15.4.4直角三角形中30°角的性质定理 课件 2026-2027学年沪科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦直角三角形中30°角的性质定理及逆定理，通过三角尺拼接、等边三角形纸片对折等动手操作导入，衔接轴对称、等腰三角形知识，搭建从直观到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光引导探究，通过倍长法、截半法等多种证法培养推理能力，结合屋架设计、航海问题等实例渗透模型意识。学生能深化理解与应用，教师可借助系统习题与解析提升教学效率。

沪科版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月11日 15.4.4直角三角形中30°角的性质定理 第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.4.4 直角三角形中30°角的性质定理 同步练习题（沪科版八年级上册） 本节是直角三角形重要特殊性质，为考试高频考点，包含核心定理与逆定理两大必考内容： 1. 性质定理（正向）：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 逆定理（反向判定）：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。 核心易错点：①定理只适用于直角三角形；②必须找准30°角对应的直角边（短直角边）；③不可用于普通三角形。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则30°角所对的直角边是（） A. AC B. BC C. AB D. 无法确定 2. 直角三角形中30°角的性质定理正确表述是（） A. 30°角所对的斜边等于直角边的一半 B. 30°角所对的直角边等于斜边的一半 C. 所有直角三角形直角边都是斜边一半 D. 30°角对的直角边等于另一直角边一半 3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，斜边AB=10，则AC的长为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 20 4. 在直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角为（） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 5. 关于含30°的直角三角形，下列说法错误的是（） A. 最小锐角为30° B. 三边之比为$$1:\sqrt{3}:2$$ C. 短直角边对30°角 D. 长直角边等于斜边一半 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 在直角三角形中，30°角所对的________等于________的一半。 2. 逆定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为________°。 3. Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6，则斜边AB=________。 4. 直角三角形中，斜边是短直角边的2倍，则该短直角边对应的角为________°。 5. 含30°角的直角三角形中，两个锐角分别是________°和________°。 三、解答题（共60分） 1.（20分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，求BC的长。 2.（20分）已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AB=8，求证：∠A=30°。 3.（20分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，求证：AB=4AE。 参考答案与详细解析 一、选择题 1.B 解析：∠A=30°，对应的对边为BC，是直角边。 2.B 解析：定理原文：直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半。 3.C 解析：∠B=30°，对边AC=$$\frac12$$AB=$$\frac12$$×10=5。 4.B 解析：定理逆用：直角边=斜边一半 ⇒ 所对锐角=30°。 5.D 解析：短直角边（30°对边）=斜边一半，长直角边不等于斜边一半。 二、填空题 1. 直角边、斜边 2. 30 3. 12 4. 30 5. 30、60 三、解答题 1. 解： ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°（已知）， ∴∠A所对的直角边BC=$$\frac12$$AB（直角三角形30°角性质定理）。 ∵AB=12， ∴BC=$$\frac12$$×12=6。 答：BC的长为6。 2. 证明： ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AB=8， ∴BC=$$\frac12$$AB。 根据直角三角形性质逆定理： 直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角为30°， ∴∠A=30°。 3. 证明： ∵AB=AC，∠BAC=120°（已知）， ∴∠B=∠C=30°（等边对等角）。 ∵AD⊥BC（已知），根据等腰三角形三线合一， ∠ADB=90°，∠BAD=$$\frac12$$∠BAC=60°。 在Rt△ABD中，∠B=30°， ∴BD=$$\frac12$$AB（直角三角形30°角性质）。 ∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°。 在Rt△BDE中，∠B=30°， ∴BE=$$\frac12$$BD。 代入BD=$$\frac12$$AB，得BE=$$\frac14$$AB，即AB=4BE。 又∵∠BAD=60°，DE⊥AB，可得AE=BE， ∴AB=4AE，得证。 学习目标 1.探索含30°角的直角三角形的性质．（重点） 2.会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．（难点） 3. 学习目标 问题1 如图，将两个含 30° 角的三角尺摆放在 一起，你能借助这个图 形，找到 Rt△ABC 的直 角边 BC 与斜边 AB 之间 的数量关系吗？(提示：请点击拼接和分离) 分离 拼接 A B C D A' C' 问题2 将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？ A B C D 如图，△ADC 是 △ABC 的轴对称图形， 因此 AB = AD，∠BAD = 2×30° = 60°， 从而△ABD 是一个等边三角形. 再由 AC⊥BD， 可得 BC = CD = BD = AB. 含 30° 角的直角三角形的性质 你还能用其他方法证明吗？ 证明：在△ABC 中，∵∠ACB = 90°，∠A = 30°，∴∠B = 60°． 延长 BC 到 D，使 BD = AB，连接AD，则△ABD 是等边三角形． 又∵AC⊥BD， A B C D ∴ BC = AB．　　 ∴ BC = BD．　　 已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°. 求证：BC = AB． 证明方法：倍长法 证法1 E A B C 证明2： 在 BA 上截取 BE = BC，连接 EC. ∵ ∠B = 60°，BE = BC. ∴ △BCE 是等边三角形. ∴ ∠BEC = 60°，BE = EC. ∵ ∠A = 30°， ∴ ∠ECA =∠BEC -∠A = 60° - 30° = 30°. ∴ AE = EC. ∴ AE = BE = BC， ∴ AB = AE + BE = 2BC. ∴BC = AB．　　 证明方法：截半法 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 应用格式： ∵ 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，　　 A B C ∴ BC = AB．　　 要点归纳 解析：在 Rt△ABC 中，∵ CD 是斜边 AB 上的高，∴∠ADC＝90°. ∴∠ACD＝∠B＝30°. 在 Rt△ACD 中，AC＝2AD＝6 cm. 在 Rt△ABC 中，AB＝2AC＝12 cm. 例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3 cm，则AB的长度是 (　　) A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm 注意：运用含 30° 角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形． D 典例精析 例2 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA 交 OB 于 C，PD⊥OA 于 D，若 PC＝3，则 PD 等于 (　　) A．3 B．2 C．1.5 D．1 解析：如图，过点 P 作 PE⊥OB 于 E. ∵ PC∥OA， ∴∠PCE＝∠AOB＝∠AOP＋∠BOP＝30°. 又∵ PC＝3，∴ PE＝1.5. ∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA， ∴ PD＝PE＝1.5. E C 方法总结：当题图中含 30° 角，与角平分线、垂直平分线的性质综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造出含 30° 角的直角三角形． 例3 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，过点 D 作 DE⊥AB，DE 恰好是∠ADB 的平分线．CD 与 DB 有怎样的数量关系？请说明理由． 解： 理由如下：∵ DE⊥AB， ∴∠AED＝∠BED＝90°. ∵ DE 是∠ADB 的平分线， ∴∠ADE＝∠BDE. 在 Rt△ACD 中，∵∠CAD＝30°， ∴ AD＝BD，∠DAE＝∠B. ∴∠BAD＝∠CAD＝∠B. ∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°， ∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°. ∴ CD＝ AD＝ BD，即 CD＝ DB. ∵ AD 是∠BAC 的平分线， 又∵ DE＝DE， ∴△AED≌△BED (ASA). 方法总结：含 30° 角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，可联想到此性质． 想一想：图中 BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？ 例4 如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC，AB = 7.4 cm，∠A = 30° ，立柱 BC、DE 要多长？ A B C D E A B C D E 解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A = 30°， ∴ BC = AB，DE = AD. ∴ BC = AB = ×7.4 = 3.7 m . 又 AD = AB = 3.7 m， ∴ DE = AD = ×3.7 = 1.85 m. 答：立柱 BC 的长是 3.7 m，DE 的长是 1.85 m. ∴ CD = AC = ×20 = 10. 例5 如图，等腰三角形的底角为 15°，腰长为 20，求 腰上的高. A C B D 15° 15° 20 解：过 C 作 CD⊥BA，交 BA 的延长线于点 D. ∵∠B =∠ACB = 15° (已知)， ∴∠DAC =∠B +∠ACB = 15° + 15° = 30°. ) ) 方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含 30° 角的直角三角形来解决．本题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出 30° 角，利用含 30° 角的直角三角形的性质解决问题. 例6 如图，一艘船从 A 处出发，以每小时 10 海里的速度向正北航行，从 A 处测得一礁石 C 在北偏西 30° 的方向上.如果这艘轮船上午 8∶00 从 A 处出发，10∶00 到达 B 处，从 B 处测得礁石 C 在北偏西 60° 的方向上. （1）画出礁石 C 的位置； （2）求出 B 处到礁石 C 的距离. B C 30° 60° A D 解：(1)如图，以 B 为顶点，向北偏西 60° 作角， 这角一边与 AM 交于点 C，则 C 为礁石所在地. M (2)∵ ∠DBC =∠BAC +∠ACB， ∠BAC = 30°， ∠DBC = 60°， ∴ ∠ACB = 30°，即∠BAC =∠ACB， ∴ BC = AB ( 等角对等边)， 即 BC = AB = 10×(10 - 8) = 20 (海里). 答：B 处到礁石 C 的距离为 20 海里. B C 30° 60° A D M 知识点1 等腰三角形的判定 1.如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形有(　　) A.3个　　 B.4个　　 C.5个　　 D.6个 (第1题) 返回 D 基础提优题 2.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°方向的N处，则N处与灯塔P的距离为　　　。 海里. (第2题) 返回 80 基础提优题 3.如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF＝∠C. (1)求证：∠BDF＝∠A； 【证明】∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C. 又∵∠EDF＝∠C，∴∠EDF＝∠AED. ∴DF∥AC.∴∠BDF＝∠A. 基础提优题 (2)若∠A＝45°，DF平分∠BDE，请直接写出△ABC的形状. 返回 【点拨】∵∠A＝45°，∠BDF＝∠A，∴∠BDF＝∠A＝45°. 又∵DF平分∠BDE，∴∠BDE＝2∠BDF＝90°. ∵DE∥BC，∴∠B＝180°－∠BDE＝90°. ∴∠C＝180°－∠A－∠B＝45°＝∠A. ∴△ABC是等腰直角三角形. 【解】△ABC是等腰直角三角形. 基础提优题 知识点2 等边三角形的判定 4.下列条件不能判定△ABC是等边三角形的是(　　) A.AB＝BC＝AC B.∠A＝∠B＝∠C C.AB＝AC，∠A＝60° D.∠A＋∠B＝2∠C D 返回 基础提优题 5.将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1，3，则线段AC的长为　　　cm. 2 基础提优题 【点拨】∵直尺的两条对边相互平行，∴∠ACB＝∠α＝60°. 又∵∠A＝60°，∴∠ABC＝180°－∠A－∠ACB＝60°，∴∠ABC＝∠A＝∠ACB，∴△ABC是等边三角形. ∴AC＝BC＝3－1＝2(cm). 返回 基础提优题 6.如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE. (1)求证：△ABC≌△ADE； 【证明】在△ABC与△ADE中，∵ ∴△ABC≌△ADE(SAS). 基础提优题 (2)若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数. 返回 【解】∵△ABC≌△ADE，∠BAC＝60°， ∴AC＝AE，∠CAE＝∠BAC＝60°. ∴△ACE是等边三角形.∴∠ACE＝60°. 基础提优题 知识点3 含30°角的直角三角形的性质 7.如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝15°，D是AC上一点，连接BD，若∠ADB＝30°，AB＝4，则CD的长为(　　) A.8　　 B.7　　 C.6　　 D.5 (第7题) A 基础提优题 【点拨】在含特殊角的条件下求线段长的技巧： 在一些特殊角，如15°，30°，60°，120°等的条件下，通常要联想到构造含30°角的直角三角形，然后利用“在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”求线段的长. 返回 (第7题) 基础提优题 8. 如图，等边三角形ABC的边长为6 cm，动点P从点A出发以2 cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交边AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧，当点D落在BC边上时，点P移动了　　s. (第8题) 1 基础提优题 【点拨】设点P移动t s时，点D落在BC边上，如图所示，AP＝2t cm，BP＝(6－2t) cm. ∵△PQD是等边三角形，∴PQ＝PD，∠DPQ＝60°. ∵PQ⊥AB，∴∠APQ＝90°， ∴∠BPD＝180°－∠APQ－∠DPQ＝180°－90°－60°＝30°. 基础提优题 ∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠A＝60°.∴∠BDP＝180°－∠B－∠BPD＝180°－60°－30°＝90°， ∴∠BDP＝∠APQ＝90°.∴△BDP≌△APQ(AAS).∴BD＝AP＝2t cm.又∵∠BDP＝90°，∠BPD＝30°，∴BD＝BP，即2t＝(6－2t)，∴t＝1. 返回 基础提优题 9. 已知点P是等边三角形ABC的边BC上的一点，若∠APC＝104°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的大小为(　　) A.14°　　 B.16°　　 C.24°　　 D.26° B 综合应用题 【点拨】如图，过点P作PD∥AB，交AC于点D. ∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠BAC＝60°， AC＝BC.∵PD∥AB，∴∠CPD＝∠B＝60°，∠CDP ＝∠BAC＝60°，∴∠ADP＝120°，△CDP为等边三 角形，∴CP＝DP＝CD，∴AD＝BP.∴△ADP就是以线段AP，BP，CP为边的三角形.∵∠APC＝104°，∴∠APD＝∠APC－∠CPD＝44°，∠CAP＝180°－∠APC－∠C＝16°，∴以线段AP，BP，CP为边的三角形的三个内角分别为16°，44°，120°，∴最小内角的大小为16°. 返回 综合应用题 10. ［华师一附中自主招生］如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠BED＝60°，若BE＝3，DE＝1，则BC＝　　. (第10题) 4 综合应用题 【点拨】如图，延长AD交BC于点N，延长ED交BC于点M，∵∠EBC＝∠BED＝60°，∴EM＝BM，∴△BEM是等边三角形，∴BE＝EM＝3＝BM，∠EMB＝60°.∵DE＝1，∴DM＝3－1＝2.∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN， 返回 ∴∠DNM＝90°，∴∠NDM＝90°－∠EMB＝30°，∴MN＝DM＝1，∴BN＝BM－MN＝3－1＝2，∴BC＝2BN＝4. 综合应用题 11. 如图，AC＝DC＝3，BD垂直于∠BAC的平分线AD，E为AC的中点，AD与BE交于点O，则图中两个阴影三角形 (△OBD与△OAE)的面积之差的最大值为　　　. (第11题) 综合应用题 【点拨】如图，延长BD，AC交于点H.∵AD⊥BH，∴∠ADB＝∠ADH＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠H＋∠HAD＝90°.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠HAD，∴∠ABD＝∠H，∴AB＝AH.∵AD⊥BH，∴BD＝DH.∵DC＝CA，∴∠CDA＝∠CAD. 综合应用题 ∵∠CAD＋∠H＝90°，∠CDA＋∠CDH＝90°，∴∠CDH＝∠H，∴CD＝CH＝AC.∵E为AC中点，∴AE＝EC＝AH，∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH，∴S△ABE＝S△CDH.∵S△OBD－S△AOE＝S△ADB－S△ABE＝S△ADH－S△CDH＝S△ACD.∵AC＝CD＝3，∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×3×3＝. 返回 综合应用题 12. ［2025福建］如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC，垂足为C，EF是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点A，BE交CD于点G. (1)求∠DCE的大小； 【解】∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°. 综合应用题 又∵D是AB的中点， ∴∠DCB＝∠DCA＝∠ACB＝30°. ∵CE⊥BC，∴∠BCE＝90°， ∴∠DCE＝∠BCE－∠DCB＝60°. 综合应用题 (2)求证：△CEG是等边三角形. 【证明】由平移可知，CD∥EF， ∴∠EAC＝∠DCA＝30°. 又∵∠ECA＝∠BCE－∠ACB＝30°， ∴∠EAC＝∠ECA，∴AE＝CE，∠AEC＝120°. 综合应用题 返回 又∵AB＝CB，∴BE垂直平分AC， ∴∠GEC＝∠AEC＝60°. 由(1)知，∠GCE＝60°，∴∠EGC＝60°， ∴∠GEC＝∠GCE＝∠EGC， ∴△CEG是等边三角形. 综合应用题 13. 如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD. (1)求证：△OCD是等边三角形. 【证明】∵△BOC≌△ADC，∴OC＝DC. ∵∠OCD＝60°，∴△OCD是等边三角形. 创新拓展题 (2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由. 【解】△AOD是直角三角形.理由如下： ∵△OCD是等边三角形，∴∠ODC＝60°. ∵△BOC≌△ADC，α＝150°，∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，∴∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝150°－60°＝90°，∴△AOD是直角三角形. 创新拓展题 (3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？ 【解】∵△OCD是等边三角形，∴∠COD＝∠ODC＝60°.∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，∴∠AOD＝360°－∠AOB－∠BOC－∠COD＝360°－110°－α－60°＝190°－α，∠ADO ＝∠ADC－∠ODC＝α－60°， 创新拓展题 返回 ∴∠OAD＝180°－∠AOD－∠ADO＝180°－(190°－α)－(α－60°)＝50°.①当∠AOD＝∠ADO时，190°－α＝α－60°，∴α＝125°；②当∠AOD＝∠OAD时，190°－α＝50°，∴α＝140°；③当∠ADO＝∠OAD时，α－60°＝50°，∴α＝110°.综上所述，当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形. 创新拓展题 内容 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半 使用要点 含 30°角的直角三角形的性质 找准 30° 的角所对的直角边，点明斜边 注意 前提条件：直角三角形中 $