精品解析：云南省玉溪市民族中学2024-2025学年高二下学期期末检测考试数学试题B

2024—2025学年（下）高二年级期末检测考试 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．回答非选择题时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的运算判断即可. 【详解】因为集合表示非负偶数集，所以． 故选：D 2. 已知等比数列12，6，3，…，则该等比数列的第6项是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出公比q,利用等比数列通项公式，可求出答案. 【详解】由题可知，公比，所以， 故选：A 3. 若抛物线的准线为直线，且交圆于两点，为坐标原点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意将准线方程写出，于圆的方程联立即可求出两点，进而求出结果. 【详解】抛物线的准线为直线，与圆联立得， 不妨设，则, 故故， 故选：B 4. 若的展开式中二项式系数之和为32，则该展开式中的系数为（ ） A. B. 48 C. D. 80 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式系数和求出，再由展开式通项公式求解系数即可. 【详解】二项式系数和为，解得， 所以展开式的通项为， 令，得，所以展开式中的系数为. 故选：D． 5. 若命题为奇函数，为偶函数，则是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】命题为奇函数，奇函数满足， 即，整理得，解得 故成立的充要条件是. 命题为偶函数，偶函数满足 即，整理得，解得或 故成立的充要条件是或 则是成立的充分不必要条件. 故选：A. 6. 为考察药物A对预防疾病B的效果，在两个不同规模的动物种群中分别进行了试验，根据种群一的试验结果得到如下列联表： 药物A 疾病B 合计 未患病 患病 未服用 28 22 50 服用 34 16 50 合计 62 38 100 计算得到．假设种群二试验结果对应的列联表中，每个单元格的数据都为上表对应单元格数据的5倍，则根据小概率值的独立性检验，（ ） 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 A. 当时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过5% B. 当时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过10% C. 当时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过1% D. 当时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过0.5% 【答案】C 【解析】 【分析】设各项数据变为原来的5倍后，根据题意计算对应出的值，参考数据逐项分析即可得出答案. 【详解】对于A,B，因为， 所以当时，无法推断种群一中药物A对预防疾病B有效，故A,B错误； 对于C,由，将各项数据变为原来5倍， 则， 所以当时，则种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过.故C正确； 对于D,因为， 所以当时，无法推断种群二中药物A对预防疾病B有效，故D错误. 故选：C. 7. 已知数列的前项和为，若，则的前10项和为（ ） A. 32 B. 41 C. 52 D. 65 【答案】C 【解析】 【分析】由题设结合的关系求出数列的通项公式，求出的前10项，进而可得答案． 【详解】因为， 当时，； 当时，， 经检验也适合上式， 所以. 故数列的前10项为：， 则的前10项和为. 故选：C. 8. 已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，结合题意可得是奇函数，是偶函数，在上单调递增，从而在上单调递减，又，可得，不等式即，即可求解． 【详解】令，则， ∵当时，，且， ∴当时，，即在上单调递增， 由， 得， 则，即，则是奇函数， 设，则， 因为， 所以 是常数，得， 因此，即，故是偶函数. ∵在上单调递增，∴在上单调递减， 因为，所以， ∴当时，；当时，；当时，， 又，所以即，则或， 所以不等式的解集为． 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】变形给定的等式，再利用赋值法逐项分析计算. 【详解】原等式化为： 对于A，取，得，A正确； 对于B，取，得，则，B正确； 对于C，取，得，则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 10. 已知函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的极小值点为2 C. 恰有2个极值点 D. 的图象与轴至多有2个公共点 【答案】AD 【解析】 【分析】对于ABC，导函数符号决定函数单调性、极值点情况，对于D，由函数单调性结合零点存在定理即可判断. 【详解】对于A，当时，，所以在区间上单调递增，所以A正确； 对于B，当时，，所以2不是的极小值点，所以B错误； 对于C，当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以为的极大值点，恰有1个极值点，所以C错误； 对于D，在上递增，在递减，每个单调区间最多一个零点， 所以图象与轴至多有2个公共点，当且仅当时两个，所以D正确. 故选：AD. 11. 已知直线（不同时为0），圆，则（ ） A. 当时，直线与圆不可能有交点 B. 当时，直线与圆相切 C. 当时，直线与坐标轴相交于两点，则圆上存在点，使得的面积为 D. 当时，与圆外切且与直线相切动圆圆心的轨迹是一条抛物线 【答案】BCD 【解析】 【分析】求得圆心到直线的距离，当时，，可判定A错误；求得圆心到直线的距离，可判定B正确；求得直线与坐标轴相交于两点坐标，结合圆的性质，得到，可判定C正确；求得圆心到直线的距离，结合抛物线的定义，可判定D正确． 【详解】对于A中，圆C的标准方程为，则圆心为，半径， 当时，圆心到直线的距离， 当时，，所以直线与圆可能相交，所以A错误； 对于B中，当时，可得， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切，所以B正确； 对于C中，当时，直线的方程为， 可得直线与坐标轴相交于两点， 如图所示，直线的方程为，与直线垂直， 又因为，，可得， 因为，可得，满足题意， 所以圆上存在点，使得的面积为，所以C正确； 对于D中，当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离，此时直线与圆相离， 由抛物线的定义，可得与圆外切且与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线，所以D正确． 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量服从两点分布，．若，则__________． 【答案】0.44 【解析】 【分析】根据两点分布的性质判断. 【详解】由题意可得． 故答案为： 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点的直线交于两点，且，，则椭圆的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性关系及垂直关系结合椭圆的定义及边长关系计算求参得出椭圆方程即可. 【详解】因为，所以， 设，则，，所以，． 因为，所以， 在中，，即，解得， 所以为等腰直角三角形，所以为椭圆的上顶点，所以， 所以，所以椭圆的标准方程为． 故答案为： 14. 已知函数．若方程有3个实数根，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得，然后结合函数的单调性并化简得，令，利用导数研究其单调性，画出的大致图象，数形结合即可求解. 【详解】根据题意可得，所以． 因为在上单调递增，且，所以， 则．令，则与有三个交点， ， 当-3时，单调递增；当时，单调递减； 当时，单调递增．当时，， 画出的大致图象，如图所示，所以的取值范围为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数满足，函数． （1）求函数的解析式； （2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）原方程中用换得，联立方程组求，进而可得； （2）设，则，把原问题转化为能成立问题，结合二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为，① 用换得，② ①②得， 所以． 【小问2详解】 设，，则， 所以存在，使， 即，即， 因为，所以， 当时，取得最大值， 所以，即的取值范围是． 16. 某工厂共有甲、乙两条生产线生产同一型号的产品，其中甲生产线每天产量为20000件，乙生产线每天产量为10000件．其中甲生产线的一等品率为0.2，二等品率为0.8；乙生产线的一等品率为0.6，二等品率为0.4.将甲、乙两条生产线生产的产品均匀混合后随机装箱． （1）质检人员从混合后的产品中随机抽取一件，求抽取到的产品为一等品的概率； （2）已知每箱中有3件产品，其中二等品的定价为100元／件，若要使得每箱产品销售额的期望不低于400元，一等品应该如何定价． 【答案】（1） （2）若要使得每箱产品销售额的期望不低于400元，一等品定价至少200元/件 【解析】 【分析】（1）由全概率公式即可求解； （2）算出，根据题意列不等式求解即可. 【小问1详解】 设从待装箱的产品中随机抽取一件，其为甲、乙两条生产线的产品分别记为事件A和事件B，记其为一等品的为事件C， 依题意可得，且互斥， 故， 所以抽取到的产品为一等品的概率． 【小问2详解】 由（1）从混合后的产品中随机抽取一件，抽到一等品的概率为， 设每箱中3件产品中一等品的数量为随机变量，则， ， 设每箱产品销售额为随机变量，一等品定价为元/件， 则， 所以， 依题意，，解得， 所以若要使得每箱产品销售额的期望不低于400元，一等品定价至少200元/件． 17. 如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，平面平面，，，． （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）先应用余弦定理得出，再应用面面垂直性质定理证明线面垂直； （2）由即可求出，再建系得出平面与平面的法向量，最后结合二面角的余弦公式计算求解. 【小问1详解】 底面是等腰梯形，， ，． 所以，所以，所以， 因为平面平面，且平面平面，且，且平面，所以平面； 【小问2详解】 因为平面平面，且平面平面，且，且平面，所以平面； 底面是等腰梯形，，，所以， 所以，所以， 又因为三棱锥的体积为， 所以，所以， 如图建系， 设平面的法向量为， 设平面的法向量，， 所以令，则， 所以， 设平面与平面夹角为， 所以 18. 已知为等差数列，，记分别为数列的前项和，． （1）求的通项公式； （2）对任意，将数列中落入区间内项的个数记为，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列定义并根据前项和公式联立方程组，解出首项和公差可得其通项公式； （2）根据题意求出的通项公式，再由等比数列前项和公式计算可得结果. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为． 因为， 所以， 因为， 所以， 整理得，解得， 所以的通项公式为． 【小问2详解】 对，若，则， 因此，即， 故得， 于是 ． 19. 在平面直角坐标系中，定义两点的“距离”为，其中．已知定点，动点满足，其中．记的轨迹为“-椭圆”，为“-焦点”． （1）当时，写出“-椭圆”的轨迹方程并直接画出相应曲线； （2）已知数列均为正项数列，，椭圆，记以，为“-焦点”的“-椭圆”为，的边均与相切，且的顶点均在上． （ⅰ）设的面积为，证明：； （ⅱ）若是等比数列，求的离心率． 【答案】（1），图象见解析 （2）（ⅰ）证明见解析； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据“椭圆”的定义即可画出图形. （2）“椭圆”关于轴、轴对称，只需考虑第一象限（含轴非负半轴）的情况，利用直线与椭圆相切求出，根据直角梯形的面积公式即可求出的面积. 由（ⅰ）知，结合是等比数列推出的离心率为定值，代入的顶点求得，进而推出，即可求出离心率. 【小问1详解】 由题意， 当时，“椭圆”的轨迹方程为，其对应图象为： 【小问2详解】 由题意及（1）得， （ⅰ）设：， 将替换为，或将替换为，的方程不变， 故“椭圆”关于轴、轴对称， 只需考虑第一象限（含轴非负半轴）的情况． 在第一象限中，由和两条线段组成． 由于与相切， 则由，得， 由，可得， ∵的一个顶点在上， ∴， ∵与相切， ∴，即， 在第一象限的直角梯形面积为， ∴的面积为． （ⅱ）由（ⅰ）可知，， 由是等比数列可知， 即，即， ∴，的离心率为定值． ∵的顶点在上， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，解得， 的离心率为， ∴的离心率为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年（下）高二年级期末检测考试 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．回答非选择题时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等比数列12，6，3，…，则该等比数列的第6项是（ ） A. B. C. D. 3. 若抛物线的准线为直线，且交圆于两点，为坐标原点，则（ ） A. B. C. D. 4. 若的展开式中二项式系数之和为32，则该展开式中的系数为（ ） A. B. 48 C. D. 80 5. 若命题为奇函数，为偶函数，则是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 为考察药物A对预防疾病B的效果，在两个不同规模的动物种群中分别进行了试验，根据种群一的试验结果得到如下列联表： 药物A 疾病B 合计 未患病 患病 未服用 28 22 50 服用 34 16 50 合计 62 38 100 计算得到．假设种群二试验结果对应的列联表中，每个单元格的数据都为上表对应单元格数据的5倍，则根据小概率值的独立性检验，（ ） 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7879 A. 当时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过5% B. 当时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过10% C. 当时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过1% D. 当时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过0.5% 7. 已知数列的前项和为，若，则的前10项和为（ ） A. 32 B. 41 C. 52 D. 65 8. 已知定义在上函数，其导函数为，当时，，若，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的极小值点为2 C. 恰有2个极值点 D. 的图象与轴至多有2个公共点 11. 已知直线（不同时为0），圆，则（ ） A. 当时，直线与圆不可能有交点 B. 当时，直线与圆相切 C. 当时，直线与坐标轴相交于两点，则圆上存在点，使得的面积为 D. 当时，与圆外切且与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量服从两点分布，．若，则__________． 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点的直线交于两点，且，，则椭圆的标准方程为______． 14. 已知函数．若方程有3个实数根，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数满足，函数． （1）求函数解析式； （2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 16. 某工厂共有甲、乙两条生产线生产同一型号的产品，其中甲生产线每天产量为20000件，乙生产线每天产量为10000件．其中甲生产线的一等品率为0.2，二等品率为0.8；乙生产线的一等品率为0.6，二等品率为0.4.将甲、乙两条生产线生产的产品均匀混合后随机装箱． （1）质检人员从混合后的产品中随机抽取一件，求抽取到的产品为一等品的概率； （2）已知每箱中有3件产品，其中二等品定价为100元／件，若要使得每箱产品销售额的期望不低于400元，一等品应该如何定价． 17. 如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，平面平面，，，． （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知为等差数列，，记分别为数列的前项和，． （1）求的通项公式； （2）对任意，将数列中落入区间内项的个数记为，求数列的前项和． 19. 在平面直角坐标系中，定义两点的“距离”为，其中．已知定点，动点满足，其中．记的轨迹为“-椭圆”，为“-焦点”． （1）当时，写出“-椭圆”的轨迹方程并直接画出相应曲线； （2）已知数列均为正项数列，，椭圆，记以，为“-焦点”“-椭圆”为，的边均与相切，且的顶点均在上． （ⅰ）设的面积为，证明：； （ⅱ）若是等比数列，求的离心率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $