命题大赛 云南省玉溪市2025-2026学年高二下学期期末模拟数学卷

**基本信息** 这份高二下学期期末模拟数学试卷，通过改编与原创题结合，覆盖集合、函数、立体几何等多模块知识，注重数学思维与应用能力考查，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|集合运算、三角函数定义、函数求值、复数向量、立体几何体积、等差数列、导数极值、双曲线离心率|改编题为主，基础与中档题结合，如导数极值题考查逻辑推理| |多选题|3|统计量、抛物线性质、函数单调性与零点|选项分层设计，如函数题综合考查单调性与不等式解集| |填空题|3|等比数列求和、导数切线、正四面体夹角|原创题体现创新，如等比数列题结合正数条件| |解答题|5|解三角形、线性回归分析、立体几何证明与二面角、椭圆方程与定点证明、函数零点与等比数列证明|综合性强，如统计题结合实际数据培养数据意识，函数题要求证明零点成等比数列，考查数学表达|

2025-2026学年高二下学期期末模拟 数学 一、单选题 1．（改编）集合，集合，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（改编）已知点在角的终边上，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（改编）设函数,则（    ） A．0 B．2 C．-2 D．1 4．（原创）在复平面内，复数对应向量，复数对应向量则（    ） A．2 B．0 C．-2 D．1 5．已知点，，，，则三棱锥的体积是（   ） A． B． C． D． 6．（改编）设等差数列的前项和为，若则（    ） A．27 B．36 C．45 D．54 7．（改编）已知函数的导函数，若函数有一极大值点为1，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（改编）在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，点，在的右支上，且，点关于原点的对称点为.若，且的离心率为，则λ=（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 9．（改编）下列说法正确的是（    ） A．数据7，2，1，6，9，8，4，5，4，1，3，9的下四分位数是2 B．若数据的标准差为s，则数据的标准差为 C．随机变量，若，则 D．随机变量，若，则 10．已知是抛物线的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（   ） A． B． C．以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D．当时，的面积为 11．已知函数，则（   ） A．在区间上单调递增 B．恰有两个零点 C．不等式的解集为 D．若，则的最小值为2 三、填空题 12．（原创）等比数列的各项均为正数，前n项和为，，且，则这个数列的公比等于_________. 13．已知直线与曲线相切，则实数_______． 14．在正四面体中，取棱上一点T，使，连接，三棱锥的内切球的球心为M，三棱锥的内切球的球心为N，则平面与平面的夹角的正弦值是__________． 四、解答题 15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 16．（改编）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下： 零件数/个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间/分 62 68 75 81 89 101 102 108 115 122 根据样本数据，画出加工时间与加工零件个数的散点图，如图所示，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明两个变量线性相关，因此可以用一元线性回归模型刻画加工时间与加工零件个数之间的关系.（运算结果保留小数点后两位数字） (1)根据10组数据，求的加工时间y关于零件数x的经验回归方程为，求； (2)残差定义为 ，若 ，则认为该组数据为异常数据。 ① 判断是否存在异常数据； ② 剔除异常数据后，计算剩余 9 组数据的样本均值 、 及加工时间 的样本方差 ； (3)剔除异常数据后，重新计算经验回归方程，并据此预测加工 120 个零件所需的时间（结果保留两位小数）。 附：参考数据：，，，. 对于一组数据，，，，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，. 17．如图，四棱锥中，底面ABCD，，． (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 18．已知椭圆的离心率是，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 19．设函数，其中. (1)若，求不等式的解集； (2)求证：，函数有三个零点，，，且，，成等比数列. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 双向细目表 一、选择题（单选 + 多选） 题号 题型 分值 考查知识点 知识模块 难度 课标要求 命题立意 1 单选题 5 集合的并集、集合基本运算 集合与常用逻辑用语 易 掌握集合交、并、补运算 考查集合基础运算，侧重概念理解与简单计算 2 单选题 5 三角函数定义、同角三角函数基本关系 三角函数与解三角形 易 理解三角函数定义，会利用定义求值 结合终边上点坐标，考查三角基础运算 3 单选题 5 导数的基本运算、导函数求值 导数及其应用 易 掌握基本初等函数求导公式 考查导数基础计算，简单代入求值 4 单选题 5 复数与复平面向量、平面向量数量积 复数、平面向量 易 理解复数的几何意义，掌握向量数量积运算 融合复数几何意义与向量运算，基础综合 5 单选题 5 空间直角坐标系、三棱锥体积计算 立体几何（空间向量、几何体体积） 中 会利用坐标求解空间几何体体积 结合空间坐标，考查空间想象与体积公式应用 6 单选题 5 等差数列性质、等差数列前 n 项和 数列（等差数列） 易 掌握等差数列性质与求和公式 考查等差中项、前 n 项和公式的常规应用 7 单选题 5 导数与函数极值、极值点判定、参数范围求解 导数及其应用 中 理解函数极值与导数的关系，会求参数范围 利用极值点性质，考查导数综合应用与分类讨论 8 单选题 5 双曲线定义、几何性质、离心率、平面几何综合 解析几何（双曲线） 难 掌握双曲线定义与离心率计算，能综合解题 压轴单选，融合双曲线、对称、角度关系，综合探究 9 多选题 6 四分位数、数据标准差、二项分布性质 统计、概率（分布列） 中 理解统计数字特征、离散型随机变量性质 考查统计概念、数据变换、二项分布，概念辨析为主 10 多选题 6 抛物线定义、几何性质、直线与抛物线位置关系、三角形面积 解析几何（抛物线） 中 掌握抛物线定义与基本性质，简单综合运算 围绕抛物线核心性质，多结论判断，基础综合 11 多选题 6 函数单调性、零点、不等式、最值问题（综合函数） 函数概念与基本初等函数 难 能研究函数单调性、零点，求解函数最值与不等式 综合函数四大考点，考查函数性质全面应用 二、填空题 题号 题型 分值 考查知识点 知识模块 难度 课标要求 命题立意 12 填空题 5 等比数列前 n 项和、等比数列通项、公比求解 数列（等比数列） 中 掌握等比数列通项、前 n 项和公式 利用和项关系列方程，求解等比数列基本量 13 填空题 5 导数的几何意义、切线问题、参数求解 导数及其应用 中 理解导数几何意义，会求曲线切线 考查切线方程与导数结合，常规参数计算 14 填空题 5 正四面体性质、内切球、二面角求解、空间角计算 立体几何（空间几何体、空间角） 难 理解内切球概念，会求解空间二面角 压轴填空，融合几何体、内切球、空间角，空间想象 + 运算 三、解答题 题号 题型 分值 考查知识点 知识模块 难度 课标要求 命题立意 15 解答题 13 正余弦定理、三角恒等变换、解三角形、三角形周长计算 三角函数与解三角形 中 熟练运用正、余弦定理解三角形 高考常规题型，考查三角公式与解三角形综合应用 16 解答题 15 一元线性回归方程、残差分析、异常数据判断、样本均值、方差、回归预测 统计与统计案例 中 会求线性回归方程，理解残差、方差统计意义 结合实际应用场景，考查统计建模、数据分析与运算 17 解答题 15 线面垂直判定、二面角、空间向量在立体几何中的应用、参数求解 立体几何（空间点线面位置关系、空间向量） 中 掌握线面垂直判定定理，能用空间向量求二面角 立体几何必考题型，证明 + 空间角计算综合考查 18 解答题 17 椭圆标准方程、离心率、直线与椭圆综合、定点问题证明 解析几何（椭圆） 中难 掌握椭圆基本性质，能解决直线与圆锥曲线综合问题 解析几何大题，考查定值 / 定点探究，运算与逻辑推理 19 解答题 17 分段函数、不等式求解、导数研究函数零点、等比数列综合证明 函数、导数、数列综合 难 综合运用函数、导数、数列知识进行推理证明 全卷压轴题，多模块深度融合，考查综合探究与逻辑证明能力 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A B B C D B BC ABC 题号 11 答案 ABD 1．C 【详解】集合A为点集，集合B为数集，故两集合之间没有公共元素，即 故选：C． 2．A 【详解】根据三角函数定义得,,故 故选：A 3．【详解】当时，,故所以=0 故选：A． 4．复数对应向量，复数对应向量则0 故选：B. 5．B 【分析】根据空间向量的坐标运算可得，从而得为正三角形，进而求得的面积；接着求出平面的法向量结合距离公式即可得点到平面的距离，再由棱锥的体积公式即可求解. 【详解】易得，，，， 则，所以为正三角形， 所以的面积； 设平面的法向量为，则 取得， 所以点到平面的距离， 则三棱锥的体积是. 故选：B. 6．C 【分析】由等差数列的性质及求和公式计算即可得解. 【详解】由等差数列的性质可知， 所以， =45 故选：C 7．D 【详解】由题意，令, 若函数有一极大值点为1,则f’(x)在x=1左侧为正，右侧为负， 令 若恒成立，易知：当时，当时， 所以1是的极小值点，不合题意，故有两个不同零点． 设的两个零点分别为，则， 结合三次函数的图象与性质知： ， 在、上，单调递减，在、上，单调递增，1是的极大值点，符合题意， 此时需，得，所以实数的取值范围为． 故选：D. 8．B 【详解】设双曲线的左焦点为，连接、、、，如图所示， 根据双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为矩形， 设，因为，则， 由双曲线的定义可得：，， 又因为为直角三角形， 所以，即，解得， 所以，， 又因为为直角三角形，， 所以，即， 因为，即，故上式可化简为 即解得 故选：B. 9．BC 【详解】对于A中，数据从小到大排列为，共有12个数据， 因为，所以数据的下四分位数为第3个数据和第4个数据的平均数，即为2.5，所以A错误； 对于B中，数据的标准差为，由数据方差的性质， 可得数据的标准差为，所以B正确； 对于C中，随机变量服从正态分布，且， 根据正态分布曲线的对称性，可得，所以C正确； 对于D中，随机变量服从二项分布，且， 可得，解得或， 当时，可得； 当时，可得，所以D错误． 故选：BC. 10．ABC 【分析】根据焦点坐标求出判断A，根据抛物线定义判断B，C，应用已知联立方程求出点的坐标计算判断三角形的面积判断D. 【详解】因为是抛物线的焦点，所以，即得，A选项正确； 设在上，所以， 所以，B选项正确； 因为以M为圆心且过F的圆半径为等于M与C的准线的距离，所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，C选项正确； 当时, ，且，， 所以,或舍 所以的面积为，D选项错误. 故选：ABC. 11．ABD 【分析】函数的定义域为，关于原点对称，且函数为偶函数，对于函数求导可判断A项，由单调性及可判断B项，由偶函数及单调性可判断C，D项． 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为偶函数， 对于A项，当时，， 对其求导得，所以在区间上单调递增，故A项正确； 对于B项，因为在区间上单调递增，且， 根据偶函数的性质可知，，所以恰有两个零点，故B项正确； 对于C项，因为为偶函数，且在上单调递增， 所以等价于， 得，两边平方得， 而函数的定义域为，所以的解集为，故C项错误； 对于D项，因为，且为偶函数， 得，即， 因为， 所以， 又因为在区间上单调递增，所以，得， 则，当且仅当时取等号，所以的最小值为2，故D项正确． 12． 【详解】, 所以=4，即 所以该等比数列公比为. 故答案为：. 13．4 【分析】设切点坐标为，利用切点既在曲线上又在切线上及导数的几何意义，解方程组即可求出. 【详解】由题意，定义域为，， 设切点坐标为，又切点既在曲线上又在切线上，， 解得或（舍掉），则. 故答案为：4. 14． 【分析】画出立体图形和截面图形，结合题意分别确定的位置，再由几何关系求出正弦值. 【详解】 设三棱锥的内切球分别与面、面相切于两点， 易知平分，平分，易知， 取中点为，则在的平分线上， 同理三棱锥的内切球球心在的角平分线上， 易知面，故，同理， 于是为平面与平面的夹角的平面角， 设正四面体棱长为，则，， 所以. 故答案为：. 15．(1)（6分） (2)（7分） 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得----------------------------------------------------------------------6分 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故----------------------------------------------------------------------6分 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到，--------------------------------------------------------------8分 于是， ，-------------------------10分 由正弦定理可得，，即， 解得，----------------------------------------------------------------------12分 故的周长为----------------------------------------------------------------------13分 16．【详解】（1）由题意得：，， 回归直线恒过样本中心点，代入方程得： 。---------------------------------------------------------------------3分 （2）①根据残差定义 ，逐组计算残差并判断 的情况： 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 62 68 75 81 89 101 102 108 115 122 62.15 68.85 75.55 82.25 88.95 95.65 102.35 109.05 115.75 122.45 -0.15 -0.85 -0.55 -1.25 0.05 5.35 -0.35 -1.05 -0.75 -0.45 当 时，，因此存在异常数据，为第 6 组数据。 ----------------------------------------------------------------------5分 ②剔除后： ，故 ，故 ， 样本方差公式：409.05----------------------------------------------------------------------9分 （3）剔除后，剩余 9 组数据的统计量： · ， · · ----------------------------------------------------------------------11分 根据最小二乘法公式： 分子： 分母： 因此：，=54.86， 故新的经验回归方程为：----------------------------------------------------------------------14分 预测加工 120 个零件的时间为 135.26 分钟。----------------------------------------------------------------------15分 17．【详解】（1）因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 根据平面知识可知， 又平面，平面，所以平面．-------------------------------------------------------------------7分 （2）如图所示，过点D作于，再过点作于，连接， 因为平面，所以平面平面，而平面平面， 所以平面，又，所以平面， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即．----------------------------------------------------------------------11分 因为，设，则，由等面积法可得，， 又，而为等腰直角三角形，所以， 故，解得，即．----------------------------------------------------------------------15分 18．(1)（1）由题意可得，解得， 所以椭圆方程为.----------------------------------------------------------------------5分 (2)证明如下： 由题意可知：直线的斜率存在，设， 联立方程，消去y得：， 则，解得， 可得，----------------------------------------------------------------------8分 因为，则直线， 令，解得，即, 同理可得，----------------------------------------------------------------------11分 则 ，----------------------------------------------------------------------16分 所以线段的中点是定点.----------------------------------------------------------------------17分    19．【详解】（1）由，得，. 不等式等价于， 令， 又，则函数在上单调递增， 又，则不等式的解集为.----------------------------------------------------------------------5分 （2）令，则，. 设，因此的零点是的零点. ，----------------------------------------------------------------------7分 设， 由，则，对称轴， 故存在，使得. 故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.-------------------------------------10分 又因为，则， 当时，， 此时； 又当时，， 此时； 故由零点存在性定理知，有三个零点，，，其中. 又因为，所以， 即，即，，成等比数列.----------------------------------------------------------------------17分 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $