2026年高考数学真题完全解读（天津卷）（真题解读）

该高中数学高考复习讲义覆盖函数与导数、解析几何、立体几何等主干模块，按基础概念、综合应用、压轴突破的逻辑层次梳理考点，通过考点细目表系统整合、通性通法专项指导、真题分层训练三个环节，帮助学生构建知识网络，突破运算能力与逻辑推理难点。 讲义以创新题型分析和跨模块综合为特色，如导数压轴题设计对数放缩技巧训练培养逻辑推理能力，多选填空题采用逐项验证策略提升数学运算准确性。设置避坑提醒和分层练习，确保高效突破高频考点，为教师把控复习节奏、学生提升应考能力提供实战支撑。

2026年天津高考数学真题完全解读 试卷总评·考情分析·复习策略·真题解读 试题分析 2026年天津高考数学试卷延续天津卷自主命题的20题结构（9道单选题+6道填空题+5道解答题），总分150分。试卷整体难度适中，梯度清晰，体现基础性、综合性、应用性相结合的命题特点。单选题前6题侧重基础概念和常规运算，第7-9题逐步提升难度；填空题第10-13题为基础运算，第14-15题融入三角函数最值和抛物线多选判断，体现综合应用；解答题覆盖三角函数、立体几何、解析几何、数列和导数五大主干模块，第20题导数压轴题涉及对数放缩和恒成立求参数，难度较大。全卷注重通性通法，强调对基本概念和公式的准确理解与灵活运用，对运算能力和逻辑推理能力要求较高。 试题亮点 1. 多选填空创新设问，思维深度显著提升：第15题以抛物线为背景设置多选填空，要求判断5个命题的正确性，考查学生对抛物线弦与轴交点性质的深入理解。此类题型在天津卷中较为典型，融合了解析几何、代数运算和逻辑判断，对学生的综合分析能力提出较高要求。 2. 数列与集合交汇命题，考查创新思维：第19题将等差数列与等比数列的通项公式、集合元素计数和错位相减法求和融为一体，尤其是第(2)(ii)问需要利用分组求和与错位相减法，体现了数列模块的综合性与创新性。 3. 导数压轴题层次分明，对数放缩彰显区分度：第20题以函数切线、不等式证明和恒成立求参数三问层层递进，第(3)问需要构造辅助函数、取对数放缩，结合分类讨论确定参数的最大值，充分体现了导数作为顶尖区分度载体的功能。 命题趋势 1. 基础概念考查持续深化，注重通性通法：天津卷单选前6题和填空前4题保持较低难度，但如第3题线性回归并非机械套用公式，而是需要理解相关系数的意义和预测值的含义；第5题正方体空间几何需要综合线面关系进行判断。未来命题将继续以基础题为基本盘，但会通过概念理解的深度检验学生是否真正掌握知识本质。 2. 解答题模块分布稳定，解析几何与数列仍是重点：天津卷解答题5题分别覆盖三角函数、立体几何、解析几何、数列和导数，模块分布较为固定。第18题椭圆与圆的综合、第19题数列与集合的交汇，体现了天津卷对解析几何和数列模块的重视。预计这一结构将稳定延续，解析几何和数列的综合应用将持续成为考查重点。 3. 导数压轴题探究性特征明显，放缩技巧常态化：第20题第(3)问涉及对数放缩和裂项求和，需要学生自主构造函数、利用已证结论进行放缩。近三年天津卷导数压轴题均涉及恒成立求参数或不等式证明，且放缩技巧的运用频率增加，预计这一趋势将持续。 4. 概率统计融入实际情境，数据分析能力要求提升：第3题以候鸟数量与温度关系的调查数据为背景，考查线性回归和相关系数的理解；第13题以有放回取球的条件概率为背景。随着新课标对数据分析素养的强调，概率统计模块的情境化和应用性将进一步增强。 考点细目表 题号 题型 分值 具体考点 关键能力 1 单选 5 集合与常用逻辑用语→集合运算→集合的交并补运算 数学运算 2 单选 5 集合与常用逻辑用语→充分必要条件→充分必要条件的判断 逻辑推理 3 单选 5 概率与统计→线性回归→相关系数与回归方程的理解 数据分析 4 单选 5 函数与导数→函数图像→函数奇偶性与单调性的图像判断 直观想象 5 单选 5 立体几何→空间位置关系→正方体中线面平行与垂直的判断 直观想象 6 单选 5 函数与导数→函数性质→指数、对数、幂函数的大小比较 数学运算 7 单选 5 函数与导数→基本不等式→利用基本不等式求最值 数学运算 8 单选 5 数列→等差数列→由前n项和求通项公式 数学运算 9 单选 5 解析几何→双曲线→双曲线的几何性质与离心率 数学运算 10 填空 5 三角函数与解三角形→三角恒等变换→三角函数的化简求值 数学运算 11 填空 5 函数与导数→二项式定理→二项展开式中指定项的系数 数学运算 12 填空 5 三角函数与解三角形→解三角形→正弦定理的应用 数学运算 13 填空 5 概率与统计→概率计算→独立重复试验与条件概率 数据分析 14 填空 5 三角函数与解三角形→三角函数最值→三角函数的值域与最值 数学运算 15 填空 5 解析几何→抛物线→抛物线弦的性质与多选判断 数学运算 16 解答 14 三角函数与解三角形→三角函数综合→三角函数的周期、最值和求值 数学运算 17 解答 15 立体几何→空间向量与立体几何→线面垂直的证明、二面角和体积计算 直观想象 18 解答 15 解析几何→椭圆→椭圆的标准方程与直线斜率 数学运算 19 解答 15 数列→数列综合→等差等比数列通项、集合计数与错位相减法 逻辑推理 20 解答 16 函数与导数→导数综合→切线方程、不等式证明与恒成立求参数 逻辑推理 考点模块占比分析 基础知识模块（约18%，27分）：重点考查集合运算、充分必要条件、函数图像识别等基础概念，对应第1、2、4题。天津卷基础题注重概念理解的准确性，如第3题对回归方程的理解需要区分预测值与确定值。 函数与导数模块（约30%，45分）：重点考查函数性质、基本不等式、二项式定理、三角函数化简与最值、导数应用等，对应第4、6、7、10、11、14、16、20题。第20题导数压轴题涉及对数放缩和恒成立求参数，是天津卷的最高区分度题目。 平面解析几何与立体几何模块（约23%，34分）：重点考查双曲线离心率、抛物线性质、椭圆标准方程与直线斜率、正方体空间位置关系、长方体中的二面角和体积，对应第5、9、15、17、18题。第15题多选填空是天津卷的特色题型。 数列与三角函数模块（约19%，29分）：重点考查等差数列通项、三角函数周期与最值、解三角形、数列与集合的综合，对应第8、10、12、14、16、19题。第19题将等差等比数列与集合计数、错位相减法融为一体，体现综合创新能力。 概率与统计模块（约10%，15分）：重点考查线性回归与相关系数、独立重复试验概率、条件概率，对应第3、13题。概率统计模块融入实际情境，考查数据分析和数学建模能力。 核心复习策略 1. 夯实基础概念，重视通性通法 （1）系统梳理集合、函数、三角函数、数列、概率等核心概念，确保基础题零失误。天津卷基础题占比大，前13题65分，是稳定得分的关键。 （2）加强基本运算能力训练，尤其是三角函数化简、数列求和、解三角形等常规运算，提高运算速度和准确率。 2. 突破解析几何与立体几何综合题型 （1）掌握圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的定义、标准方程和几何性质，熟练运用弦长公式、韦达定理等核心工具。特别关注天津卷特色的多选填空题型。 （2）加强空间想象能力培养，通过建立空间直角坐标系和几何法两种途径解决立体几何问题，掌握线面关系、二面角和体积的计算方法。 3. 提升压轴题突破能力 （1）导数压轴题注重构造函数、分类讨论和放缩技巧的训练。熟练掌握常见放缩不等式（如ln x ≤ x-1，e^x ≥ x+1等），积累对数放缩和裂项求和的经验。 （2）数列综合题注重等差等比数列的基本量计算、错位相减法和分组求和法的训练，提升从特殊到一般的归纳思维能力。 避坑提醒（考试最易踩的雷） ×基础概念理解模糊：如第3题混淆预测值与确定值，第5题空间位置关系判断不严谨，导致基础题失分。 ×忽视多选填空的答题策略：第15题多选填空要求选全对才得分，容易因漏选或错选而失分，需逐项验证。 ×运算失误：天津卷填空题和解答题运算量较大，三角函数化简、数列求和、导数计算等环节容易出错，需提高运算准确性。 ×导数放缩方向错误：第20题对数放缩时容易放缩方向错误或忽略等号成立条件，导致证明失败或参数范围求错。 一、单选题 1．已知全集，集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：集合的交并补运算 ►命题分析： （1）情境创设：直接考查集合运算的基本概念，无复杂情境，属于纯数学概念题。 （2）问题设计：以选择题形式直接考查全集、补集和交集的运算，要求学生准确理解集合运算的定义。 （3）考查目标：考查学生对集合概念的理解和基本运算能力，属于基础记忆层次。 答案与解析 【答案】D 【详解】由题可得,又因， 则. 知识总结 ① 核心概念：全集、子集、交集、并集、补集的定义。② 解题要点：借助数轴或韦恩图辅助理解集合关系，注意端点值的取舍。③ 拓展关联：集合运算常与不等式、函数定义域结合考查。 2．设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 命题透视 ►核心考点：充分必要条件的判断 ►命题分析： （1）情境创设：以不等式解集关系为背景，考查充分必要条件的判断。 （2）问题设计：通过解不等式确定两个集合的包含关系，进而判断条件类型。 （3）考查目标：考查逻辑推理能力和不等式求解能力，属于基础应用层次。 答案与解析 【答案】A 【详解】由，解得：或， 即时，成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 知识总结 ① 核心概念：充分条件、必要条件、充要条件的定义。② 解题要点：先分别求解两个命题对应的集合，再判断集合间的包含关系。③ 拓展关联：充分必要条件与集合的包含关系一一对应，A⊆B则A是B的充分条件。 3．调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数，根据最小二乘法算得：，下列说法正确的是（     ） A．与负相关 B．当时，一定为1359 C．当时，一定小于1359 D．两变量无线性关系 命题透视 ►核心考点：线性回归与相关系数 ►命题分析： （1）情境创设：以候鸟数量与温度关系的调查数据为背景，考查线性回归方程和相关系数的理解。 （2）问题设计：通过散点图和回归方程，判断变量相关性、预测值的含义等。 （3）考查目标：考查数据分析能力和统计概念的理解，属于综合应用层次。 答案与解析 【答案】A 【详解】因为相关系数，且散点图从左到右呈现下降趋势，且整体分布在较窄的带状区域， 所以y与x负相关，所以A正确，D错误； 当时，，所以约为， 所以B，C错误. 知识总结 ① 核心概念：相关系数r（|r|越接近1相关性越强，r>0正相关，r<0负相关）、回归方程的预测值是估计值而非确定值。② 解题要点：理解回归方程的预测性质，区分"约为"与"一定"的表述。③ 拓展关联：线性回归分析常与独立性检验、频率分布直方图等结合考查。 4．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：函数图像的识别 ►命题分析： （1）情境创设：通过函数的部分图像，判断函数的解析式。 （2）问题设计：结合函数奇偶性、单调性和特殊点，利用排除法确定正确选项。 （3）考查目标：考查函数性质的综合运用和图像分析能力，属于综合应用层次。 答案与解析 【答案】C 【分析】A、B、D项，结合特殊点即可排除；C项，求出奇偶性和单调性，即可判断. 【详解】由题意， 由题意及图得，函数为奇函数，且当时，， 对A选项，当时，，与图象不符，故A错误； 对B选项，当时，，与图象不符，故B错误； 对D选项，当时，，与图象不符，故D错误； 对C选项，在中， ，即该函数为奇函数， ，与图象相符，故C正确. 知识总结 ① 核心概念：函数的奇偶性、单调性、特殊点（如x=0, x=1等）的函数值。② 解题要点：先判断函数奇偶性缩小范围，再利用特殊点排除错误选项。③ 拓展关联：函数图像识别常与导数、三角函数、指数对数函数结合考查。 5．正方体中，错误的是（     ） A． B．面 C．面 D．面 命题透视 ►核心考点：正方体中的空间位置关系 ►命题分析： （1）情境创设：以正方体为载体，考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判断。 （2）问题设计：通过几何证明和反证法，判断四个选项中错误的一个。 （3）考查目标：考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于综合应用层次。 答案与解析 【答案】D 【分析】A项，通过证明四边形是平行四边形，即可证明结论；B项，通过，，即可证明平面；C项，通过证明平面，平面，即可证明结论；D项，假设垂直，得出平面，结合几何知识得出矛盾，即可得出结论. 【详解】由题意， 在正方体中， A项， ，， ∴四边形是平行四边形， ∴，A正确； B项， 由几何知识得，，， ，平面，平面， ∴平面，故B正确； C项， ∵，平面，平面， ∴平面， 由几何知识得，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面， ∵，， ∴平面平面，C正确； D项， 假设平面平面，则交线为， 此时有， ∴平面， ∵平面， ∴， 连接，， 由几何知识得，，则，故 在中，由几何知识得，， ∴三角形为等边三角形，，矛盾， 故D错误. 知识总结 ① 核心概念：线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理。② 解题要点：利用平行四边形证明线线平行，利用线面垂直的判定定理证明线面垂直。③ 拓展关联：空间位置关系的判断可通过几何法或空间向量法解决。 6．已知函数，若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：指数、对数、幂函数的大小比较 ►命题分析： （1）情境创设：通过指数函数、对数函数和幂函数的单调性，比较三个数的大小。 （2）问题设计：利用对数换底公式和指数运算性质，将三个数转化为同底或同指形式进行比较。 （3）考查目标：考查函数单调性的应用和运算能力，属于综合应用层次。 答案与解析 【答案】A 【分析】根据对数函数与绝对值的性质化简，再由指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】由题意可得， 因为函数在上单调递增，所以， 又因函数在上单调递增，则， 所以， 因，且在上单调递增， 所以，即. 故. 知识总结 ① 核心概念：指数函数y=a^x（a>1时递增）、对数函数y=log_a x（a>1时递增）、幂函数y=x^a的单调性。② 解题要点：利用中间值（如0, 1）进行分段比较，或利用单调性直接比较。③ 拓展关联：大小比较常与构造函数、导数判断单调性结合。 7．的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 命题透视 ►核心考点：基本不等式求最值 ►命题分析： （1）情境创设：利用基本不等式求代数式的最小值。 （2）问题设计：通过代数变形，构造满足基本不等式使用条件的表达式。 （3）考查目标：考查基本不等式的灵活运用和代数变形能力，属于综合应用层次。 答案与解析 【答案】B 【详解】因为， 当且仅当，即，时，等号成立, 所以的最小值为9. 知识总结 ① 核心概念：基本不等式a+b≥2√ab（a,b>0，当且仅当a=b时取等）。② 解题要点：注意"一正二定三相等"的使用条件，通过拆项、配凑构造定值。③ 拓展关联：基本不等式常与函数最值、解析几何中的最值问题结合。 8．已知，，则（     ） A．68 B．56 C． D． 命题透视 ►核心考点：由前n项和求通项公式 ►命题分析： （1）情境创设：已知数列的前n项和S_n，求数列的某一项。 （2）问题设计：利用a_n=S_n-S_{n-1}(n≥2)的关系，逐步递推求解。 （3）考查目标：考查数列递推关系和运算能力，属于基础应用层次。 答案与解析 【答案】C 【分析】根据前n项和的含义，依次令，逐步计算即可得到结果. 【详解】由，得 ，即； ，即； 因为，所以； ，即，所以； ，即，所以. 知识总结 ① 核心概念：a_n=S_n-S_{n-1}(n≥2)，a_1=S_1。② 解题要点：注意n≥2时的递推关系，验证n=1时是否满足通项公式。③ 拓展关联：由S_n求a_n是数列问题的基础，常与等差等比数列结合考查。 9．已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（     ） A．4 B． C． D． 命题透视 ►核心考点：双曲线的几何性质与离心率 ►命题分析： （1）情境创设：已知双曲线上点的几何关系，求双曲线的离心率。 （2）问题设计：通过几何关系构造关于a, b, c的方程，转化为关于离心率e的方程求解。 （3）考查目标：考查双曲线的几何性质和运算求解能力，属于综合应用层次。 答案与解析 【答案】D 【分析】过点作垂直轴，垂足为，根据几何关系用表示出点坐标，代入双曲线方程构造齐次式，然后可得离心率. 【详解】如图，过点作垂直于轴，垂足为， 因为，所以，所以， 又，所以， 根据双曲线对称性，不妨设点在第二象限，则， 将点坐标代入双曲线方程得：， 整理得， 将代入上式，整理得， 两边同时除以，整理得，解得. 知识总结 ① 核心概念：双曲线c^2=a^2+b^2，离心率e=c/a>1。② 解题要点：利用几何关系（如焦点、顶点、双曲线上点的坐标关系）建立方程，消去参数得到关于e的方程。③ 拓展关联：双曲线的离心率问题常与渐近线、焦点三角形等结合考查。 二、填空题 10．化简__________． 命题透视 ►核心考点：三角函数的化简求值 ►命题分析： （1）情境创设：直接考查三角函数的化简运算。 （2）问题设计：利用诱导公式和二倍角公式进行三角函数化简。 （3）考查目标：考查三角恒等变换的基本运算能力，属于基础记忆层次。 答案与解析 【答案】 【详解】. 知识总结 ① 核心概念：诱导公式、二倍角公式。② 解题要点：准确记忆特殊角的三角函数值，灵活运用诱导公式化简。③ 拓展关联：三角函数化简常与三角函数图像、解三角形结合考查。 11．展开式中的系数为__________． 命题透视 ►核心考点：二项展开式中指定项的系数 ►命题分析： （1）情境创设：求二项展开式中某一项的系数。 （2）问题设计：写出二项展开式的通项公式，令x的指数等于目标值，求出对应的系数。 （3）考查目标：考查二项式定理的应用和运算能力，属于基础应用层次。 答案与解析 【答案】 【分析】根据二项式定理得到展开式的通项公式即可求解. 【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为， 当时，，因此的系数为. 知识总结 ① 核心概念：二项展开式的通项公式T_{r+1}=C_n^r a^{n-r}b^r。② 解题要点：准确写出通项公式，根据题意列出方程求出r，再计算系数。③ 拓展关联：二项式定理常与赋值法、近似计算结合考查。 12．在中，，，，则__________． 命题透视 ►核心考点：正弦定理的应用 ►命题分析： （1）情境创设：在三角形中已知两角和一边，求另一边。 （2）问题设计：利用三角形内角和求出第三个角，再用正弦定理求解。 （3）考查目标：考查解三角形的基本运算能力，属于基础应用层次。 答案与解析 【答案】/ 【详解】在中，，所以， 由正弦定理可得. 知识总结 ① 核心概念：正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。② 解题要点：注意三角形内角和为π，利用正弦定理建立边角关系。③ 拓展关联：正弦定理常与余弦定理、三角形面积公式结合考查。 13．箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是__________；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是__________． 命题透视 ►核心考点：独立重复试验与条件概率 ►命题分析： （1）情境创设：以有放回取球为背景，考查独立重复试验的概率和条件概率。 （2）问题设计：第一空利用独立重复试验公式计算概率；第二空利用条件概率公式P(A|B)=P(AB)/P(B)求解。 （3）考查目标：考查概率计算和条件概率的理解，属于综合应用层次。 答案与解析 【答案】 【分析】第一空：计算出每次取到不是黄球的概率，即可得出三次都没取到黄球的概率；第二空：计算出至少取到一次红球的概率，借助条件概率即可得出结论. 【详解】由题意， 第一空： 箱子里总共有6个球，其中黄球2个，非黄球共4个。 设事件表示没取到黄球，事件表示三次都没取到黄球， 有放回抽取，每次取到非黄球的概率为， 三次都没取到黄球的概率：. 第二空： 设事件表示至少取到一次红球，事件表示三次都取到白球， ， ∵三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率：， ， ∴， ∴在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是. 知识总结 ① 核心概念：独立重复试验概率P_n(k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k}，条件概率P(A|B)=P(AB)/P(B)。② 解题要点：明确事件定义，区分"三次都没取到黄球"和"至少取到一次红球"的事件关系。③ 拓展关联：概率计算常与排列组合、统计图表结合考查。 14．已知，，记．当时，__________，当时，的取值范围为__________． 命题透视 ►核心考点：三角函数的值域与最值 ►命题分析： （1）情境创设：已知三角函数的表达式，求特定条件下的值和取值范围。 （2）问题设计：利用三角恒等变换化简表达式，通过换元转化为二次函数求最值。 （3）考查目标：考查三角恒等变换和函数最值的综合求解能力，属于综合应用层次。 答案与解析 【答案】 【分析】第一空：利用和得出和的值，即可得出结论；第二空：将代入得，展开，令，，，代入并整理，得出，即可求出的取值范围. 【详解】由题意， ，，， 第一空： 当时，， ∴， ∴. 第二空： 将代入得， 两边平方，得：， 展开：， 代入，，记， ， 令，，， 则原式变为：， 配方得：， 由于 ，，因此 ， 即 ，解得， ， 因此，的取值范围为：. 知识总结 ① 核心概念：两角和公式、辅助角公式、二次函数最值。② 解题要点：通过换元将三角函数表达式转化为关于新变量的二次函数，注意新变量的取值范围。③ 拓展关联：三角函数最值常与导数、基本不等式结合考查。 15．在平面内，为坐标原点，抛物线上有、、、四个点，、、、的纵坐标分别为、、、，直线与直线交轴于点，直线交轴于点，直线交轴于点，以下说法正确的有______． ①若与抛物线焦点重合，则； ②； ③； ④； ⑤ 命题透视 ►核心考点：抛物线弦的性质与多选判断 ►命题分析： （1）情境创设：以抛物线为背景，探究抛物线弦与轴交点的性质，判断多个命题的正确性。 （2）问题设计：先推导抛物线弦与轴交点横坐标的一般公式，再利用公式逐项验证5个命题。 （3）考查目标：考查解析几何的综合分析能力和逻辑判断能力，属于创新探究层次。 答案与解析 【答案】②④ 【分析】首先探求抛物线弦与轴交点坐标与弦端点纵坐标积的关系，再利用关系式逐项分析，①②易得，③④⑤将长度与面积都转化为纵坐标表示，化简求解可得. 【详解】由题意、、、为抛物线上四个点可知，两两不等. 设抛物线上任意两点，其中. 当时，直线的斜率， 则直线方程为， 令，则直线与轴的交点横坐标 特别地，当时，， 此时直线垂直于轴，也成立， 因此，直线与轴的交点横坐标（）. ①由题意直线交轴于点，若与抛物线焦点重合，则其横坐标为， 故由式可得，即，故①错误； ②由题意直线与直线交轴于点， 则由式可得点横坐标， 可得，故②正确； ③由题意直线交轴于点，直线交轴于点， 则由式可得 ， 则， 故，故③错误； ④由式可得， 当点或为原点时，则点也重合于原点，此时； 当点与均不为原点时，即，且， 则结合②结论可知，， 则有，故④正确； ⑤由，可知，则， ， 如图，当时，不成立，故⑤错误； 故答案为：②④ 知识总结 ① 核心概念：抛物线标准方程、弦的方程、直线与轴交点。② 解题要点：先推导一般结论（直线与x轴交点横坐标x0=-y1y2/2p），再代入验证各命题。③ 拓展关联：抛物线的焦点弦性质、弦中点问题是解析几何的重点。 三、解答题 16．已知． (1)求最小正周期； (2)若，求的最大值和最小值； (3)若，，求． 命题透视 ►核心考点：三角函数的周期、最值和求值 ►命题分析： （1）情境创设：以正弦型函数为载体，考查周期、最值和三角函数值的计算。 （2）问题设计：三问分别考查最小正周期、给定区间内的最值、已知三角函数值求其他值。 （3）考查目标：考查三角函数的基本性质和运算能力，属于基础综合层次。 答案与解析 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）由正弦型函数周期计算公式计算求解； （2）利用换元法，结合正弦函数性质求解； （3）根据同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和的正弦公式计算求解. 【详解】（1）； （2）若，则， 由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最小值，即， 当，即时，函数有最大值，即. 所以函数的最大值为，最小值为； （3）若，，所以， 则，， 则. 知识总结 ① 核心概念：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的周期T=2π/|ω|，换元法求最值。② 解题要点：将ωx+φ视为整体，利用正弦函数的有界性求最值。③ 拓展关联：三角函数综合题常与解三角形、平面向量结合考查。 17．在长方体中，，，，，． (1)求证：面； (2)求面与面的夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 命题透视 ►核心考点：线面垂直的证明、二面角和体积计算 ►命题分析： （1）情境创设：以长方体为载体，考查空间几何中的线面关系、二面角和体积。 （2）问题设计：三问分别要求证明线面垂直、求二面角的余弦值、求三棱锥体积，提供多种解法。 （3）考查目标：考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力，属于综合应用层次。 答案与解析 【答案】(1)方法一：如图，过点作//,交于点，则有,. 连接,则四点共面,平面即平面. 由，，可得与相似, 所以，则可得,所以. 长方体中，平面， 因为平面，所以. 又,平面，所以平面. 方法二： 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系. 则. 所以. 所以， 所以，即. 又,平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证； （2）建立空间直角坐标系，根据平面与平面的夹角的定义转化为异面直线所成的角，利用向量法求该角的余弦值可得；或由面面角的向量求法可得； （3）由向量法证明，从而求得的面积，由向量法求得点C到平面的距离，再根据棱锥的体积公式求得三棱锥的体积；或由向量法求得点A到平面的距离，根据棱锥的体积公式可得三棱锥的体积. 【详解】（1）略 （2）方法一：过点作//,交于点，则有，， 连接，则四点共面，平面即平面. 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则 ，，所以， 所以. 取的中点P，则，所以， ，所以. 所以异面直线与所成的角等于平面与平面的夹角. 又， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 方法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系. 则. 所以， 设平面的法向量为， 则，故可取. 由（1）知平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. （3）方法一：由，，得， 所以. 所以的面积为. 由（2）知，平面的一个法向量为， 点C到平面的距离为. 所以三棱锥的体积， 所以三棱锥的体积为. 方法二：点A到平面的距离为. 因为//，所以到的距离相等， 所以的面积等于的面积，即. 所以三棱锥的体积为. 知识总结 ① 核心概念：线面垂直的判定定理、二面角的平面角、等体积法。② 解题要点：建立空间直角坐标系，利用向量法求法向量和夹角；或用几何法找二面角的平面角。③ 拓展关联：立体几何问题可通过几何法或空间向量法解决，向量法更具通性。 18．已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为． (1)求的标准方程； (2)斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，求． 命题透视 ►核心考点：椭圆的标准方程与直线斜率 ►命题分析： （1）情境创设：已知椭圆的离心率和弦长，求标准方程；再研究与圆相切的直线与椭圆相交的斜率关系。 （2）问题设计：第一问利用离心率和弦长建立方程求参数；第二问利用直线与圆相切的条件和韦达定理求斜率之积。 （3）考查目标：考查解析几何的综合运算能力和方程思想，属于综合应用层次。 答案与解析 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的离心率可知，，然后将代入椭圆方程即可求解； （2）根据直线与圆相切即可求出，分类讨论即可. 【详解】（1）由于椭圆的离心率为，所以，即， 由于，所以， 将代入椭圆方程，得，即，解得，即， 由题意，所截得的线段长为，所以，解得，从而， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知，，所以圆的方程为， 设直线的方程为，因为直线与圆相切，如图所示， 则圆心到直线的距离，解得， 椭圆上顶点，分两种情况讨论： ①当时，直线的方程为，代入椭圆方程， 化简得，解得或， 则当时，，当时，，由于，所以， 则，，此时； ②当时，直线的方程为，代入椭圆方程， 化简得，解得或， 当时，，当时，，由于，所以， 则，，此时. 综上所述，的值为. 知识总结 ① 核心概念：椭圆标准方程、离心率、弦长公式、直线与圆相切。② 解题要点：设直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式建立方程；注意分类讨论直线斜率是否存在。③ 拓展关联：解析几何综合题常涉及设而不求、整体代换的解题策略。 19．已知等差数列与等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，，或，记为中的元素个数． （i）求； （ii）求． 命题透视 ►核心考点：等差等比数列通项、集合计数与错位相减法 ►命题分析： （1）情境创设：将等差数列与等比数列的通项公式、集合元素计数和数列求和融为一体。 （2）问题设计：第一问求通项公式；第二问(i)利用集合中元素个数的定义求解；(ii)利用分组求和与错位相减法求和。 （3）考查目标：考查数列的综合应用能力和创新思维，属于创新探究层次。 答案与解析 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）通过基本量计算即可求得通项公式； （2）（i）分析和项的特征，结合集合的定义即可得解；（ii）利用分组求和法和错位相减法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为， 所以，即，解得或（公比不能为0，舍去）， 所以 （2）（i）由（1）知为偶数，为奇数，所以数列和没有相同项， 根据题意，集合中的元素由数列和中小于等于项组成， 小于的正偶数有个，由得，， 所以数列中小于等于的项有个，中小于等于的项有个， 所以. （ii）当时，中小于等于的项有个， 又为偶数时，中小于等于的项有个，为奇数时，中小于等于的项有个， 所以， 所以， 从到共有项， 又为奇数时， 所以 ， 所以 令①， 则②， ①-②得 ， 所以， 所以 知识总结 ① 核心概念：等差数列通项、等比数列通项、集合元素个数、分组求和、错位相减法。② 解题要点：明确集合S_n的定义，分析数列{b_n}中小于等于n的项数，注意奇偶分类讨论。③ 拓展关联：数列求和常用方法包括公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法。 20．已知． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明； (3)求实数的最大可能值，使得对任意的都成立． 命题透视 ►核心考点：切线方程、不等式证明与恒成立求参数 ►命题分析： （1）情境创设：以函数为载体，考查导数的几何意义、不等式证明和恒成立求参数。 （2）问题设计：三问层层递进：求切线、证明不等式、求使不等式恒成立的参数最大值。 （3）考查目标：考查导数的综合应用能力、逻辑推理能力和创新思维，属于创新探究层次。 答案与解析 【答案】(1) (2)令，则， 当时，，，则， 所以在上单调递增，则， 所以在上恒成立，即在上恒成立； 当时，令， 所以，因为和在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以， 因为，所以，所以，由于， 所以， 则在上单调递增， 则，即在恒成立， 所以在上单调递减， 所以，即在成立， 故在成立， 综上，在上恒成立， (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义，以及直线的点斜式方程求解即可； （2）令，利用导数研究在上的单调性以及最值即可证明结论； （3）利用导数证明，分和两种情况讨论不等式是否成立. 【详解】（1）由于， 所以，， 则曲线在点处的切线方程为：， 即； （2）略 （3）①当时，设 构造函数， 则， 令， 所以， 由于在上单调递增， 所以，则在上单调递减， 故，则在上单调递减， 则在上恒成立，即在上恒成立； 令，所以， 所以在上单调递增，则，当且仅当时取等， 即在上恒成立. 故， 令，则， 对于，令，则， 变形得， 裂项求和得， 对题设不等式左边取对数放缩： ， 对题设不等式右边取对数放缩：： 当时，，此时右侧大于左侧，不等式不恒成立，所以不满足条件； ②当时，若,恒成立， 此时原不等式右侧，只需证明：， 由（2）问结论可得： 对于二项式展开， 两边取对数，， 又 因此， 所以原不等式成立，则的最大值为 知识总结 ① 核心概念：导数的几何意义、函数单调性与最值、对数放缩、裂项求和。② 解题要点：构造函数求导判断单调性；利用已知不等式结论进行放缩；注意分类讨论参数的取值范围。③ 拓展关联：导数压轴题常涉及构造函数、分类讨论、放缩技巧，需积累常见不等式。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $