第19练 概率-【精英1号】2024-2025学年高中数学学考笔记·专题提升训练

第19练 概率 37 第19练 概率 一、单选题 1.投掷两枚均匀的硬币,出现“一枚正面朝 上,一枚反面朝上”的概率是 ( )…… A.13 B. 1 2 C.14 D. 3 4 2.一个笔袋中装有4支不同的水笔,其中2 支黑色,1支蓝色,1支红色,若从中任取2 支,恰好取到1支黑色和1支红色水笔的 概率为 ( )…………………………… A.16 B. 1 4 C.13 D. 1 2 3.甲、乙两人进行射击比赛,甲的中靶概率为 0.4,乙的中靶概率为0.5,则两人各射击一 次,恰有一人中靶的概率是 ( )……… A.0.2 B.0.4 C.0.5 D.0.9 4.如图,电路中A,B,C 三个电子元件正常 工作的概率分别为P(A)=13,P(B)= 1 2, P(C)=35,则该电路正常工作的概率为 ( )………………………………… A.415 B. 8 15 C.715 D. 7 12 5.掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现1 点,2点,3点,4点,5点,6点的概率均为 1 6,记事件A 为“向上的点数是奇数”,事件 B 为“向上的点数不超过3”,则P(A∪B)= ( )………………………………… A.15 B. 3 5 C.23 D. 4 9 6.一个袋中有大小和质地相同的4个球,其 中有2个红球和2个白球,从中一次性随 机摸出2个球,则下列说法正确的是 ( ) …… ………………………………… A.“恰好摸到1个红球”与“至少摸到1个 白球”是互斥事件 B.“恰好没摸到红球”与“至多摸到1个白 球”是对立事件 C.“至少摸到1个红球”的概率大于“至少 摸到1个白球”的概率 D.“恰好摸到2个红球”与“恰好摸到2个 白球”是相互独立事件 二、多选题 7.一个口袋中有除颜色外完全相同的2个红 球和3个白球,从中取出2个球,则 ( ) …… ………………………………… A.若不放回地抽取,则“取出2个红球”和 “取出2个白球”是对立事件 B.若不放回地抽取,则第2次取到红球的 概率与第1次取到红球的概率相等 C.若有放回地抽取,则取出1个红球和1 个白球的概率是625 D.若有放回地抽取,则至少取出一个红球 的概率是1625 38 8.甲、乙两队进行排球比赛,采取五局三胜制 (当一队赢得三场胜利时,该队获胜,比赛 结束).根据前期比赛成绩可知在每一局比 赛中,甲队获胜的概率为23,乙队获胜的概 率为13.若前两局中乙队以2∶0领先,则 下列结论正确的是 ( )……………… A.甲队获胜的概率为827 B.乙队以3∶0获胜的概率为13 C.乙队以3∶1获胜的概率为19 D.乙队以3∶2获胜的概率为49 三、填空题 9.目前,全国所有省份已经开始了新高考改 革.改革后,考生的高考总成绩由语文、数 学、外语3门全国统一考试科目成绩和3 门选择性科目成绩组成.已知某班甲、乙同 学都选了物理和地理科目,且甲同学的另 一科目会从化学、生物、政治这3科中选1 科,乙同学的另一科目会从化学、生物这2 科中选1科,则甲、乙所选科目相同的概率 是 . 10.甲、乙两个篮球队进行比赛,获胜队将代 表所在区参加市级比赛,他们约定,先赢 四场比赛的队伍获胜.假设每场甲、乙两 队获胜的概率均为12,每场比赛不存在平 局且比赛结果相互独立,若在前3场比赛 中,甲队赢了2场,乙队赢了1场,则最终 甲队获胜的概率为 . 四、解答题 11.某高校的社团招聘面试中有4道难度相 当的题目,李明答对每道题目的概率都是 2 3.若每位面试者共有4次机会,一旦2次 答对抽到的题目,则面试通过;否则就一 直抽题到第4次为止,假设对抽到的不同 题目能否答对是独立的. (1)求李明第三次答题通过面试的概率; (2)求李明最终通过面试的概率. 12.“秋风起,月渐圆,桂树落叶,兔儿下凡 间.”中秋节是中国传统节日,为了让更多 的小朋友参与到中秋节的欢乐氛围中来, 秦皇岛市青少年宫特别推出了“团圆中秋 喜迎国庆”———中秋猜灯谜活动,欢迎小 朋友们前来,感受传统文化的熏陶,品味 传统习俗的趣味.现有甲,乙两位小朋友 组成“快乐宝贝队”参加猜灯谜活动,每轮 活动由甲、乙各猜1个灯谜,已知甲每轮 猜对的概率为12,乙每轮猜对的概率为 1 3.在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不 影响,各轮结果也互不影响,求“快乐宝贝 队”在两轮活动中猜对2个灯谜的概率. 答案解析 67 0.006+225×0.004 4+275×0.002 4+325×0.001 2)× 50=186, 设中位数为x,则x 在第三组[150,200), 即50×(0.002 4+0.003 6)+(x-150)×0.006=0.5,解 得x≈183.33, 故平均数大于中位数,故C错误; 对于D,设第45百分位数为y,则y 在第三组[150,200), 50×(0.002 4+0.003 6)+(y-150)×0.006=0.45,解得 y=175,故D正确.故选ABD. 9.【答案】168 【解析】由题意可知,男、女生所占的频率分别为360600= 3 5, 240 600= 2 5, 则抽取的男、女生人数分别为35×100=60, 2 5×100=40, 所以总样本的平均数x -=60×172+40×162100 =168. 故答案为:168. 10.【答案】15 【解析】设6个样本中药物成分甲的含量分别为x1,x2, x3,x4,x5,x6, 因为成分甲的含量的平均值为5 g,所以∑6 i=1xi=5×6= 30,标准差为 5 g, 所以 1 6∑ 6 i=1 (xi-5)2=16(∑ 6 i=1x 2 i-10∑6 i=1xi+150)=5,可得 ∑6 i=1x 2 i=180. 又因为y=15x-2x2,所以∑6 i=1yi=15∑ 6 i=1xi-2∑ 6 i=1x 2 i=90, 所以这批中医药的药物功效的平均值为 1 6∑ 6 i=1yi=15. 故答案为:15. 11.【解析】(1)由频率分布直方图的性质,可得(0.06+0.046+ 0.024+0.030+2a)×5=1,解得a=0.020, 所以通话时长在区间[15,20)内的次数为0.030×5× 60=9次; 通话时长在区间[20,30)内的次数为0.040×5×60= 12次. (2)由图可得通话时长众数为2.5,所以0.06×2.5=0.15, 则小明爸爸通话时间的众数是第15百分位数,即p=15. 12.【解析】(1)由频率分布直方图中数据可知,成绩低于60分 的人数为(0.002+0.016)×10×100=18. (2)成绩低于80分的频率为10×(0.002+0.016+0.022+ 0.030)=0.7,成绩在[80,90)的频率为10×0.020=0.2,因 为0.7<0.75<0.9, 所以这100名学生成绩的第75百分位数在[80,90)内, 所以随机抽取的100名学生成绩的第75百分位数为80+ 10×0.75-0.70.9-0.7=82.5. (3)因为成绩在[70,80),[80,90),[90,100]的学生人数所 占比例为3∶2∶1, 所以从成绩在[70,80),[80,90),[90,100]所抽取人数分 别为3,2,1. 记抽取成绩在[70,80)的3人为a,b,c,成绩在[80,100] 为D,E,F. 从这6人中随机抽取2人的所有可能为(a,b),(a,c), (a,D),(a,E),(a,F),(b,c),(b,D),(b,E),(b,F),(c, D),(c,E),(c,F)(D,E),(D,F),(E,F),共15种, 抽取的2人成绩都在[80,100]的是(D,E),(D,F),(E, F),共3种, 抽取的2人成绩都在[80,100]的概率为315= 1 5. 第19练 概率 1.【答案】B 【解析】设事件A 为“一枚正面朝上,一枚反面朝上”,基本 事件数是4,事件A 包含2种,故概率为P(A)=24= 1 2, 故选B. 2.【答案】C 【解析】从4支不同的水彩笔中任取2支,共有C24=6种 情况, 取到1支黑笔1支红笔,共有C12C11=2种情况, 根据古典概型计算公式,得所求概率为26= 1 3.故选C. 3.【答案】C 【解析】记甲中靶为事件A,乙中靶为事件B, 则P(A)=0.4,P(A-)=1-0.4=0.6,P(B)=0.5,P(B-)= 1-0.5=0.5, 甲、乙两人各射击一次恰有一人中靶,分甲中乙不中和甲不 中乙中两种情况, 则甲、乙两人各射击一次恰有一人中靶的概率为 P=P(A)·P(B-)+P(B)·P(A-)=0.4×0.5+0.6×0.5= 0.5.故选C. 4.【答案】A 【解析】由题知该电路正常工作指的是A 元件正常工作且 B,C 中至少有一个能正常工作, 设该电路正常工作为事件 D,则P(D)=P(A){1-[1- P(B)]·[1-P(C)]}=13× 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 1- 1-12 1-35 􀭤􀭥􀪁􀪁 = 4 15,故选A. 5.【答案】C 【解析】记事件Ai=“出现i点(其中i=1,2,3,4,5,6)”, 则A=A1∪A3∪A5,B=A1∪A2∪A3,A∩B=A1∪A3, 所以P(A)=36= 1 2,P(B)= 3 6= 1 2,P(AB)= 2 6= 1 3, 所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=23.故选C. 6.【答案】B 【解析】对于A,“恰好摸到1个红球”为1红1白,“至少摸 到1个白球”包含1红1白、2白, 所以,“恰好摸到1个红球”与“至少摸到1个白球”不是互 斥事件,A错误; 对于B,“恰好没摸到红球”为2白,“至多摸到1个白球”包 含2红、1红1白, 所以,“恰好没摸到红球”与“至多摸到1个白球”是对立事 件,B正确; 对于C,2个红球分别记为a,b,2个白球分别记为A,B, 从2个红球和2个白球中一次性随机摸出2个球,所有的 基本事件有ab,aA,aB,bA,bB,AB, 精英1号 学考笔记 数学 68 其中,事件“至少摸到1个红球”包含的基本事件有ab,aA, aB,bA,bB,其概率为56, 事件“至少摸到1个白球”包含的基本事件有aA,aB,bA, bB,AB,其概率为56, 所以,“至少摸到1个红球”的概率等于“至少摸到1个白 球”的概率,C错误; 对于D,记事件E:恰好摸到2个红球,事件F:恰好摸到2 个白球, 则P(E)=P(F)=16,P(EF)=0,则P(EF)≠P(E)·P(F), 所以,“恰好摸到2个红球”与“恰好摸到2个白球”不是相 互独立事件,D错误.故选B. 7.【答案】BD 【解析】对于A,由题知,不放回地抽取2个球包括2个都是 红球、2个都是白球和1个红球1个白球,共3种情况, 所以“取出2个红球”和“取出2个白球”是互斥事件,但不 是对立事件,故A错误; 对于B,记2个红球分别为a,b,3个白球分别为1,2,3, 不放回地从中取2个球的样本空间Ω1={ab,a1,a2,a3, ba,b1,b2,b3,1a,1b,12,13,2a,2b,21,23,3a,3b,31,32}, 共20种, 记事件A 为“第1次取到红球”,事件B 为“第2次取到红 球”,则A={ab,a1,a2,a3,ba,b1,b2,b3},B={ab,ba, 1a,1b,2a,2b,3a,3b},所以P(A)=P(B),故B正确; 对于C,有放回地从中取2个球的样本空间Ω2={aa,ab, a1,a2,a3,bb,ba,b1,b2,b3,1a,1b,11,12,13,2a,2b,21, 22,23,3a,3b,31,32,33},共25种, 记事件C 为“取出1个红球和1个白球”,则C={a1,a2, a3,b1,b2,b3,1a,1b,2a,2b,3a,3b},共12种,所以P(C)=1225, 故C错误; 对于D,记事件 D 为“取出2个白球”,则 D={11,12,13, 21,22,23,31,32,33},共9种,所以P(D)=925,所以至少 取出1个红球的概率为1-925= 16 25,故D正确.故选BD. 8.【答案】AB 【解析】对于A,在乙队以2∶0领先的前提下,若甲队获胜, 则第三、四、五局均为甲队取胜,所以甲队获胜的概率为 P1= 23 3=827,故A正确; 对于B,乙队以3∶0获胜,即第三局乙获胜,概率为13,故 B正确; 对于C,乙队以3∶1获胜,即第三局甲获胜,第四局乙获 胜,概率为23× 1 3= 2 9,故C错误; 对于D,若乙队以3∶2获胜,则第五局为乙队取胜,第三、 四局乙队输,所以乙队以3∶2获胜的概率为 23× 2 3× 1 3= 4 27,故D错误.故选AB. 9.【答案】13 【解析】甲、乙各选1科有3×2=6种方法,其中所选科目相 同,包含都选化学或都选生物,共2种情况, 所以甲、乙所选科目相同的概率P=26= 1 3. 故答案为:13. 10.【答案】1116/0.687 5 【解析】由题意得甲、乙两队获胜的概率均为12,且最多再 进行四场比赛,最少再进行两场比赛. 则:①再进行两场比赛甲队获胜的概率为12× 1 2= 1 4; ②再进行三场比赛甲队获胜的概率为 12 × 1 2 × 1 2 + 1 2× 1 2× 1 2= 1 4; ③再进行四场比赛甲队获胜的概率为 12 × 1 2 × 1 2 × 1 2+ 1 2× 1 2× 1 2× 1 2+ 1 2× 1 2× 1 2× 1 2= 3 16. 由互斥事件的概率加法公式,可得最终甲队获胜的概率为 1 4+ 1 4+ 3 16= 11 16. 故答案为:1116. 11.【解析】(1)由题意得前2次有一次答对,第3次答对, 所以李明第三次答题通过面试的概率为 P1=C12 23· 1 3· 2 3= 8 27. (2)李明最终通过面试的概率 P2= 23 · 2 3+C12 2 3 · 1 3· 2 3+C13 2 3· 1 3 2·23=89. 12.【解析】设A0,A1,A2 分别表示甲两轮猜对0个,1个,2 个灯谜的事件,B0,B1,B2 分别表示乙两轮猜对0个,1 个,2个灯谜的事件.根据独立事件的性质,可得 P(A0)= 1-12 × 1-12 =14,P(A1)=2× 12× 1-12 =12,P(A2)= 12 2=14, P(B0)= 1-13 × 1-13 =49,P(B1)=2×13× 1-13 =49,P(B2)= 13 2=19, 设C=“两轮活动‘快乐宝贝队’猜对2个灯谜”,则C= A0B2∪A1B1∪A2B0,且A0B2,A1B1,A2B0 互斥,A0 与 B2,A1 与B1,A2 与 B0 分 别 相 互 独 立,所 以 P(C)= P(A0B2)+P(A1B1)+P(A2B0)=P(A0)P(B2)+ P(A1)P(B1)+P(A2)P(B0)= 14× 1 9+ 1 2 × 4 9 + 1 4× 4 9= 13 36,因此,“快乐宝贝队”在两轮活动中猜对2个 灯谜的概率是 13 36.