第八章 向量的数量积与三角恒等变换 章末优化提升（word教参）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第三册（人教B版）

[对应学生用书第74页] 考点一　向量的数量积 [例1]　如图，直角三角形ABC中，AC⊥BC，AB＝2，D是AB的中点，M是CD上的动点. （1）若M是CD的中点，求·的值； （2）求（＋）·的最小值. [解]　（1）∵CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线， ∴CD＝AB＝1，得MD＝CD＝. ∵＝＋，＝＋＝－， ∴·＝（＋）·（－）＝－＝－｜｜2 ＝－12＝－. （2）设MD＝x，则MC＝1－x.其中0≤x≤1. ∵MD是△MAB的中线，∴＋＝2， 得（＋）·＝2·＝－2｜｜·｜｜ ＝－2x（1－x）＝2x2－2x. ∵2x2－2x＝2－， ∴当且仅当x＝时，2x2－2x的最小值为－. 即当x＝时，（＋）·的最小值为－. 　　数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题： （1）设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. （2）求向量的夹角和模的问题 ①设a＝（x1，y1），则｜a｜＝. ②两向量夹角的余弦值（0≤θ≤π），cos θ＝＝. 1.已知向量a＝（4，－3），b＝（m，6）. （1）若m＝3，求向量a，b夹角的余弦值； （2）若a∥b，求（2a－b）·（a＋b）的值. 解　（1）由题意可知，a＝（4，－3），b＝（3，6）， cos＜a，b＞＝＝－＝－ ＝－. （2）若a∥b，则4×6＝－3m，解得m＝－8，b＝（－8，6）， 2a－b＝（16，－12），a＋b＝（－4，3），（2a－b）·（a＋b） ＝16×（－4）－12×3＝－100. 考点二　向量的夹角与垂直问题 [例2]　如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，＝λ，BC＝2AB＝2AD＝2. （1）若⊥，求λ的值； （2）若λ＝，求与夹角θ的余弦值. [解]　（1）分别以，的方向为x轴、y轴的正方向， 点B为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， ∴A（0，1），C（2，0），D（1，1），E（λ，1）， ∴＝（2，－1），＝（λ，1）. ∵⊥，∴·＝2λ－1＝0，∴λ＝. （2）当λ＝时，｜｜＝＝， ｜｜＝＝， ∵·＝2λ－1＝， ∴cos θ＝＝＝. 　　1.求两个向量的夹角主要利用两个公式： （1）cos θ＝，求解的前提是求出这两个向量的数量积和模. （2）cos θ＝，求解的前提是已知两个向量的坐标. 2.解决垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为零，与求夹角一样，若向量能用坐标表示，将它转化为“x1x2＋y1y2＝0”较为简单. 3.用向量方法解决平面几何中的夹角与垂直问题的关键在于选用适当向量为基底，把所要研究的问题转化为两基底向量的夹角与垂直问题，再利用向量知识求角. 2.已知平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A（－3，－4），B（5，－12）. （1）若向量与的夹角为θ，求cos θ； （2）当λ为何值时，λ＋与垂直. 解　（1）由条件可得＝（－3，－4），＝（5，－12）， 所以｜｜＝5，｜｜＝13， ·＝33，cos θ＝＝＝. （2）λ＋＝（5－3λ，－4λ－12），＝（8，－8）， 由λ＋与垂直可得（λ＋）·＝（5－3λ，－4λ－12）·（8，－8）＝0， 即可得8（5－3λ）－8（－4λ－12）＝0，解得λ＝－17. 考点三　向量模的问题 [例3]　已知a＝（－1，－1），b＝（0，1）.在①（ta＋b）∥（a＋tb）；②（ta＋b）⊥（a＋tb）；③｜ta＋b｜＝｜a＋tb｜这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题. （1）若　　　　，求实数t的值；  （2）若向量c＝（x，y），且c＝－ya＋（1－x）b，求｜c｜. [解]　因为a＝（－1，－1），b＝（0，1）， 所以ta＋b＝t（－1，－1）＋（0，1）＝（－t，1－t），a＋tb＝（－1，－1）＋t（0，1）＝（－1，t－1）， 选①： （1）因为（ta＋b）∥（a＋tb），所以－t（t－1）＝－（1－t）， 即t2＝1，解得t＝±1. （2）c＝－ya＋（1－x）b＝（y，y）＋（0，1－x）＝（y，1－x＋y）＝（x，y）， 所以可得 所以c＝（1，1），所以｜c｜＝＝. 选②： （1）因为（ta＋b）⊥（a＋tb），所以t＋（1－t）（t－1）＝0； 即t2－3t＋1＝0，解得t＝. （2）c＝－ya＋（1－x）b＝（y，y）＋（0，1－x）＝（y，1－x＋y）＝（x，y）， 所以可得 所以c＝（1，1），所以｜c｜＝＝. 选③： （1）因为｜ta＋b｜＝｜a＋tb｜， 所以＝， 即t2＝1，解得t＝±1. （2）c＝－ya＋（1－x）b＝（y，y）＋（0，1－x）＝（y，1－x＋y）＝（x，y）， 所以可得 所以c＝（1，1），所以｜c｜＝＝