15.4.2等腰三角形中的“三线合一” 课件 -2026-2027学年沪科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形“三线合一”，通过建筑工人用等腰三角板检测房梁水平的现实问题导入，衔接等腰三角形性质定理1，以作高、角平分线的全等证明推导定理，设置填一填、问题辨析等学习支架。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，通过严谨推理过程发展数学思维，分层习题与典例精析强化数学语言应用。采用问题驱动与动手操作，小结明确条件。学生提升推理与应用能力，教师获得系统资源提高教学效率。

沪科版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月11日 15.4.2等腰三角形中的“三线合一” 第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.4.2 等腰三角形中的“三线合一” 同步练习题（沪科版八年级上册） 本次习题专攻等腰三角形核心重难点——三线合一，深度聚焦定理的精准理解、三种条件互推、几何计算、规范证明与高频易错陷阱。重点掌握：等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合的灵活运用，区分底边与腰的区别，规避乱用三线合一的扣分点，是几何简化证明、秒杀计算的核心工具，适配期中期末高频考点。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 等腰三角形“三线合一”的三线是指（） A. 腰上的高、腰上的中线、底角平分线 B. 顶角平分线、底边上的高、底边上的中线 C. 顶角平分线、腰上的高、腰上的中线 D. 任意角平分线、任意高、任意中线 2. 在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，下列结论不一定正确的是（） A. BD=CD B. ∠BAD=∠CAD C. AD=BC D. AD平分∠BAC 3. 已知△ABC为等腰三角形，AB=AC，BD为底边中线，则下列成立的是（） A. BD⊥AC B. BD平分∠ABC C. BD⊥BC D. BD平分∠BAC 4. 下列图形中，能够使用“三线合一”性质的是（） A. 任意三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形（AB=AC） D. 普通锐角三角形 5. 在等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，BC=10，则BD的长为（） A. 10 B. 5 C. 20 D. 无法确定 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 等腰三角形顶角平分线、________、________互相重合，简称三线合一。 2. 三线合一仅针对等腰三角形的________边和________角，不适用于腰与底角。 3. 若AB=AC，AD⊥BC，则AD既是高，也是________和________。 4. 等腰△ABC中，AB=AC，AD为中线，BC=12，则BD=________，AD________BC（填位置关系）。 5. 利用三线合一可以直接实现：垂直、平分线段、________三种条件互推。 三、解答题（共60分） 1.（20分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC。求证：AD平分∠BAC。 2.（20分）如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，BC=16。求BD的长度，并说明AD与BC的位置关系。 3.（20分）如图，已知AB=AC，BD=CD。求证：AD⊥BC，AD平分∠BAC。 参考答案与详细解析 一、选择题 1.B 解析：三线合一专属定义：等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。 2.C 解析：由三线合一可得BD=CD、AD平分∠BAC，AD与BC长度无必然相等关系。 3.D 解析：底边中线等价于顶角平分线、底边上的高，故BD平分∠BAC。 4.C 解析：三线合一的前提是三角形为等腰三角形，且针对底边与顶角。 5.B 解析：AB=AC，AD平分∠BAC，由三线合一得AD为底边中线，BD=$$\frac12$$BC=5。 二、填空题 1. 底边上的高、底边上的中线 2. 底、顶 3. 中线、角平分线 4. 6、垂直 5. 平分顶角 三、解答题 1. 证明： ∵AB=AC（已知）， ∴△ABC是等腰三角形。 又∵AD⊥BC（已知），AD是等腰△ABC底边上的高， 根据等腰三角形“三线合一”性质， 底边上的高与顶角平分线重合， ∴AD平分∠BAC。 2. 解： ∵AB=AC，AD平分∠BAC， 由三线合一性质可知：AD既是顶角平分线，也是底边上的中线和高。 ∴BD=$$\frac12$$BC=$$\frac12$$×16=8，且AD⊥BC。 答：BD长为8，AD垂直于BC。 3. 证明： ∵AB=AC（已知）， ∴△ABC为等腰三角形。 ∵BD=CD， ∴AD是等腰△ABC底边上的中线。 根据“三线合一”性质， 底边上的中线与底边上的高、顶角平分线重合， ∴AD⊥BC，AD平分∠BAC。 学习目标 1.理解等腰三角形中的“三线合一”的概念和验证定理的过程. 2.通过验证等腰三角形中“三线合一”，培养学生独立自主分析和解决问题的能力. 3.培养利用常见的利用等腰三角形的推论来解决问题的能力. 学习目标 建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗? ∠ADB = ∠ADC = 90°， ∠BAD =∠CAD. 等腰三角形的性质定理2 思考：由前面定理1的证明还能得到什么结论？ A C D B 1 猜想：等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角. 1. 如果作 BC 边上的高线 AD，那么 AD 平分 BC 吗？AD 平分 ∠BAC 吗? 思考 如图，在△ABC中，AB = AC. 证明：作底边 BC 的高 AD，交 BC 于点 D. ∵ AD⊥BC， ∴∠ADB ＝∠ADC＝90°. 在 Rt△ABD 与 Rt△ACD 中， AB＝AC（已知）， AD＝AD（公共边）， ∴ Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）. ∴ BD＝CD，∠BAD ＝∠CAD. A B C D 2.如果作∠ABC 的顶角平分线 AD，那么 AD 垂直平分 BC 吗? A C D B 证明：作顶角∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D. ∵ AD 平分∠BAC ，∴ ∠BAD＝∠CAD. 在△ABD 与△ACD 中， AB＝AC（已知）， ∠BAD＝∠CAD（已证）， AD＝AD（公共边）， ∴ △ABD≌△ACD（SAS）， ∴ BD＝CD，∠ADB＝∠ADC. 又∵∠ADB+∠ADC＝180°， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. A C B 证明后的结论，以后可以直接运用. 定理2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合. 简称“三线合一”. 知识要点 A B C D ( ( 1 2 填一填：根据等腰三角形的性质定理完成下列填空. 在△ABC 中，AB = AC. (1) ∵ AD⊥BC， ∴∠____=∠____，_____=_____. (2) ∵ AD 是中线， ∴ ____⊥____，∠____ =∠____. (3) ∵ AD 是角平分线， ∴ ____⊥____，____ =____. 1 2 2 BD CD AD BC BD 1 BC AD CD 画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？ 不重合！ 三线合一 为什么不一样? “三线合一”的操作 点击按钮开始播放 → 例1 已知点 D、E 在△ABC 的边 BC 上，AB＝AC. (1) 如图①，若 AD＝AE，求证：BD＝CE； (2) 如图②，若 BD＝CE，F 为 DE 的中点，求证： AF⊥BC. 图① 图② A B D E C A B D E C F 典例精析 证明：(1) 如图①，过 A 作 AG⊥BC 于 G. ∵ AB＝AC，AD＝AE， ∴ BG＝CG，DG＝EG. ∴ BG－DG＝CG－EG. ∴ BD＝CE. (2) ∵ BD＝CE，F 为 DE 的中点， ∴ BD＋DF＝CE＋EF. ∴ BF＝CF. ∵ AB＝AC， ∴ AF⊥BC. 图① A B D G E C 图② A B D E C F 方法总结：在等腰三角形的有关计算或说明理由的问题中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线． 例2 如图，在△ABC中，AB =AC，AD 是 BC 边上的中线，点 E 是 AD 上一点，求证：BE = CE. 证明 ∵ AB = AC，AD 是边 BC 上的中线，(已知) ∴ AD 是 BC 边上的高.(三线合一) ∴ AD 垂直平分线段 BC . （垂直平分线的定义） ∵ 点 E 是 AD 上一点（已知） ∴ BE = CE.（垂直平分线的性质） 例3 求证：斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等． 已知，如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中， ∠C =∠C' = 90°，AB = A'B'，AC = A'C' 求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'. A' A B C C' B' 本例是14.2中以学过的判定两个直角三角形全等的定理“HL”的证明 证明：在平面内移动 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使点 A 和 A'，点 C 和 C' 重合，点 B 和点 B' 在 AC 两侧，如图. ∵∠BCB' = 90° + 90°= 180°， ∴B，C，B' 三点在一条直线上. 在△ABB' 中，∵AB = AB'，∴∠B = ∠B'. 在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中， ∠ACB =∠A'C'B' (已知)， ∠B =∠B' (已证)， AB = A'B' (已知)， ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (AAS). (A') A B C (C') B' A B C 结论：等边三角形每条边上的中线，高和所对角的平分线都“三线合一”. 三条对称轴 问题：等边三角形有“三线合一”的性质吗？等边三角形有几条对称轴？ 等边三角形是特殊的等腰三角形，三线合一对于等边三角形也成立. 知识点 等腰三角形的“三线合一”的性质 1.如图，在△ABC中，AB＝AC.分别以点B和点C为圆心，大 于BC的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点 E，若∠BAC＝110°，则∠BAE的大小为　　　°. (第1题) 返回 55 基础提优题 2. 在如图的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC上，下列条件中不能说明AD⊥BC的是(　　) A.∠ADB＝∠ADC　　 B.∠B＝∠C C.BD＝CD　　 D.AD平分∠BAC (第2题) 返回 B 基础提优题 3.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D为BC中点，连接AD，若∠BAD＝y，∠B＝2x，则y与x之间的函数关系图象 是(　　) (第3题) 返回 D 基础提优题 4. 如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为(　　) A.18　　 B.9　　 C.9　　 D.6 (第4题) C 基础提优题 【点拨】连接AD，如图.∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D是BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD＝45°，∠B＝∠C＝45°，∴AD＝BD＝DC.又∵AE＝CF，∴△ADE≌△CDF.∴S四边形AEDF＝S△AED＋S△ADF＝S△CFD＋S△ADF＝S△ADC＝S△ABC.又∵S△ABC＝6×6×＝18，∴S四边形AEDF＝S△ABC＝9. 返回 基础提优题 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，S△ABC＝27，直线EF垂直平分线段AB，若D为边BC的中点，点G为直线EF上一动点，则△BDG周长的最小值为(　　) A.10　　　　　B.11 C.12　　　　　D.13 C 综合应用题 【点拨】如图，连接AD，AG， ∵AB＝AC，D为边BC的中点，BC＝6， ∴AD⊥BC，BD＝BC＝3. ∵S△ABC＝27， ∴BC•AD＝×6AD＝27， 综合应用题 解得AD＝9.∵直线EF垂直平分线段AB，∴AG＝BG， ∴△BDG的周长为BD＋BG＋DG＝3＋AG＋DG.由两点之间线段最短可知，当A，G，D三点共线时，AG＋DG的值最小，最小值为AD的长，∴△BDG周长的最小值为3＋AD＝3＋9＝12. 返回 综合应用题 6. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB的中点，点E是线段AD上一点.BF⊥CE于点F，BF交CD于点G. (1)如图①，求证： 【证明】①∵BF⊥CE， ∴∠CBG＋∠BCF＝90°. 又∵∠ACE＋∠BCF＝∠ACB＝90°， ∴∠ACE＝∠CBG. 综合应用题 由①知∠ACE＝∠CBG， 在△AEC和△CGB中，∵ ∴△AEC≌△CGB(ASA)，∴AE＝CG. ②∵D是AB的中点，AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠CAD＝∠CBD＝45°. ∴∠CAE＝∠BCG. 综合应用题 (2)如图②，过点A作AH⊥CE交CE的延长线于点H，AH的延长线交CD的延长线于点M，请在图中找出与BE相等的线段，并证明. 【解】BE＝CM.证明如下： ∵CH⊥HM，CD⊥ED， ∴∠CMA＋∠MCH＝90°，∠BEC＋∠MCH＝90°， ∴∠CMA＝∠BEC. 综合应用题 返回 由(1)②知∠ACM＝∠CBE＝45°. 在△BCE和△CAM中，∵ ∴△BCE≌△CAM(AAS)，∴BE＝CM. 综合应用题 等腰三角形的性质 三线合一 注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质 课堂小结 $