陕西西安市西电中学2025-2026学年高二第一学期第二次月考数学试题

**基本信息** 以立体几何与解析几何为核心，融合《九章算术》“阳马”文化素材与蒙日圆新定义，通过基础巩固（如直线方程）、能力提升（线面角计算）、创新应用（双曲线定点问题）的梯度设计，检测数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|11题55分|直线截距、空间向量、椭圆离心率|4题以“阳马”渗透文化，11题蒙日圆体现创新定义| |填空|3题15分|直线平行、倾斜角范围、椭圆与双曲线焦点|14题综合两曲线焦点与公共点，考察数学语言表达| |解答|5题77分|交点直线方程、圆方程、线面角、抛物线定点、双曲线综合|19题结合中点与圆过定点，检测逻辑推理与数学思维|

西电中学 2025~2026 学年高二年级数学第一学期第二次月考试题 一、单选题（共8小题，每小题5分） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 直线 被两坐标轴截得的线段长为（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间中三点 ，，，则 （ ） A. B. C. D. 4. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”。如图，已知四棱锥 是阳马， 平面 ，且 ，若 ，，，则 （ ） A. B. C. D. 5. 在空间直角坐标系中，平面 的一个法向量的坐标为 ，直线 的一个方向向量的坐标为 ，则直线 与平面 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体 中，点 在线段 上，若直线 与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是（ ） 7. 已知 是椭圆 的左、右焦点， 是坐标原点，过 作直线与 交于 , 两点，若 ，且 的面积为 ，则椭圆 的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥 中，, , 两两垂直，且 。若 为该三棱锥外接球上的一点，则 的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 9. 下列结论不正确的是（ ） A. 两条异面直线所成的角与这两直线的方向向量所成的角相等 B. 直线与平面所成的角等于直线的方向向量与该平面法向量夹角的余角 C. 二面角的大小一定等于该二面角两个面的法向量的夹角 D. 若二面角两个面的法向量的夹角为 ，则该二面角的大小等于 或 10. 过抛物线 的焦点 作直线交抛物线于 , 两点， 为线段 的中点，则（ ） A. 以线段 为直径的圆与直线 相离 B. 以线段 为直径的圆与 轴相切 C. 当 时， D. 的最小值为 4 11. 在椭圆（双曲线）中，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆（双曲线）的中心，这个圆被称为该椭圆（双曲线）的蒙日圆。已知双曲线 的蒙日圆方程为 , O 为坐标原点，点 P 在双曲线 C 上，OP 与双曲线 C 的蒙日圆交于点 Q，则（ ） A. 若点 P 的坐标为 (3,2)，且 C 的蒙日圆的半径为 1，则 C 的方程为 B. 若点 P 的坐标为 (3,2)，则 C 的蒙日圆面积最大值为 C. 的最小值为 D. 若 Q 为 OP 的中点，则 C 的离心率的最大值为 三、填空题（共 3 小题，每小题 5 分） 12. 直线 与直线 平行，则实数 ____ 13. 经过点 作直线 ，若直线 与连接点 ， 的线段没有公共点，则直线 的倾斜角 的取值范围是____ 14. 已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 ，点 P 是两曲线的一个公共点，且 ，若双曲线为等轴双曲线，则椭圆的离心率为____ 四、解答题（共 5 小题，共 77 分。） 15.（13分） 已知两直线 , 。 (1). 求过两直线的交点，且垂直于直线 的直线方程； (2). 求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程。 16. （15分）已知圆 C 经过 ，，且圆心在直线 上。 (1). 求圆 C 的标准方程； (2). 若直线 截得圆 C 弦长最短时，求实数 的值。 17.（15分） 如图，在三棱锥 中， 平面 ，， 分别是棱 ，， 的中点，，。 (1). 求直线 与平面 所成角的正弦值； （2）. 求点 到平面 的距离。 18. （17分）若抛物线 上的点 与点 关于直线 对称， 是抛物线的焦点。 (Ⅰ). 求 的值； (Ⅱ). 若点 是抛物线上使得 取得最小值的点，， 是抛物线上不同于点 的两点，且有 ，求证：直线 恒过定点。 19.（17分） 如图，设双曲线 的左顶点为点 ，直线 与双曲线 相交于 、 两点，且 、 两点均异于点 。 (1). 求点 的坐标，及双曲线 的离心率； (2). 若线段 的中点为 ，求直线 的方程； (3). 若以线段 为直径的圆恒过点 ，试判断直线 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $