， 得，， ，即 又，且， ， 设，函数，， 任取，则， ，， 当，，，即， 当，，，即， 即在上单调递减，在上单调递增， ，， ，，则 实数的取值范围为． 【点睛】方法点睛： 在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理实现“边化角”，出现边的二次式一般采用到余弦定理实现“角化边”．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延边第二中学2024-2025学年度第二学期期中考试 高一年级数学试卷 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个选项正确） 1. 已知两条不同的直线及两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与是异面直线 C 若，则与平行或异面 D. 若，则与一定相交 2. 已知平面向量，满足，，，则向量与向量的夹角为（ ） A B. C. D. 3. 如图，已知圆台形水杯（不计厚度）的杯口直径为6，杯底的直径为4，高为，水杯中盛有部分水.当杯底水平放置时，杯中水的高度为，将半径为的小球放入杯中，小球被完全浸没，水恰好填满水杯，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知正方体中，E为中点，则异面直线与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图中G为重心，PQ过G点，，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 6. 有这样一个古算题：“今有木长二丈四尺，围之五尺，葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”（注：1丈等于10尺）则这个问题中，葛藤长的最小值为（ ） A. 2丈4尺 B. 2丈5尺 C. 2丈6尺 D. 2丈8尺 7. 如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，，AD与CE交于点O．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 2 二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分） 8. 在复平面内，下列说法正确是（ ） A. 若复数中，i为虚数单位，则 B. 已知，其中i是虚数单位，a为实数，则或 C. 若，则 D. 复数是方程在复数范围内的一个解 9. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 与共线的单位向量的坐标为或 B. 在方向上的投影向量为 C. 与垂直的单位向量的坐标为或 D. 若向量与向量垂直，则 10. 已知O为内部一点，满足，，，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，请将答案写在答题纸上） 11. 如图，四边形斜二测画法直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为__________． 12. 在中，，则________． 13. 如图，半圆的直径为4，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形，则四边形面积的最大值为________． 四、解答题（共5小题，共77分，请写出必要的解答过程） 14. 如图，在正方体1中，，E、F、G分别为、、中点. （1）求三棱锥的表面积； （2）求证：平面. 15. 已知，，与的夹角为. （1）若与共线，求实数的值； （2）求的值； （3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，且满足. （1）求角； （2）若为的中点，且，，求的面积. 17. 如图所示，，，为山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，，．计划沿直线开通穿山隧道，请根据表格中的数据，计算： （1）的长度 （2）隧道的长度． 18. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角； （2）若，求的面积的取值范围； （3）若，且，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $