第15章 轴对称图形与等腰三角形 本章复习课 回顾与思考 课件 2025-2026学年沪科版八年级数学上册

该初中数学课件系统梳理了轴对称与等腰三角形单元知识，涵盖轴对称图形、轴对称的概念性质、线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形（含等边三角形）的性质判定及尺规作图，通过知识结构图以“对称性”为主线，将相关图形的性质判定及内在联系串联，构建完整知识网络。 其亮点在于“知识梳理-例题解析-分层评价”的复习模式，例题中坐标对称作图培养数学语言表达能力，证明题推理发展逻辑思维，设计轴对称图案激发创新意识。课堂评价与作业分基础、提高、拓展层次，适配不同学生需求，助力教师精准复习，有效巩固知识。

沪科版八年级数学上册 第15章 轴对称图形与等腰三角形 本章复习课 回顾与思考 导入新课 经过本章内容的学习，相信同学们对轴对称图形与等腰三角形的知识有了一定的认识，这节课就让我们一起来回顾本章所学的知识，反思所学. 3 高效课堂 环节一：复习回顾 你能用知识结构图回顾本章学习的知识吗? 4 高效课堂 知识点1：轴对称 1.轴对称图形 轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴. 说明：判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形. 5 高效课堂 2.轴对称 (1)概念：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线就是对称轴.折叠后重合的两点叫作对应点(也叫对称点). 6 高效课堂 (2)性质： ①如果两个图形关于某直线成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分. ②轴对称图形(或关于某条直线成轴对称的两个图形)的对应线段(对折后重合的线段)相等，对应角(对折后重合的角)相等. 7 高效课堂 (3)轴对称图形与轴对称的区别与联系. 8 高效课堂 3.用坐标表示轴对称： 在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为P(x，y)，则它关于x轴对称的点的坐标为P1(x，-y)，它关于y轴对称的点的坐标为P2(-x，y). 9 高效课堂 知识点2：线段的垂直平分线 1.概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，又叫作线段的中垂线. 2.性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等. 3.判定：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. 说明：线段垂直平分线的性质和判定是证明两线段相等常用的方法之一. 10 高效课堂 知识点3：角的平分线 1.性质：角平分线上的点到角两边的距离相等. 2.判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 11 高效课堂 1.等腰三角形： 性质：(1)等腰三角形的两底角相等.简称“等边对等角”. (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合.简称“三线合一”. 判定：(1)两边相等的三角形是等腰三角形. (2)有两个角相等的三角形是等腰三角形.简称“等角对等边”. 知识点4：等腰三角形 12 高效课堂 说明： ①“等边对等角”和“等角对等边”的区别： 由三角形的两边相等得出它们所对的角相等是性质； 由三角形的两角相等得出它是等腰三角形是判定. ②“等角对等边”是证明两条线段相等方法之一，即若要证的两条线段在同一个三角形中时，只需证明它们所对的角相等即可； “等边对等角”是证明两个角相等的方法之一，即若要证的两个角在同一个三角形中时，只需证明它所对的边相等即可. 13 高效课堂 2.等边三角形： 性质：除具有等腰三角形性质外，还有等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°. 判定： (1)三边相等的三角形是等边三角形. (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. (3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 14 高效课堂 3.直角三角形： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 15 高效课堂 知识点5：尺规作图 1.作线段的垂直平分线. 2.作角平分线. 3.过一点作已知直线的垂线 16 高效课堂 环节二：例题解析 例1 在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图的平面直角坐标系，格点(两线的交点)A，B，C 的坐标分别为(4，5)，(1，6)，(2，2). (1)画出△ABC 关于y 轴对称的△A1B1C1，并直接写出点C1 的坐标； (2)画出将△ABC 先向左平移11个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的△A2B2C2，并直接写出点C2 的坐标； 17 高效课堂 (3)连接A1A2，选择两个格点，利用无刻度的直尺画出线段A1A2的垂直平分线.(保留作图痕迹) 18 高效课堂 解析： (1)先求出A，B，C 三点关于y 轴对称的点的坐标，再描出这些点，顺次连接即可. (2)根据平移的性质作图，即可得出答案. (3)找到两个格点，使它们到点A1，A2 的距离分别相等，连接这两个格点即可. 19 高效课堂 (1)如图，△A1B1C1 即为所求.由图可得，点C1 的坐标为(-2，2). (2)如图，△A2B2C2 即为所求.由图可得，点C2 的坐标为(-9，1). (3)如图，直线DE 即为所求. 20 高效课堂 例2 如图，AB=CD，AC 与BD 的垂直平分线相交于点E. 求证：∠ABE=∠CDE. 解析 由于出现了线段的垂直平分线，因此可连接AE，CE，根据垂直平分线的性质得出AE=CE，BE=DE，根据“SSS”证出△ABE≌△CDE 即可. 21 高效课堂 如图，连接AE，CE. ∵AC，BD 的垂直平分线相交于点E， ∴AE=CE，BE=DE. 在△ABE 和△CDE 中， ∵ 所以△ABE≌△CDE.(SSS) ∴∠ABE=∠CDE. 答案： 22 高效课堂 规律总结：如果已知线段的垂直平分线，一般需找出或作出辅助线，将它变成线段垂直平分线性质定理的基本图形，然后运用线段垂直平分线的性质进行相关的计算或证明. 23 高效课堂 例3 如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点D，BE平分∠ABC，交AD 于点F.求证：AE=AF. 解析 要证明 AE =AF，只需说明 △AEF 中的 ∠AEF =∠AFE 即可.由于题中出现的条件与角有关，因此可结合图形，证明∠AFE=∠AEF.可利用外角性质、角平分线的定义等证明. 24 高效课堂 ∵∠BAC=90°， AD⊥BC ∴∠ABC+∠C =90°，∠ABC+∠ BAD=90°， ∴∠C=∠BAD. 又∵BE 平分∠ABC， ∴∠CBE=∠ABE. 又∵∠AFE=∠BAD+∠ABE，∠AEF=∠CBE+∠C， ∴∠AFE=∠AEF， ∴AE=AF. 答案： 25 规律总结： 利用等腰三角形的判定和性质，可以证明两个角相等或两条线段相等. 方法如下： 如果所要证明相等的两个角在同一个三角形中(或可转换到同一个三角形)中，可利用“等边对等角”来证明，这类问题常与线段的垂直平分线的性质(或等腰三角形中的“三线合一”)联系在一起； 高效课堂 26 如果所要证明相等的两条线段是同一个三角形(或可转换到同一个三角形)中的两边，可利用“等角对等边”来证明.将证明线段相等的问题转化为证明角相等的问题，这类问题常与全等三角形联系在一起. 另外，利用“三线合一”可以证明两条线段垂直等. 高效课堂 27 高效课堂 例4 如图，△ABC 是等边三角形，且∠1=∠2=∠3.求证：△DEF 是等边三角形. 解析 由于题中出现了角相等，因此要证△DEF 是等边三角形，可考虑用“三个角相等的三角形是等边三角形”证明.结合△ABC 是等边三角形，可考虑等边三角形三个内角都等于60°，利用三角形外角定理，求出△DEF 每个内角都等于60°就可证得. 28 高效课堂 ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°. ∵∠1=∠2=∠3， ∴∠DFE=∠3+∠FAC=∠1+∠FAC=∠CAB=60°. 同理∠DEF=∠EDF=60°. ∴∠DEF=∠EDF=∠EFD， ∴△DEF 是等边三角形. 答案： 29 规律总结： 判定等边三角形可从以下几个角度入手： (1)从边入手：有三条边相等的三角形是等边三角形； (2)从角入手：三个内角都相等的三角形是等边三角形，或有两个内角等于60°的三角形是等边三角形； (3)从边及角入手：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； (4)从对称性入手：有三条对称轴的三角形是等边三角形. 高效课堂 30 高效课堂 例5 为美化市民生活环境，市政府决定在城郊外一块长方形空地(如图)建造一个花坛，现征集设计图案，要求设计图案是轴对称图形，请你设计出图案(至少两种). 解析 本题是一道开放性很强的试题，应先作出长方形的对称轴，充分利用轴对称图形的特征进行设计. 31 答案不唯一，如图所示是符合要求的两种图案. 高效课堂 32 课堂评价 1.在△ABC中，∠A=60°，AB=AC，若△ABC的周长为12，则BC的长为( ). A.3 B.4 C.8 D.9 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是( ). A.DE⊥AB B.AD=BD C.DE=DC D.∠BDE=∠BAC B B 33 课堂评价 60° 3.如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，若∠C=40°，∠B=80°，则∠D= . 34 课堂评价 点拨 连接BD(图略)，由DE 是AB 的垂直平分线，得AD=BD，因此∠ABD=∠A=30°.结合∠C=90°，得∠DBC=30°，由直角三角形的性质，得BD=2CD=4，所以AC=AD+CD=BD+CD=6. 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，若CD=2，则AC的长为 . 6 35 课堂评价 5.如图1，已知点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE. (1)求证：BE=CD； (2)若AD=BD=DE=CE，求∠BAE 的度数. 36 高效课堂 (1)如图2，过点A作AF⊥BC于点F，由条件可知BF=CF. ∵AD=AE，AF⊥BC， ∴DF=EF， ∴BF+EF=CF+DF，即BE=CD. 答案： 37 高效课堂 (2)由条件可知△ADE是等边三角形， ∴∠DAE=∠ADE=60°. ∵AD=BD， ∴∠DAB=∠DBA. 又∠DAB+∠DBA=∠ADE=60°， ∴∠DAB=∠ADE=30°， ∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=30°+60°=90°. 答案： 38 课堂总结 1.你对本章知识点有了哪些新的认识? 2.你弄懂了哪些之前不太清楚的知识? 39 作业设计 基础性作业：教材复习题A组第3，4，6，11题. 提高性作业：教材复习题A组第12，14题. 拓展性作业：教材复习题C组第2题. 40 感 谢 观 看 $