天津市耀华中学2026届高三年级寒假前训练数学学科试题

天津市耀华中学2026届高三年级假前训练 数学学科试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题共45分） 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的有（ ） ①数据2，3，5，7，11，13的第75百分位数为11，中位数为6； ②一组数据的标准差为0，则这组数据中的数值均相等； ③若随机变量，满足，则，； ④一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，女医生去同一个医院，共有36种分配方式． ⑤在回归模型中，决定系数越大，则回归拟合的效果越好． ⑥样本数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为2． ⑦若随机变量X服从正态分布，且，则 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列 满足 若对于任意的 都有 ，则实数 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 7. 已知正四面体（四个面都是正三角形），其内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为，设能装下正四面体的最小正方体的体积为，正四面体的外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为，则（ ） A. B. C. D. 8. 将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则以下结论错误的是（ ） A. 为奇函数 B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递减 D. 在上恰有50个零点 9. 已知函数，若关于的方程至少有两个不同的实数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共105分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，其中题中两个空的，答对一个3分，答对二个5分.将答案填写在答题纸上. 10. 复数的共轭复数是__________. 11. 在的二项展开式中，含的项的系数是________.（用数字作答） 12. 圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则点到直线的距离为________. 13. 已知甲盒中有3个白球，2个黑球；乙盒中有1个白球，2个黑球．若从这8个球中随机选取一球，该球是白球的概率是______；若从甲、乙两盒中任取一盒，然后从所取到的盒中任取一球，则取到的球是白球的概率是______． 14. 已知正实数m，n，满足，则的最小值为____________. 15. 已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与E交于M，N两点，分别过点M，N作l的垂线，垂足为P，Q．若四边形MPNQ的面积为，则E的虚轴长为________． 三、解答题：本大题共5个小题，共计75分.请在解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.答案写在答题卡的相应位置上. 16. 在中，内角、、的对边分别为、、，且. （1）求角； （2）若是锐角三角形，且，求的取值范围. 17. 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，线段的中点为且底面，，且且，是的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）点在棱上，且直线与底面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，，． （1）求数列和的通项公式； （2）已知，求数列的前项和； （3）当时，设集合，集合中元素的个数记为，求数列的通项公式． 19. 已知椭圆：的左、右焦点分别为点和，点在上且轴． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于不同的两点、，若的面积为，，（为坐标原点），求的最大值． 20. 已知函数，. （1）求函数在处的切线方程； （2）若， （i）当时，求函数的最小值； （ii）若有两个实根，，且，证明：. 天津市耀华中学2026届高三年级假前训练 数学学科试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题共45分） 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】D 第Ⅱ卷（非选择题 共105分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，其中题中两个空的，答对一个3分，答对二个5分.将答案填写在答题纸上. 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】84 【12题答案】 【答案】或1 【13题答案】 【答案】 ①. ## ②. 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 三、解答题：本大题共5个小题，共计75分.请在解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.答案写在答题卡的相应位置上. 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明: 连接， 因为，为线段的中点，， ，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，，, 因为是的中点，所以， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则， 又因为平面，所以平面； （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1）， （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1）； （2）7 【20题答案】 【答案】（1） （2）（i）1； （ii）由题意，，定义域为， 由题意有两个不相等的实数根， 令，则， 所以在上递增，所以， 令， 所以有两个不相等的正的零点，且， 即，两式分别相加减得， . 所以② 要证，只需证， 即证，即需证， 由②知，， 故只需证， 不妨设，令， 则只需证，即， 故只需证， 令 则， 所以在上单调递增， 所以， 即当时，成立. 所以，即，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $