云南省2025-2026学年下学期数学期末考试模拟卷

**基本信息** 以编程闯关、卡车过隧道等真实情境为载体，融合代数运算、几何推理与统计分析，考查抽象能力、推理意识和数据观念。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|15|二次根式运算、函数图像、勾股定理|第10题卡车过隧道结合圆与直角三角形，体现空间观念| |填空题|4|方差、函数平移、圆柱侧面展开|第19题圆柱彩带最短路径，考查几何直观| |解答题|8|一次函数应用、统计分析、四边形证明|25题空气净化器利润问题，培养模型意识；26题海伦公式阅读题，发展创新意识|

保密★启用前 云南省2025-2026学年春季学期期末考试 八年级数学试题卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列关于变量与关系的图形中，能够表示“是的函数”的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在Rt中，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B． C． D． 4．如图，在中，，，，点D为上的动点，点E，F分别为，的中点，则最小值为（　　） A． B． C． D． 5．如图，四边形是平行四边形，，，，则的长为（      ） A．4 B．5 C．6 D．8 6．为提升信息素养，学校科技节开展编程闯关活动，李老师统计了10名学生完成的编程闯关题目数量，结果如下表： 完成闯关题数 2 3 4 5 6 人数 1 2 4 2 1 下列关于完成闯关题数的描述正确的是（    ） A．平均数是3.8 B．中位数是3.5 C．众数是4 D．方差是1 7．若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 8．在中，，三边长分别为，，．若，则斜边的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 9．已知一次函数， 随的增大而减小，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．一辆装满货物，高为米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门，只有一个单向车道)，则卡车的宽度不得宽于（     ） A．2米 B．米 C．米 D．米 11．如图，在的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点（网格线的交点）上，是的高线，则的长为（ ） A． B． C． D． 12．如图，已知数轴上A、B两点表示的数分别是a、b，化简的结果是（    ） A． B． C．b D．a 13．某网店今年1—4月的电子产品销售总额如图1，其中某一款平板电脑的销售额占当月电子产品销售总额的百分比如图2，据图中信息作如下推断，其中不合理的是（    ） A．这4个月，电子产品销售总额为290万元 B．平板电脑4月份的销售额比3月份有所下降 C．这4个月中，平板电脑销售额最低的是3月 D．平板电脑销售额占当月电子产品销售总额的百分比，4个月中1月最高 14．在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，则以下说法正确的是（    ）（温馨提示：当石块位于水面上方时，，当石块入水后，．） A．当石块下降时，此时石块在水里 B．当时，拉力与之间的函数表达式为 C．石块下降高度时，此时石块所受浮力是 D．当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底 15．在同一直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A．随x的增大而减小 B． C．当时， D．方程组的解为 二、填空题 16．若二次根式有意义，则的取值范围是______． 17．气象局调查了甲、乙、丙、丁四个城市连续四年的降水量，它们在6月份的平均降水量都是240毫米，方差分别是： ，则这四个城市年降水量最稳定的是__________． 18．将一次函数的图像向上平移5个单位长度后，所得图像对应的函数表达式为__________． 19．如图，圆柱底面圆的周长是12厘米，高是5厘米，现要从圆柱下底面的点A处，沿圆柱的侧面把一条彩带绕到上底面的点B处，则彩带最短需要______厘米． 三、解答题 20．计算：． 21．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和， (1)求该一次函数的解析式； (2)在所给的坐标系中画出该一次函数的图象，若点P是该一次函数的图象与函数的图象的交点，求点P的坐标． 22．如图，已知点，在一次函数的图像上，且点在正比例函数的图像上，连接和． (1)求一次函数的表达式； (2)当的面积为9时，求的值． 23．我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，七、八年级根据初赛成绩各选出5名选手组成代表队参加决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示： 平均分（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分2） 七年级 85 85 85 八年级 a b 100 160 (1)根据图示填空：______分，______分； (2)结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个代表队的决赛成绩较好？ (3)计算七年级代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 24．如图，中，，，是由绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点D． (1)求证：； (2)当四边形为菱形时，求的长． 25．某商场购进，两种型号的空气净化器，销售台型和台型空气净化器的销售总价为元；销售台型和台型空气净化器的销售总价为元． (1)求型空气净化器和型空气净化器的销售单价； (2)该商场计划一次购进两种型号的空气净化器共台，其中型空气净化器的进货量不超过型空气净化器的倍，设购进型空气净化器台，若型空气净化器每台的进价为元，型空气净化器每台的进价（元）满足，则销售完这批空气净化器能获取的最大利润是多少元？ 26．阅读材料： 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦——秦九韶公式”． 完成下列问题： 如图，在△ABC中，.                    (1)求△ABC的面积； (2)过点C作CD⊥AB，垂足为D，求线段CD的长. 27．已知抛物线的顶点坐标为，且该抛物线经过点 (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与坐标轴的交点坐标； (3)点在该抛物线上，且为整数，若的值为整数，求出点的坐标． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《云南省2025-2026学年春季学期期末考试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A C A C B D B C 题号 11 12 13 14 15 答案 B C B C C 1．C 【分析】本题考查二次根式混合运算，根据二次根式相关的运算法则逐项判断即可．解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则． 【详解】解：A、与非同类项，无法合并，故，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误， 故选：C． 2．D 【分析】根据函数的概念，对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，结合函数图象即可解答． 【详解】解：A．对于的每一个值，不是都有唯一的值与它对应，不能表示是的函数，故该选项不符合题意， B．对于的每一个值，不是都有唯一的值与它对应，不能表示是的函数，故该选项不符合题意， C．对于的每一个值，不是都有唯一的值与它对应，不能表示是的函数，故该选项不符合题意， D．对于的每一个值，都有唯一的值与它对应，能表示是的函数，故该选项符合题意． 3．A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，圆面积的计算等知识点，先根据勾股定理得到三角形的三边关系，再用圆面积的计算方法得到三个半圆的面积的关系，进而求得结论； 【详解】解：∵在Rt中，, ∴ ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， 故选项B,C,D错误，不符合题意；选项 A正确，符合题意； 故选：A 4．C 【分析】本题主要考查勾股定理及三角形中位线，熟练掌握勾股定理及三角形中位线是解题的关键；连接，由题意易得，是的中位线，则有，然后可知当时，最小，进而根据等积法可进行求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，，， ∴， ∵点E，F分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时，的值最小， ∴当时，最小， 此时，， 即， ∴， ∴， 故选：C． 5．A 【分析】根据平行四边形对角线互相平分得到，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握平行四边形的性质和勾股定理． 6．C 【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的定义直接计算即可． 【详解】解：∵ 完成的总题数为， 平均数为，故A描述不正确； ∵ 数据排序后，中位数为第5和第6个数据的平均值，即，故B描述不正确； ∵ 众数为出现次数最多的值，4出现4次，次数最多，故众数为4，故C描述正确； ∵ ， ，故D描述不正确． 7．B 【分析】利用一次函数的图象性质，根据图象经过的象限判断和的符号即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三象限， ∴． ∵图象还经过第四象限， ∴． 即，． 8．D 【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式，偶数次方的非负性，熟练掌握勾股定理以及完全平方公式是解题的关键． 先通过直角三角形面积公式得到两直角边的关系，再结合勾股定理和完全平方公式的变形推导斜边的最小值． 【详解】解：∵在中，，， ∴，即， 由勾股定理，得， ∵，即，即， 将代入得， ∵， ∴，即斜边c的最小值为2． 故选：D． 9．B 【详解】解：∵一次函数随的增大而减小， ∴，即． 10．C 【分析】本题考查了三线合一，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先求出米，再利用勾股定理求得即可． 【详解】解：∵长方形的长为米，宽为米，卡车高为米，米， ∴米，过点作垂线交半圆于点，在上截取米，符合卡车的高度， 过作交半圆于、两点，连接与， ∵， ∴为的中线， ∴，即为卡车的最大宽度， ∵是半圆的直径， ∴米， ∴米， ∴米， 即卡车的宽度不得宽于米， 故选：C． 11．B 【分析】利用勾股定理得到，，，证明出为等腰直角三角形，再由等腰三角形三线合一的性质和直角三角形斜边上的中线为斜边一半解答即可． 【详解】解：，，， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∵为的高， ∴是斜边上的中线， ∴． 12．C 【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式和绝对值，根据点在数轴上的位置，结合二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴原式； 故选C． 13．B 【分析】根据统计图中的数据，可以判断各个选项中的说法是否合理，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 从1月到4月，电子产品销售总额为：（万元）， 故选项A不符合题意； 该款平板电脑4月份的销售额为：（万元）， 3月份的销售额为：（万元）， 故该款平板电脑4月份的销售额比3月份有所上升，故选项B符合题意； 这4个月中，该款平板电脑售额：1月份是（万元）， 2月份是（万元）， 3月份是万元， 4月份是万元， 故这4个月中，该款平板电脑售额最低的是3月，故选项C不符合题意； 由图2可知平板电脑销售额占当月电子产品销售总额的百分比1月份最高，占比为， 故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查条形统计图、折线统计图，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 14．C 【分析】根据函数图象待定系数法求得线段的解析式，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、由题图可知，石块下降到时，石块正好接触水面，故选项A错误； B、当时，设所在直线的函数表达式为：，则由图象可把点代入得： ，解得：， ∴，故选项B错误； C、当石块下降的高度为时，即时，， ∵， ∴，故选项C正确； D、当，即， 解得， ∴石块距离水底的距离为，故选项D错误． 15．C 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由图可知，随的增大而减小，故选项A正确，不符合题意； B、由图象可知，一次函数与y轴的交点在的上方，即，故选项B正确，不符合题意； C、把代入得，解得，故与的交点为，由图象可知：当时，，故选项C错误，符合题意； D、由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 16． 【分析】二次根式有意义的条件为被开方数是非负数，据此列出一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：． 17．甲 【分析】本题主要考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据方差的意义：方差越小数据越稳定求解即可． 【详解】解： ， 这四个城市年降水量最稳定的是甲． 故答案为：甲． 18．/ 【分析】本题考查一次函数图像的平移变换，掌握一次函数平移的“上加下减”规律即可求解. 【详解】解：∵一次函数的图像向上平移个单位长度， ∴所得图像对应的函数表达式为：. 19．13 【分析】本题考查平面展开﹣最短路径问题，两点间线段最短和勾股定理在生活中的应用．熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．将曲面问题变为平面问题，然后利用勾股定理计算出斜边长度． 【详解】解：如解图，长方形是圆柱的侧面展开图，连接， 此时所需彩带最短，最短长度为， ∵，由题意得厘米．厘米， 由勾股定理得，即， 解得（负值已舍）． 故答案为：13． 20． 【分析】本题根据实数运算规则，分别计算绝对值、算术平方根、有理数平方、立方根、零指数幂，再合并计算得到最终结果． 【详解】解：原式 ． 21．(1) (2)作图见解析； 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点与二元一次方程组得解，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键； （1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式； （2）先描出点A、点B，再连线画图象即可，联立并求解，即可求出交点坐标． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点和， ， 解得， 该一次函数的解析式为； （2）解：作图如下： 联立， 解得， 点P是该一次函数的图象与函数的图象的交点， ． 22．(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图像上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）由一次函数的图像过，，从而，求出k，b后即可得解； （2）由，，则，且A到直线的距离为3，故，求出m后得C的坐标，进而代入即可计算得解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像过，， ∴， ∴， ∴一次函数的表达式为； （2）解：∵，， ∴， 又∵A到直线的距离为3， ∴， ∴， ∴， 又∵点C在直线上， ∴， ∴． 23．(1)85，80 (2)七年级决赛成绩较好 (3)七年级代表队选手成绩比较稳定 【分析】（1）根据中位数，众数的定义判断即可． （2）根据中位数，平均数比较即可． （3）利用方差公式求出七年级的方差，根据方差越小成绩越稳定判断即可． 【详解】（1）八年级的平均数是：， 八年级选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数为， 故答案为：85，80． （2）解：由表格可知七年级和八年级的平均分相同， ∵ ∴七年级的中位数比八年级的中位数高， 故七年级决赛成绩较好． （3）解：， ∵ ∴， ∴七年级代表队选手成绩比较稳定． 【点睛】本题考查方差，中位数，众数，平均数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 24．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，也考查了菱形的性质． （1）根据旋转的性质得，，然后根据“”证明，于是根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据菱形的性质得，，再利用平行线的性质得，则可判断为等腰直角三角形， 所以，然后计算即可． 【详解】（1）证明： ∵是由绕点按逆时针方向旋转得到的， ，， ， ∴， 即，在和中 ， ∴， ； （2）解：四边形为菱形， ，， ， ∵， ， ∴为等腰直角三角形， ， ． 25．(1)型空气净化器销售单价为元，型空气净化器销售单价为元 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设每台型空气净化器销售单价为元，型空气净化器销售单价为元，根据题意列出二元一次方程组并求解即可； （2）设销售完这批空气净化器能获取的利润是元，根据销售利润等于型的利润加上型的利润，列出关于的二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设每台型空气净化器销售单价为元，型空气净化器销售单价为元， 根据题意，得： ， 解得， 每台型空气净化器销售单价为元，型空气净化器销售单价为元； （2）解：设销售完这批空气净化器能获取的利润是元， 由题意得： ， ， ， 当时，随的增大而减小，且，取正整数， 当时，有最大值为元， 销售完这批空气净化器能获取的最大利润是元． 26．(1)；(2)． 【分析】（1）根据，S＝计算即可；（2）根据三角形面积公式求出CD的长即可. 【详解】(1)根据题意 ．     ∴ ．     (2)∵， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查学生对新定义的理解能力以及三角形面积公式，利用海伦——秦九韶公式求出题中三角形的面积是解题的关键. 27．(1) (2)抛物线与轴的交点坐标为，； 抛物线与轴的交点坐标为 (3)或或或 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质，深刻理解并运用数形结合思想是解题的关键． （1）首先设二次函数解析式为，然后把代入其中确定的值即可求解； （2）令，解一元二次方程，即可求得抛物线与轴的交点坐标；令，求出，即可求得抛物线与轴的交点坐标； （3）首先把代入（1）中解析式，得到关于、的关系式，然后代入所求代数式，利用整数的知识求出、的值即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为， 设二次函数解析式为， 该抛物线经过点， 把代入中， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 即， 分解因式，得：， ，， 抛物线与轴的交点坐标为，； 当时，， 抛物线与轴的交点坐标为； （3）解：点在该抛物线上， 把代入中， ， ， ，为整数， 而的因数有或， 或， 或或或， 或， 点的坐标为或或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $