2026年全国数学学业水平合格考考前模拟卷六

**基本信息** 2026年数学学业水平合格考模拟卷，90分钟100分，原创题占比高，覆盖集合、函数、几何等核心知识，通过演讲比赛评分统计等情境题考查数学眼光与数据意识，适配合格考基础与能力要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|19/57|集合、充分条件、复数、函数定义域、立体几何线面关系|原创题为主，结合逻辑推理（如命题否定）与几何直观（如平行四边形向量表示）| |填空题|4/16|指数运算、方差、幂函数性质|注重运算能力（如数据方差变换）与数学抽象（如幂函数单调性判断）| |解答题|3/27|三角恒等变换、指数函数应用、直三棱柱外接球与线面角|综合考查数学思维，如函数恒成立问题、空间几何计算，体现数学语言表达|

2026年数学学业水平合格考模拟卷六 2026年数学学业水平合格考模拟卷六 数学·全解全析 （考试时间：90分钟；满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共19小题，每小题3分，共57分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（原创）若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断元素是否满足集合的条件，再确定元素和集合的从属关系. 【详解】集合，而， 元素、. 故选：. 2.（原创）“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据必要不充分条件的定义，结合不等式性质，可得答案. 【详解】由，则可知，所以； 由，当时，则；当时，则； 故“”是“”的充分不必要条件，故A项正确. 故选：A. 3.（原创）命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题为存在量词命题，该命题的否定为“”. 故选：C. 4. （原创）的虚部为（ ） A．-i B．-1 C．1 D．i 【答案】B 【分析】由复数的除法运算即可求解． 【详解】由，可知虚部为-1． 故选：B． 5.（原创）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由含根式的指数函数的定义域与含分式的函数定义域，构成不等式组求解即可. 【详解】因为， 所以定义域满足， 故选：C. 6．如图，在平行四边形中,为的中点，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的加、减法的几何意义将转化为，即可. 【详解】 故选：B. 7.（原创）函数的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据二次函数与二次方程间的关系，利用判别式即可判断函数的零点个数. 【详解】函数的零点个数等价于根的个数， 因为，即有2个根， ，所以函数有1个零点. 时， 所以函数有2个零点. 故选：C 8.设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数函数的性质通过中间值0和1，即可比较大小. 【详解】因为， 所以， 故选：B 9.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性及在的单调性逐项判断即得. 【详解】对于A，函数是奇函数，不是偶函数，在上单调递增，A不是； 对于B，函数不是偶函数，在上单调递增，D不是； 对于C，函数是偶函数，在上单调递减，C不是； 对于D，函数是偶函数，且在上单调递增，B是 故选：D. 10.在中，内角，，的对边分别为，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理、三角形内角和定理即可求解. 【详解】由正弦定理得，，即，解得， 因为，所以. 故选：D. 11.在某次演讲比赛中，由两个评委小组[分别为专业人士（记为小组A）和观众代表（记为小组B）]给参赛选手打分，根据两个评委小组给同一名选手打分的分值绘制成下表，则下列结论错误的是（    ） 评委 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 43 47 46 48 50 47 54 50 47 B 55 36 70 66 75 68 68 62 58 A．小组A打分的分值的平均数为48 B．小组B打分的分值的中位数为66 C．小组A打分的分值的极差大于小组B打分的分值的极差 D．小组A打分的分值的极差小于小组B打分的分值的极差 【答案】C 【分析】根据平均数公式判断A，将小组打分从小到大排列，即可求出中位数，从而判断B，求出极差判断C，根据数据的分布情况判断D. 【详解】由图可知，小组打分的平均数为，故A正确； 将小组打分从小到大排列为、、、、、、、、，所以中位数为，故B正确； 小组打分的分值的极差为，小组打分的分值的极差为，故C错误； 小组打分的分值相对更集中，所以小组打分的分值的方差小于小组打分的分值的方差，故D正确； 故选：C 12.已知是空间中三条不同的直线，是空间中某平面，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据空间线线、线面之间的基本关系，结合选项依次判断看. 【详解】A：若，则，故A正确； B：若，则或或与相交，故B错误； C：若，则或，故C错误； D：若，则或，故D错误. 故选：A 13.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由余弦定理及基本不等式计算可得. 【详解】由余弦定理得， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为． 故选：A. 14.为了得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合“左加右减”的原则即可求解. 【详解】， 只需要将函数的图象向左平移个单位长度，可以得到的图象， 故选：D 15.已知平面向量，满足且，则与夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可先根据向量垂直的性质得到的值，再结合向量夹角公式求出与夹角的大小． 【详解】， 因为，所以， 可得，即， 根据向量的夹角公式，， 因为，所以． 故选：B 16.已知事件、、满足，，，则下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则，不独立 【答案】B 【分析】利用事件的关系及概率可判断A，利用特例可判断B，根据和事件的概率及互斥事件的概念可判断C，利用独立事件的定义可判断D. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，例如掷一次骰子，事件表示得到1或2点，事件表示得到3点或2点或4点， 所以，此时不成立，故B错误； 对于C，若，则，则， 故C正确； 对于D，若，则，，，则，，，不独立，故D正确. 故选：B. 17.在正方体中，分别为，的中点，则（    ） A． B． C．平面平面 D．与所成的角大小为 【答案】A 【分析】对A，取中点，连接，利用正方体的性质可得四边形是平行四边形，即可求解；对B，利用，即可求解；对C，因为两平面过同一点，即可求解；对D，连接，从而可得为与所成的角，在中，通过计算可得，即可求解. 【详解】对于A，取中点，连接，因为分别为，的中点， 则，且，所以是平行四边形，所以，且， 又，且，所以平行四边形，则，且， 所以，且，则四边形是平行四边形，所以，故A正确， 对于B，因为，显然与不垂直，所以与不垂直，故B错误， 对于C，因为平面与平面均过点，所以平面与平面不平行，故C错误， 对于D，连接，因为，且，所以四边形是平行四边形， 则，所以为与所成的角， 在中，设，则， 所以，故D错误， 故选：A. 18.已知为奇函数，则（    ） A．－4 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据函数是奇函数应用定义列式计算求参. 【详解】因为为奇函数，定义域为， 则， 所以，则， 此时， 则，满足题意 故. 故选：B. 19.如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（    ）． A．90° B．60° C．45° D．30° 【答案】D 【分析】连接，是异面直线与所成角或其补角，求出，由余弦定理即可求出答案. 【详解】连接，因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以是异面直线与所成角或其补角， 设正方体的边长为，所以，， 因为平面，平面，所以， 所以， 所以，因为，所以. 故选：D. 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分. 20.（原创）计算： ． 【答案】5 【分析】根据对数的定义和指数幂运算求解. 【详解】由题意可知：. 故答案为：5. 21.（原创）数据的方差是2，则数据的方差是 . 【答案】18. 【分析】利用方差的性质求解即可． 【详解】因为数据的方差是2， 所以数据的方差是. 故答案：18. 22.下列幂函数在区间上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是 ．（填入所有正确的序号） ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】②⑥ 【分析】根据幂函数性质，在区间上单调递增，可得，再结合奇函数定义即可判断． 【详解】因为幂函数在区间上是严格增函数，所以，故③④不满足题意， 因为该幂函数图象关于原点成中心对称，所以为奇函数， 根据奇函数的性质， 因为的定义域为，所以图象不关于原点成中心对称，故①不满足题意； 因为的定义域为，且，故②满足题意； 因为的定义域为，但，故⑤不满足题意； 因为的定义域为，但，故⑥满足题意． 故答案为：②⑥． 23.已知函数，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的定义得为奇函数，再由基本初等函数的单调性可得为增函数，从而得，即可求解. 【详解】因为的定义域为，关于原点对称， 又，所以为奇函数， 易知在定义域上单调递增， 由，得到， 所以，解得， 故选：A. 三、解答题:本题共3小题，每小题9分，共27分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 24．（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用指数幂的运算法则计算即可得； （2）借助指数与对数的转化及对数运算法则计算即可得. 【详解】（1）原式； （4分） （2）由，则，， （6分） 则. （9分） 25．已知指数函数． (1)若在上的最大值为16，求的值； (2)当时，若对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）根据给定条件，按分类，利用指数函数单调性求出最大值. （2）等价变形给定不等式，构造函数，利用单调性求出最大值并建立不等式求出范围. 【详解】（1）当时，在上单调递减，（1分） ，则；（2分） 当时，在上单调递增，，则， 所以的值为或. （4分） （2） 不等式， （5分） 令函数， （6分） 依题意，对，恒成立， 而当时，函数在上单调递增， （7分） 当时，，因此，解得， 所以的取值范围是. （9分） 26．如图，在直三棱柱中，是棱的中点，，，． (1)求三棱柱的外接球的体积； (2)求直线与平面所成的角的余弦值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意找出外接球的球心，再用勾股定理求出半径，进而即可求出外接球的体积； （2）先根据线线垂直，线面垂直的性质及勾股定理证明是直线与平面所成的角，从而求出其余弦值，进而即可得到答案． 【详解】（1）取的中点，取的中点，连接，且交于， 由，且，则是等腰直角三角形， （1分） 所以是的外心，同理是的外心， 所以是直三棱柱的外接球的球心， （3分） 又， 则外接球的半径为， 三所以棱柱的外接球的体积是． （4分） （2）在直三棱柱中，平面， 又平面，则， 由，且，，平面， 所以平面， （6分） 又平面，所以， 由是棱的中点， 则，， 则，所以， （7分） 又，，平面， 所以平面， 所以是直线与平面所成的角， （8分） 由平面，则， 又，， 则， 所以直线与平面所成的角余弦值是． （9分） 学科网（北京）股份有限公司 $2026年数学学业水平合格考模拟卷六 2026年数学学业水平合格考模拟卷六 （考试时间：90分钟；满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共19小题，每小题3分，共57分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（原创）若集合，则（   ） A． B． C． D． 2.（原创）“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.（原创）命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 4. （原创）的虚部为（ ） A． -i B．-1 C．1 D．i 5.（原创）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平行四边形中,为的中点，则 A． B． C． D． 7.（原创）函数的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 8.设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 9.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 10.在中，内角，，的对边分别为，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 11.在某次演讲比赛中，由两个评委小组[分别为专业人士（记为小组A）和观众代表（记为小组B）]给参赛选手打分，根据两个评委小组给同一名选手打分的分值绘制成下表，则下列结论错误的是（    ） 评委 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 43 47 46 48 50 47 54 50 47 B 55 36 70 66 75 68 68 62 58 A．小组A打分的分值的平均数为48 B．小组B打分的分值的中位数为66 C．小组A打分的分值的极差大于小组B打分的分值的极差 D．小组A打分的分值的极差小于小组B打分的分值的极差 12.已知是空间中三条不同的直线，是空间中某平面，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 13.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 14.为了得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 15.已知平面向量，满足且，则与夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 16.已知事件、、满足，，，则下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则，不独立 17.在正方体中，分别为，的中点，则（    ） A． B． C．平面平面 D．与所成的角大小为 18.已知为奇函数，则（    ） A．－4 B．2 C．4 D．6 19.如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（    ）． A．90° B．60° C．45° D．30° 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分. 20.（原创）计算： ． 21.（原创）数据的方差是2，则数据的方差是 . 22.下列幂函数在区间上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是 ．（填入所有正确的序号） ①；②；③；④；⑤；⑥． 23.已知函数，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 三、解答题:本题共3小题，每小题9分，共27分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 24．（1）计算：； （2）已知，求的值． 25．已知指数函数． (1)若在上的最大值为16，求的值； (2)当时，若对恒成立，求的取值范围． 26．如图，在直三棱柱中，是棱的中点，，，． (1)求三棱柱的外接球的体积； (2)求直线与平面所成的角的余弦值； 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 2026年数学学业水平合格考模拟卷五细目表 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 3 解不等式和元素与集合的关系 0.9 2 单选题 3 充分必要条件的判断、结合不等式的性质 0.9 3 单选题 3 存在量词命题的否定 0.9 4 单选题 3 复数的除法运算和复数的分类 0.85 5 单选题 3 含根式的指数函数的定义域与含分式的函数定义域问题 0.85 6 单选题 3 向量的加、减法的几何意义及运算 0.85 7 单选题 3 函数的零点的应用 0.8 8 单选题 3 利用对数函数的性质比较大小 0.8 9 单选题 3 函数的奇偶性及单调性的判断 0.8 10 单选题 3 正弦定理的应用 0.8 11 单选题 3 平均数、中位数与极差的求法 0.75 12 单选题 3 空间线线、线面之间的基本关系 0.75 13 单选题 3 余弦定理及基本不等式的应用 0.75 14 单选题 3 三角函数图像的平移变换 0.75 15 单选题 3 向量垂直的性质、向量夹角公式的应用 0.7 16 单选题 3 事件的关系及概率、和事件的概率及互斥事件的概念判断、独立事件的定义判断 0.7 17 单选题 3 线性位置关系的判断、面面平行的判断、线线角 0.7 18 单选题 3 利用奇函数定义列式计算求参数 0.7 19 单选题 3 利用余弦定理求异面直线所成的角 0.65 20 填空题 4 对数的定义和指数幂运算 0.9 21 填空题 4 离散型随机变量的方差的求法 0.8 22 填空题 4 幂函数和单调性及对称性的判断 0.7 23 填空题 4 函数的奇偶性、单调性的判断和应用 0.7 24 解答题 9 指数幂的运算法则的应用、借助指数与对数的转化及对数运算法则进行计算 0.7~0.75 25 解答题 9 利用指数函数单调性求出最大值、构造函数利用函数的单调性求出最大值 0.7~0.75 26 解答题 9 三棱柱的外接球问题、线面角的求法 0.6~0.65 Sheet2 Sheet3 $