第二十九章 圆 单元测试卷 -2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦初中数学圆的知识，通过基础与综合题结合，融入《九章算术》文化素材及筒车实际情境，适配单元复习，培养数学眼光、思维与语言能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|圆的基本概念、垂径定理、圆锥侧面积|多结论辨析题（如第12题）考查推理能力| |填空题|6/24|反证法、三点共线、弧长计算|第18题结合正方形与半圆动态探究| |解答题|7/90|几何证明、筒车应用、综合探究|筒车问题（第22题）体现应用意识，古算题（第11题）传承文化|

第二十九章 单元测试 班级：________　　　姓名：________　　　分数：________ 一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．) 1．已知点P在半径为8的⊙O内，则( C ) A．OP＞8 B．OP＝8 C．OP＜8 D．OP≠8 2．如图，AB是⊙O的直径，＝，∠BOD＝60°，则∠COD的度数为( C ) A．30° B．45° C．60° D．以上都不正确 第2题图第3题图第4题图 3．如图，是⊙O弦的是( A ) A．线段AB B．线段AC C．线段AE D．线段DE 4．如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB＝2，则的长是( A ) A．π B.π C．2π D.π 5．一把大遮阳伞，伞面撑开时可近似地看成是圆锥形，如图，它的母线长是2.5 m，底面半径为2 m，则做这把遮阳伞需用布料的面积是多少平方米(接缝不计)( C ) A．3π B．4π C．5π D.π 第5题图　　　　　第6题图 6．如图，拱桥可以近似地看作直径为250 m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为150 m，那么这些钢索中最长的一根的长度为( D ) A．50 m B．40 m C．30 m D．25 m 7．下列说法中正确的是( B ) A．直径是圆的对称轴 B．半径相等的两个半圆是等弧 C．弧是半圆 D．三点确定一个圆 8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD，OB，OD，若∠OBD＝10°，则∠BCD的度数为( A ) A．100° B．90° C．85° D．80° 第8题图第9题图第10题图 9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C＝30°，CD＝24，则阴影部分的面积是( A ) A．32π B．16π C．16 D．32 10．如图，CO，CA是⊙O′的弦，⊙O′与x轴、y轴分别交于点A，B，点B的坐标为(0，2)，∠ACO＝60°，则⊙O′的直径为( C ) A．2 B. C．4 D．5 11．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用数学语言可表述为：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于点E，ED＝1寸，AB＝10寸，则半径OD的长为( D ) A．12寸 B．15寸 C．14寸 D．13寸 第11题图　　第12题图 12．如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连接AC，BD相交于点P，连接AD，OC.已知OC⊥BD于点E，AB＝2；有下列结论：①∠CAD＋∠OBC＝90°；②若P为AC的中点，则CE＝2OE；③若AC＝BD，则CE＝OE；④BC2＋BD2＝4.其中正确的是( A ) A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分．) 13．已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，运用反证法证明这个结论，第一步应先假设 ∠B≥90°. 14．平面直角坐标系内的三个点A(1，－3)，B(0，－3)，C(2，－3)不能(选填“能”或“不能”)确定一个圆． 15．公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m(单位：m)，某车在标有R＝300处的弯道上从点A行驶了100π m到达点B，则线段AB＝300m. 16．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BOD＝130°，AC∥OD交⊙O于点C，连接BC，则∠B＝40°. 第16题第17题第18题图 17．如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，＝，∠CDB＝30°，AC＝2，则OE＝1. 18．如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径向正方形内作半圆，P为半圆上一动点(不与A，B重合)，当PA＝2或时，△PAD为等腰三角形． 三、解答题(本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．) 19．(14分)如图，点A，B，C在⊙O上，AC∥OB. (1)直接写出图中等于2∠CAB的角； (2)如果∠CAB＝25°，求∠AOC的大小． 解：(1)图中等于2∠CAB的角有 ∠COB，∠ACO，∠CAO. (2)∵∠CAB＝25°， ∴∠ACO＝∠CAO＝∠BOC＝50°， ∴∠AOC＝180°－2×50°＝80°. 20.(11分)如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在，上，且AB＝CD，M是的中点．求证：BM＝DM. 证明：∵AB＝CD，∴＝， ∵M是的中点，∴＝. ∴＋＝＋，即 ＝. ∴BM＝DM. 21.(11分)如图，在平面直角坐标系中，A，B，C是⊙M上的三个点，A(0，4)，B(4，4)，C(6，2)． (1)在图上标出圆心M，圆心M的坐标为(2，0)； (2)判断点D(6，－2)与⊙M的位置关系，并说明理由． 解：(2)圆的半径AM＝＝2， 线段MD＝＝2. ∴点D在⊙M上． 22.(12分)问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图①)．假定在水流量稳定的情况下，筒车的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120 s. 问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O，如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径长为2 m，当t＝0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM＝30°，经过95 s后该盛水筒运动到点B处．(参考数据：≈1.414，≈1.732) 问题解决： (1)求该盛水筒从A处逆时针到B处时，∠BOM的度数； (2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．(结果精确到0.1 m) 解：(1)∵旋转一周用时120 s， ∴每秒旋转 ＝3°， 当经过95 s后该盛水筒运动到点B处时，∠AOB＝360°－3°×95＝75°， ∵∠AOM＝30°，∴∠BOM＝75°－30°＝45°. (2)作BC⊥OM于点C，设OM与水平面交于点D，则OD⊥AD， 在Rt△OAD中，∠AOD＝30°，OA＝2， ∴AD＝OA＝1，OD＝＝， 在Rt△OBC中，∠BOC＝45°，OB＝2， ∴BC＝OC＝OB＝， ∴CD＝OD－OC＝－≈0.3(m)． 答：该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离约为0.3 m. 23.(13分)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使得DC＝CB，延长DA交⊙O于点E，连接AC，CE. (1)求证：∠D＝∠E； (2)若AB＝4，的长度为π，求阴影部分的面积． (1)证明：∵AB是⊙O的直径， ∴AC⊥BD. 又DC＝BC，∴AC⊥BD且平分BD. ∴AD＝AB. ∴∠D＝∠B. ∵∠B＝∠E，∴∠D＝∠E. (2)解：连接OC，过点O作OF⊥BC于点F. 设∠AOC＝α°，由弧长公式得 ＝，∴α＝60，即∠AOC＝60°. ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB. 而∠AOC＝∠OBC＋∠OCB， ∴∠OBC＝30°，∴AC＝AB＝2，OF＝OB＝1，∴BC＝2. S阴影＝S扇形AOC＋S△BOC＝×π×2＋×2×1＝＋. 24.(14分)如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB＋2∠ABC＝180°. (1)求证：OC∥AD； (2)若AD＝2，BC＝2，求AB的长． (1)证明：∵∠AOC＝2∠ABC，∠DAB＋2∠ABC＝180°. ∴∠DAB＋∠AOC＝180°，∴OC∥AD. (2)解：连接BD，交OC于点E， ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵OC∥AD，OA＝OB， ∴OC⊥BD，且OE是△ABD的中位线， ∴OE＝AD＝1， 设半圆的半径为r，则CE＝r－1， 在Rt△OEB中，BE2＝OB2－OE2＝r2－1， 在Rt△CEB中，BE2＝BC2－CE2＝12－(r－1)2， ∴r2－1＝12－(r－1)2， 解得r1＝3，r2＝－2(舍去)， ∴AB＝2r＝6. ∴AB的长为6. 25.(15分)【问题背景】 如图，△ABD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点C为优弧 的中点，连接AC，CD，OC. 【问题探究】 (1)如图①，求证：CO平分∠ACD； (2)如图②，延长AC，DB相交于点E，求证：BA＝BE； 【拓展提升】 (3)在(2)的条件下，若CE＝4，BD＝6，求AD的长． (1)证明：连接OD，∵点C为优弧 的中点， ∴＝，∴∠AOC＝∠COD.∵OA＝OC＝OD， ∴∠CAO＝∠ACO＝(180°－∠AOC)，∠DCO＝∠CDO＝(180°－∠COD)， ∴∠ACO＝∠DCO，∴CO平分∠ACD. (2)证明：∵AB是⊙O的直径，∠ADB＝90°， ∴∠EAD＋∠E＝∠ADC＋∠CDE＝90°， ∵点C为优弧 的中点， ∴＝，∴AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA，∴∠CDE＝∠E， ∵∠EAB＝∠CDE，∴∠BAE＝∠E，∴BA＝BE. (3)解：∵∠CDE＝∠E，∴CD＝CE，∴AC＝CE＝CD＝4， ∴AE＝8，设AB＝BE＝x， 在Rt△ABD中，AD2＝AB2－BD2＝x2－62＝AE2－DE2＝(8)2－(6＋x)2. 解得x＝10.(负值已舍) ∴AB＝10. ∴AD＝＝8. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十九章 单元测试 班级：________　　　姓名：________　　　分数：________ 一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．) 1．已知点P在半径为8的⊙O内，则( ) A．OP＞8 B．OP＝8 C．OP＜8 D．OP≠8 2．如图，AB是⊙O的直径，＝，∠BOD＝60°，则∠COD的度数为( ) A．30° B．45° C．60° D．以上都不正确 第2题图第3题图第4题图 3．如图，是⊙O弦的是( ) A．线段AB B．线段AC C．线段AE D．线段DE 4．如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB＝2，则的长是( ) A．π B.π C．2π D.π 5．一把大遮阳伞，伞面撑开时可近似地看成是圆锥形，如图，它的母线长是2.5 m，底面半径为2 m，则做这把遮阳伞需用布料的面积是多少平方米(接缝不计)( ) A．3π B．4π C．5π D.π 第5题图　　　　　第6题图 6．如图，拱桥可以近似地看作直径为250 m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为150 m，那么这些钢索中最长的一根的长度为( ) A．50 m B．40 m C．30 m D．25 m 7．下列说法中正确的是( ) A．直径是圆的对称轴 B．半径相等的两个半圆是等弧 C．弧是半圆 D．三点确定一个圆 8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD，OB，OD，若∠OBD＝10°，则∠BCD的度数为( ) A．100° B．90° C．85° D．80° 第8题图第9题图第10题图 9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C＝30°，CD＝24，则阴影部分的面积是( ) A．32π B．16π C．16 D．32 10．如图，CO，CA是⊙O′的弦，⊙O′与x轴、y轴分别交于点A，B，点B的坐标为(0，2)，∠ACO＝60°，则⊙O′的直径为( ) A．2 B. C．4 D．5 11．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用数学语言可表述为：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于点E，ED＝1寸，AB＝10寸，则半径OD的长为( ) A．12寸 B．15寸 C．14寸 D．13寸 第11题图　　第12题图 12．如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连接AC，BD相交于点P，连接AD，OC.已知OC⊥BD于点E，AB＝2；有下列结论：①∠CAD＋∠OBC＝90°；②若P为AC的中点，则CE＝2OE；③若AC＝BD，则CE＝OE；④BC2＋BD2＝4.其中正确的是( ) A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分．) 13．已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，运用反证法证明这个结论，第一步应先假设 ___________. 14．平面直角坐标系内的三个点A(1，－3)，B(0，－3)，C(2，－3)___________(选填“能”或“不能”)确定一个圆． 15．公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m(单位：m)，某车在标有R＝300处的弯道上从点A行驶了100π m到达点B，则线段AB＝___________m. 16．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BOD＝130°，AC∥OD交⊙O于点C，连接BC，则∠B＝___________. 第16题第17题第18题图 17．如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，＝，∠CDB＝30°，AC＝2，则OE＝___________. 18．如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径向正方形内作半圆，P为半圆上一动点(不与A，B重合)，当PA＝___________时，△PAD为等腰三角形． 三、解答题(本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．) 19．(14分)如图，点A，B，C在⊙O上，AC∥OB. (1)直接写出图中等于2∠CAB的角； (2)如果∠CAB＝25°，求∠AOC的大小． 20.(11分)如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在，上，且AB＝CD，M是的中点．求证：BM＝DM. 21.(11分)如图，在平面直角坐标系中，A，B，C是⊙M上的三个点，A(0，4)，B(4，4)，C(6，2)． (1)在图上标出圆心M，圆心M的坐标为(2，0)； (2)判断点D(6，－2)与⊙M的位置关系，并说明理由． 22.(12分)问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图①)．假定在水流量稳定的情况下，筒车的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120 s. 问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O，如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径长为2 m，当t＝0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM＝30°，经过95 s后该盛水筒运动到点B处．(参考数据：≈1.414，≈1.732) 问题解决： (1)求该盛水筒从A处逆时针到B处时，∠BOM的度数； (2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．(结果精确到0.1 m) 23.(13分)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使得DC＝CB，延长DA交⊙O于点E，连接AC，CE. (1)求证：∠D＝∠E； (2)若AB＝4，的长度为π，求阴影部分的面积． 24.(14分)如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB＋2∠ABC＝180°. (1)求证：OC∥AD； (2)若AD＝2，BC＝2，求AB的长． 25.(15分)【问题背景】 如图，△ABD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点C为优弧 的中点，连接AC，CD，OC. 【问题探究】 (1)如图①，求证：CO平分∠ACD； (2)如图②，延长AC，DB相交于点E，求证：BA＝BE； 【拓展提升】 (3)在(2)的条件下，若CE＝4，BD＝6，求AD的长． 学科网（北京）股份有限公司 $