专题02 向量的数量积与三角恒等变换（期末复习讲义）高一数学下学期人教B版

专题02 向量的数量积与三角恒等变换（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 平面向量数量积的运算 题型二 平面向量的模长问题 题型三 平面向量垂直问题 题型四 平面向量的夹角问题 题型五 平面向量的投影问题 题型六 平面向量的取值范围 题型七 两角和与差的三角公式 题型八 倍角公式与半角公式 题型九 和差化积与积化和差 题型十 三角恒等变换给角求值问题 题型十一 三角恒等变换给值求值问题 题型十二 三角恒等变换给值求角问题 题型十三 三角恒等变换的实际应用 题型十四 向量与三角函数的综合 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 向量夹角与数量积的基本概念 能理解向量夹角、数量积、投影向量的定义，识记数量积相关基础规定 基础小题必考，易错点为忽略零向量相关规定、混淆投影与投影向量概念 向量数量积的性质与运算律 能运用数量积性质、运算律进行化简与计算，准确判定向量夹角类型 高频基础考点，选择、填空、解答题均有考查，易错点为判断锐角、钝角时遗漏向量不共线条件 向量数量积的坐标运算 能利用坐标公式计算数量积、向量模长、两点间距离，并用坐标判定向量垂直 核心计算考点，题型灵活，常结合垂直、夹角问题综合命题 两角和与差的三角公式 能熟记并灵活正用、逆用两角和差的正弦、余弦、正切公式进行化简求值 重点考查内容，公式易混淆，正切公式需注意定义域限制，多结合小题与解答题第一问考查 二倍角公式及升幂、降幂公式 能熟练运用二倍角公式、升降幂公式完成三角式变形、化简与求值 热门综合考点，常与函数、最值问题结合，易错点为公式变形运用不熟练 辅助角公式 能掌握辅助角公式的变形方法，借助公式求解三角函数最值、单调区间 解答题高频考点，是三角化简的常用工具，易错点为辅助角的判断与取值 三角恒等变换综合公式 能识记半角、和差化积、积化和差、万能公式，并用于复杂三角式恒等变形 拔高拓展考点，多出现于压轴小题或综合解答题，易错点为公式记错、符号出错 知识点01 数量积基础概念 1.向量的夹角 （1）定义：取平面内任意点，作，，则（）为与的夹角 （2）特殊情况：当时，与同向；当时，与反向；时（向量垂直） 2.向量的数量积（内积） （1）定义：非零向量、夹角为，则为数量积，结果为实数 （2）特殊规定：零向量与任一向量的数量积为 （3）物理背景：力使物体产生位移，力做的功（为与的夹角） 3.投影向量 （1）定义：将非零向量向投影，得到的与共线的向量为在上的投影向量 （2）关联：数量积等于与在方向上投影向量的模的乘积，也等于与在方向上投影向量的模的乘积 知识点02 性质与运算律 1.性质（、为非零向量，为单位向量，为与夹角） （1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，； 特别地，或； （4）夹角公式：； （5）模长不等关系： 2.基本运算律 （1）交换律：； （2）数乘结合律：(λ为实数)； （3）分配律：； 3.夹角特殊判定 （1）夹角为锐角且、不共线（2）夹角为钝角且、不共线 知识点03 数量积的坐标运算 一、数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量, （1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即 （2）向量垂直: 二、模与夹角的坐标表示 （1）向量的模:设,则 （2）两点间的距离公式:若,则 （3）向量的夹角公式:设两非零向量,与的夹角为θ,则 知识点04 两角和差公式 一、两角和与差的余弦公式 1．两角和的余弦公式：: 2．两角差的余弦公式：: 3．使用注意事项： （1）公式中，都是任意的，既可以是一个角，也可以是几个角的组合； （2）需掌握公式的逆用，如 二、两角和与差的正弦公式 1．两角和的正弦公式：: 2．两角差的正弦公式：: 3．使用注意事项： （1）公式中的，都是任意角； （2）注意公式的逆向运用：如 三、两角和与差的正切公式 1．两角和的正切公式：: 2．两角差的正切公式：: 3．使用注意事项： （1）公式的适用前提是均有意义； （2）公式的变形：； 知识点05 二倍角公式及其应用 1．二倍角的正弦（）：；变形 2．二倍角的余弦（）：= 3．二倍角的正切（）： 4．升（降）幂缩（扩）角公式 利用余弦的二倍角公式变形可得： 升幂公式：， 降幂公式：， 知识点06 辅助角公式 辅助角公式推导：对于形如的式子，可变形如下： = 由于上式中和的平方和为1，故令， 则== 其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定， 或由和共同确定． 知识点07 三角恒等变换 一、半角公式 ＝±，＝±， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． ； 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 二、积化和差公式与和差化积公式 1、积化和差公式 ； ； 2、和差化积公式 ； ； 3、万能公式 ； ； 题型一 平面向量数量积的运算 例1．已知在矩形ABCD中，，分别为的中点，则（ ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】如图，以A为坐标原点O，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 则. ∵分别为的中点， ∴， ， . 变式1-1．已知向量，，则的值为________． 【答案】5 【详解】因为， 所以. 变式1-2．在△ABC中，AB＝2，，，则______． 【答案】 【详解】依题意，. 变式1-3．如图所示的图形是由7个边长均为1的正六边形拼接而成，且，，为其中的三个公共顶点，则________．    【答案】0 【详解】   连接，由图和正六边形性质可得为为顶角的等腰三角形， 由余弦定理得， 代入得，， 利用勾股定理逆定理 所以， 题型二 平面向量的模长问题 例2．已知平面向量，的夹角为，，则_____ ． 【答案】 【详解】因为，所以，所以. 所以，因此，. 变式2-1．已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以 又，所以 ，解得， 所以， 所以. 变式2-2．已知平面向量与与满足，，且在方向上的投影向量为，则__________． 【答案】 【详解】因为在方向上的投影向量为，即， 所以，则， 故. 变式2-3．已知，是非零向量，，且，． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，则，又，所以， 得到. （2）由（1）知，又，， 则， 所以. 题型三 平面向量垂直问题 例3．已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为，，所以， 即，解得：. 变式3-1．已知，，，则（     ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【详解】由向量线性运算，得. 由，得，即， 化简得，解得. 变式3-2．若向量、满足：，，则（    ） A．1 B． C．10 D． 【答案】B 【详解】因为，所以，则. 变式3-3．已知向量，，若当时，，当时，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】当时，由可知与方向相同，得，解得； 当时，，即，解得． 故选：C 题型四 平面向量的夹角问题 例4．已知，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角是________． 【答案】 【详解】． ， ． 所以，所以． 变式4-1．已知非零不共线向量，满足，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，化简可得， ，代入可得， 因为向量与向量都是非零向量， 所以向量与向量垂直，即夹角为. 变式4-2．已知向量，，，若与的夹角为钝角，且与的夹角也为钝角，则的取值范围为_____. 【答案】 【详解】由可得， 由得：，此时与的夹角为. 所以若与的夹角为钝角，则. 因为， 由，得， 由，得，此时与方向相同， 所以若与的夹角为钝角，则. 所以与的夹角为钝角，且与的夹角也为钝角，则. 变式4-3．如图，在梯形中，为线段中点，记 (1)用表示向量； (2)求与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，为线段中点，且， 则； （2）由于，可得，又有， 所以. 由，可得， 且，故. 题型五 平面向量的投影问题 例5．已知，，若与的夹角为，则在上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】计算：由，得，因此； 计算：根据向量数量积的定义，； 计算：由数量积运算律得 ； 计算投影向量：根据投影向量公式，向量在上的投影向量为，代入得所求投影向量为. 变式5-1．已知非零向量，，，则“”是“是在上的投影向量”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】解：充分性判断：由，则， 当取，，时，满足，但与不共线， 因此，不是在上的投影向量，即条件不充分； 必要性判断：若是在上的投影向量，则，两边同时点乘， 则，因此必要性成立， 所以，“”是“是在上的投影向量”的必要不充分条件. 变式5-2．已知向量， 满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，又， 所以向量在向量上的投影向量为. 变式5-3．已知平面向量，其中． (1)若为与方向相同的单位向量，求的坐标； (2)若且与垂直，求向量夹角的余弦值及向量在向量上的投影向量的坐标. 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）设，， 由得． 解得．所以． （2）因为与垂直，所以， 即． 又因为，， 所以， 所以向量夹角的余弦值． 向量在向量上的投影向量的坐标为． 题型六 平面向量的取值范围 例6．在直角中，，为边的中点，为线段上一动点，且满足，则的取值范围为_______________. 【答案】. 【详解】如图.∵为中斜边的中点，，∴.∵， ∴，∴. ∵，∴，∴. 故答案为：． 【点睛】本题考查用平面向量的数量积表示向量的模，掌握数量积的定义是解题关键． 变式6-1．在中，，，，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以是的中点， 又因为，所以是上靠近的三等分点， 所以， 因为，且， 所以，化简得， 可得，当且仅当时，等号成立， 又因为，所以． 变式6-2．半径为4的圆上有三点，线段长为4，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设圆的圆心为点，，则为等边三角形. 过点作，交于点， 当点在点右侧时， 当点在点左侧时，； 当点在点正上方时，，. 当点在点右侧时，由图知当点与点重合时，， 此时，即； 当点在点左侧时，由图知当点与点重合时，， 此时，则， 综上，的取值范围为. 变式6-3．在平行四边形中，和分别是和的中点，则_____；若是的三等分点，点在线段上，，则的取值范围是_____． 【答案】 6 【详解】由题意可得， 所以,则. 设，， 则        所以 当时，；当或1时，， 综上： 题型七 两角和与差的三角公式 例7．已知是第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是第二象限角，且， 所以， 故. 变式7-1．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 变式7-2．已知，且，则（   ） A． B．7 C． D． 【答案】B 【详解】由， 得， 所以， 则. 变式7-3．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于，代入，且， 得，解得，故B正确. 题型八 倍角公式与半角公式 例8．已知为第二象限角，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得： 因为是第二象限角，所以，， 化简得：，即 由于，解得：， 因为，所以， 所以 变式8-1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 变式8-2．平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，， 则. 变式8-3．已知函数，若，且，则________． 【答案】/ 【详解】由函数， ，， 得，即， 即得，即， 则，即， 由，得，则，故，即， 则，则. 题型九 和差化积与积化和差 例9．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，故， 由，故， 则， 则 . 变式9-1．的值为______． 【答案】/ 【详解】因为 . 变式9-2．已知，则（    ） A． B．7 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 由和差化积公式可得， 因为，所以， 由， 可得，所以. 故选：C 变式9-3．学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式： (1)证明： (2)应用上面的公式解决下列问题：已知，求的值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）根据余弦和角、差角公式 ， ， 将两式相加得 ， 整理得. （2）对 套用（1）中公式： 令 ， 则， 由题知，故，即 ， 即 ，化简得 ，即： . 题型十 三角恒等变换给角求值问题 例10．______. 【答案】1 【详解】 故答案为：1 变式10-1．求值：_________． 【答案】 【分析】 【详解】方法一：原式 ； 方法二：令原式乘以得， ， 则原式． 故答案为：. 变式10-2．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为，若，___________. 【答案】2 【详解】因为，，所以， 故答案为： 变式10-3．求值：． 【答案】 【详解】原式 题型十一 三角恒等变换给值求值问题 例11．已知． (1)化简，并求值； (2)若且，求的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为，，所以， 原式， 所以，原式 （2）因为，所以， 又，所以， 所以 变式11-1．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以①； 又因为，所以②. ①+②得，所以. 又因为，所以，即. 把代入，得， 则，即. 把，得， 则，即. 所以. 变式11-2．已知，均为锐角，且满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，由辅助角公式得： ， 其中，， 已知等式左边等于，因此，得， 即，因此， 所以，又， 所以. 变式11-3．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则， 由，得， 即，则， 故． 题型十二 三角恒等变换给值求角问题 例12．已知，且，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1），，， ； （2），，， ， ，，. 变式12-1．已知，，，，则的值为_____________． 【答案】/ 【详解】因为，，所以． 因为，，所以， 又因为，所以， 于是， 即，由于，故． 答案：. 变式12-2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 得，所以， 又，所以， 即， 整理得，即， 所以一个钝角一个锐角，所以， 所以， 所以. 故选：C 变式12-3．已知角，满足，，且，. (1)求的值； (2)求的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，，所以， 所以，； 因为，所以； 所以. （2）因为，，所以； 因为，所以，故， 所以； 又因为，所以，； 所以， 又因为，所以. 题型十三 三角恒等变换的实际应用 例13．某城市滨江公园有一块扇形观景区域，弧长为米，面积为平方米.计划在该扇形区域内设计一个内接矩形区域，用于修建市民休闲活动区，如图所示：设. (1)求与的长度（用表示） (2)求矩形的面积（用表示）； (3)求矩形面积的最大值； 【答案】(1)， (2)（） (3) 【详解】（1）在扇形中，设半径为，弧长为， 圆心角（）， 则，， 解得米，. 在矩形中，. 因为，所以在中， . （2），， . （）. （3），则， 当，即时，取到最大值1， 此时矩形的面积最大，. 变式13-1．某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯（）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌，如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度．当人在点时，观测到视角的正切值为．当人运动到中点时，（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【详解】由题意，为的中点，由，得，当人在点时，如下图所示， 设，则， 在中，， 在中，， 因为， 所以，解得或， 因为，所以，则，则， 当人运动到中点时，作于点，如下图所示， 则，， 所以， 在中， 故选：B． 变式13-2．露天电影就是在室外放的电影，在我国七十年代开始流行，观看者不需要买票，可以随意进场观看.已知某地在播放露天电影，幕布上、下边缘距离为d米，幕布的下方边缘距离观众水平视线上方a米，为使看电影时的视角（即从幕布上、下边缘引出的光线在人眼光心处所成的夹角）最大，应坐在距离幕布___________米处.（用a，d表示） 【答案】 【详解】如图，设分别为幕布上下边缘，观影者位于点处， 则由条件可得，， 设，则，， 则 ， 当且仅当，即时，“”成立， 又因为在上为增函数， 所以坐在距离幕布米处，视角最大. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：设分别为幕布上下边缘，观影者位于点处，设，得出，，再根据两角差的正切公式化简是解决本题的关键. 变式13-3．如图所示，某市政府计划在该扇形地域内建设图书馆，为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，要求该图书馆底面矩形CDEF的四个顶点都落在边界上．经过测量，扇形的半径为60m，，．记弧的中点为G，连接OG，分别与EF，CD交于点M，N，连接OF，设． (1)求矩形CDEF的面积关于α的函数； (2)请说明F点向G靠近时矩形CDEF的面积变化情况； (3)求矩形CDEF的最大面积． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）由题意可知，,则 ， 于是矩形CDEF的面积关于α的函数为. （2）由（1）分析得，则 ，， 当F点向G靠近时，角越来越小，因，则， 由正弦函数的图象知， 的值由增大到1，接着减小到， 故的值先由小变大，达到最大值后接着变小. （3）由（2）分析可知，当即时，. 【点睛】思路点睛：解题思路在于，透过图形分析找到所求量与已知量、自变量之间的数量关系，再对求得的函数表示式，通过三角恒等变换化成正弦型函数，结合正弦函数的图象即可求得. 题型十四 向量与三角函数的综合 例14．已知向量，，且． (1)求的取值范围； (2)设函数，若的最小值为，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，， 所以. 由同角三角函数的平方关系可得， 所以， 因为，所以，所以， 所以的取值范围为. （2）由（1）可知，函数， 令，则， ，其图象开口向上，对称轴方程为， 当，即时，最小值为，解得（舍去）； 当，即时，最小值为， 解得或（舍去）； 当，即时，最小值为. 综上可知，. 变式14-1．已知向量，函数，求： (1)的最小正周期； (2)的单调递增区间； (3)若是锐角，且，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）因为， 所以， 所以的最小正周期. （2）由（1）知， 令，解得， 所以的单调递增区间为. （3）由（1）知，又， 所以，即， 因为是锐角，，， 所以，解得. 所以. 变式14-2．已知向量，，函数． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)当时，求函数的值域； (3)将函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由题可知， 则， 最小正周期． （2）当时，， ， 所以值域为； （3）将的图象向左平移个单位长度，得到 的图象，再向上平移个单位长度，得到． 当时，，． 方程有两个不同实数解，即 有两个不同解， 等价于在上有两个不同解． 结合正弦函数图像，可知， 解得． 变式14-3．向量，，函数，其中，相邻对称轴之间的距离为. (1)求函数的解析式和对称中心； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上恰有两个解，求实数的取值范围. 【答案】(1)，对称中心为 (2) 【分析】 【详解】（1）因为，， 所以 ，其中， 因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得，所以， 令，得， 所以函数的对称中心为； （2）由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数， 再向左平移个单位得， 令，则，所以， 因为在上恰有两个解，等价于和有两个交点， 画出的图像如图所示， 由图可知，需满足， 则的取值范围是. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025·26高一下·安徽阜阳·阶段检测）已知向量，设的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意知，，则， ，则不成立，A错误； ，，则与不平行，B错误； ，，则不成立，C错误； ，则， 则， 又，，D正确． 2．（2024·25高一上·北京朝阳·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 3．（2025·26高一下·湖北荆州·期中）已知，为非零向量，命题和命题，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若成立，则（两向量同向）或（两向量反向）， 当时，，此时，即不成立， 因此推不出，充分性不成立； 若成立，因为是非零向量，，则， 结合得，即两向量同向，因此，成立， 即能推出，必要性成立； 综上，是的必要不充分条件. 4．（2026·全国二卷·高考真题）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 所以，即； 由，得， 所以，即. 两式相减，得， 所以 . 5．（2025·26高一下·河北石家庄·阶段检测）已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，因此. 根据向量投影向量的定义，向量在向量上的投影向量为： 将，，，代入得： . 因此，向量在向量上的投影向量为. 6．（2026·江苏连云港·模拟预测）在中，已知，，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【详解】， 因为，所以， 易知均不为，所以， ， 因为，所以， 即， 所以. 7．（2025·26高一下·江苏南京·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 即，所以， 所以． 8．（2025·26高一下·宁夏吴忠·期中）若是方程的两根，则____ 【答案】/0.4 【详解】、是方程的两根， ，， 所以. 9．（2025·26高一下·福建漳州·阶段检测）已知向量，满足，向量的夹角为． (1)求的值； (2)求 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可得，， 则； （2）由已知得 10．（2024·25高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）∵，∴， 可得. （2）由二倍角公式得， ∴． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2026·北京大兴·三模）设函数，则“”是“的图象关于轴对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】函数的图象关于轴对称，当且仅当对任意，都有 即 展开得即 上式对任意恒成立，则得，则有． 反过来，当该式成立时，，上述等式也恒成立，因此这是图象关于轴对称的充要条件． 若的图象关于轴对称，则． 所以“”是“的图象关于轴对称”的必要条件． 反之，若取，有，此时，显然其图象不关于轴对称，故充分性不成立. 综上，“”是“的图象关于轴对称”的必要不充分条件． 2．（2025·26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得（*）， 因为，， 代入（*）可得． 因为，则，， 则得， 即， 设,则得,即． 因为，所以，解得,即． 3．（2026·山东·模拟预测）在中，，，，点满足，，点满足，，若的最大值为，最小值为，则（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【详解】以A点为原点，AB为x轴，AC为y轴，建立平面直角坐标系， 则， 则点，， 因为，则当时，；当时，，所以 4．（2026·广东广州·三模）已知函数，满足对于任意实数，都有恒成立，且函数相邻两个零点的距离是. (1)求的解析式和单调递增区间； (2)若，且满足，求. 【答案】(1)，单调递增区间为 (2) 【分析】 【详解】（1）函数相邻两个零点的距离是，故，解得， 对于任意实数，都有恒成立，故 即，故， 因为，故，所以， 若，，则，， 故的单调递增区间为； （2）若，则，故， 因为，                 故 故 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2026·福建泉州·模拟预测）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以. 又，，，所以与同正或同负. 当与同负时，为第二象限角，，与矛盾，舍去. 当与同正时，为第一象限角，满足条件，所以，则. 因为， ， 所以. 由，，得. 若，则（舍去，因为）. 若，则. 因为，所以. 2．（2025·26高一下·湖南长沙·阶段检测）（多选）把向量绕其起点沿逆时针方向旋转角得到，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，，（其中为坐标原点），点绕点沿逆时针方向旋转得到点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】先由点，，得， 由，得，解得. 又由，得，则， 因此，点，故A错误，B正确. 将绕点逆时针旋转，， 得：， 因此点的坐标为，故C正确. ，故D错误. 3．（2025·26高一下·吉林长春·期中）如图，在中，，，是中点，与交于点，若存在实数使得成立，则实数______． 【答案】 【详解】由，则，故， 令且，故， 由三点共线，则， 由，则， 所以， 由，则， 即，而，则. 4．（2026·山东烟台·模拟预测）在平行四边形中，点为的中点，点在上，且，与交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 如图所示，因为，所以点为三等分点，且靠近点. 设，，，， 则，， 且由题意得：，， 设，， 联立，解得：，，所以， 由得：，化简得： ，所以，令，所以，，即：. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 向量的数量积与三角恒等变换（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 平面向量数量积的运算 题型二 平面向量的模长问题 题型三 平面向量垂直问题 题型四 平面向量的夹角问题 题型五 平面向量的投影问题 题型六 平面向量的取值范围 题型七 两角和与差的三角公式 题型八 倍角公式与半角公式 题型九 和差化积与积化和差 题型十 三角恒等变换给角求值问题 题型十一 三角恒等变换给值求值问题 题型十二 三角恒等变换给值求角问题 题型十三 三角恒等变换的实际应用 题型十四 向量与三角函数的综合 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 向量夹角与数量积的基本概念 能理解向量夹角、数量积、投影向量的定义，识记数量积相关基础规定 基础小题必考，易错点为忽略零向量相关规定、混淆投影与投影向量概念 向量数量积的性质与运算律 能运用数量积性质、运算律进行化简与计算，准确判定向量夹角类型 高频基础考点，选择、填空、解答题均有考查，易错点为判断锐角、钝角时遗漏向量不共线条件 向量数量积的坐标运算 能利用坐标公式计算数量积、向量模长、两点间距离，并用坐标判定向量垂直 核心计算考点，题型灵活，常结合垂直、夹角问题综合命题 两角和与差的三角公式 能熟记并灵活正用、逆用两角和差的正弦、余弦、正切公式进行化简求值 重点考查内容，公式易混淆，正切公式需注意定义域限制，多结合小题与解答题第一问考查 二倍角公式及升幂、降幂公式 能熟练运用二倍角公式、升降幂公式完成三角式变形、化简与求值 热门综合考点，常与函数、最值问题结合，易错点为公式变形运用不熟练 辅助角公式 能掌握辅助角公式的变形方法，借助公式求解三角函数最值、单调区间 解答题高频考点，是三角化简的常用工具，易错点为辅助角的判断与取值 三角恒等变换综合公式 能识记半角、和差化积、积化和差、万能公式，并用于复杂三角式恒等变形 拔高拓展考点，多出现于压轴小题或综合解答题，易错点为公式记错、符号出错 知识点01 数量积基础概念 1.向量的夹角 （1）定义：取平面内任意点，作，，则（）为与的夹角 （2）特殊情况：当时，与________；当时，与________；时（向量________） 2.向量的数量积（内积） （1）定义：非零向量、夹角为，则为数量积，结果为________ （2）特殊规定：零向量与任一向量的数量积为________（3）物理背景：力使物体产生位移，力做的功________（为与的夹角） 3.投影向量 （1）定义：将非零向量向投影，得到的与________的向量为在上的投影向量 （2）关联：数量积等于与在方向上投影向量的模的________，也等于与在方向上投影向量的模的________ 知识点02 性质与运算律 1.性质（、为非零向量，为单位向量，为与夹角） （1）； （2）________； （3）当与同向时，________；当与反向时，________； 特别地，________或； （4）夹角公式：________； （5）模长不等关系： 2.基本运算律 （1）交换律：； （2）数乘结合律：(λ为实数)； （3）分配律：________； 3.夹角特殊判定 （1）夹角为________且、不共线（2）夹角为________且、不共线 知识点03 数量积的坐标运算 一、数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量, （1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即 （2）向量垂直: 二、模与夹角的坐标表示 （1）向量的模:设,则 （2）两点间的距离公式:若,则 （3）向量的夹角公式:设两非零向量,与的夹角为θ,则 知识点04 两角和差公式 一、两角和与差的余弦公式 1．两角和的余弦公式：:________ 2．两角差的余弦公式：:________ 3．使用注意事项： （1）公式中，都是任意的，既可以是一个角，也可以是几个角的组合； （2）需掌握公式的逆用，如________ 二、两角和与差的正弦公式 1．两角和的正弦公式：:________ 2．两角差的正弦公式：:________ 3．使用注意事项： （1）公式中的，都是任意角； （2）注意公式的逆向运用：如________ 三、两角和与差的正切公式 1．两角和的正切公式：:________ 2．两角差的正切公式：:________ 3．使用注意事项： （1）公式的适用前提是均有意义； （2）公式的变形：； 知识点05 二倍角公式及其应用 1．二倍角的正弦（）：________；变形 2．二倍角的余弦（）：________=________ 3．二倍角的正切（）：________ 4．升（降）幂缩（扩）角公式 利用余弦的二倍角公式变形可得： 升幂公式：________， ________ 降幂公式：________， ________ 知识点06 辅助角公式 辅助角公式推导：对于形如的式子，可变形如下： = 由于上式中和的平方和为________，故令， 则== 其中角所在象限由的符号确定，角的值由________确定， 或由和共同确定． 知识点07 三角恒等变换 一、半角公式 ＝________，＝________， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． ； 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 二、积化和差公式与和差化积公式 1、积化和差公式 ________； ；________ 2、和差化积公式 ________； ；________ 3、万能公式 ； ________； 题型一 平面向量数量积的运算 例1．已知在矩形ABCD中，，分别为的中点，则（ ） A． B． C．0 D． 变式1-1．已知向量，，则的值为________． 变式1-2．在△ABC中，AB＝2，，，则______． 变式1-3．如图所示的图形是由7个边长均为1的正六边形拼接而成，且，，为其中的三个公共顶点，则________．    题型二 平面向量的模长问题 例2．已知平面向量，的夹角为，，则_____ ． 变式2-1．已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C． D． 变式2-2．已知平面向量与与满足，，且在方向上的投影向量为，则__________． 变式2-3．已知，是非零向量，，且，． (1)求； (2)求． 题型三 平面向量垂直问题 例3．已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 变式3-1．已知，，，则（     ） A． B．1 C．2 D．4 变式3-2．若向量、满足：，，则（    ） A．1 B． C．10 D． 变式3-3．已知向量，，若当时，，当时，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 题型四 平面向量的夹角问题 例4．已知，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角是________． 变式4-1．已知非零不共线向量，满足，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 变式4-2．已知向量，，，若与的夹角为钝角，且与的夹角也为钝角，则的取值范围为_____. 变式4-3．如图，在梯形中，为线段中点，记 (1)用表示向量； (2)求与夹角的余弦值. 题型五 平面向量的投影问题 例5．已知，，若与的夹角为，则在上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 变式5-1．已知非零向量，，，则“”是“是在上的投影向量”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式5-2．已知向量， 满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 变式5-3．已知平面向量，其中． (1)若为与方向相同的单位向量，求的坐标； (2)若且与垂直，求向量夹角的余弦值及向量在向量上的投影向量的坐标. 题型六 平面向量的取值范围 例6．在直角中，，为边的中点，为线段上一动点，且满足，则的取值范围为_______________. 变式6-1．在中，，，，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式6-2．半径为4的圆上有三点，线段长为4，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式6-3．在平行四边形中，和分别是和的中点，则_____；若是的三等分点，点在线段上，，则的取值范围是_____． 题型七 两角和与差的三角公式 例7．已知是第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 变式7-1．（   ） A． B． C． D． 变式7-2．已知，且，则（   ） A． B．7 C． D． 变式7-3．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 题型八 倍角公式与半角公式 例8．已知为第二象限角，且，则（     ） A． B． C． D． 变式8-1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 变式8-2．平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（   ） A． B． C． D． 变式8-3．已知函数，若，且，则________． 题型九 和差化积与积化和差 例9．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 变式9-1．的值为______． 变式9-2．已知，则（    ） A． B．7 C． D． 变式9-3．学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式： (1)证明： (2)应用上面的公式解决下列问题：已知，求的值； 题型十 三角恒等变换给角求值问题 例10．______. 变式10-1．求值：_________． 变式10-2．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为，若，___________. 变式10-3．求值：． 题型十一 三角恒等变换给值求值问题 例11．已知． (1)化简，并求值； (2)若且，求的值． 变式11-1．若，则（    ） A． B． C． D． 变式11-2．已知，均为锐角，且满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式11-3．若，则（    ） A． B． C． D． 题型十二 三角恒等变换给值求角问题 例12．已知，且，. (1)求的值； (2)求的值. 变式12-1．已知，，，，则的值为_____________． 变式12-2．已知，则（    ） A． B． C． D． 变式12-3．已知角，满足，，且，. (1)求的值； (2)求的大小. 题型十三 三角恒等变换的实际应用 例13．某城市滨江公园有一块扇形观景区域，弧长为米，面积为平方米.计划在该扇形区域内设计一个内接矩形区域，用于修建市民休闲活动区，如图所示：设. (1)求与的长度（用表示） (2)求矩形的面积（用表示）； (3)求矩形面积的最大值； 变式13-1．某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯（）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌，如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度．当人在点时，观测到视角的正切值为．当人运动到中点时，（    ） A． B． C．5 D． 变式13-2．露天电影就是在室外放的电影，在我国七十年代开始流行，观看者不需要买票，可以随意进场观看.已知某地在播放露天电影，幕布上、下边缘距离为d米，幕布的下方边缘距离观众水平视线上方a米，为使看电影时的视角（即从幕布上、下边缘引出的光线在人眼光心处所成的夹角）最大，应坐在距离幕布___________米处.（用a，d表示） 变式13-3．如图所示，某市政府计划在该扇形地域内建设图书馆，为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，要求该图书馆底面矩形CDEF的四个顶点都落在边界上．经过测量，扇形的半径为60m，，．记弧的中点为G，连接OG，分别与EF，CD交于点M，N，连接OF，设． (1)求矩形CDEF的面积关于α的函数； (2)请说明F点向G靠近时矩形CDEF的面积变化情况； (3)求矩形CDEF的最大面积． 题型十四 向量与三角函数的综合 例14．已知向量，，且． (1)求的取值范围； (2)设函数，若的最小值为，求实数的值． 变式14-1．已知向量，函数，求： (1)的最小正周期； (2)的单调递增区间； (3)若是锐角，且，求的值. 变式14-2．已知向量，，函数． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)当时，求函数的值域； (3)将函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 变式14-3．向量，，函数，其中，相邻对称轴之间的距离为. (1)求函数的解析式和对称中心； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上恰有两个解，求实数的取值范围. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025·26高一下·安徽阜阳·阶段检测）已知向量，设的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·25高一上·北京朝阳·期末）（   ） A． B． C． D． 3．（2025·26高一下·湖北荆州·期中）已知，为非零向量，命题和命题，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·全国二卷·高考真题）已知，，则（     ） A． B． C． D． 5．（2025·26高一下·河北石家庄·阶段检测）已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏连云港·模拟预测）在中，已知，，则（    ） A． B． C．2 D．4 7．（2025·26高一下·江苏南京·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·26高一下·宁夏吴忠·期中）若是方程的两根，则____ 9．（2025·26高一下·福建漳州·阶段检测）已知向量，满足，向量的夹角为． (1)求的值； (2)求 10．（2024·25高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知． (1)求的值； (2)求的值． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2026·北京大兴·三模）设函数，则“”是“的图象关于轴对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山东·模拟预测）在中，，，，点满足，，点满足，，若的最大值为，最小值为，则（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 4．（2026·广东广州·三模）已知函数，满足对于任意实数，都有恒成立，且函数相邻两个零点的距离是. (1)求的解析式和单调递增区间； (2)若，且满足，求. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2026·福建泉州·模拟预测）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·26高一下·湖南长沙·阶段检测）（多选）把向量绕其起点沿逆时针方向旋转角得到，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，，（其中为坐标原点），点绕点沿逆时针方向旋转得到点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·26高一下·吉林长春·期中）如图，在中，，，是中点，与交于点，若存在实数使得成立，则实数______． 4．（2026·山东烟台·模拟预测）在平行四边形中，点为的中点，点在上，且，与交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $